Những định hướng giải toán bằng nhiều cách

MỤC LỤC Nội dung Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………….………….2 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………….…………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… ……… II NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… …………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………3 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………………… …………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ………………… ….24 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………….……25 3.1 Kết luận …………………………………………………… … 25 3.2 Kiến nghị …………………………………………………… …26 Tài liệu tham khảo: ……………………………………………………….28 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Giải toán nhiều cách “thời buổi này”, “ cách thi này” có lẽ “ xa xỉ” nhiều em học sinh, kể em có học lực Khá – Giỏi Bởi lý đơn giản : có tìm cách giải hay thi có cho thêm điểm cách giải hay, cuối “ khoanh tròn” đáp án Theo suy nghĩ không sai, nhiên áp dụng cho học sinh học Toán với mục đích để “thi” để “ học” để tìm tòi rèn luyện tư sáng tạo, từ dẫn đến nhàm chán cho học sinh Chúng ta người dạy Toán, trước hết phải khơi dậy niềm vui, niền đam mê học Toán cho học sinh Không phải giải toán khó hay mà theo hay, thú vị toán người làm toán phải biết nhìn toán nhiều góc độ, phải biết bám vào lý do, điều kiện liên quan giả thiết cho để phụ vụ mục đích giải toán mình, phải “khám phá” hiểu toán khơi dậy niềm đam mê 1.2 Mục đích nghiên cứu Tất nhiên học sinh học cuối để thi kết cao, học với mục đích để “thi” để đạt kết cao khó, mà có đạt học sinh “cỗ máy” giải Toán Điều có nghĩa cần phải hướng cho học sinh “đích” xa nghĩa cho việc “học”, cho học sinh hiểu học Toán trình tìm tòi, khám phá cần “sáng tạo” để phát triển tư duy, việc thi điều tất yếu đến, đánh giá trình học hỏi mình.Thành đạt tốt người học nắm vững kiến thức, làm chủ kiến thức Mặc dù môn Toán Bộ Giáo Dục tổ chức thi trắc nghiệm, học sinh hội thể cách giải đặc sắc đứng trước Toán nói riêng, trước vấn đề cần giải nói chung em có nhiều lựa chọn lợi để em có hội chiến thắng thi Với hình thức thi trắc nghiệm Một khối lượng cần giải 90 phút (50 câu = 50 toán khác nhau) nhiều, đòi hỏi em không giải mà phải giải nhanh xong điều đòi hỏi tính đoán, tính xác việc xác định phương hướng giải toán: định hướng đương nhiên toán giải nhanh gọn định hướng sai toán không giải “mất thời gian” ảnh hưởng tâm lí dẫn đến thất bại! Mục đích nghiên cứu đề tài dẫn dắt cho học sinh: “Những định hướng trước toán ” để từ học sinh tự phát thêm nhiều lời giải cho toán Để em thấy mặt tích cực việc học Toán phát triển tư duy, yêu thích môn học từ hay mục đích “thi” Đó lí chọn nghiên cứu đề tài 1.3 Đối tượng nghiên cứu Dưới với nội dung có hạn, xin đề cập đến phần nhỏ Toán học phần Hình học giải tích giảng dạy cuối chương trình hình học lớp 12 nội dung quan trọng thiếu đề thi THPT Quốc Gia với mục đích với đồng nghiệp, học sinh chia sẻ kinh nghiệm tiếp thu ý kiến góp ý để việc giảng dạy thân có kết tốt hơn! Giúp học sinh hiểu , yêu Toán có kết cao kì thi định em! 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài này, chọn phương pháp nghiện cứu xây dựng sở lý thuyết Từ toán cụ thể, vào yêu cầu toán kết hợp với điều kiện mà từ định hình cho học sinh phương hướng giải toán trước mắt từ dễ đến khó Hình thành cho học sinh “phản xạ” có điều kiện phát nhanh xác hướng giải toán II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đối với hình học nói chung với hình học tọa độ không gian nói riêng, đối tượng mà học sinh cần phải xác định Điểm – Đường thẳng – Mặt phẳng Mặt cầu Trong dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm dựa vào giả thiết để: Xác định điểm, viết phương trình đường thẳng,viết phương trình mặt phẳng, viết phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước Và khó chút toán thể mối quan hệ đối tượng hình học với Để làm toán đó, theo học sinh bắt đầu giải toán cần phải nắm nguyên tắc sau: - Phải biết đề cho gì, phân tích cụ thể điều kiện đề cho - Phải xác định rõ yêu cầu đề - Tìm mối liên hệ đại lượng có đại lượng cần tìm (Học sinh phải suy luận toán ngược) Từ định hướng cách giải toán cách xác Khi thực diều đó, học sinh : 1) Giải nhanh vấn đề đặt 2) Có thể tìm nhiều cách giải cho toán Trong chương trình Sách giáo khoa THPT, khối lượng kiến thức phần hình học không nhiều trình bày cách độc lập với Tuy nhiên mức độ khó phần hình học không so với phần hình học tổng hợp, đòi hỏi học sinh biết kết hợp kiến thức hình học không gian tổng hợp để giải Ví dụ: Trong hình học không gian tổng hợp, có cách xác định mặt phẳng: 1) Ba điểm không thẳng hàng 2) Một đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng 3) Hai đường thẳng cắt 4) Hai đường thẳng song song 5) Một điểm phương vuông góc Thì tương ứng hình học tọa độ, học sinh phải viết phương trình mặt phẳng trường hợp Và vấn đề đặt làm để học sinh định hướng xác cách giải toán cách nhanh lời giải gọn Vấn đề xin trình bày phần nội dung đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước SKKN áp dụng, thấy đa số em học sinh giải toán theo kiểu “ tù mù” không định hướng rõ cách giải mình, chí có em giải xong toán rồi, hỏi lại giải toán theo hướng chẳng biết lý sao, đơn giản “cảm thấy” giải thử may mắn giải Và học sinh đánh phương hướng, nhiều thời gian cho hướng giải mù mịt (không biết có hay không) dẫn đến niền tin khả từ cảm thấy không hứng thú việc học Toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trên sở kiến thức hình học giải tích trình bày sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức hình học không gian lớp 11 Tôi chia thành dạng toán sau sở để thực mục đích hình thành cho học sinh tính định hướng Yêu cầu học sinh phân tích kỹ đề bài, phải xác định lí đề áp đặt điều kiện toán để làm gì, để giải yêu cầu đề cần phải bước thực yêu cầu “phụ” liên quan từ hình thành cho giải toán Trước hết phân chia thành số dạng sau: Dạng Xác định tọa độ điểm Kiến thức bản: Ở dạng học sinh cần lưu ý cách cấu tạo điểm: 1) Với điểm cho trước, tồn điểm thứ hai để có vectơ vectơ cho trước 2) Hai đường thẳng cắt xác định điểm 3) Đường thẳng cắt mặt phẳng xác địng điểm Bài 1(SGK hình học12 chuẩn/tr 68 ) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCDA1B1C1 D1 biết A ( 1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , D ( 1; −1;1) C1 ( 4;5; −5 ) Tính tọa độ đỉnh lại hình hộp - Đề cho gì! I A D bình hành nhau, đường chéo cắt trung điểm đường C1 B1 Cho ABCDA1B1C1 D1 hình hộp: cạnh bên song song nhau, hai đáy hai hình D1 A1 Phân tích đề bài: O B C -Yêu cầu đề :Xác định tọa độ điểm Định hướng: Từ ta có hai định hướng sau: Các cặp cạnh song song suy có vectơ Công thức trung điểm Như với hai hướng trên, ta giải toán hai cách uuu r Cách Ta có: AB ( 1;1;1) x −1 = x = uuur uuu r   Gọi C ( x; y; z ) , DC = AB ⇔  y + = ⇔  y = nên: C ( 2;0;2 ) z −1 = z =   Tương tự: uuuur uuu r D1C1 = AB ⇒ D1 ( 3;4; −6 ) , uuuu r uuu r A1 B1 = AB ⇒ B1 ( 4;6; −5 ) uuuu r uuur AC = AC ⇒ A1 ( 3;5; −6 ) , 1 Cách Gọi I giao điểm đường chéo hình hộp, suy ra: 5  +) I trung điểm AC1 nên: I  ; ; −2 ÷ 2   x1 = xI − xB =  +) Gọi D1 ( x1 ; y1; z1 ) I trung điểm BD1 nên:  y1 = yI − y B =  z = z − z = −6  I B Vậy : D1 ( 3;4; −6 ) +) Tương tự I trung điểm DB1 , suy ra: B1 ( 4;6; −5 ) Gọi O giao điểm AC BD, suy O trung điểm BD, suy ra:  3 O  ;0; ÷  2 +) O trung điểm AC, suy ra: C ( 2;0;2 ) +) I trung điểm CA1 , suy ra: A1 ( 3;5; −6 ) Bài 2(SBT hình học12 nâng cao/tr 119 ) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0;0;1) , C ( 2;1;1) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Sai lầm: Cũng nói gặp toán này, hầu A hết em học sinh khẳng định giải với điều kiện:  IA = IB   IB = IC   IC = IA ( 1) ( 2) ( 3) I B C Tuy nhiên em làm được, hệ cho ta hai phương trình, để ý dễ dàng thấy (3) hệ (1) (2) Với hệ đó, học sinh tìm vô số điểm cách ba đỉnh A, B, C Tập hợp điểm trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phân tích đề bài: - Đề cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, hoàn toàn xác định mặt phẳng Định hướng - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cách ba đỉnh nằm mặt phẳng (ABC) Định hướng Theo tính chất hình học phẳng, tâm I giao ba đường trung trực, hình học không gian nằm mặt phẳng trung trực cạnh nằm mặt phẳng (ABC) Từ hai định hướng trên, ta giải toán hai cách sau: Cách 1: Gọi I ( x; y; z ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó:  IA2 = IB  ⇔  IA2 = IC ( *) u u u r u u u r u u r    AB; AC  AI = uuu r uuur uuu r uuur uur  Ta có: AB ( −1;0;1) , AC ( 1;1;1) ⇒  AB; AC  = ( −1;2; −1) , AI ( x − 1; y; z )  IA = IB   IA = IC  A, B, C , I đồng phẳng  Vậy hệ (*) tương đương với: ( x − 1) + y + z = x + y + ( z − 1) x = z  2 2  2 ( x − 1) + y + z = ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) ⇔ 2 x + y + z =  x − y + z −1 =  −1( x − 1) + y − z = x = z =  ⇔ y =    Vậy I  1; ;1÷   Cách 2: 1 1 Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua N  ;0; ÷ 2 2 uuu r nhận AB ( −1;0;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: C M A N B x−z=0 (1) uuur 3 1 Mặt phẳng trung trực đoạn AC qua M  ; ; ÷ nhận AC ( 1;1;1) làm 2 2 x+ y+z− =0 vectơ pháp tuyến có phương trình: (2) - Mặt phẳng (ABC) qua điểm A có vectơ pháp tuyến: uuu r uuur  AB; AC  = ( −1;2; −1) nên có phương trình: −1( x − 1) + y − z = (3)   Tọa tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nghiệm hệ: x − z = x = z x = z =       ⇔ 2 x + y + z − = ⇔  x + y + z − = Vậy I  1; ;1÷    − x + y − z + =  y =  −  1( x − 1) + y − z = Tương tự vậy, từ toán quen thuộc hình học phẳng: Cho đường thẳng d hai điểm A, B 1)Tìm d điểm M cho MA + MB nhỏ 2) Tìm d điểm N cho NA − NB lớn Với toán không gian, lại hoàn toàn khác, ta xét toán sau: Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 9;0;9 ) , B ( 12; −6; −3) đường x y z −9 thẳng d : = = Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ 1 −1 Sai lầm: Cũng hình học phẳng, nhiều em học sinh làm sau: +) Lấy A1 đối xứng với A qua d +) Điểm M giao điểm đường thẳng d đường thẳng BA1 Tuy nhiên em bắt tay vào giải cách cụ thể lại điểm M? Với cách làm rõ ràng điểm M thỏa mãn hai đường thẳng d BA1 chéo Vậy có hay không điểm M thỏa mãn yêu cầu toán! Định hướng giải: A Đề cho hai điểm không thuộc đường B1 A2 thẳng, đường thẳng d điểm B xác M định cho ta mặt phẳng ( α ) Trên mặt phẳng ( α ) tồn điểm A2 cho B A1 α với điểm M thuộc d MA2 = MA ,hay MA + MB = MA2 + MB Và vậy, toán chuyển sang tìm điểm A2 Tìm điểm A2 coi giải xong lúc toán không gian trở thành toán mặt phẳng Từ ta giải toán theo cách sau: 1) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua B chứa d 2)Xác định điểm A2 mặt phẳng ( α ) cho A2 B nằm khác phía so với d 3) Điểm M giao điểm d A2 B Nhân xét: cách giải trên, ta tìm điểm A2 theo hai cách sau: Cách 1: +) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua A vuông góc với d +) Điểm A2 nằm ∆ = ( α ) ∩ ( β ) đồng thời d ( A2 ; d ) = d ( A; d ) +) Ta tìm hai điểm A2 vậy, nhiên cần lưu ý điểm M phải nằm A2 B Cách 2: +)Xác định hình chiếu A1 , B1 A B đường thẳng d uuuur uuur +)Điểm A2 cần tìm thỏa mãn: A1 A2 = BB1 Giải: Cách 1: uu r Đường thẳng d qua điểm N ( 0;0;9 ) có vectơ phương ud ( 1;1; −1) uu r  uu r uuur ud ( 1;1; −1) uuur Ta có:  ⇔ ud ; NB  = ( −18;0; −18 ) NB ( 12; −6; −12 )  Mặt phẳng ( α ) chứa d qua B có VTPT (véctơ pháp tuyến) uu r nα = ( −18;0; −18 ) ,có phương trình: −18 ( x − 12 ) − 18 ( z + 3) = ⇔ x + z − = (α) Mặt phẳng ( β ) qua A vuông góc với d có phương trình: 1.( x − ) + 1.( y − ) − 1.( z − ) = ⇔ x + y − z = (β) Đường thẳng ∆ giao ( α ) ( β ) nên: x + z − = x + z − = z = − x ⇔ ⇔  x + y − z = 2 x + y − =  y = − 2x x = t  Đặt x = t ta có phương trình tham số ∆ :  y = − 2t z = − t  Vậy A2 ∈ ∆ ⇒ A2 ( t ;9 − 2t ;9 − t ) uuuur uu r uuuur Suy ra: A2 N ( −t ;2t − 9; t ) ⇒ ud ; A2 N  = ( − 3t ;0;9 − 3t ) , uuur uu r uuur AN ( −9;0;0 ) ⇒ ud ; AN  = ( 0; −9; −9 ) , Mặt khác: uu r uuuur uu r uuur ud ; A2 N  ud ; AN  uu r uuuur uu r uuur        d ( A2 ; d ) = d ( A; d ) ⇔ = ⇔ ud ; A2 N  = ud ; AN  uu r uu r ud ud ( − 3t ) 9 − 3t = t = + ( − 3t ) = 92 + 92 ⇔  ⇔ 9 − 3t = −9 t = Với t = suy A2 ( 6; −3;3) Điểm M thuộc d nên: M ( t1; t1;9 − t1 ) , đồng thời: uuuur uuuu r t1 − = 6k t − = 6k t =  A2 M = k A2 B  ⇔ t1 + = −3k ⇔  ⇔1 không thỏa  k = −1 < t1 + = −3k k >  − t = −6 k  mãn Với t = suy A2 ( 0;9;9 ) Điểm M thuộc d nên: M ( t1; t1;9 − t1 ) , đồng thời: uuuur uuuu r t1 = 12k t =  A2 M = k A2 B t1 = 12k  1 ⇔ t1 − = −15k ⇔  ⇔ thỏa mãn  27 k = k = > k >  −t = −12k   Vậy: M ( 4;4;5 ) Cách 2: Gọi A1 hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng d Điểm A1 ∈ d , suy uuur A t ; t ;9 − t ) AA1 ( t − 9; t; −t ) ra: ( Vì: AA1 ⊥ d nên: uuur uu r AA1.ud = ⇔ ( t − ) + t + t = ⇔ t = uuur ⇒ A1 ( 3;3;6 ) , AA1 ( −6;3; −3) AA1 = - 10 uuuu r uu r  x − = 2t  x = + 2t  MN = tnα   ⇔  y − = −3t ⇔  y = − 3t ( t ∈ R ) ( I )  t ∈ R  z − = t z = + t   Hệ (I) phương trình dạng tham số đường thẳng ∆ (Cách giải thứ đề xuất từ học sinh) Bài Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M ( −1;2;5 ) song song với hai mặt phẳng ( P ) : 3x + y − z + = ( Q ) : 2x − y + z − = Định hướng giải quyết: Đề đac cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1)Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm: M ( −1;2;5 ) +) Hai mặt phẳng: uu r (P) ⇔ có véc tơ pháp tuyến nP ( 3;1; −5 ) uu r (Q) ⇔ có véc tơ pháp tuyến nP ( 2; −1;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với hai mặt phẳng, suy có phương vuông góc với hai véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng 2) Cần xác định véc tơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Từ mối quan hệ đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) (Q) dẫn r uu r uu r đến đường thẳng ∆ có phương là: u =  nP ; nQ  = ( −4; −13; −5 ) Vậy đường thẳng có phương trình: ∆ : x +1 y − z − = = −4 −13 −5 Bài Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( −2;1;3) , cắt hai đường thăng: ∆1 : x −1 y − z +1 = = −1 ∆ : x + y − z +1 = = −1 Định hứơng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: - 15 +)Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( −2;1;3) +)Đường thẳng ∆1 qua điểm ur u1 ( 1; −1;1) M ( 1;2; −1) có véctơ phương +)Đường thẳng ∆ qua điểm N ( −2;3; −1) có véctơ phương uu r u2 ( −1;2;1) +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng ∆1 ∆ 2)Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ mối quan hệ ta giải toán theo hai hướng sau: Định hướng 1: +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 nên xác định mặt phẳng ( α ) +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ nên xác định mặt phẳng ( β ) Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Định hướng 2: +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 P +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ Q Vậy đường thẳng ∆ đường thẳng PQ Từ dẫn đến cách giải Giải: Cách 1: •Gọi ( α ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ ∆1 uuuu r ur Vậy ( α ) có hai phương: AM ( 3;1; −4 ) u1 ( 1; −1;1) , suy pháp tuyến uu r uuuu r ur  α n = AM ; u1  = ( −3; −7; −4 ) ( ): α  •Gọi ( β ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ ∆ uuur uu r Vậy ( β ) có hai phương AN ( 0;2; −4 ) u2 ( −1;2;1) , suy pháp tuyến uu r uuur uu r nβ =  AN ; u2  = ( 10;4;2 ) (β) : r uu r uu r   u = n ; n Suy đường thẳng cần tìm có phương:  α β  = ( 2; −34;58 ) - 16 Hay ∆ có phương trình: ∆ : x + y −1 z − = = −17 29 Cách 2: Gọi P giao điểm ∆ ∆1 P ∈ ∆1 ⇒ P ( + t ;2 − t ; −1 + t ) Gọi Q giao điểm ∆ ∆ Q ∈ ∆ ⇒ Q ( −2 − t ';3 + 2t '; −1 + t ' ) Mặt khác ba điểm P, A, Q thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay: uuu r uuu r QA ( t '; −2 − 2t ';4 − t ' ) , PA ( −3 − t ; −1 + t ;4 − t ) t ' = −3k − tk t '+ 3k + tk = uuu r uuu r   QA = k PA ⇔ −2 − 2t ' = −k + tk ⇔ 2t '− k + tk = −2 ⇔ t ' = 15 4 − t ' = 4k − tk t '+ 4k − tk =   uuu r  34 58  QA ta có :  ; − ; ÷ Hay đường thẳng ∆ có phương: 15  15 15 15  r x + y −1 z − ∆: = = u ( 1; −17;29 ) qua A nên có phương trình: −17 29 uuuu r ur uuur uu r Cách 3: Ta có:  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 ) ,  AN ; u2  = ( 10;4;2 ) ∆1 r P 2 Gọi u ( a; b; c ) ( a + b + c ≠ ) phương đường • A thẳng ∆ cần tìm uuuu r ur r +) Ba vectơ AM , u1 , u đồng phẳng ∆2 Q uuuu r ur r ⇔  AM , u1  u = ⇔ 3a + 7b + 4c = ( 1) uuur uu r r +) Ba vectơ AN , u2 , u đồng phẳng uuur uu r r ⇔  AN , u2  u = ⇔ 10a + 4b + 2c = ( ) Với t ' = Từ (1) (2): 3a + 7b + 4c = 3a + 7b − 20a − 8b = b = −17 a ⇔ ⇔  5a + 2b + c = c = −5a − 2b c = 29a r Vì a + b + c ≠ ⇒ a ≠ vécctơ u ( a; −17a;29a ) hay đường thẳng cần tìm có r x + y −1 z − = = phương u ( 1; −17;29 ) qua A nên có phương trình: ∆ : −17 29 Bài Trong không gian tọa độ Oxyz.Viết phương trình đương thăng ∆ qua A ( 1;2;3) - 17  x = − 2t x −1 y + z −  = = đồng thời vuông góc với d1 cắt d2,biết d1 :  y = + 4t , d : −1 z = 4− t  Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +)Điểm qua đường thẳng cần tìm : A ( 1;2;3) +)Đường thẳng d1 qua điểm ur u1 ( − 2;4; − 1) M ( 6;1;4 ) có véctơ phương +)Đường thẳng d qua điểm uu r u2 ( 2;1; −1) N ( 1; −2;3) có véctơ phương +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d Đường thẳng ∆ vuông góc với d1 (có thể cắt không cắt) 2)Cần xác định véctơ phương đương thẳng ∆ Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau: Không thể dựa vào điều kiện ∆ cắt d1 mối quan hệ không chắn xảy Định hướng 1: (Xác định điểm qua) +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d P uuu r ur uuu r ur +)Đường thẳng ∆ vuông góc với d1 nên AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = Suy đường thẳng ∆ đường thẳng PA Định hướng 2: +)Đường thẳng ∆ cắt đường d nên xác định mặt phẳng ( α ) +)Đường thẳng ∆ vuông góc với d1 nên xác định mặt phẳng ( β ) qua A vuông góc với d1 Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Từ dẫn đến cách giải Cách giải: Cách 1: Gọi giao đường thẳng ∆ với d P, suy P ∈ d hay uuu r P ( + 2t; −2 + t ;3 − t ) Véctơ AP ( 2t ; t − 4; −t ) - 18 -Mặt khác ∆ vuông góc với d1 nên: uuur ur uuur ur AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = ⇔ − 4t + 4t − 16 + t = ⇔ t = 16 uuu r x −1 y − z − = = Suy AP ( 32;12; −16 ) , hay ∆ : −4 uu r uuu r uu r   = ( −4;0; −8 ) α d n = NA , u ( ) Cách 2: Gọi mặt phẳng xác định ∆ α  2 Mặt khác ( α ) chứa ∆ nên qua A ( α ) : x + z − = ur Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vuông góc với d1 , nên nhận u1 ( −2;4; −1) làm ( β ) : 2x − y + z + = véctơ pháp tuyến r uu r uu r Vì ∆ giao ( α ) ( β ) nên có phương u =  nα , nβ  = ( 8;3; −4 )  x = + 8t  Phương trình đường thẳng ∆ :  y = + 3t ( t ∈ R )  z = − 4t  Ngoài hai cách giải trên, ta tìm trực tiếp véctơ phương r Cách 3: Gọi u ( a; b; c ) phương đường thẳng ∆ cần tìm a + b + c ≠ uuu r uu r r Vì ∆ cắt d nên ba véctơ NA; u2 u đồng phẳng: uuu r uu r r  NA, u2  u = ⇔ 4a + 8c = ⇔ a = −2c ( 1)   r ur Mặt khác ∆ ⊥ d1 ⇔ u.u1 = ⇔ −2a + 4b − c = ( ) Từ (1) (2) ta có: 3c + 4b = ⇔ 3c = −4b b = Chọn c = −4 ⇒  a =  x = + 8t  Vậy ∆ có phương trình: ∆ :  y = + 3t ( t ∈ R )  z = − 4t  Cách 4: Gọi K ( x; y; z ) K thuộc đương thẳng cần tìm uuur uuu r uu r uuur uuu r uu r    AK ; NA; uđồng phẳng  AK  NA, u2  = ⇔  uuur ur ( I)  uuur ur  AK ⊥ u1  AK u1 = −4 ( x − 1) − ( z − 3) = x + 2z − = ⇔ ⇔ 2 x − y + z + = −2 ( x − 1) + ( y − ) − ( z − 3) = - 19 Đặt z = t : ta có  x = − 2t  x = − 2t  ⇔  17 14 − 4t − y + t + =  y = − t  4  x = − 2t  17 Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình ∆ :  y = − t 4  t  z = ( t ∈ R) Qua toán cho thấy, toán có cách giải mà toán, trường hợp, học sinh định hướng cho nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm toán Có cách giải hiệu toán gặp khó khăn toán khác Như toán sau: Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z + 17 = mằt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S) biết tiếp tuyến qua M ( 1;8;2 ) song song với mặt phẳng (α) 2 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lương nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +)Điểm qua đường thẳng cần tìm : M ( 1;8;2 ) uu r +) Mặt phẳng ( α ) có véctơ pháp tuyến nα ( 2; −1;2 ) +) Mẳt cầu ( S ) có tâm bán kính I ( 1;3; −2 ) , R = +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ / / ( α ) Đường thẳng ∆ tiếp xúc vơi mặt cầu (S) ⇔ khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ R 2)Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ định hướng trên, học sinh giải Bài toán với đầy đủ cách Bài Cách giải: r Gọi u ( a; b; c ) phương đường thẳng ∆ cần tìm a + b + c ≠ Vì ∆ / / ( α ) nên ta có: r uu r u.nα = ⇔ 2a − b + 2c = ⇔ b = 2a + 2c ( 1) - 20 uuur r uuur r +) IM ( 0;5;4 ) , u ( a; b; c ) ,  IM , u  = ( 5c − 4b;4a; −5a ) Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) uuur r 2  IM , u  ( 5c − 4b ) + ( 4a ) + ( −5a )   d ( I,∆) = R ⇔ =R⇔ =3 r u a2 + b2 + c2 ⇔ ( 5c − 4b ) + ( 4a ) + ( −5a ) = a + b + c ( 8a + 3c ) + ( 4a ) + ( −5a ) = a + ( 2a + 2c ) + c 2 ( 2) Từ (1) (2) ta có: ⇔ 2 ⇔ 105a + 48ac + 9c = 45a + 72ac + 45c ⇔ 5a − 2ac − 3c = a c =1 a = c ⇔ ⇔ 5a = −3c a = −  c Vì a + b + c ≠ suy a ≠ b = Nếu a = c chọn a = ⇒  c = Tiếp tuyến cần tìm: ∆1 : x −1 y − z − = = b = Nếu 5a = −3c chọn a = −3 ⇒  c = Tiếp tuyến cần tìm: ∆ : x −1 y − z − = = −3 Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề ∆1 : x −1 y − z − x −1 y − z − = = = = ∆ : −3 Như toán giải không khó khăn!nhưng sử dụng cách khác giải được, nhiên phức tạp Ví ta dùng cách xác định hai điểm qua: Đề cho điểm nên ta cần xác định thêm điểm Điểm tìm tiếp điểm Cách khác: Gọi K ( x; y; z ) tọa độ tiếp điểm ta tìm K nhờ uuuu r uu r uur uuuu r điều kiện sau: +) K ∈ ( S ) , +) MK nα = , +) IK MK = - 21 Bài 10 Trong không gian tọa đô Oxyz cho đường thẳng x = + 4t  d: y = 3+ 2t nằm mặt phẳng P : −x + y + 2z + = z = −3+ t  ( ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P) cách d khoạng 14 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: uu r +)Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP ( −1;1;2 ) r M 2;3; − ( ) u +)Đường thẳng d qua có phương ( 4;2;1) +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊂ ( P ) Đường thẳng ∆ / /d 2)Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: r Cách 1: Đường thẳng ∆ có phương u ( 4;2;1) với d Điểm qua: Gọi A ( x0 ; y0 ; z0 ) hình chiếu M đường thẳng ∆, suy ra:  AM = 14 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  AM = 14 rr  uuuu   AM ⊥ d ⇔ AM u = ⇔   4 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) =  A∈( P)  A∈( P) − x + y + z + = 0    ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  ⇔ 4 x0 + y0 + z0 − 11 = − x + y + z + = 0  Đặt z0 = 11 − 2t , ta có hệ: ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔ 4 x0 + y0 − 2t = ⇔  y0 = −2 x0 + t − x + y + 22 − 4t + = −3x − 3t + 27 = 0 0   - 22 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( − t ) + ( 3t − 21) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t    t =  14t − 196t + 672 =  t =   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t     x0 =  Với t = ⇒  y0 = , ⇒ A ( 1;6; −5 )  z = −5  Đường thẳng cần tìm có phương trình: x −1 y − z + = =  x0 =  Với t = ⇒  y0 = , ⇒ A ( 3;0; −1)  z = −1  Đường thẳng cần tìm có phương trình: x − y z +1 = = Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình: x −1 y − z + x − y z +1 = = = = 4 Cách 2: (Giao hai mặt phẳng) Đường thẳng cần tìm giao mặt phẳng (P) với mặt phẳng (α) vuông góc với (P) cách d khoảng 14 uu r uu r uu r Mặt phẳng (α) có véctơ pháp tuyến: nα = ud ; nP  = ( 3; −9;6 ) nên phương trình x − 3y + 2z + d = có dạng: Mặt khác: d ( d , ( α ) ) = 14 ⇔ d ( M , ( α ) ) = 14 ⇔ 2−9−6+d 1+ + = 14 - 23  d = −1 ⇔ d − 13 = 14 ⇔   d = 27 •Với d = −1 ⇒ ( α ) : x − y + z − = Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: y = x = x − 3y + 2z −1=   ⇒ x + 2z − 1= ⇒ y =  −x + y + 2z + = −x + 2z + = z = −1    x = + 4t  Đường thẳng có phương trình:  y = 2t  z = −1 + t  •Với d = 27 ⇒ ( α ) : x − y + z + 27 = Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: y = x = x − 3y + 2z + 27 =   ⇒ x + 2z + = ⇒ y =  −x + y + 2z + = −x + 2z + 11= z = −5    x = + 4t  Đường thẳng có phương trình:  y = + 2t  z = −5 + t   x = + 4t  x = + 4t   Vậy có hai đường thẳng cần tìm:  y = 2t  y = + 2t  z = −1 + t  z = −5 + t   Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm) Gọi K ( x '; y '; z ') điểm thuộc đường thẳng cần tìm Ta có: +) K ∈ ( P ) ⇔ − x '+ y '+ z '+ = +) d ( K ; d ) = 14 (1) (2) Gọi (β) mặt phẳng chứa d vuông góc với mặt phẳng (P) Mặt phẳng (β) có pháp tuyến qua M ( 2;3; −3) có véctơ pháp tuyến uu r uu r r  nβ =  nP , u  = ( −3;9; −6 ) có phương trình: x − y + z + 13 = - 24 Ta có: d ( K ; d ) = 14 ⇔ d ( K ; ( β ) ) = 14 ⇔ x '− y '+ z '+ 13 14 = 14  x '− y '+ z '+ 13 = 14 ⇔ x '− y '+ z '+ 13 = 14 ⇔   x '− y '+ z '+ 13 = −14  x '− y '+ z '− = ⇔  x '− y '+ z '+ 27 = ( 3) ( 4)  x '− y '+ + 6t − =  x ' = 11 + 12t ⇔ Từ (1) (3), đặt z ' = + 3t , ta được:  − x '+ y '+ + 6t + =  y ' = + 6t Vậy đường thẳng cần tìm cps phương trình dạng tham số:  x = 11 + 12t   y = + 6t ( t ∈ R )  z = + 3t  Từ (1) (3), đặt z ' = + 3t , ta được:  x '− y '+ + 6t + 27 =  y ' = 18 + 6t ⇒  − x '+ y '+ + 6t + =  x ' = 25 + 12t Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:  x = 25 + 12t   y = 18 + 6t ( t ∈ R )  z = + 3t  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với nội dung ý tưởng đề tài hy vọng SKKN phổ biến rộng rãi đến đồng nghiệp, học sinh bạn đọc khác, góp phần truyền đạt cho học sinh cách tiếp cận môn Toán thật đa dạng tự nhiên để có hiệu cao Sau nghiên cứu áp dụng vào tiết dạy lớp, thấy học sinh không lúng túng trước toán hình học không gian tọa độ mà sau số tập định, em suy luận cách logíc vấn đề định hướng tốt cách giải toán nhận từ em học sinh câu hỏi “ Thầy ơi! cách giải khác cho toán không?” em thuộc câu nói vui tôi: “Bài toán khó nhiều cách giải” để tạo niền tin Đa số em học sinh có lực học từ trung bình trở lên tự tin làm hết Bài tập SGK tập sách Bài tập hình học nâng cao 12 - 25 Đặc biệt, có em đưa nhiều cách giải cho toán không dừng lại cách giải cho toán Kết đạt : Đối với chương trình cải cách SGK mới, so sánh kết năm học trước (2015-2016) năm học vừa qua (2016-2017) (Áp dụng giảng dạy năm học 2016 - 2017) cho thấy tiến rõ học sinh Theo phân công chuyên môn nhà trường, phụ trách dạy áp dụng ba lớp thuộc ba ban : Cơ D, Cơ A ban KHTN Kết qủa so sánh thể bảng sau : Năm học 2015 - 2016 Năm học 2016 - 2017 Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm 8 8 % % % % % % % % 60,25 25,32 14,43 0,00 0,67 37,18 46,25 15,90 32,32 50,02 13,82 3,84 0,00 32,19 32,58% 35,23 9,05 20,05 55,36 15,54 0,00 25,05 35,41 39,54 Ban Cơ D Ban Cơ A Ban KHTN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua SKKN rút cho riêng thân học kinh nghiệm là: - Trong trình giảng dạy không thiết phải chọn hay trình bày toán khó, hay lời giải ngắn gọn ( hiểu mà học sinh không hiểu ) Phải xác định vị trí – đóng vai trò hướng dẫn – giải thay học sinh Dạy cho học sinh biết làm toán giải toán cho học sinh - Luôn trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi, tích lũy cho nhiều hướng giải toán để chủ động việc hướng dẫn học sinh - 26 Từ toán cách giải toán, ta thấy học sinh định hướng tốt cách giải toán khả giải toán tăng lên Vậy để định hướng cách giải, người học xuất phát từ đâu! Tất nhiên phải từ giả thiết toán, phải nắm đề cho đại lượng nào, yêu cầu tìm đại lượng đề tìm mối liên hệ đại lượng với Từ hình thành nên cách giải cho học sinh, tạo cho học sinh niềm tin vào mình, khả giải toán Trên kinh nghiệm thực tiễn trình giảng dạy, tìm tòi đúc rút kinh nghiệm thân, với đề tài hy vọng giúp em học sinh tự tin việc giải toán hình học không gian phương pháp tọa độ, biết tìm tòi, sáng tạo giải toán, tìm nhiều hướng giải đứng trước vấn đề 3.2 Kiến nghị Với nội dung có hạn đề tài nghiên cứu, xin kiến nghị đến Sở GD & ĐT, nhà trường đồng nghiệp đưa vào ứng dụng tiếp tục mở rộng thêm nội dung đề tài cho rất nhiều nội dung khác môn Toán như: Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình,….Từ tạo niền đam mê học Toán cho học sinh, để em thoát khỏi khái niện học để “thi” Cuối cùng, xin cảm ơn thầy cô tổ Toán đọc, góp ý giúp đỡ hoàn thành đề tài MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO - 27 Bài 1: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có A ( 1;2; −1) , C ( 3; −4;1) , B ' ( 2; −1;3) D ' ( 0;3;5 ) Tìm tọa độ đỉnh lại hình hộp 2 Bài 2: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + z − 15 = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d : x + 10 y + 10 z = = tiếp xúc với mặt cầu 10 Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm A ( 1; −1;2 ) , song song với đường thẳng d : x +1 y −1 z +1 = = tạo với mặt phẳng ( yOz ) góc 600 −1 Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng d: x − y +1 z + (t ∈ R ) mp(P): x + y − z − = = = −2 Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:  x = + 4t   y = −1 − 2t  z = −5 + 3t  qua mp(P): x + y − z − = Bài 6: Cho đường thẳng d: x −1 y − z − = = 2 mặt phẳng ( P) : 2x + z − = a/Xác định tọa độ giao điểm A d (P) b/Viết phương trình đường thẳng d ' qua A, nằm (P) vuông góc với d Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng: ∆1 : x − y − z − 10 = = −1 ∆2 : x+4 y −3 z −4 = = −7 - 28 Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 9;0;9 ) , B ( 12; −6; −3) đường thẳng d : x y z −9 = = Tìm điểm N d cho NA − NB lớn 1 −1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Toán nâng cao cho học sinh - Hình học ( Phan Huy Khải - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội ) 2/ Bài giảng chuyên sâu Toán THPT (Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn Nhà xuất Hà Nội) 3/ Hình học 12- Chuẩn ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) 4/ Hình học 12- Chuẩn- Sách giáo viên ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) 5/ Hình học 12- Nâng cao ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) 6/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trần Tuấn Ngọc - 29 ... Qua toán cho thấy, toán có cách giải mà toán, trường hợp, học sinh định hướng cho nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm toán Có cách giải hiệu toán gặp khó khăn toán khác Như toán. .. sinh giải toán theo kiểu “ tù mù” không định hướng rõ cách giải mình, chí có em giải xong toán rồi, hỏi lại giải toán theo hướng chẳng biết lý sao, đơn giản “cảm thấy” giải thử may mắn giải Và... em suy luận cách logíc vấn đề định hướng tốt cách giải toán nhận từ em học sinh câu hỏi “ Thầy ơi! cách giải khác cho toán không?” em thuộc câu nói vui tôi: “Bài toán khó nhiều cách giải để tạo