PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) 2 a/ Tìm a b để đa thức G ( x ) = x + ax + bx+2 chia hết cho đa thức P ( x ) = x − x + xy − 3x − y + yz − y − z + zx − 3z − x + + + xy − x − y + yz − y − z + zx − z − x + Chứng minh giá trị biểu thức M số nguyên với x ≠ y ≠ b/ Cho biểu thức M= Bài 2: (4 điểm) a/ Tìm x, y nguyên dương biết 3x + 112 = y b/ Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = a + b + c = 2 2 Chứng minh M= ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) viết dạng bình phương biểu thức Bài 3: (4 điểm) a/ Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị dương với x, y N= x + y − xy + 10 x − 30 y + 45 b/ Cho a, b, c thỏa mãn a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) = 4abc a 2013 + b 2013 + c 2013 = Tính giá trị biểu thức M= a 2015 + b 2015 + c 2015 Bài 4: (6 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AD y − 3k ⇒ ( y + 3k ) > 112 ⇒ y + 3k > 10 ⇒ y + 3k = 14, 28,56,112 -Nếu y + 3k = 14 ⇒ y − 3k = ⇒ y = 22 ⇒ y = 11 ⇒ x = -Nếu y + 3k = 28 ⇒ y − 3k = ⇒ y = 32 ⇒ y = 16 ⇒ 3x = 144 (loại) -Nếu y + 3k = 56 ⇒ y − 3k = ⇒ y = 58 ⇒ y = 29 ⇒ x = -Nếu y + 3k = 112 ⇒ y − 3k = ⇒ y = 113 ⇒ y = 112 (loại) Vây ta có (2;11) ; (6;29) thõa mãn dầu b/ 2đ 0,25đ 0,5đ Vì a + b + c = a + b + c = 2 2 ⇒ ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ⇒ = + ( ab + bc + ca ) ⇒ ab + bc + ca = Nên ta có a + = a + ab + bc + ca = = (a + b)(a + c ) 2 Tương tự ta có b + = ( b + c ) ( a + b ) ; c + = ( a + c ) ( b + c ) Vây ta có M= ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) Vậy M viết dạng bình phương biểu thức Bài a/ Ta có N= x + y − xy + 10 x − 30 y + 45 2đ ⇒ 2N= x + 14 y − 12 xy + 20 x − 60 y + 90 =… = ( x − y + ) + ( y − 3) + 20 > với x, y vì… Vì 2N>0 ⇒ N>0 Vậy Biểu thức N nhận giá trị dương với x, y b/ 2đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 4đ 1,5đ Ta có a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) = 4abc 0,5đ 0,25đ 0,25đ 1đ ⇔ a ( b + c ) + bc + 2abc + a 2b + a 2c + 2abc + b 2c − 4abc = ⇔ a ( b + c ) + bc + a 2b + a 2c + b c = ⇔ a ( b + c ) + ( b c + bc ) + ( a 2b + a 2c ) = 2 ⇔ a ( b + c ) + bc ( b + c ) + a ( b + c ) = ⇔ (b + c ) ( ab + ac + bc + a ) = a + b = ⇔ (b + c) a ( a + c ) + b( a + c ) = ⇔ (a + b)(b + c )(a + c) = ⇔ b + c = a + c = -Nếu a+b=0 ⇒ a = −b ⇒ a 2013 = −b2013 ⇒ a 2013 + b 2013 = mà a 2013 + b2013 + c 2013 = 2/8 0,5đ ⇒ c 2013 = ⇒ c = ⇒ c 2015 = Vì a = −b ⇒ M = a 2015 + b 2015 + c 2015 = −1 + 2015 + = 2015 b b 0,5đ -Nếu b+c=0 a+c=0 tương tự ta tính M=1 Vậy M=1 Bài F E K A B M I H P O a/ 2đ Gọi K giao điểm AF EM ta có KE=KA (….) µ =µ ⇒ ∆EKA cân ⇒ E A1 D G Q N C ¶ Tương tự ∆AOD cân ⇒ ¶A2 = D µ = ¶A ( ) ⇒ µ ¶ ( mà …) A1 = D Ta có EM//AC (…) ⇒ E b/ 2đ T Vậy AF//DB C/m AKIO hình bình hành ⇒ KFIO là hình bình hành ⇒ FI//KO Chỉ OK đường TB tam giác AFC ⇒ FC//KO ⇒ FI ≡ FC ⇒ F, I, C thảng hàng Chi FI=KO= c/ 2đ Bai 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ FI ⇒ IF=IC Vậy F C đối xứng qua I Gọi P trung điểm BC ta có OH, OP đường trung bình ∆DAC ; ∆DBC 0,5đ 0,75đ 1 DC ; OP // = DC ⇒ H , O, P thẳng hàng OH=OP 2 Ta có ∆AOM = ∆CON (gcg) ⇒ OM = ON ⇒ HMPN hình bình hành ⇒ NP // MH Ta có GP đường TB tam giác DCB ⇒ GP//DB, gọi Q giao điểm TO với GP Vì TO vuông góc với DB nên TQ ⊥ GP ⇒ N trực tâm tam giác PGC TG ⊥ NP Mà NP // MH ⇒ TG ⊥ MH 0,75đ ⇒ OH // = 2 2 2 Ta có x ( y − 3) = y ( y − x ) ⇔ x y − 3x = y − xy 0,5đ 1đ 0,25đ ⇔ x y − 12 x = y − xy ⇔ x y − 11x = y − xy + x ⇔ x (4 y − 11) = ( x − y ) -Nếu x = ⇒ y = ta có (0;0) nghiệm PT -nếu x ≠ ⇒ y − 11 số phương ⇒ y − 11 = a với a ∈ z ⇔ ( y + a ) (2 y − a ) = 11 0,25đ 0,25đ Giải PT tìm (1;3) (-1;-3) nghiệm PT 0,25đ 3/8 PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) a + 3b a −b a −b + a/ Cho biểu thức H= 2 ÷ 2 với a>b>0 a +b + a−b ÷ a −b − a +b a −b Biết a − b = Tìm giá trị nhỏ H b/ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = a + b + c = Tính giá tri biểu thức M= 1+ a 1+ b 1+ c + + a+ b b+ c c+ a Bài 2: (4 điểm) 2 a/ Tìm x, y nguyên thõa mãn x ( y − 5) = y ( y − x ) b/ Giải phương trình x3 + x + 2 x − = x + 3x + Bài 3: (4 điểm) − 24 số nguyên a 1 b/ Cho a, b, c dương thõa mãn + + = Tìm giá trị lớn biểu thức a b c 1 + + H= 2 2 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a a/ Tìm a biết a + 24 Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB ⇒ y − a > ; ta lại có y + a ≥ y − a > y + a = 19 ⇒ y = 20 ⇒ y = ⇒ y = ±5 2 y − a = Nên ta có 2 -Nếu y=5 ta có x ( 25 − ) = ( − x ) ⇔ 20 x + x − 25 = ⇔ x + x − = x = ⇔ ( x − 1) ( x + ) = ⇒ ⇒ x =1 x = −5 -Nếu y= −5 làm tương tự ta tìm x= −1 Vây (1;5) (-1;-5) nghiệm PT b/ 2đ Ta có x + x + = x + x + 2 x − đ/k x ≥ 5/8 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1đ 0,75đ ⇔ (4 x − ×2 x x + + x + 3) + (2 x − − 2 x − + 1) = ( ⇔ 2x − x + ) 0,25đ + ( x − − 1) = x = 2 x − x + = 4 x − x − = ( x − 1) (4 x + 3) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = − ⇔ x =1 x − = 2 x − = x − − = x = Vậy x=1 nghiệm PT Bài a/ 2đ Đặt a + 24 =x − 24 =y ta có x, y số nguyên a Ta có a = x − 24; = y + 24 ⇒ x − 24 y + 24 = (*) ⇔ 24 ( x − y ) = 25 − xy a 25 − xy 25 − xy -Nếu x ≠ y ⇒ x − y ≠ ⇒ 24 = , vô lý 24 số vô tỉ, số hữu tỉ x− y x− y x − y = ⇔ x = y = ±5 Vậy a = ±5 − 24 Vậy x=y từ (* ) ta có 25 − xy = ( b/ 2đ 5a + 2ab + 2b 2 + 5b + 2bc + 2c ( 2a + b ) 2 Ta co 5a + 2ab + 2b = ⇒ )( ≤ + ) 1 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 5c + 2ca + 2a 2 + ( a − b) ≥ ( 2a + b ) = 2a + b dấu = có a=b 2a + b 5a + 2ab + 2b 1 1 1 2 1 Ta có ( a + a + b ) + + ÷ ≥ 3 a ×a ×b ×3 × × = ⇒ ( 2a + b ) + ÷≥ a a b a a b a b 4đ 0,75đ 1 a b 0,5đ ab =9) ( ( a + a + b ) + + ÷ = = + + ÷ ≥ + ×2 ba a a b b a 1 1 1 1 ≤ + ÷ dấu = có a=b ≤ + ÷ dấu = có a=b Vây 2 9 a b 2a + b a b 5a + 2ab + 2b 12 1 ≤ + ÷ dấu = có b=c Tương tự 5b + 2bc + 2c b c ⇒ 12 1 ≤ + ÷ dấu = có c=a 5c + 2ca + 2a c a 1 3 3 1 1 1 Vậy H ≤ + + ÷ = + + ÷ = × = dấu = có a=b=c= 9 a b c 3 a b c 2 A D Vậy H lớn H= a=b=c= 2 M K B a/ 2đ 0,25đ N T G H E Ta có OM ⊥ AB ( ) ⇒ ·AMO = 900 , tương tự ⇒ ·ANO = 900 Xét tứ giác AMON có góc vuông có OM=ON ( ) nên AMON hình vuông 6/8 0,25 6đ I Bài 0,5đ C 0,75đ ⇒ AM = OM = ON = AN OA= AM + OM = AM = AM Ta có AM=AN ; BM=BE ; CN=CE ( …) Nên 2AM=AM+AN=AB-BM+AC-CN=AB+AC-(BE+CE)=AC+AB-BC=b+c-a Vậy AM= b+c−a ⇒ AO = (b + c − a ) 2 ( Mà a = b + c ⇒ a = b + c Vậy AO= b + c − b2 + c2 b/ 2đ ) Ta có AM=AN ; BM=BE ; CN=CE ( …) Nên 2EB=BE+BM=BC-CE+AB-AM=BCAB-(CN+AN)=BC+AB-AC=a+c-b a +c−b a+b−c a +c−b a+b−c ⇒ EB ×EC = , tương tự EC= 2 2 2 a + c − b ) ( a + b − c ) a + ( c − b ) [ a − (c − b) ] a − ( c − b ) a − c + 2bc − b =( = = = 4 4 2 b + 2bc − b bc ⇒ b = a − c ⇒ EB ×EC = = 2 Mà AC =BC -AB AB ×AC bc = ⇒ S ABC = EB ×EC Ta có S ABC = 2 ON IN AI ×ON = ⇒ AK = Xét tam giác AKI có ON//AK nên ta có AK AI AI b+c−a AC b ; AI = = Ta có ON = AM = 2 b b+c−a a −c = Ta có IN=AI-AN=AI-AM= − 2 b(b + c − a) b + bc − ab a − c − ab + bc ( a − c ) ( a + c − b ) a + c − b = = = = Vậy AK= a 4− c 2( a − c) 2( a − c) 2( a − c) 2 a+c−b ⇒ AK = BM Mà BM=BE= · · Từ A kẻ đường thẳng // với BC cắt EM D ta có DAG (…) = 900 ·ADM = BEM · · Ta có BM=BE (…) ⇒ ∆MBE cân ⇒ BEM = BME mà · · D = BME · BME = ·AMD ⇒ ·ADM = AM ⇒ ∆DAM cân ⇒ AD=AM =OA · · Gọi T giao điểm OB với ME Ta có OM ⊥ MB BMT + OMT = 900 (1) 0,75đ 0,5đ 0.75đ ⇒ EB= c/ 2đ 0,75đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ Ta có BM=BE (…), OM=OE (…) nên OB Trung trực EM ⇒ OB ⊥ EM T · · · · · · ⇒ BOM + OMT = 900 (2); từ (1) (2) ta có BMT = BOM ⇒ BME = BOM · · Mà ·ADG = BME chứng minh nên ·ADG = BOM Xét ∆ADG ∆MOB có · · · DAG = OMB = 900 ; ·ADG = BOM ; AD=OM ⇒ ∆ADG=∆MOB ⇒ BM=AG Vậy AK=AG 0,5 đ 1đ Bài Vì a1 , a2 , , a2014 có vai trò nên ta 2 2 Giả sử a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ≥ a2014 ≥ a1 + a2 + a3 + + a2014 = Nên ta có ≤ a1 , a2 , a3 , , a2014 ≤ ⇒ ( a3 − a1 ) ≤ 0; ( − a1 ) ≥ ⇒ ( a3 − a1 ) ( − a1 ) ≤ Tương tự ( a3 − a2 ) ( − a2 ) ≤ 1đ 7/8 Vây ta có a1 + a2 + a3 ≥ a1 + a2 + a3 + ( a3 − a1 ) ( − a1 ) + ( a3 − a2 ) ( − a2 ) 2 = a1 + a2 + a3 + a3 − a1a3 − a1 + a1 + a3 − a2 a3 − a2 + a2 2 2 = a1 + a2 + a3 ( − a1 − a2 ) = a1 + a2 + a3 ( − a1 − a2 ) 2 2 = a1 + a2 + a3 ( a3 + a4 + + a2014 ) = a1 + a2 + a3 + a3 a4 + + a3a2014 ≥ a12 + a2 + a32 + a4 + a2014 = Vậy 2014 số tồn số có tổng lớn 8/8 ... Cho 2014 số không âm a1 , a2 , a3 , , a2014 thõa mãn a1 + a2 + a3 + + a2014 = a12 + a2 + a32 + + a2014 = Chứng minh 2014 số tồn số có tổng lớn HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2014- 2015. .. a 2013 + b 2013 = mà a 2013 + b2013 + c 2013 = 2 /8 0,5đ ⇒ c 2013 = ⇒ c = ⇒ c 2015 = Vì a = −b ⇒ M = a 2015 + b 2015 + c 2015 = −1 + 2015 + = 2015 b b 0,5đ -Nếu b+c=0 a+c=0 tương tự ta tính M=1... a/ -Nếu x lẻ ⇒ x = 2k + 2đ ⇒ 3x + 112 = 32 K +1 + 112 = ( 9k − 1) + + 112 = × (9 − 1) (9 k −1 + 9k − + + 1) + + 112 =24q+3+112=4(8q+ 28) +3 chia cho dư ⇒ + 112 chia cho dư ⇒ y chia cho dư ⇒ vô lý