Chuyên đề toán ,sự tương giao giữa hai đồ thị

2 Phương trình  1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm... Tìm m đồ thị C mcắt trục hoành tại ba điểm phân biệt... 2 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ th

CHỦ ĐỀ 2.1 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Để tính tung độ y của giao điểm, ta thay hoành độ 0 x vào 0 y f x  hoặc y g x 

 Điểm M x y 0; 0 là giao điểm của (C và 1) (C 2)

Phương trình  1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm Ta có 2 trường hợp:

 Trường hợp 1: Phương trình  1 có “nghiệm đẹp” x 0

Thường thì đề hay cho nghiệm x0 0; 1;  2; thì khi đó:

+  C và d có ba giao điểm  phương trình  1 có ba nghiệm phân biệt  phương trình

 2 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x (Đây là trường hợp thường gặp) 0

+  C và d có hai giao điểm  phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt  phương trình

 2 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x0 hoặc phương trình  2 có nghiệm kép khác x 0

+  C và d có một giao điểm  phương trình  1 có một nghiệm  phương trình  2 vô nghiệm hoặc phương trình  2 có nghiệm kép là x 0

 Trường hợp 2: Phương trình  1 không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi

phương trình  1 sao cho hạng tử chứa x tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham số

m nằm bên vế phải, nghĩa là  1  f x( )g m( )

Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số y f x  và biện luận số giao điểm của  C và

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

x x x

ba giao điểm A0;1 , B 1;1 ,C2;1 

Ví dụ 2: Cho hàm số ymx3x22x8m có đồ thị là C m Tìm m đồ thị C mcắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt   1 có ba nghiệm phân biệt

 2 có hai nghiệm phân biệt khác 2

m m m

m thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số yx3mx cắt trục hoành tại một điểm duy nhất 2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất m 3 Vậy 3

m   thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị  C của hàm số yx33x29xm cắt trục hoành tại ba điểm

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số yx33x29x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  1 có ba nghiệm phân biệt

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A1; 0 với hệ số góc k (k   Tìm ) k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số( ) :C 3 2

II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

0

yax bx c a có đồ thị  C và đường thẳng yk có đồ thị d Lập phương trình hoành độ giao điểm của  C và d: 4 2  

  C và d có bốn giao điểm   1 có bốn nghiệm phân biệt   2 có hai nghiệm dương

phân biệt  phương trình  2 thỏa

000

P S

(Trường hợp này thường gặp)

  C và d có ba giao điểm   1 có ba nghiệm phân biệt   2 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm t 0

  C và d có hai giao điểm   1 có hai nghiệm phân biệt   2 có nghiệm kép dương

hoặc có hai nghiệm trái dấu

  C và d không có giao điểm   1 vô nghiệm   2 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm

  C và d có một giao điểm   1 có một nghiệm   2 có nghiệm t 0 và một nghiệm

âm

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị ( ) :C yx42x2 và trục hoành 3

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

Vậy có hai giao điểm: A1;0 ,  B1; 0 

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x42x2m 3 0 có bốn nghiệm phân biệt

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số yx42x2 3

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt   1 có bốn nghiệm phân biệt

 2 có hai nghiệm dương phân biệt 

50

43

m m

m m

m t



 có đồ thị là ( )C Tìm m để đường thẳng d y:   x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

dcắt ( )C tại hai điểm phân biệt   1 có hai nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1    

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

2

mx y x





 có đồ thị là C m Tìm m để đường thẳng d y: 2x cắt đồ 1thị C m tại hai điểm phân biệt A B sao cho , AB  10

d cắt C mtại hai điểm phân biệt A B ,  1 có hai nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

  3 2 8 0

m m

Theo định lý Viet ta có

1 2

1 2

3212

2 22

Ví dụ 4: Cho hàm số 2 1

1

x y x

Suy ra d luôn cắt ( )C tại hai điểm , A B phân biệt với mọi m

Gọi A x y 1; 1; B x y 2; 2, trong đóy1 2x1m y; 2  2x2 và m x1, x là các nghiệm của 2

 1 Theo định lý Viet ta có

1 2

1 2

4212



 

281

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

; 4 2

3

4 3

Câu 15 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN với M N, là giao điểm của đường thẳng

d:y x 1 và đồ thị hàm số ( )C : 2 2

1

x y x





 là

A I   1; 2  B I  1; 2  C I1; 2   D I1; 2 

Câu 16 Gọi M N, là hai giao điểm của đường thẳng d y:  x 1 và  : 2 4

5.2

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Câu 27 Cho hàm số 4 2

2

y x  x m Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục

hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt là

A 0m1 B  1 m0 C  1 m0 D  1 m0

y x x mxm  Tất cả giá trị của thma số m để đồ thị hàm số đã cho

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

A  2 m 1 B 2 2

1

m m

Câu 31 Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 2x42x21 cắt đường thẳng y3m tại

ba điểm phân biệt là

A 1 1

1.2

x  x m   có ba nghiệm phân biệt, trong

đó có hai nghiệm dương là

A  1 m1 B  1 m1 C  1 m3 D  1 m1

Câu 35 Cho hàm số y 2x33x2 có đồ thị  1 C như hình vẽ. Dùng

đồ thị  C suy ra tất cả giá trị tham số m để phương trình

Câu 36 Cho phương trình x33x2  1 m  (1) Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân 0

biệt thỏa x1 1 x2 x3 khi

Câu 37 Cho hàm số 3 2

y x  x  có đồ thị ( )C và đường thẳng d y:   Giao điểm của ( )x 1 C và

d lần lượt là A1;0, B và C Khi đó khoảng cách giữa B và C là





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d: y2x Đường thằng 3 d cắt ( )C tại hai điểmA và B Khoảng cách giữaA và B là





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d: y2x m Đường thằng d cắt ( )C tại hai điểm A và B khi giá trị của tham số m thỏa

Câu 43 Cho đồ thị  C :y2x33x2 Gọi 1 d là đường thẳng qua A0; 1  có hệ số góc bằng k

Tất cả giá trị k để  C cắt d tại ba điểm phân biệt là

A

9.80

k k

k k

k k

k k

Câu 44 Cho hàm số yx33x2 có đồ thị4  C Gọi d là đường thẳng qua I1; 2 với hệ số góc k

Tập tất cả các giá trị của k để d cắt  C tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm

của đoạn thẳng AB là

A  0 B  C  3 D   3; 

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Câu 51 Cho hàm số yx33x2m có đồ thị 1 ( )C Giá trị của tham số m để đồ thị ( ) C cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

A m 0 B m 3 C m  3 D m  6

Câu 52 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d y:  x m Đường thẳng ( )d cắt đồ thị ( )C tại hai điểm A và B Với C ( 2;5), giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là

Câu 53 Cho hàm số 4   2

yx  m x  m có đồ thị ( )C Tất cả các giá trị của tham số m để đường

thẳng d: y 2 cắt đồ thị ( )C tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 3 là

m m

2

m m

Câu 54 Cho hàm số: 3 2

yx  mx  m x có đồ thị ( )C Đường thẳng d y:    cắt đồ thị x 2( )C tại ba điểm phân biệt A0; 2 ,   B và C Với M(3;1), giá trị của tham số m để tam giác

y x mx  x m có đồ thị C m Tất cả các giá trị của tham số m để

C m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, , x2 x thỏa 3 x12x22x32 15 là

A m 1 hoặc m  1 B m  1 C m 0 D m 1

Câu 57 Cho đồ thị  

21:

 và đường thẳng d y: m Tất cả các giá trị tham số m để   C

cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  2 là

Phương trình hoành độ giao điểm:x42x2  1 0 x  2 1 x   1 x 1

Vậy số giao điểm là 2

Lập phương trình hoành độ giao điểm: x32x2  x 120x3

Vậy có một giao điểm duy nhất

Câu 4 Chọn C.

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Lập phương trình hoành độ giao điểm 2 1 2

x x

x

x x

Câu 12 Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm: 2

2 1

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Yêu cầu bài toán   1 m Vậy chọn 13  m3

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp đáp án

+Với m 2, giải phương trình 3

x  x  ta bấm máy được ba nghiệm  loại C, D

+Với m   , giải phương trình 1 x33x20 ta bấm máy được hai nghiệm  loại B

Đường thẳng d y: m cắt  C tại ba điểm phân biệt khi:  2 m2

x

'

y y

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt  d cắt  C tại bốn điểm phân biệt 0 9



Phương pháp trắc nghiệm:

+Với m 3, ta giải phương trình x42x2 0 x 0 x 2x  2loại B, D

+Với m 2, ta giải phương trình x42x2 1 0 x 1 x  1 loại A

x  x  m Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của

đồ thị hàm số ( )C : y x33x2 và đường thẳng 4 d:ym Số giao điểm của ( )C và d là

số nghiệm của (*) Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán  m   Vậy chọn 4 m   4

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Với x0 y1 nên yêu cầu bài toán   1 m Vậy chọn 11  m1

Phương pháp trắc nghiệm: Xét m  , ta được phương trình 1 3 3 0 0

Câu 35 Chọn A.

Phương trình  1 2x33x2 1 2m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  1 C

và d y: 2m (là đường thẳng song song hoặc trùng với 1 Ox)

Phương trình có ba nghiệm phân biệt   C cắt dtại ba điểm phân biệt  1 2m 1 0

Chọn m 2thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính

Ta nhận thấy (1) chỉ có một nghiệm Suy ra loại

được đáp án B

Tiếp tục thử m  1 thay vào (1) tìm nghiệm bằng

máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm nhưng có

một nghiệm bằng 1 Suy ra loại A

Tiếp tục thử m  2 thay vào (1) tìm nghiệm bằng

máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm thỏa yêu

cầu bài toán Suy ra loại D

- Nhập máy tính tìm nghiệm phương trình bậc ba

- Gán hai nghiệm khác 1 vào Bvà C

- Nhập máy X 1 Dùng lệnh CALC tìm tung độ của điểm B và C gán vào hai biến D và E

28(1 ) 0

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Chọn m 0 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính, ta nhận thấy (1) vô nghiệm Suy ra loại được A và C

Tiếp tục chọn m   4 2 6 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính, ta nhận thấy (1) có nghiệm kép Suy ra loại B

P S

50

43

m m

m m

m m

k k

k k

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

Yêu cầu bài toán

2

2

( 1) 4( 1) 0

1 5 (*)( 1) ( 1) 1 0

Nhận thấy m 0 thỏa yêu cầu

Tượng tự chọn m 6 kiểm tra tương tự m 0 nhận thấy m 6 thỏa yêu cầu bài toán

A

k x

phương trình d, nên tọa độ trung điểm I là

1 2 22

I

x x x

Phương pháp tự luận: Xét m  , phương trình 1 x  2 1 0 có hai nghiệm (loại)

Khi m  ta thấy đồ thị hàm luôn có có hai điểm cực trị Vậy ta tìm giá trị cực đại và cực tiểu 1của hàm số như sau:

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

x  x  m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng

Suy ra đường thẳng ym đi qua điểm uốn của đồ thị yx33x2 (do đồ thị 1 ( )C nhận

điểm uốn làm tâm đối xứng) Mà điểm uốn của 3 2

yx  x  là I(1; 3) Suy ra m  3 Vậy chọn m  3

Phương pháp trắc nghiệm

Chọn m  3 thay vào phương trình x33x2m  1 0

Ta được x33x2  Dùng chức năng tìm nghiệm phương trình bậc ba ta được ba nghiệm 2 0

1 2

1 2

31

Vậy tam giác ABC

đều khi và chỉ khi

trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3

2

m m

phân biệt khác 0

2

11

1 0

m

m m

m m

Chuyên đề 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số BTN_2_1

C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác 1

m m

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án

+ Với m  2, ta giải phương trình bậc ba: 1 3 2 4

x x

m x

 C cắt d tại hai điểm phân biệt  Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác 1

1 2

1 2

11