De tai giai HH bang nhieu cach

I/. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học cấp 2 có hai phân môn: Toán hình và Toán đại; Trong hai phân môn này nếu giáo viên đã từng giảng dạy cũng rất dễ nhận thấy rằng: Đa số học sinh thích và say mê chứng minh toán đại hơn toán hình chính vì vậy tỉ lệ học sinh yếu kém toán hình chiếm tỷ lệ cao hơn toán đại. Vì sao lại có hiện tượng trên? Có mấy nguyên nhân mà chúng ta cần tham khảo: - Toán hình là một môn cần có tính tư duy cao do có tính trừu tượng đặc biệt là hình học nên khó hiểu dẫn đến khó chứng minh, các em sẽ không thích học môn hình và từ đó các em mất căn bản từ lớp dưới lên, các em lại càng them bế tắc khi gặp một bài toán phức tạp. - Như chúng ta đều biết môn Toán hình được đưa vào các chương trình giảng dạy trong nhà trường nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh tính quan sát, so sánh, tư duy, suy luận làm giàu trí tưởng tượng rất cao cho các em. Nhằm góp cho bộ môn toán có một tài liệu nho nhỏ để tham khảo trong quá trình giảng dạy môn toán hình có một ít kinh nghiệm để tạo cho các em hứng thú say mê trong học tập, phát huy tính tích cực sáng tạo và giúp các em một cảm xúc khó quên khi giải một bài toán, làm giàu trí tưởng tượng, phát huy được tư duy của học sinh như mục tiêu ban đầu khi đưa nội dung toán hình vào chương trình toán cấp 2. II/. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Muốn giải một bài toán hình cũng giống như chứng minh các bài toán khác trước hết đòi hỏi học sinh phải đạt những yêu cầu cần có như sau: 1. Thuộc, hiểu những phương pháp, nguyên tắc để chứng minh bài toán hình. 2. Phải đọc kỹ đề bài biết đào sâu suy nghĩ, tư duy theo điều kiện đã cho. 3. Biết phân tích từng chi tiết một của đề bài cho và đề bài cần chứng minh điều gì. Vì vậy khi tổ chức hoạt động dạy hình học cho các em, giáo viên cần phải giúp học sinh vượt qua sự cá biệt trong tình huống cụ thể và đi vào suy luận để áp dụng cho tình huống mới. Cần xây dựng hệ thống các hoạt động thành phần, các thao tác trong từng bài học, tiết học trên cơ sở nội dung chương và phù hợp với trình độ nhận thức bài toán hình học. Vận dụng kiến thức đã học để giải quyết một bài toán hình học. Ví dụ: Để giúp các em lớp 6 nắm tính chất “Khi nào thì AM + MB = AB”, có thể tổ chức các hoạt động như sau: Hoạt động 1: Vẽ ba điểm thẳng hàng A, M, B sao cho M nằm giữa A và B. Đo AM, MB, AB. So sánh AM + MB với AB. Nêu nhận xét. Hoạt động 2: Vẽ ba điểm thẳng hàng A, B, M biết M không nằm giữa A và B đo AM, MB, AM. So sánh AM + MB với AB. Nêu nhận xét. Hoạt động 3: Cho ba điểm A, B, M thẳng hàng, M nằm giữa A và B. Biết AM = 3cm, AB = 8cm. Tính MB. Hoạt động 4: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C làm thế nào để chỉ đo hai lần mà biết được độ dài của ba đoạn thẳng AB, BC, AC. Có mấy cách làm? Mục đích các hoạt động trên nhằm giúp các em tiếp cận tính chất: “Nếu điểm M nằm giữa A và B”. Theo các cấp độ tư duy hình học, các em chỉ có thể hiểu được tính chất toán học trừu tượng nếu cách dạy đảm bảo nguyên tắc trực quan theo kiểu tiếp cận quy nạp, từ quan sát, thử nghiệm, đo, vẽ, đi đến ước đoán thông qua quá trình đó các em chủ động tìm kiếm những kiến thức mới. Các hoạt động nhằm phát huy được tính độc lập, sáng tạo và khả năng phán đoán của các em trong hoạt động học tập, kiến thức hình học mang tính thực tiển. Từ đó để giải bài toán hình đòi hỏi các em phải thuộc bài và hiểu bài, song song đó còn phải đọc kĩ đề bài biết đào sâu suy nghĩ, biết phân tích từng chi tiết của đề bài cho và đề bài hỏi. Từ đó vận dụng kiến thức đã học để giải quyết một bài toán hình. Trong khi mày mò tìm cách chứng minh một bài toán chúng ta thường nhìn các khái niệm toán học lần lượt theo nhiều cách khác nhau cho đến khi tìm ra cách chứng minh ngắn gọn nhất, hay nhất để chúng ta hướng dẫn giảng dạy cho các em. 1 Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Hãy chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình bình hành. Trong một bài tốn có hình bình hành thì để chứng minh tứ giác là hình bình hành chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh nắm vững chắc và học thuộc lòng 6 dấu hiệu để nhận biết một tứ giác là hình bình hành: 1/. Có hai cặp cạnh song song (định nghĩa). 2/. Có các cạnh đối bằng nhau. 3/. Có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 4/. Có các góc đối bằng nhau. 5/. Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 6/. O là tâm đối xứng. Hoặc hướng dẫn học sinh qua sơ đồ nhận biết 1 tứ giác là hình bình hành. A D C B TỨ GIÁC AB // DC; AD // BC AD = DC; AD =BC AB // DC; AB = DC ˆ ˆ ˆ ˆ A C B D  =   =   OA OC OB OD O =   =    là tâm đối xứng Trong một bài tốn có hình bình hành nếu xem nó là một tứ giác có các góc đối bằng nhau mà bế tắc thì chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh đổi cách nhìn khác chẳng hạn: Xem nó là một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, có O là tâm đối xứng nếu lại thất bại thì chúng ta có thể lại đổi cách khác lần nữa xem. 1/ Tứ giác có một cặp cạnh song song và bằng nhau là hình bình hành GT ABCD là tứ giác MA = MB; NB = NC PC = PD; QA = QD. KL MNPQ là hình bình hành. 2 O D C B A H. BÌNH HÀNH Q M P N L C B A Chứng minh: Ta có MA = MB (gt) MB = NC (gt) ⇒MN là đường trung bình của tam giác ABC. ⇒ MN // AC 2 AC MN = (1) Ta có PC = PD (gt) (2) 2 AC PQ = Từ (1) và (2) ⇒ MN // PQ MN = PQ. Vậy MNPQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh song song và bằng nhau) 2/ Tứ giác có hai cặp cạnh song song là hình bình hành Q M P N D C B A GT ABCD là tứ giác MA = MB; NB = NC; PC = PD; QA = QD. KL MNPQ là hình bình hành Chứng minh Ta có: MA = MB (gt) NB = NC (gt) ⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC. ⇒ MN // AC 2 AC MN = (1) Ta có: QA = QD (gt) 3 PD = PC (gt) ⇒ QP là đường trung bình của tam giác ADC. ⇒ (2) 2 AC QP = Từ (1) và (2) ⇒MN = QP (*) Ta có MA = MB (gt) QA = QD (gt) ⇒ MQ là đường trung bình của tam giác ABD. ⇒ (3) 2 BD MQ = Ta có NB = NC (gt) PC = PD (gt) ⇒ NP là đường trung bình của tam giác BCD. ⇒ (4) 2 BD NP = Từ (3) và (4) ⇒ MQ = NP (**) Từ (*) và (**)⇒MNPQ là hình bình hành (vì có các cạnh đối bằng nhau). Từ những kiến thức sẵn có, từ những cái nhìn theo nhiều khía cạnh khác nhau. Tôi đã hướng dẫn học sinh phải giả một bài toán bằng nhiều phương pháp. Bằng những cách giải khác nhau như: 1/ Phương pháp chứng minh suy diễn: Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có µ µ A D= ; AB = CD. Hãy chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân? Cách 1: F E D C B A GT Tứ giác ABCD ˆ ˆ A D= AB = CD KL ABCD là hình thang cân Chứng minh Hãy vẽ BE ⊥ AD CF ⊥ AD ⇒ BE // CF (1) ∆ vuông ABE = ∆ vuông DCF. ⇒ BE = CF (2) Từ (1) và (2) ⇒ BCFE là hình bình hành. Do đó BC // AD. Cách 2: GT Tứ giác ANCD ˆ ˆ A D= AB = CD 4 E D C B A KL Tứ giác ABCD là hình thang cân Chứng minh Hãy kẻ BE // CD (1) ⇒ ˆ ˆ D E= (đồng vị) Mà ˆ ˆ D A= (gt) nên ˆ ˆ A E= ⇒ ∆ ABE cân. ⇒ AB = BE mà AB = CD (gt) Do đó: BE = CD (2) Từ (1) và (2) ⇒ BCDE là hình bình hành Do đó: BE // AD. Cách 3: F E D C B A GT Tứ giác ANCD ˆ ˆ A D= AB = CD KL Tứ giác ABCD là hình thang cân Chứng minh: Hãy dựng EF là đường trung trực của đoạn AD ⇒ A và D đối xứng nhau qua EF. Vì ˆ ˆ A D= (gt) Và AB = CD (gt) Nên B và C cũng đối xứng nhau qua EF. ⇒ BC ⊥ EF Vậy BC // AD (vì cùng vuông góc với EF). 2/ Bằng phương pháp chứng minh phản chứng: Cách 4: 5 E E D C B A Chứng minh: Giả sử BC không song song với AD. Từ B ta kẻ BE // AD ⇒ Tứ giác ABED là hình thang. Ta lại có: ˆ ˆ A = D (gt) Nên ABED là hình thang cân. Do dó AB = ED. Nhưng theo giả thiết AB = CD. Vì vậy ED = CD, điều này chứng tỏ E ≡ C Vậy BC // AD. 3/ Dùng phương pháp chứng minh quy nạp (hoàn toàn): Cách 5: Ta xét hai trường hợp có thể xảy ra: Trường hợp 1: Nếu ˆ ˆ A = D khác 1 vuông thì AB không song song với CD nên các tia AB và DC gặp nhau tại E. Khi đó ∆ ADE cân (vì có ˆ ˆ A = D ) (1) ⇒ AE = DE Mặt khác theo giả thiết AB = DE Ta có: BE = CE ⇒ ∆ EBC cân (2) Từ (1) và (2) ⇒ ˆ E chung. Nên ˆ ˆ B = A do đó BE // AD. E D CB A Trường hợp 2: 6 D A C B ˆ ˆ A = D =1 vng Thì AB // CD ( vì cùng chung vng góc AD) Mà AB = DC (gt) ⇒ ABCD là hình bình hành ⇒ BC // AD. * Giải bài tốn bằng nhiều cách Bài 93/175: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O; R). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng OA ⊥ DE Cách 1: H D E N M O C A B Ta có ABM = ACN (cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) ¼ » AM AN AM AN OA MN= ⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ MN // DE ⇒ DEC = MNC Mà MNC = MBC Tứ giác BEDC nội tiếp ⇒ DEC = MBC Do đó OA ⊥ DE Cách 2: Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) Ta có: xAC = ADE ⇒ Ax// DE Mà OA ⊥ Ax ⇒ OA ⊥ DE Tứ giác BEDC nội tiếp ⇒ ADE = ABC xAC = ABC Cách 3: 7 x H D E N M O C A B 1 1 H D E I O C A B OA cắt DE tại I ∆ OAB cân tại O (OA = OB) ⇒ EAI = 180 ° - AOB 2 = 90 - AOB 2 Mà DCB = AOB 2 (góc nội tiếp bằng 1 2 góc ở tâm) ⇒ EA 1 I = 90 ° - DCB Tứ giác BEDC nội tiếp ⇒ AE 1 I = DCB Do đó EAI + AEI = 90 ° ⇒ ∆ IAE vuông tại I ⇒ OA ⊥ D Đó là vài phương pháp chứng minh bằng nhiều cách giải khác nhau. Ở đây, chúng ta thấy rằng, muốn giải được bài tốn hình bắt buộc học sinh phải thuộc bài như định lý, hệ quả, định nghĩa, song hiểu bài, hiểu rõ từng chi tiết một trong từng định lý, hệ quả … Từ đó học sinh gặp một bài tốn hình thì học sinh phải: Trước hết đọc thật kĩ đề bài, biết phân tích đề bài cho cái gì? Phân tích và nhớ phải phân tích, phân tích và phân tích cho bằng được đề cho. III/. KẾT QUẢ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Trong q trình hướng dẫn học sinh giải bài tốn hình học, chúng ta cần biết gợi cho học sinh trí tò mò, mở rộng vấn đề, xoay chuyển vấn đề theo những góc độ khác nhau. Ngồi ra có những bài tốn nâng cao (bài tốn khó) dùng để bồi dưỡng các em giỏi, giáo viên có thể vẽ thêm các yếu tố phụ như: - Vẽ thêm một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước. - Vẽ thêm một đường thẳng vng góc với một đường thẳng cho trước. - Vẽ thêm tia phân giác của một góc. - Vẽ thêm một hình đối xứng của một hình qua một đường thẳng cho trước. 8 - Gọi thêm trung điểm của một đoạn thẳng… Muốn giải một bài toán, giáo viên cần phải tập dượt cho các em vẽ thêm gọi thêm các đường, điểm để làm sáng tỏ hơn các điều kiện có của bài toán. Ngoài ra giáo viên cần phải dạy cho các em có tinh thần tự giác và tích cực trong học tập. Tạo cho các em có khả năng tiếp thu những kiến thức toán học một cách vững chắc. Đặc biệt chú ý khâu đặt vấn đề khi bắt đầu một chương, một phần và từng bài học trong đó chỉ rõ tầm quan trọng của vấn đề cần phải hết sức quan tâm đến quá trình tự học, tự rèn luyện mới mong đạt được kết quả cao trong học tập. 9 . nội tiếp ⇒ DEC = MBC Do đó OA ⊥ DE Cách 2: Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) Ta có: xAC = ADE ⇒ Ax// DE Mà OA ⊥ Ax ⇒ OA ⊥ DE Tứ giác BEDC nội tiếp ⇒ ADE = ABC xAC. rằng OA ⊥ DE Cách 1: H D E N M O C A B Ta có ABM = ACN (cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) ¼ » AM AN AM AN OA MN= ⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ MN // DE ⇒ DEC = MNC