Tuyen chon Cac Cau Nhi Thuc NiuTon Toan hoc lop 12

Có khi chúng ta nghe giảng thì hiểu nhưng không thể tự làm lại được. Để kiến thức thực sự là của ta thì ta phải tự làm lại những bài tập từ dễ đến khó. Hãy kiên nhẫn học lại những điều rất cơ bản và làm cả những bài tập đơn giản. Chính những kiến thức cơ bản giúp ta hiểu được những điều nâng cao sau này. Một vấn đề phức tạp là tổ hợp của nhiều vấn đề đơn giản, 1 bài toán khó là sự nối kết của nhiều bài toán đơn giản. Chỉ cần nắm vững những vấn đề căn bản rồi bằng óc phân tích và tổng hợp chúng ta có thể giải quyết được rất nhiều bài toán khó.

Tất học sinh thân yêu 10 Bài 1: Tìm hệ số x   khai triển biểu thức :  3x   x   Bài giải:   Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển biểu thức :  3x   x   5   k  x     C5  x  x  k 0  5 k k k  2      C5k  1 35 k k x155 k  x  k 0 Hệ số của số hạng chứa x10 C5k ( 1) k 35 k 2k , với 15  5k  10  k  1 Vậy hệ số x10 : C51  1 34 21  810   Bài 2: Xác định hệ số số hạng chứa x khai triển  x   x   Bài giải: k   Xét số hạng thứ k + khai triển Tk 1  C x k     x  9 k  Tk 1  C9k 59k x 7k 18 Vì số hạng chứa x3 nên 7k  18   k  Vậy hệ số số hạng chứa x3 khai triển C93 56  1.312.500  Bài 3: Tìm hệ số số hạng chứa x 2010 khai triển nhị thức:  x     x2  2016 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Bài giải:  Xét khai triển:  x     x2  2016 k 2016   k k x 2016  k     k C2016 x 2016 k  C2016 k 0 k 0 x  2016  Số hạng chứa x 2010 ứng với 2016  3k  2010  k  2 C 22016 x 2010 có hệ số 2 C2016  4C 22016 n 2  Bài 4: Tìm số hạng chứa x4 khai triển nhị thức Niu-tơn  x   với x ≠ 0, biết rằng: x  Cn1  Cn2  15 với n số nguyên dương Bài giải: Ta có Cn1  Cn2  15  Cn+  15  n( n + 1)  15  n + n  30   n  ( Thỏa mãn ) n  6 ( Loại ) 5 2  Với n = x  ta có  x     C 5k ( x )k (  )5 k   C 5k x k 5 ( 2)5 k x  k 0 x  k 0 Số hạng chứa x4 khai triển thỏa mãn 3k – =  k = 3, suy số hạng chứa x4 khai triển 40x4   Bài 5: Tìm hệ số x khai triển biểu thức :  x   x  Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Bài 6: a) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: An2  3Cn2  15  5n 20   b) Tìm hệ số x khai triển P( x )   x   , x  x   Bài giải: a)ĐK: n   , n  An2  3Cn2  15  5n  n(n  1)  3.n !  15  5n 2!(n  1)! n   n  11n  30    n    b) P( x )   x  20 20   C20k ( 1)k 20 k x 203 k   x  k 0 k k 20  k 20 3 k x Số hạng tổng quát khai triển C 20 (1) Hệ số x8 khai triển ứng với 20  3k   k  4 16 Vậy hệ số x8 khai triển P(x) C 20 (1) Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu 14 2  Bài 7: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển :  x   x   Bài giải: 14   2  x   = x  2x x      C 14 k 14  k 14 x k số hạng chứa x5 khai triển ứng với k thoả mãn 14 - 3k = => k=3 Hệ số cần tìm C143  2912   Bài 8: Tìm số hạng chứa x3 khai triển  x  2  x2  Bài giải: k 9 2 k Ta có  x     C9k x 9 k     C9k x 93k  2   x  k 0 x  k 0 Số hạng chứa x tương ứng giá trị k thoả mãn  3k   k  2 Suy số hạng chứa x C92 x  2   144x n 2  Bài 9: Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu - tơn biểu thức  x   , x  x  Trong n số tự nhiên thỏa mãn An2  2Cn1  180 Bài giải: - ĐK: n   , n  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu  n  15 DK - Khi đó: An2  2Cn1  180  n  3n  180     n  15 n   12  15 15 3 k 15 2 k  - Khi n = 15 ta có:  x     C15k  1 2k x x  k 0 Mà theo ta có: 15  3k 3k 3 Do số hạng chứa x khai triển là: C153  1 23 x  3640 x 15 1  Bài 10: Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu – tơn : f ( x)   x   x  , x  Bài giải: 15 15 1  f ( x)   x     C15k x30 3 k ,   k  15, k  N  x  k 0 0  k  15   k  Vậy số hạng chứa x khai Hệ số chứa x ứng với k thỏa mãn k  N 30  3k   triển : C158 x  6435.x 100  1 Bài 11: Tìm số hạng không chứa x khai triển theο nhị thức Newtοn 2x   , x   x  0 Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu 100   2x     x  100 100k   C 2x   C k 0 100 k 100k 100 k 0 k 100 k 1    x  x 1004k 25 75 Số hạng không chứa x ứng với k  25 Kết luận: C 100 n   Bài 12: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức  x3   , biết n số tự nhiên x   10 thỏa mãn Cn4  13Cnn  Bài giải: n  Điều kiện  Phương trình cho tương đương với n  N n! n!  13 4!(n  4)! (n  2)!2!  n  15(t / m)  n  5n  150     n  10(l ) Vậy n  15 Với n = 15 ta có 15 15 15 k     x   C15k  x3     k    x    x  k 0 15   C15k (1) k x 455 k k 0 Để khai triển cho có số hạng chứa x10 45  5k  10  k  7(t / m ) Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Vậy hệ số x10 khai triển cho C157 (1)  6435 Bài 13: Cho khai triển (1  x) n  a0  a1 x  a2 x   an x n Tìm số nguyên dương n biết a0  8a1  2a2  Bài giải: Ta có (1  2x )n  n C nk (2x )k  k 0 n C k 0 k n 2k x k Khi đó, suy ak  C nk 2k Do đó, ta có a  C n0 ; a1  2C n1 ; a  4C n2 Vậy a  8a1  2a2   C n0  16C n1  8C n2    16n  8n(n  1) 1 2! 16n  4n(n  1)   n  1(n  0)  n  Bài 14 : n 2  Tìm số hạng chứa x khai triển  x   , biết n số tự nhiên thỏa mãn Cn3  n  2Cn2 x   Bài giải: Điều kiện n  n  n  1 n   4 n! n! C3n  n  2C2n   n2   n  n  n  1  3! n  3 ! 2! n   ! n  9n   n  (do n  ) k 9  k   2  Khi ta có  x     C9k x  k     C9k x 3k  2  x x   k 0   k 0 Số hạng chứa x tương ứng giá trị k thoả mãn  3k   k  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Suy số hạng chứa x C92 x  2   144x   Bài 15: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức:  x   , với x  x  Bài giải: 7k  k 28 k 7  3 k k k k 12 x   (  2) C x x  (  2) C x , x 0  7    x  k 0  k 0 Số hạng tổng quát khai triển có dạng : T  (2) k C7k x 28  k 12  k  7; k   Số hạng không chứa x 28–7k=0 hay k=4 Vậy số hạng không chứa x khai triển : T  ( 2) C74 =16 C74 2  Bài 16: Tìm số hạng chứa x khai triển  x   x   Bài giải: k 9  k   2  Ta có  x     C9k x  k     C9k x 3k  2  x  k 0  x  k 0 Số hạng chứa x tương ứng giá trị k thoả mãn  3k   k  2 Suy số hạng chứa x C92 x  2   144x Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu n 2  Bài 17: Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu – tơn biểu thức  x   , x  x  Trong n số tự nhiên thỏa mãn An2  2Cn1  180 Bài giải: – ĐK: n   , n   n  15 DK – Khi đó: An2  2Cn1  180  n  3n  180     n  15 n   12  15 15 3 k 15 2 k  – Khi n = 15 ta có:  x     C15k  1 2k x x  k 0 Mà theo ta có: 15  3k 3k 3 Do số hạng chứa x3 khai triển là: C153  1 23 x3  3640 x   Bài 18: Tìm số hạng chứa x3 khai triển nhị thức Niu – tơn biểu thức  x  n 2  , x  x Trong n số tự nhiên thỏa mãn An2  2Cn1  180 Bài giải: – ĐK: n   , n   n  15 – Khi đó: An2  2Cn1  180  n  3n  180     n  15  n  12 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu 15 15 3 k 15 2 k  – Khi n = 15 ta có:  x     C15k  1 2k x x  k 0 Mà theo ta có: 15  3k 3 k 3 Do số hạng chứa x khai triển là: C153  1 23 x  3640 x Bài 19: n  1 nCnn Cn1 2Cn2 3Cn3 Tính tổng S      2.3 3.4 4.5  n  1 n   Bài giải: n 1 nCnn  Cn1 2Cn2 3Cn3 Tính tổng S      2.3 3.4 4.5  n  1 n   Ta có  n  1! Cnk C k 1 n!    n1 (3) k  k ! k  1 n  k  ! n   k  1 !  n  1   k  1  ! n  k Áp dụng lần công thức (3) ta được: k  1 kCnk   1 kCnk22  k  1 k    n  1 n   Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có  n  1 n   S  Cn3  2Cn42  3Cn5    1 n nCnn22 n    Cn21  Cn31    Cn31  Cn41    Cn41  Cn51     1 nCnn11 n  Cn21  Cn31  Cn41    1 Cnn11 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 10 Tất học sinh thân yêu Ta có: kCnk  k  n  1! n!  n  nCnk11  Ðpcm  k ! n  k  !  k  1!  n  1   k  1  ! 2Cn0  5Cn1  8Cn2    3n   Cnn  1600  3Cn1  6Cn2   3nCnn   Cn0  Cn1   Cnn   1600  3n  Cn01  Cn11   Cnn11    Cn0  Cn1   Cnn   1600 3n  Cn01  Cn11   Cnn11    Cn0  Cn1   Cnn   1600  3n 1  1 n 1 n  1  1  1600  3n.2n1  1600  3n.2n5  2n 3  100  n  2013 Bài 35: Tính tổng : S1  12.C12013  2.C 2013  32.C32013   20132.C 2013 Bài giải: 2013 Tính tổng S1  12.C2013  22.C2013  32.C2013   20132.C2013 Số hạng tổng quát tổng ak  k C k2013  k (k   1) C k2013 k  1, 2, , 2013 ak  k (k  1) Ck2013  k Ck2013  k (k  1) 2013! 2013!  k k  1, 2, , 2013 k !(2013  k )! k !(2013  k )! 2 1 ak  2012.2013.C k2011  2013.C k2012 k  1, 2, , 2013 2011 2012 S1  2012.2013  C2011  C2011   C2011  C2012   C2012   2013  C2012  S1  2012.2013.(1  1)2011  2013.(1  1) 2012  2012.2013.22011  2013.22012  2013.2014.22011 2013 C2013 C2013 C2013 C2013     Bài 36: Tính tổng: S2  2014 Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 20 Tất học sinh thân yêu Tính tổng: S  C2013 C1 C2 C 2013  2013  2013   2013 2014 Số hạng tổng quát tổng ak  ak  k C2013 k  0,1, 2, , 2013 k 1 k C2013 2013! 2014!   k  0,1, 2, , 2013 Vậy ta k  (k  1).k !(2013  k )! 2014 (k  1)!(2013  k )! k 1 C2014 k  0,1, 2, , 2013 2014 2014 1  2014 2014   1 S2   C2014  C2014   C2014  1  1  C2014   2014 2014  2014 ak  1 1 (1) n n Cn  Bài 37: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   n2 156 Bài giải: Với x số nguyên dương n, theo nhị thức Niu tơn ta có Cn0 x  Cn1 x   ( 1) n Cnn x n 1  (Cn0  Cn1 x   ( 1) n Cnn ) x  (1  x) n x Suy  C n x  Cn1 x   ( 1) n Cnn x n 1 dx   (1  x) n xdx Hay 1 1 (1) n n 1 Cn x  Cn   Cn   (1  x) n dx   (1  x) n 1 dx  , với   n2 n  n  (n  1)(n  2) 0 n Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 21 Tất học sinh thân yêu Từ ta có 1   n2  3n  154   n  11 ( n (n  1)(n  2) 156 ) Bài 38: Tìm số nguyên dương n lớn biết rằng: 2Cn0  5Cn1  8Cn2    3n   Cn2  1600 Bài giải: Tìm số nguyên dương n lớn biết rằng: 2Cn0  5Cn1  8Cn2    3n   Cn2  1600 Xét số hạng tổng quát :  3k   Cnk  3kCnk  2Cnk  3nCnk11  2Cnk k=1,2, ,n gt  3n  Cn01  Cn11   Cnn11    Cn0  Cn1  Cnn   1600  3n 1  1 n 1 n  1  1  1600  3n.2n 1  2.2n 1  1600  2n 1  3n    1600 Chia hai vế cho 16 ta được: 2n 5  3n    100 Nếu n   VT* chia hết cho VP* không chia hết cho (loại) Từ  n  thử giá trị n = 5,6,7 vào (*) có n = thỏa mãn Vậy n = ta có: 2Cn0  5Cn1  8Cn2    3n   Cnn  1600 Bài 39: Tìm hệ số x dạng khai triển của: f  x   1  x 1  x   Bài giải: * f  x   1  x 1  x   * f  x   1  x 1  x   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 22 Tất học sinh thân yêu  1  x   x   C80 1  x   C81(  x )7 x  C82 1  x  x  C83 1  x  x6  Kể từ số hạng thứ tư trở khai triển không chứa x5  a5  C80C85  2   2C81C73  2   4C82C61  2   7616 Bài 40: n 2  Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton  x    x   , biết n số x  nguyên dương thỏa mãn : 4Cn31  2Cn2  An3 Bài giải: n 2  Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton  x    x   , biết n số x  nguyên dương thỏa mãn : 4Cn31  2Cn2  An3 Giải phương trình 4Cn31  2Cn2  An3 ta n=11 11 2  Ta có hạng số tổng quát khai triển  x3   x  k k   Tk  C11k x 311 k   2  x  k   2  C11k x33 k k  ,11 Đê có số hạng chứa x ta phải có 33 - 4k =  k = 7 Vậy hệ số x  2  C117  42240 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 23 Tất học sinh thân yêu Bài 41: Cho n số nguyên dương thoả mãn 3Cn2  An2  3n  15 Tìm số hạng chứa x10 n   khai triển nhị trức Niu- tơn  x3   , x  x   Bài giải: Điều kiẹn n  Ta có 3Cn2  An2  3n2  15  3n  n  1  2n  n  1  3n  15  n  n  30   n  10 n 10 10 3   k  Khi  x     x3     C10k 210  k  3 x30 5 k x   x   k 0 Số hạng chứa x10 ứng với 30  5k  10  k  Vậy có hạng x10 C104 26 34 x10 Bài 42: Khai triển rút gọn biểu thức P( x)   x  2(1  x)2   9(1  x)9 thu P ( x )  a0  a1 x  a2 x   a9 x Tính a7 Bài giải: Ta có a7 hệ số x có P(x) Các số hạng P(x) mà khai triển chứa x gồm 7(1  x)7 ,8(1  x)8 9(1  x)9 Theo Nhị thức Niu-tơn ta có a7  7.C 77 (2)  8.C87 ( 2)  9.C97 ( 2)  - 395 x 27  50560 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 24 Tất học sinh thân yêu 2  Bài 43: Tìm hệ số x khai triển ngị thức Niu tơn của:  x   ( x  0) x  Bài giải: k  2  Số hạng tổng quát khai triển là: C8k ( x )8 k    C8k (2) k x163k  x  Số hạng chứa 16 – 3k =  k  Vậy hệ số khai tiển là: C84 (2)  16C84  1120  n  Bài 44: Tìm hệ số chứa x khai triển 1  x  3x    n2 biết: Cnn41  Cnn3  7(n  3) Bài giải: ĐK n  (n  4)! (n  3)!  (1)    7(n  3)  (n  1)!3! n !3! n    (n  4)(n  2)  (n  1)(n  2)  42  n  12 + Với 10 n = 12  1  x   x   C100 (1  x)10  C101 (1  x)9 x  C102 (1  x)8 x  Ta có: C100 (1  x)10  C100 [C100  C101 x  C102 x  C103 x  C104 16 x  ] x 2C101 (1  x )9  x 2C101 [C90  C91 x  C92 x  ] x 4C102 (1  x )8  x 4C102 [C80  ] Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 25 Tất học sinh thân yêu Vậy hệ số số hạng chứa x là: C100 C104 16  3C101 C92  9C102 C80  8085 Bài 45: Với n số nguyên dương, chứng minh: Cn0  2.Cn1  3.Cn3   (n  1).Cnn  (n  2).2n1 Bài giải: + Ta có: x (1  x ) n  xCn0  xCn1 x  xCn2 x  xCn3 x   Cnn x n (1) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: (1  x ) n  nx (1  x ) n 1  Cn0  2Cn1  3Cn2 x   ( n  1)Cnn x n (2) Thay x =1 vào (2)  dpcm Bài 46: n 2  Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  x   , biết hệ số số hạng thứ ba x  1080 Bài giải: k + Số hạng tổng quát Tk 1  Cnk 3n k  2  x n 3k + Số hạng thứ ba: k   Cn2 3n 2.4  1080   n  1 n.3n  4.5.35  n  + x  x103k  k  + Hệ số C15 34  2   810 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 26 Tất học sinh thân yêu 100 Bài 47: Từ khai triển biểu thức  x  1  a0 x100  a1 x 99   a98 x  a99 x  a100 Tính tổng S  100a0 2100  99a1.299   2a98 22  1a99 21  Bài giải: 00 + Lấy đạo hàm hai vế (1) 100  x  1  100a0 x 99  99a1 x 98   2a98 x  a99 99 + Nhân hai vế cho x: 100 x  x  1  100a0 x100  99a1 x 99   2a98 x  a99 x + Cộng hai vế cho 1, thay x = 99 200   1   100a0 2100  99a1 299   2a98 22  a99   S + KL: S = 201  n  Bài 48: Cho khai triển: P  x    x     Cnk x  k 0   x nk k     biết ba hệ số lập thành 2 x cấp số cộng Tìm n tìm số hạng khai triển nhận giá trị hữu tỷ x  N * Bài giải: n  n  1 n 1 Ba hệ số khai triển Cn0  1; Cn1  Cn2    lập thành cấp số 2 2 cộng nên: n  n  n  1 n 1   n  9n      n  1,  l  ( n = khai triển chi có số hạng) 8 k Ck x Các số hạng khai triển có dạng: 8k k x4 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 27 Tất học sinh thân yêu   k  Số hạng nhận giá trị hữu tỷ x  N * ứng với   k  0; 4;8  k  C84 Vậy khai triển có số hạng nhận giá trị hữu tỷ x  N * 1; x 2 x Bài 49: Tìm số hạng số nguyên khai triển nhị thức  Pn    n  , biết Cnn C2nn C3nn  P27 , với n số tự nhiên Bài giải: Giải phương trình  Pn  Cnn C2nn C3nn  P27  n  k Số hạng tổng quát C 9 k Số hạng số nguyên k 9k k số nguyên  k  k  Vậy có số hạng là: C93 33.21  4536 C99 23  Bài 50: Tìm số hạng chứa x đa thức P( x )  25 x6  x3 (1  x) Bài giải: Ta có: P( x )  25 x  x3 (1  x)  25 x  x (C40  C41 x  C42 x  C43 x  C44 x )  C40 x  C41 x  C42 x  (25  C43 ) x  C44 x Nên số hạng chứa x (25  C43 ) x  (25  4) x  29 x Bài 51: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 28 Tất học sinh thân yêu 2010 Tìm hệ số số hạng chứa x   khai triển nhị thức:  x   x   2016 Bài giải: k 2016 2016     2016 k k Xét khai triển:  x     C2016 x 2016     2k C2016 x 20163 k x   x  k 0 k 0 2010 Số hạng chứa x ứng với 2016  3k  2010  k  22 C2016 x 2010 có hệ số 2 22 C2016  4C2016 Bài 52: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C20n  C22n  C24n   C22nn  2015 Bài giải: 2n Xét 1  x   C20n  C21n x  C22n x   C22nn x n với x  1 ta có:  C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn 1 với x  ta có: 22 n  C20n  C21n  C22n   C22nn   Lây (1) + (2) được:  C20n  C22n  C24n   C22nn   22 n 22 n 1  22015  2n   2015  n  1008 Vậy n cần tìm n  1008 Bài 53: Cho số tự nhiên n thỏa mãn Niu-tơn nhị thức x  n x An21  2Cn2  24 Xác định hệ số x10 khai triển n Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 29 Tất học sinh thân yêu Ta có: An21  Cn2  24   n  1!  2(n!)  24  n  1! 2! n  !  n  n  1  n  n  1  24  n  12 n Khi đó: 12  x  n x    x  12 x  Mà 12  3 k 12 k 12 12  k   C x k 0 2k 12 12   1 k  12   x    C12k  12  x   k 0 k 2k  10  k   Hệ số x10 : C123  12   380160 2 3 2015 2015 Bài 54: Tính tổng S  C2015  2C2015  C2015  C2015  C2015 Bài giải: 3 2015  C2015 x  C2015 Xét (1  x)2015  C2015  2x   C2015  x    C2015  2x  S  1   2015 2015 Thay x = -1 ta được:  1 Bài 55: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C20n  2C22n  3C24n   ( n  1)C22nn  1024( n  2) Bài giải: Xét khai triển Nhị thức Newton (1  x ) n (1  x )2 n ta có: (1  x)2 n  C20n  xC21n  x 2C22n   x nC22nn (1  x) n  C20n  xC21n  x 2C22n   x nC22nn  (1  x) n  (1  x)2 n  2(C20n  x 2C22n  x 4C24n   x nC22nn ) Nhân vế với x ta được: x (1  x ) n  x (1  x ) n  2( x 2C20n  x 4C22n  x 6C24n   x n  2C22nn ) Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 30 Tất học sinh thân yêu Lấy đạo hàm vế ta được: x(1  x)2 n  x(1  x)2 n  2nx (1  x)2 n 1  2nx (1  x) n 1  4[ xC20n  x3C22n  3x3C24n   (n  1) x n  2C22nn ] Thay x=1 vào ta có: 2 n ( n  2)  4[C20n  2C22n  3C24n   (n  1)C22nn ]  22 n (n  2)  4.1024(n  2)  22 n  212  n  Vậy n=6 n   Bài 56: Tìm hệ số x khai triển biểu thức  x   với x > 0, biết n  N thỏa x  Cn71  Cn7  2Cn8  Cn81 Bài giải: Điều kiện n    n  Ta có Cn71  Cn7  2Cn8  Cn81  Cn8  2Cn8   n  3!   n  !  n  13 8! n  ! 8! n  ! Khi x > nên 13 13  3 x   C13k    x k 0   13  k  x Theo yêu cầu toán k 26  k  2  13 k k  C  x    13   x   k 0 26  5k   k  Do hệ số x 16.C139  11440 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 31 Tất học sinh thân yêu Ghi chú: Nếu viết khai triển 13 13  3 k  x    C13 x k 0  13  k  2  x    x   Theo yêu cầu toán k 13 k 13  C 13  k  2 x k  39 k 0 5k  39   k  Do hệ số x 16.C139  11440 10 11 Bài 57: Tính tổng: S  C200 C1211  C20 C1210   C20 C12  C20 C12 Bài giải: 32 20 12 Ta có: 1  x   1  x   x  1 1 32 VT  1  x   C320  C32 x  C322 x   C3232 x 32 11 Hệ số x11 khai triển vế trái C32 (2) VP   C200  C20 x  C202 x   C2020 x 20  C120  C121 x  C122 x   C1212 x12  Hệ số x11 khai triển vế phải 10 10 11 C20 C1211  C20 C12   C20 C12  C20 C12 (3) 10 11 11 Từ (1),(2),(3) ta có S  C200 C1211  C20 C1210   C20 C12  C20 C12  C32 Bài 58: Khai triển đa thức (1  x  x3  x )10  a0  a1 x  a2 x   a40 x 40 Tính hệ số a20 Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 32 Tất học sinh thân yêu Ta có (1  x  x3  x )10  [(1  x)  ( x3  x )]10  (1  x)10 (1  x )10 Theo khai triển nhị thức Newton ta có: 10 10 10 (1  x)10   C10k x k ;(1  x )10   C10k ( x3 ) k   C10k x3 k k 0 k 0 k 0 Ta có: 20   3.6   3.5   3.4 Nên hệ số x20 khai triển a20  C102 C106  C105 C105  C108 C104 Bài 59: Khai triển đa thức (1  x) 20  a0  a1 x  a2 x   a19 x19  a20 x 20 Tính tổng S  a1  2a2   19a19  20a20 Bài giải: Xét hàm số f ( x)  (1  3x) 20  Ta có f '( x)  20.(1  x)'(1  x)19  60(1  x)19 Suy f '(1)  60.419 (1) Mặt khác: f '( x )  a1  2a2 x   19a19 x18  20a20 x19 Suy f '(1)  a1  2a2 x   19a19  20a20 (2) Từ (1) (2) suy S  60.419 2012 Bài 60: Tính tổng S  12 C2012  2 C2012  32 C2012   2012 C2012 Bài giải: k k k k k 2C2012  k  (k  1)  1 C2012  k (k  1)C2012  kC2012 k  1,2, , 2012 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 33 Tất học sinh thân yêu k k 2C2012  k (k  1) 2012! 2012! k 2 k 1 k  2012(2011C2010  C2011 )k  1, 2, , 2012 k !(2012  k )! k !(2012  k )! Từ 2010 2011 S  2012  2011(C2010  C2010   C2010 )  (C2011  C2011   C2011 )   2012  2011(1  1)2010  (1  1)2011   2012(2011.2 2010  2011 )  2012.2013.22010 Đáp số S  2012.2013.2 2010 Bài 61: Tính tổng: T  C2012 C1 C2 C 2012  2012  2012   2012 2013 Bài giải: 2012! C 2013! k !(2012  k )! k 1    C2013 k 1 k 1 2013 (k  1)! 2013  (k  1)! 2013 k 2012 k  0,1,2,3, ,2012 T  1 22013  1 2013 2013   C  C   C  (1  1)  C   2013 2013 2013  2013  2013 2013  2013 Đáp án T  22013  2013 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 34 [...]... 2 3 2 012 Bài 25: Tính tổng: S  C2 012  2C2 012  3C2 012  4C2 012   2013C2 012 Bài giải: k k k  kC2 012  C2 012 k Ta có:  k  1 C2 012 2 012! k k 1 k  C2 012  2012C2011  C2 012 k ! 2 012  k  ! Với k  0,1, 2, , 2 012 0 1 2011 0 1 2 012 S  2 012  C2011  C2011   C2011  C2 012   C2 012   C2 012  S  2 012 1  1 2011  1  1 2 012  2 012. 22011  22 012  1007.22 012 Vậy S  1007.22 012  Bài... 60.419 1 2 3 2 012 Bài 60: Tính tổng S  12 C2 012  2 2 C2 012  32 C2 012   2 012 2 C2 012 Bài giải: k k k k k 2C2 012  k  (k  1)  1 C2 012  k (k  1)C2 012  kC2 012 k  1,2, , 2 012 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 33 Tất cả vì học sinh thân yêu k k 2C2 012  k (k  1) 2 012! 2 012! k 2 k 1 k  2 012( 2011C2010... )k  1, 2, , 2 012 k !(2 012  k )! k !(2 012  k )! Từ đó 0 1 2010 0 1 2011 S  2 012  2011(C2010  C2010   C2010 )  (C2011  C2011   C2011 )   2 012  2011(1  1)2010  (1  1)2011   2 012( 2011.2 2010  2 2011 )  2 012. 2013.22010 Đáp số S  2 012. 2013.2 2010 Bài 61: Tính tổng: T  0 C2 012 C1 C2 C 2 012  2 012  2 012   2 012 1 2 3 2013 Bài giải: 2 012! C 1 2013! 1 k !(2 012  k )! k 1 ... An21  Cn2  24   n  1!  2(n!)  24  n  1! 2! n  2 !  n  n  1  n  n  1  24  n  12 n Khi đó: 12  x  n x    x  12 x  Mà 12  3 3 k 12 k 12 12  k   C x k 0 2k 12 12   1 k  12   x 3    C12k  12  x 3   k 0 k 3 2k  10  k  3  Hệ số của x10 là : C123  12   380160 3 0 1 2 2 3 3 2015 2015 Bài 54: Tính tổng S  C2015  2C2015  2 C2015  2 C2015  2 C2015... C200 C1211  C20 C1210   C20 C12  C20 C12 Bài giải: 32 20 12 Ta có: 1  x   1  x   x  1 1 32 1 VT  1  x   C320  C32 x  C322 x 2   C3232 x 32 11 Hệ số của x11 trong khai triển vế trái là C32 (2) 1 VP   C200  C20 x  C202 x 2   C2020 x 20  C120  C121 x  C122 x 2   C1 212 x12  Hệ số của x11 trong khai triển vế phải là 0 1 10 10 1 11 0 C20 C1211  C20 C12   C20 C12...  Cnn11  4n  6  n  n  1   n  1 n  4n  6 2 Ta có:  n  1 loai   n 2  11n  12  0    n  12 Với n = 12 ta có: n 1 1   3 3  2x     2x   x x   12 12   12  k C 12k  2 x 3  k 0 k 12 1  C 1k2 2 1 2  k x 3 6  4 k    x k 0 Số hạng không chứa x ứng với k = 9 là C129 23  1760 Bài 30: Tìm số nguyên dương n sao cho: C21n1  2.2.C22n 1  3.22.C23n1  4.23.C24n... 1, 2, , 2013 k !(2013  k )! k !(2013  k )! 2 1 ak  2 012. 2013.C k2011  2013.C k2 012 k  1, 2, , 2013 0 1 2011 0 1 2 012 S1  2 012. 2013  C2011  C2011   C2011  C2 012   C2 012   2013  C2 012  S1  2 012. 2013.(1  1)2011  2013.(1  1) 2 012  2 012. 2013.22011  2013.22 012  2013.2014.22011 0 1 2 2013 C2013 C2013 C2013 C2013     Bài 36: Tính tổng: S2  1 2 3 2014 Bài giải: Facebook cá... 1  Đặt f ( x)   3  x5  Tổng các hệ số trong khai triển bẳng 4096 x  12 k 12 n  f (1)  2  4096  n  12 Từ đó suy ra f ( x)   C x 11k  36 2 k 0 Hệ số chứa x8, ứng với k nguyên thỏa mãn 11k  36  8  k  8  a8  C128 2 Bài 22: Cho số tự nhi n n  2 , chứng minh đẳng thức 2 2 2  Cn0   Cn1   Cnn  C2nn 12  1           2  n  1  1   2   n 1 Bài giải: Biến đổi... tổng : S1  12. C12013  2 2.C 2013  32.C32013   20132.C 2013 Bài giải: 1 2 3 2013 Tính tổng S1  12. C2013  22.C2013  32.C2013   20132.C2013 Số hạng tổng quát của tổng là ak  k 2 C k2013  k (k  1  1) C k2013 k  1, 2, , 2013 ak  k (k  1) Ck2013  k Ck2013  k (k  1) 2013! 2013!  k k  1, 2, , 2013 k !(2013  k )! k !(2013  k )! 2 1 ak  2 012. 2013.C k2011  2013.C k2 012 k  1, 2,... C2020 x 20  C120  C121 x  C122 x 2   C1 212 x12  Hệ số của x11 trong khai triển vế phải là 0 1 10 10 1 11 0 C20 C1211  C20 C12   C20 C12  C20 C12 (3) 1 10 1 11 0 11 Từ (1),(2),(3) ta có S  C200 C1211  C20 C1210   C20 C12  C20 C12  C32 Bài 58: Khai triển đa thức (1  x  x3  x 4 )10  a0  a1 x  a2 x 2   a40 x 40 Tính hệ số a20 Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc