Sổ tay tra cứu nhanh kiến thức môn toán 10 học kì 2 – nguyễn mạnh cường

LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG Liên hệ: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan SỔ TAY TRA CỨU NHANH KIẾN THỨC MƠN TỐN LỚP 10 – HỌC KÌ II Họ tên: ……………………………………………………………………… Trường: …………………………………… Lớp: …………………………… TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan Mục lục PHẦN ĐẠI SỐ Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô si Bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 4 Một số bất đẳng thức thường dùng khác II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Dấu nhị thức bậc Bất phương trình bậc Hệ bất phương trình bậc ẩn III BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc hai ẩn Hệ bất phương trình bậc hai ẩn IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Dấu tam thức bậc hai Bất phương trình bậc hai ẩn Một số phương trình bất phương trình quy bậc hai Chương V THỐNG KÊ I KHÁI QUÁT II BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT III BIỂU ĐỒ Biểu đồ hình cột Biểu đồ đường gấp khúc Biểu đồ hình quạt IV SỐ TRUNG BÌNH CỘNG V SỐ TRUNG VỊ VI MỐT VII PHƯƠNG SAI VIII ĐỘ LỆCH CHUẨN Chương VI LƯỢNG GIÁC I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức Hệ công thức Công thức cộng 10 Hệ công thức cộng 10 Công thức biến đổi tổng thành tích 11 Công thức biến đổi theo = f (x ) a sin x + b cos x 11 x Công thức biến đổi theo tan = t 12 II GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT 12 Góc cung lượng giác 12 Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Giá trị góc cung lượng giác đặc biệt 12 Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác đặc biệt .13 PHẦN HÌNH HỌC 14 Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Oxy 14 I HỆ TỌA TRỤC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 14 Hệ trục tọa độ 14 Tọa độ véc-tơ 14 Tọa độ điểm 14 Liên hệ tọa độ véc-tơ tọa độ điểm 15 II ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 15 Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương đường thẳng 15 Các dạng phương trình đường thẳng 15 Cách viết nhanh phương trình đường thẳng .15 Vị trí tương đối đường thẳng với điểm đường thẳng 16 Góc hai đường thẳng 16 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 17 III ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 17 Các dạng phương trình đường tròn 17 Cách viết nhanh phương trình đường tròn 17 Vị trí tương đối đường tròn với điểm, đường thẳng đường tròn .17 Phương trình tiếp tuyến với đường tròn .18 IV ELIP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy 19 Định nghĩa đường elip 19 Phương trình tắc elip 19 Các thông tin elip .19 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan PHẦN ĐẠI SỐ Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất bất đẳng thức • a > b ⇔ a + c > b + c • c > ⇒ a > b ⇔ ac > bc; c < ⇒ a > b ⇔ ac < bc a > b a > b > 0 •  ⇒ a + c > b + d;  ⇒ ac > bd c > d c > d > 0 • • a > b ⇔ a 2n+1 > b2n+1 , n ∈  * a > b > ⇒ a > b ⇔ a 2n > b2n , n ∈  * • a > b > ⇒ a > b ⇔ a > b • a > b ⇔ a > b Bất đẳng thức Cô si • Nếu a b hai số thực không âm a + b ≥ ab (Dấu “=” xảy ⇔ a = b) • Nếu có n số khơng âm a1 , a2 , , an a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an (Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = = an ) Bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối • ∀x ∈  : x ≥ 0; x ≥ x ; x ≥ − x • • • x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ( a > )  x ≤ −a x ≥a⇔  (a > 0) x ≥ a  a − b ≤ a +b ≤ a + b Một số bất đẳng thức thường dùng khác • Bất đẳng thức Bunhiacopxki: • Áp dụng cho hai số a, b x, y ta được: ax + by ≤ • Áp dụng cho n số a1 , a2 , , an b1 , b2 , , b3 ta được: a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ • (a (a )( ) + b2 x + y (Dấu “=” xảy ⇔ ) )( + a22 + + an2 b12 + b22 + + bn2 (Dấu “=” xảy ⇔ Bất đẳng thức Svác-xơ: a b =) x y a a1 a2 = = = n ) b1 b2 bn a b2 ( a + b ) a b Áp dụng cho hai số a, b x, y ta (Dấu “=” xảy ⇔ =) + ≥ x y x+y x y Áp dụng cho n số a1 , a2 , , an b1 , b2 , , b3 ta được: • • a ( a + a + + an ) a12 a22 a a a (Dấu “=” xảy ⇔ = = = n ) + + + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn b1 b2 bn II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Dấu nhị thức bậc ax + b ( a ≠ ) ta có bảng xét dấu: • Xét nhị thức bậc f (x ) = x f (x ) −∞ b a +∞ − Trái dấu với hệ số a Cùng dấu với hệ số a Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Cách nhớ: Trái trái – Phải • Từ bảng xét dấu ta có kết luận: b • Dấu f (x ) dấu với hệ số a x > − a b • Dấu f (x ) trái dấu với hệ số a x < − a Bất phương trình bậc • Giải biện luận bất phương trình ax + b > (1) b  b  • TH1 Nếu a > (1) ⇔ x > − Vậy tập nghiệm (1) S =  − ; +∞  a  a  b b  TH2 Nếu a < (1) ⇔ x < − Vậy tập nghiệm (1) S =  −∞; −  a a  • TH3 Nếu a = (1) ⇔ 0.x < −b Khi đó: + Nếu b ≥ (1) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm (1) S = ∅ + Nếu b < (1) có nghiệm với x Vậy tập nghiệm (1) S =  • Các bất phương trình ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ có giải biện luận tương tự Hệ bất phương trình bậc ẩn • Hệ bất phương trình bậc ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc ẩn • Để giải hệ bất phương trình bậc ẩn ta giải bất phương trình để tìm nghiệm bất phương trình tìm giao hai tập nghiệm • Trong q trình tìm giao hai tập nghiệm ta nên vẽ trục số để việc giải trở nên thuận lợi dễ dàng III BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc hai ẩn • Để giải bất phương trình ax + by + c > (1) ta làm sau: • Bước 1: Vẽ đường thẳng ∆ : ax + by + c = hệ trục tọa độ Oxy • • Bước 2: Chọn điểm M ( x0 ; y0 ) khơng thuộc đường thẳng ∆ Bước 3: Tính giá trị biểu thức T = ax0 + by0 + c xét dấu để thu miền nghiệm bất phương trình cho mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cách: + Nếu T > tức dấu với (1) miền nghiệm (1) nửa mặt phẳng không kể bờ ∆ chứa điểm M + Nếu T < tức trái dấu với (1) miền nghiệm (1) nửa mặt phẳng không kể bờ ∆ khơng chứa điểm M • Nếu bất phương trình có chứa dấu “=” kết luận miền nghiệm nửa mặt phẳng kể bờ • Các bất phương trình ax + by + c < 0; ax + by + c ≥ 0; ax + by + c ≤ có cách giải Hệ bất phương trình bậc hai ẩn • Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai phương trình trở lên ax + by + c > • Giả sử giải hệ bất phương trình  ta làm sau: a ' x + b ' y + c ' > • Bước 1: Vẽ dường thẳng ∆ : ax + by + = c ∆':a ' x + b ' y + c=' • Bước 2: Xác định tọa độ giao điểm (nếu có) ∆ ∆' • Bước 3: Xác định miền nghiệm bất phương trình tìm phần giao điểm chúng, ta miền nghiệm hệ • Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Dấu tam thức bậc hai • Xét tam thức bậc hai f (x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có biệt thức ∆= b2 − 4ac , ta có trường hợp sau: b  ∆  TH1 Nếu ∆ < f (x ) =a  x +  − dấu với hệ số a với x ∈  2a  4a  Bảng xét dấu: b    b TH2 Nếu ∆ =0 f = (x ) a  x +  dấu với hệ số a với x ∈  \ −  2a    a Bảng xét dấu: TH3 Nếu ∆ > với x1 < x2 nghiệm phương trình f (x )= ax + bx + c= + f (x ) =a ( x − x1 )( x − x2 ) dấu với hệ số a với x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ ) + f (x ) =a ( x − x1 )( x − x2 ) trái dấu với hệ số a với x ∈ ( x1 ; x2 ) Bảng xét dấu: • Định lí đảo tam thức bậc hai f (x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) trường hợp ∆= b2 − 4ac > x1 < x2 nghiệm phương trình f (x )= ax + bx + c= thì: ∆ >  x1 < x2 < α ⇔ a f (α ) > S < 2α  ∆ >  α < x1 < x2 ⇔ a f (α ) > S > 2α  x1 < α < x2 ⇔ a f (α ) < Bất phương trình bậc hai ẩn • Ta dùng tam thức bậc hai để giải • • • a > Bất phương trình f (x )= ax + bx + c > có nghiệm với x ∈  ⇔  ∆ < a < Bất phương trình f (x )= ax + bx + c < có nghiệm với x ∈  ⇔  ∆ <  a > Bất phương trình f (x )= ax + bx + c ≥ có nghiệm với x ∈  ⇔  ∆ ≤ a < Bất phương trình f (x )= ax + bx + c ≤ có nghiệm với x ∈  ⇔  ∆ ≤  Một số phương trình bất phương trình quy bậc hai • Phương trình bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: • • • • • Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội =  A B= A B A = B ( ĐK : B ≥ ) ⇔  ; A = B ⇔ −B −B A = A = A > B ; A > B ⇔ A2 > B A < B ⇔ − B < A < A; A > B ⇔  < − A B   A, A ≥ Chú ý A= =  A  A, A < Phương trình bất phương trình chứa thức: •  B ≥ A =B ⇔  ;  A = B • A ≥  A < B ⇔ B > ;  A < B2  A ≥  A = B ⇔ B ≥  A = B B < A ≥    A ≥ ; A > B ⇔ B ≥ A>B⇔ B ≥ A > B      A > B Chương V THỐNG KÊ I KHÁI QUÁT Phân bố tần số tần suất rời rạc Phân bố tần số tần suất ghép lớp Giả sử dãy n số liệu thống kê cho có k giá trị khác Giả sử dãy n số liệu thống kê cho phân vào k ( n ≤ k ) : x1 , x2 , , x k Số lần suất giá trị lớp ( n < k ) : L1 , L2 , , Lk Mỗi lớp nửa khoảng xi ( i = 1,2, , k ) dãy số liệu cho gọi đóng bên trái Số ni số liệu thống kê thuộc lớp Li ( i = 1,2, , k ) gọi tần số lớp Tỉ số n tần số giá trị xi , kí hiệu ni Tỉ số fi = i n n fi = i gọi tần suất lớp Li Trung điểm gọi tần suất giá trị xi n x + xi +1 nửa khoảng xác định lớp Li ci = i gọi giá trị đại diện lớp Li II BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT Phân bố tần số tần suất rời rạc x1 x2 xk Giá trị … Cộng n n1 n2 nk Tần số … Tần suất f1 f2 … fk 100% Phân bố tần số tần suất ghép lớp L1 L2 … Lớp n1 n2 Tần số … Lk nk Cộng n 100% Tần suất f1 f2 … fk Giá trị đại diện c1 c2 … ck III BIỂU ĐỒ Biểu đồ hình cột • Dùng cho tần số tần suất • Cách vẽ: • Chọn hệ tọa độ vng góc Trên nửa khoảng xác định lớp dựng hình chữ nhật với đáy nửa khoảng chiều cao tần số lớp ta có biểu đồ tần suất hình cột (Hình 1) • Nếu lấy dơn vị trục tung phần trăm đoạn xác định lớp ta dựng hình chữ nhật với đáy đoạn chiều cao tần suất lớp ta có biểu đồ tần suất hình cột (Hình 2) Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan Biểu đồ đường gấp khúc • Dùng cho tần số tần suất • Cách vẽ: • Gọi ci giá trị đại diện ni tần số lớp Li Trên mặt phẳng tọa độ ta xác định điểm ( ci ; ni ) với i = 1,2, , k Vẽ đoạn thẳng nối điểm ( ci ; ni ) với điểm ( ci +1 ; ni +1 )= với i 1,2, , k − Ta thu • đường gấp khúc gọi đường gấp khúc tần số (Hình 3) Nếu lấy đơn vị trục tung phần trăm nối điểm ( ci ; fi ) với i = 1,2, , k Trong fi tàn suất lớp Li tương tự ta thu đường gấp khúc gọi đường gấp khúc tần suất (Hình 4) Biểu đồ hình quạt • Chỉ dùng cho tần suất • Cách vẽ: Vẽ đường tròn chia hình tròn thành hình quạt Mỗi hình quạt tương ứng với lớp có diện tích tỉ lệ với tần suất lớp ta có biểu đồ hình quạt (Hình 5) IV SỐ TRUNG BÌNH CỘNG Số trung bình dãy số gồm n số liệu x1 , x2 , , xn kí hiệu x tính theo cơng thức: x= x1 + x2 + + xn n Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Phân bố tần số tần suất rời rạc Phân bố tần số tần suất ghép lớp n x + n x + + nk x k n c + n c + + nk ck = f1 x1 + f x2 + + f k x k = f1c1 + f 2c2 + + f k ck x= 1 2 x= 1 2 n n V SỐ TRUNG VỊ Kí hiệu Me dãy số gồm n số liệu xếp theo thứ tự không giảm x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn là: + Nếu n số lẻ Me = x n+1 + Nếu n số chẵn Me = xn + xn 2 +1 VI MỐT Cho dãy số liệu dạng bảng phân bố tần số Mốt kí hiệu M0 giá trị có tần số lớn Một bảng phân bố tần số có hai hay nhiều mốt VII PHƯƠNG SAI n Phương sai dãy gồm n số liệu x1 , x2 , , xn , kí hiệu s , tính theo cơng thức: s = Phân bố tần số tần suất rời rạc 1 2 = s2 n1 ( x1 − x ) + n2 ( x2 − x ) + + nk ( x k − x )    n 2 = f1 ( x1 − x ) + f ( x2 − x ) + + f k ( x k − x ) ∑( x i =1 i n −x) Phân bố tần số tần suất ghép lớp 1 2 = s2 n1 ( c1 − x ) + n2 ( c2 − x ) + + nk ( ck − x )    n 2 = f1 ( c1 − x ) + f ( c2 − x ) + + f k ( ck − x ) VIII ĐỘ LỆCH CHUẨN Độ lệch chuẩn bậc hai phương sai kí hiệu s Khi số liệu có đơn vị mét, ki-lơ-gam, … độ lệch chuẩn có đơn vị với số liệu Đơn vị phương sai bình phương đơn vị số liệu Chương VI LƯỢNG GIÁC I CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cơng thức sin2 a = − cos2 a [1] sin a + cos a = 1⇒  cos a = − sin a sin a [2] tan a = ⇒ sin a = tan a cos a cos a cos a [3] cot a = ⇒ cos a = cot a sin a sin a Hệ công thức [4] tan a cot a = ⇒ cot a = tan a Chứng minh: sin a cos a tan a cot a = = ⇒ dpcm cos a sin a [5] + tan2 a = cos2 a Chứng minh: sin2 a cos2 a + sin2 a 1 + tan2 a = 1+ = =2 ⇒ dpcm cos a cos a cos a 2 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan [6] + cot a = sin2 a Chứng minh: cos2 a sin2 a + cos2 a + cot a = 1+ = =2 ⇒ dpcm sin a sin a sin a Công thức cộng a − b ) cos a cos b + sin a sin b [7] cos ( = + b ) cos a cos b − sin a sin b [8] cos ( a= − b ) sin a cos b − sin b cos a [9] sin ( a= + b ) sin a cos b + sin b cos a [10] sin ( a= tan a − tan b [11] tan ( a − b ) = + tan a tan b tan a + tan b [12] tan ( a + b ) = − tan a tan b Hệ công thức cộng a Công thức nhân hai [13] cos2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − = − 2sin2 a Chứng minh: cos2= a cos ( a + a= a cos2 a − sin2 a ⇒ dpcm ) cos a cos a − sin a sin= ( ) cos2 = a cos2 a − sin= a cos2 a − − cos2= a 2cos2 a − ⇒ dpcm 2 ( ) cos2a = cos a − sin a = − sin a − sin a = − 2sin2 a ⇒ dpcm [14] sin2a = 2sin a cos a Chứng minh: sin2a= sin ( a + a= ) sin a cos a + sin a cos a= 2sin a cos a ⇒ dpcm 2tan a − tan2 a Chứng minh: tan a + tan a 2tan a a tan ( a + a= tan2= = ⇒ dpcm ) − tan a tan a − tan2 a Hệ công thức nhân hai Công thức hạ bậc + cos2a [16] cos2 a = Chứng minh: + cos2a Từ công thức nhân hai cos2 = a 2cos2 a − ⇔ cos = a ⇒ dpcm − cos2a [17] sin2 a = Chứng minh: − cos2a Từ công thức nhân hai cos2a = − 2sin2 a ⇔ sin2 a = ⇒ dpcm [15] tan2a = 10 Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội b Công thức biến đổi tích thành tổng cos ( a − b ) + cos ( a + b )  [18] cos a.cos = b 2 Chứng minh: Cộng vế với vế [7] [8] ta cos ( a − b ) + cos= ( a + b ) 2cos a.cos b ⇒ dpcm [19] sin a.cos = b sin ( a − b ) + sin ( a + b )  2 Chứng minh: Cộng vế với vế [9] [10] ta sin ( a − b ) + sin= ( a + b ) 2sin a.cos b ⇒ dpcm [20] sin a.sin = b cos ( a − b ) − cos ( a + b )  2 Chứng minh: Trừ vế với vế [7] [8] ta cos ( a − b ) − cos= ( a + b ) 2sin a.sin b ⇒ dpcm c Công thức nhân ba [21] = cos3a 4cos3 a − 3cos a Chứng minh: cos3 = a cos ( 2a += a ) cos2a cos a − sin2a sin= a 2cos3 a − cos a − ( 2sin a cos a ) sin a = ( 2cos a − 1) cos a − 2sin a cos=a 2 ( ) 2cos3 a − cos a − − cos2 a cos= a 4cos3 a − 3cos a ⇒ dpcm [22] sin3 = a 3sin a − 4sin a Chứng minh: sin3= a sin ( 2a + = a ) sin2a cos a + sin a cos2= a ( ( 2sin a cos a ) cos a + sin a (1 − 2sin2 a ) ) = 2sin a cos2 a + sin a − 2sin3 a = 2sin a − sin2 a + sin a − 2sin3 a = 3sin a − 4sin3 a ⇒ dpcm [23] tan3a = Chứng minh: 3tan a − tan3 a − 3tan2 a tan2a + tan a a tan ( 2a += a) tan3 = = − tan2a tan a 2tan a + tan a 3tan a − tan3 a − tan2 a = ⇒ dpcm 2tan a − 3tan2 a 1− tan a − tan2 a Cơng thức biến đổi tổng thành tích a +b a −b [24] cos a + cos b = 2cos cos 2 a +b a −b [25] cos a − cos b = −2sin sin 2 a +b a −b [26] sin a + sin b = 2sin cos 2 a +b a −b [27] sin a − sin b = 2cos sin 2 Công thức biến đổi theo = f (x ) a sin x + b cos x b Ta có f (x ) = a sin x + b cos x =a + b2 sin ( x + α ) với tan α = a Cách bấm máy để tìm nhanh α sau: 11 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan Bước 1: Bấm qw4 để chuyển đơn vị góc radian (rad) Bước 2: Bấm ql giá trị b a giá trị a = để thu kết Chứng minh:   a b f (x ) = a + b2  sin x + cos x  = a + b2 ( sin x cos α + sin α cos x ) = a + b2 sin ( x + α ) 2 2 a +b a +b   a b b Trong cos α = sin α , suy tan α = = a a + b2 a + b2 Từ cơng thức trên, ta tính số cơng thức thường gặp sau: sin x ± cos= x π  sin x ± cos x =2sin  x ±  3  π  sin  x ±  4  x =t x 2t 1− t2 Nếu đặt tan = = t sin x = cos x 1+ t2 1+ t2 Chứng minh: π  sin x ± cos x= 2sin  x ±  6  Công thức biến đổi theo tan x x x x x x x  x = = sin x sin cos 2tan cos= cos 2tan = cos2  2  2sin= 2 2 2   x 2tan 2t = 1+ t2 x + tan x − tan2 2 1−t = −1 = x x 1+ t2 + tan2 + tan2 2 sin x 2t cos x − t Từ ta suy công thức tan x cot x theo t tan = = = cot x = x cos x − t sin x 2t II GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT Góc cung lượng giác • Đơn vị đo góc cung gồm độ (α ° ) radian (α rad ) x  x x cos = cos  2cos2 = = −1  2  π   180  •= 1°  rad = 1rad    °  180   x  • Ta có bảng chuyển đổi: 30° 45° 60° Độ 120° 135° 150° π π π π 2π 3π 5π Radian 3 πα R • Độ dài cung tròn l có bán kính R số đo α ° là: l = 180 Giá trị góc cung lượng giác • Đường tròn lượng giác gắn với hệ trục tọa độ: đường tròn định hướng có tâm gốc tọa độ bán kính Điểm A (1;0 ) điểm gốc Với ( 90° )  , OM  rad ta nói M định góc cung α điểm M mà α = OA Ngược lại, với số thực α ln tơn điểm M đường tròn lượng  , OM  AOM  rad = OA giác mà α = ( 12 ) 180° π 270° 3π 360° 2π • • • Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Giá trị lượng giác góc cung α : Trên đường tròn lượng giác gắn với hệ trục tọa độ cho cung lượng  có số đo α Tọa độ điểm M ( x ; y ) Khi đó: giác AM y x x ; sin α = y ; tan α = cos α = ( y ≠ 0) ( x ≠ ) ; cot α = x y Các kết thừa nhận: = • sin (α + k 2π ) sinα , ∀k ∈  cos (α + k2π=) cosα , ∀k ∈  • tan (α + k= π ) tanα , ∀k ∈  cot (α + k= π ) cot α , ∀k ∈  • −1 ≤ sin α ≤ 1, ∀α − ≤ cos α ≤ 1, ∀α • tan α xác định với α ≠ = Nếu góc α  , OM  OA (= ) π + kπ , k ∈  cot α xác định với α ≠ kπ , k ∈   tạo điểm cuối M cung lượng giác AM  nằm góc phần thứ AOM (I) hình chiếu vng góc M xuống trục hồnh (Trục côsin) điểm H nên dấu cos α > (nằm bên số 0) hình chiếu vng góc M xuống trục tung (Trục sin) điểm K nên dấu sin α > (nằm bên số 0) Như vậy, để biết dấu giá trị lượng giác góc α ta xác định điểm M nằm góc phần tư tìm hình chiếu vng góc xuống trục cơsin sin để tìm dấu giá trị góc phần tư Từ đó, ta có bảng dấu giá trị lượng giác góc α phụ thuộc vào điểm cuối M  là: cung lượng giác AM π  π  I 0 →  II  → π  2  2  − cos α + sin α + + − tan α + − cot α + Bảng giá trị lượng giác góc cung lượng giác đặc biệt: Góc phần tư thứ • α cos α sin α tan α cot α || 3π   III  π →   − − + + π π π π 2 2 3 2 || 3 3 3 Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt • Hai góc đối α − α : cos ( −α ) = cos α sin ( −α ) = − sin α tan ( −α ) = − tan α • • Hai góc bù α π − α : sin (π − α ) = sin α cos (π − α ) = − cos α Hai góc phụ α π  3π  IV  → 2π    + − − − tan (π − α ) = − tan α cot ( −α ) = − cot α cot (π − α ) = − cot α −α : 13 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan π  π  π  π  sin  − α  = cos α cos  − α  = sin α tan  − α  = cot α cot  − α  = tan α 2  2  2  2  Ta thấy, giá trị lượng giác cung góc đặc biệt hệ cơng thức cộng, vì: sin ( − α ) = sin0cos α − sin α cos0 = − sin α ⇒ dpcm • Với hai góc đối nhau: sin ( −α ) = • Với hai góc bù nhau: sin (π − α )= sin π cos α − sin α cos π= sin α ⇒ dpcm π π π  Với hai góc phụ nhau: sin  − α = sin cos α − sin α cos = cos α ⇒ dpcm 2 2  Hoàn toàn tương tự với giá trị lượng giác cos, tan cot PHẦN HÌNH HỌC Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Oxy I HỆ TỌA TRỤC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy Hệ trục tọa độ • Gồm trục Ox (là trục hoành – nằm ngang) Oy (là trục tung – thẳng đứng) vng góc với cắt điểm O (là gốc tọa độ – O(0; 0))   • Ta gọi i (1;0 ) j ( 0;1) véc-tơ đơn vị trục Ox Oy, ta có kết qủa sau:  • i j =   • i= j= • Tọa độ véc-tơ  • Tọa độ véc-tơ a có hồnh độ a tung độ b mặt phẳng tọa độ Oxy viết là:      a ( a; b ) a = ( a; b ) = a a.i + b j   • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai véc-tơ a ( a; b ) b ( c; d ) , đó:   • Tổng hiệu hai véc-tơ: a ± b = ( a ± c; b ± d )  • Tích vơ hướng hai véc-tơ: a.b = a.c + b.d = const  = k.a k= • Tích véc-tơ với số: ( a; b ) ( ka; kb= ) ( k const ) a = c   Hai véc-tơ nhau: a= b ⇔  b = d      • Hai véc-tơ phương: a , b phương (song song trùng nhau) ⇔= a kb = ( k const )  • Độ dài véc-tơ: a = a + b2 > a.c + b.d    • Góc hai véc-tơ: a , b = α ⇔ cos α= ( 0° ≤ α ≤ 180° ) a + b2 c + d Tọa độ điểm • Tọa độ điểm M có hồnh độ a tung độ b mặt phẳng tọa độ Oxy viết là:     M ( a; b ) M = ( a; b ) OM = ( a; b ) OM = a.i + b j • ( ) • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) , C ( xC ; yC ) , đó: • • 14  x + xB yA + yB  Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: M  A ;      x − kx B y A − ky B Tọa độ điểm M thuộc đoạn thẳng AB thỏa mãn = MA kMB ( k ≠ 1) là: M  A ; 1− k  1− k    Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội  x + x B + xC y A + y B + yC  • Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: G  A ;  3   Liên hệ tọa độ véc-tơ tọa độ điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) , C ( xC ; yC ) , đó:  • Tọa độ véc-tơ qua hai điểm A B là: AB = ( xB − x A ; yB − y A )  2 • Độ dài đoạn thẳng AB là: AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) >       • Liên hệ véc-tơ AB độ dài AB : AB.= AB AB = AB = AB   • Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = kAC = ( k const )   • Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác ⇔ AB ≠ kAC ( k = const ) II ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương đường thẳng  • Véc-tơ pháp tuyến (VTPT – thường kí hiệu n ) đường thẳng có giá vng góc với đường thẳng  • Véc-tơ phương (VTCP – thường kí hiệu u ) đường thẳng có giá song song trùng với đường thẳng • Một đường thẳng có vơ số VTPT VTCP  • VTPT VTCP có giá vng góc với nên n.u = , đó:    • Nếu biết tọa độ VTPT n = ( a; b ) tọa độ VTCP u ( b; −a ) u ( −b; a )    • Nếu biết tọa độ VTCP u = ( a; b ) tọa độ VTPT n ( b; −a ) n ( −b; a )  • Khi biết mối quan hệ đường thẳng ∆ với đường thẳng khác với điểm ta tìm VTPT n∆  VTCP u∆ đường thẳng ∆ sau: • Nếu ∆ ⊥ d ∆ nhận VTCP d làm VTPT nhận VTPT d làm VTCP • Nếu ∆  d ∆ nhận VTPT d làm VTPT nhận VTCP d làm VTCP  • Nếu ∆ qua điểm A B ∆ nhận AB làm VTCP Các dạng phương trình đường thẳng  • Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTPT n = ( a; b ) có phương trình tổng qt là: • − ( ax0 + by0 ) ∆ : a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = Hay ∆ : ax + by + c = với c =  Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTCP u = ( a; b ) có phương trình tham số là: •  x= x0 + at ∆: (t ∈  ) y y0 + bt =  Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTCP u = ( a; b ) có phương trình tắc là: • x − x0 y − y0 = ( ab ≠ ) a b Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình có hệ số góc là: ∆: ∆ : y = k ( x − x0 ) + y0 = kx + h với = h y0 − kx0 • Nếu đường thẳng ∆ qua điểm A ( a;0 ) B ( 0; b ) có phương trình đoạn chắn là: x y + = ( ab ≠ ) a b Cách viết nhanh phương trình đường thẳng • Để viết phương trình đường thẳng ta cần biết yếu tố: ∆: 15 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan • Yếu tố 1: Tìm tọa độ điểm mà đường thẳng qua • Yếu tố 2: Tìm tọa độ VTPT VTCP hệ số góc đường thẳng • Từ đó, ta có quy trình bước để viết phương trình đường thẳng sau: • Bước 1: Xác định tọa độ điểm mà đường thẳng qua • Bước 2: Xác định VTPT (nếu viết theo phương trình tổng quát) VTCP (nếu viết theo phương trình tham số tắc) hệ số góc (nếu viết theo phương trình hệ số góc) cách xét xem đường thẳng cần tìm có vng góc hay song song hay qua thêm điểm không mà từ xác định • Bước 3: Áp dụng cơng thức dạng phương trình để viết Vị trí tương đối đường thẳng với điểm đường thẳng • Vị trí tương đối đường thẳng điểm: , ngược lại điểm • Điểm A ( x A ; y A ) thuộc đường thẳng ∆ : ax + by + c = ax A + by A + c = A ( x A ; y A ) không thuộc đường thẳng ∆ : ax + by + c = ax A + by A + c ≠ Hai điểm A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) nằm phía so với đường thẳng ∆ : ax + by + c = • ( ax A + by A + c )( ax B + by B + c ) > , ngược lại hai điểm A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) nằm khác phía so với đường thẳng ∆ : ax + by + c = ( ax A + by A + c )( ax B + by B + c ) < • Vị trí tương đối đường thẳng với đường thẳng: ∆ : a2 x + b2 y + c2 = ta chọn Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = cách sau: a1 x + b1 y + c1 = (I ) với số nghiệm số giao • Cách số 1: Xét số nghiệm hệ phương trình  a2 x + b2 y + c2 = điểm hai đường thẳng, đó: + Hệ (I) vơ nghiệm ⇔ ∆1 ∩ ∆ (hai đường thẳng cắt nhau) + Hệ (I) có nghiệm ⇔ ∆1  ∆ (hai đường thẳng song song nhau) + Hệ (I) có vơ số nghiệm ⇔ ∆1 ≡ ∆ (hai đường thẳng trùng nhau) Cách số 2: Xét tỉ số hệ số a2b2c2 ≠ , đó: • + • a1 b1 ≠ ⇔ ∆1 ∩ ∆ a2 b2 a1 b1 c1 = = ⇔ ∆1 ≡ ∆ a2 b2 c2 Cách số 3: Xét hệ số góc hai đường thẳng cách chuyển phương trình dạng ∆1 : y = k1 x + h1 + a1 b1 c1 = ≠ ⇔ ∆1  ∆ a2 b2 c2 + ∆ : y = k2 x + h2 với k1 k2 hệ số góc ∆1 ∆ , đó: + k1 ≠ k2 ⇔ ∆1 ∩ ∆ k1 = k2 ⇔ ∆1  ∆ + h1 ≠ h2 k1 = k2 ⇔ ∆1 ≡ ∆ + h1 = h2 + k1 k2 = −1 ⇔ ∆1 ⊥ ∆ Góc hai đường thẳng   • Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ có VTPT n1 ( a1 ; b1 ) n2 ( a2 ; b2 ) xác định công thức:   n1 n2 a1 a2 + b1 b2 =  n1 n2 a12 + b12 a22 + b22   Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ có VTCP u1 ( a1 ; b1 ) u2 ( a2 ; b2 ) xác định công   cos ( ∆1= , ∆ ) cos ( n1= , n2 ) • thức: 16 Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội   u1 u2 a1 a2 + b1 b2   cos ( ∆1= , ∆ ) cos ( u1= , u2 )  =  u1 u2 a12 + b12 a22 + b22 • Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ có hệ số góc k1 k2 xác định công thức: k −k tan ( ∆1 , ∆ ) = + k1 k2 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng • ( d ( M, ∆ ) = • ax0 + by0 + c > a + b2 Khoảng cách hai đường thẳng song song ∆1 : ax + by + c= ∆ : ax + by + d= ( c ≠ d ) là: c −d d ( ∆= , ∆2 ) • ) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by += c a + b2 > là: > a + b2 Phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = là: a1 x + b1 y + c1 a12 + b12 = a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 a1 x + b1 y + c1 a12 + b12 = − a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 III ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy Các dạng phương trình đường tròn • Có loại phương trình đường tròn (C) sau: • R2 Dạng 1: ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = 2 ⇒ Đường tròn (C) có tâm I ( a; b ) có bán kính R • Dạng 2: ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = ⇒ Đường tròn (C) có tâm I ( a; b ) có bán kính R = a + b2 − c Điều kiện để phương trình phường trình đường tròn R > , điều kiện để phương trình dạng phương trình tròn là: a + b2 − c > Cách viết nhanh phương trình đường tròn • Để viết phương trình đường tròn ta cần biết hai yếu tố sau: • Yếu tố 1: Tìm tọa độ tâm đường tròn • Yếu tố 2: Tìm độ dài bán kính đường tròn • Từ đó, ta có quy trình bước để viết phương trình đường tròn sau: • Bước 1: Tìm tọa độ tâm đường tròn • Bước 2: Tìm độ dài bán kính đường tròn • Bước 3: Áp dụng cơng thức viết phương trình đường tròn theo dạng Vị trí tương đối đường tròn với điểm, đường thẳng đường tròn • R có tâm I ( a; b ) có bán kính R Cho đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = • Với điểm M ( x0 ; y0 ) : • Điểm M nằm đường tròn ⇔ IM < R ⇔ ( x0 − a ) + ( y0 − b ) < R • Điểm M nằm đường tròn ⇔ IM =R ⇔ ( x0 − a ) + ( y0 − b ) =R 2 2 17 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan • • • Điểm M nằm ngồi đường tròn ⇔ IM > R ⇔ ( x0 − a ) + ( y0 − b ) > R 2 Với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0: • Đường thẳng ∆ khơng cắt đường tròn (C) ⇔ d ( I , ∆ ) > R ⇔ • Đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ Aa + Bb + C A2 + B Aa + Bb + C A2 + B Aa + Bb + C < R • Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) ⇔ d ( I , ∆ ) < R ⇔ A2 + B Với đường tròn ( C ' ) có tâm I ' bán kính R ' > R : > R = R • (C) (C’) đồng tâm ⇔ II ' = • (C) (C’) dựng ⇔ II ' < R '− R • (C) (C’) tiếp xúc ⇔ II ' =R '− R • (C) (C’) cắt điểm ⇔ R '− R < II ' < R '+ R • (C) (C’) tiếp xúc ngồi ⇔ II ' =R '+ R • (C) (C’) ⇔ II ' > R '+ R Chú ý: • Đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn (C) M IM ⊥ ∆ 2  AB  Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) A B R =  + d ( I , ∆ )     Phương trình tiếp tuyến với đường tròn • Phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn (C) điểm M ( x0 ; y0 ) :  Vì IM ⊥ ∆ nên đường thẳng ∆ nhận IM =( x0 − a; y0 − b ) làm VTPT   Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có VTPT n∆ =IM =( x0 − a; y0 − b ) là: • ∆ : ( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = • Phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn (C) qua điểm A ( a; b ) : Gọi phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn (C) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: = y kx + h Vì A ( a; b ) ∈ ∆ : y= kx + h nên b = ka + h ⇒ h = b − ka Khi ∆ : y = kx + b − ka ⇔ kx − y + b − ka = (lúc phương trình tiếp tuyến ∆ ẩn k ) kx − y I + b − ka Mà ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên d ( I , ∆ ) = R ⇔ I = R (1) k + ( −1) • Giải phương trình ẩn k ta tìm phương trình tiếp ∆ cần tìm Phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn (C) song song vng góc tạo góc với đường thẳng d : ax + by + c = 0: • TH1: Tiếp tuyến ∆  d : ax + by + c = Khi phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng ∆ : ax + by + d= ( c ≠ d ) Vì ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên d ( I , ∆ ) = R ⇔ ax I + by I + d = R (1) a + b2 Giải phương trình ẩn d ta tìm phương trình tiếp ∆ cần tìm • TH2: Tiếp tuyến ∆ ⊥ d : ax + by + c =0 18 Địa chỉ: Số 24, ngõ 266/36/6 (Quán trà sữa Dingtea), Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội Khi phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng ∆ : bx − ay + d = Vì ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên d ( I , ∆ ) = R ⇔ bx I − ay I + d b2 + ( −a ) = R (1) Giải phương trình ẩn d ta tìm phương trình tiếp ∆ cần tìm • TH3: Tiếp tuyến ∆ tạo với đường thẳng d : ax + by + c = ∆,d ) = α góc α , tức ( Gọi phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng: y = kx + h ⇔ kx − y + h =   Khi VTPT đường thẳng ∆ d n= ( k; −1) nd = ( a; b ) ∆   k.a + ( −1) b n∆ nd  Vì ( ∆,d ) = (1) α nên= cos α =  2 2 n∆ nd k + ( −1) a + b Giải phương trình ẩn k ta tìm ẩn k nên phương trình tiếp tuyến ∆ ẩn h kx − y I + h Vì ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) nên d ( I , ∆ ) = R ⇔ I = R (2) k + ( −1) Giải phương trình ẩn h ta tìm phương trình tiếp ∆ cần tìm • Phương trình tiếp tuyến ∆ tiếp tuyến chung hai đường tròn (C) (C’): d ( I , ∆ ) =R ∆ tiếp tuyến chung hai đường tròn (C) (C’) ⇔  d ( I ', ∆ ) =R ' IV ELIP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy Định nghĩa đường elip Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm F1 ( −c;0 ) F2 ( c;0 ) độ dài không đổi a thỏa mãn a > c > Elip (E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a Các điểm F1 , F2 gọi tiêu điểm elip (E) a gọi bán trục lớn elip (E) Phương trình tắc elip x2 y2 Phương trình tắc elip (E) là: + = a2 − c 1, b= a b Các thơng tin elip • Hai tiêu điểm: F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) • Bốn đỉnh: A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0;b ) • Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a độ dài trục bé: B1 B2 = 2b • Tiêu cự: F1F2 = 2c • • Elip nhận gốc độ O làm tâm đối xứng nhận trục hoành Ox trục tung Oy làm hai trục đối xứng Bốn đường thẳng x = −a, x = a, y = −b; y = b tạo thành hình chữ nhật gọi hình chữ nhật sở Elip Hình chữ nhật có chiều dài 2a chiều rộng 2b c Tâm sai elip:= e ( < e < 1) a Biểu thức tính bán kính qua tiêu cự MF1 MF2 điểm M ( x M ; y M ) nằm elip là: • • • c c MF1 = a + xM = a + ex M , MF2 = a − xM = a − ex M a a a a Đường chuẩn elip: x += x −= ứng với tiêu điểm F1 ( −c;0 ) F2 ( c;0 ) e e 19 Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan Phải có thời gian để nhìn nhận lại thân Xem ngã chỗ phải đứng dậy chỗ Đặc biệt khơng tự ti, tự phụ mà phải tự tin vào thân Bởi lẽ người thành cơng khơng nói “khơng” với khó khăn Có thành cơng đến với bạn tương lai gần Thầy Nguyễn Mạnh Cường 20 ... : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = là: a1 x + b1 y + c1 a 12 + b 12 = a2 x + b2 y + c2 a 22 + b 22 a1 x + b1 y + c1 a 12 + b 12 = − a2 x + b2 y + c2 a 22 + b 22 III ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG... VTPT n1 ( a1 ; b1 ) n2 ( a2 ; b2 ) xác định công thức:   n1 n2 a1 a2 + b1 b2 =  n1 n2 a 12 + b 12 a 22 + b 22   Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ có VTCP u1 ( a1 ; b1 ) u2 ( a2 ; b2 ) xác định công... t2 1+ t2 Chứng minh: π  sin x ± cos x= 2sin  x ±  6  Công thức biến đổi theo tan x x x x x x x  x = = sin x sin cos 2tan cos= cos 2tan = cos2  2  2sin= 2 2 2   x 2tan 2t = 1+ t2