hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 12 tháng năm 2015 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (1,5 điểm) Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 + + + + + ÷ ÷ ÷ 3 2 a + b a b a + b a b a + b a b ( ) ( ) ( ) Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: 2x2 + x + = 3x x + ( )( )( ) 3 3 3 b) Chứng minh rằng: abc a − b b − c c − a M7 với số nguyên a , b, c Câu (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD F Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực AC E Hai đường thẳng BC EF cắt K Tính tỉ số KE KF Câu (1 điểm) Cho hai số dương a , b thỏa mãn điều kiện: a + b ≤ Chứng minh rằng: a2 − a − ≤− 4a b Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm cạnh BC N điểm đối xứng M qua O Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC D Kẻ đường kính AE Chứng minh rằng: a) Chứng minh BA.BC = 2BD.BE b) CD qua trung điểm đường cao AH tam giác ABC Câu (1 điểm) Mười vận động viên tham gia thi đấu quần vợt Cứ hai người họ chơi với trận Người thứ thắng x1 trận thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận thua y2 trận, , người thứ mười thắng x10 trận thua y10 trận Biết trận đấu quần vợt kết hòa Chứng minh rằng: 2 x12 + x22 + + x10 = y12 + y22 + + y10 HẾT hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Hướng dẫn giải Câu Với ab= , a + b ≠ 0, ta có: P= a +b 3 ( a + b) ( ab) 3 + 3( a2 + b2 ) ( a + b) ( ab) + 6( a + b) = ( a + b) ( ab) a3 + b3 ( a + b) + 3( a2 + b2 ) ( a + b) + 6( a + b) ( a + b) 2 a2 + b2 − 3( a + b ) = + + 4 ( a + b) ( a + b) ( a + b) (a = + b2 − 1) ( a + b) + 3( a2 + b2 ) + (a = (a = + b2 ) + 4( a2 + b2 ) + 2 + b2 − 1) ( a2 + b2 + 2) + 3( a2 + b2 ) + ( a + b) ( a2 + b2 + 2ab) 2 ( )( x −3 x ( ) ( )( ) ( x+3 + ⇔ x −2 x ( ( a + b) ( a + b) 4 (a = + b2 + 2) ( a + b) ( a + b) =1 = = 4 ( a + b) ( a + b) Vậy P = 1, với ab= , a + b ≠ Câu 2a Điều kiện: x ≥ −3 Với điều kiện trên, phương trình trở thành: ( ) 2 ) ( )( x+3 − x ) ) x+3 ( ⇔ 2x x − x + − x + x − =0 ) ( x + 3) x + 3) = x+3 + =0 x + = x (1) ⇔ x − x + 2x − x + = ⇔ x + = 2x (2) x ≥ x ≥ x ≥ + 13 x = + 13 ⇔ ⇔ x = • (1) : x + = x ⇔ ⇔ 2 x + = x x − x − = − 13 x= x ≥ x ≥ x ≥ x = ⇔ ⇔x=1 • (2) : x + = 2x ⇔ ⇔ x + = x x − x − = x = − So với điều kiện ban đầu, ta tập nghiệm phương trình cho là: + 13 S = 1; ( )( ) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Câu a) Chứng minh BA BC = 2BD BE · · · · • Ta có: DBA + ABC = 900 , EBM + ABC = 90 · · (1) ⇒ DBA = EBM F • Ta có: ∆ONA = ∆OME (c-g-c) · · ⇒ EAN = MEO · · · Ta lại có: DAB + BAE + EAN = 900 , · · · BEM + BAE + MEO = 900 D · · (2) ⇒ DAB = BEM • Từ (1) (2) suy ∆BDA # ∆BME (g-g) BD BA BC ⇒ = ⇒ BD.BE = BA.BM = BA BM BE ⇒ 2BD.BE = BA.BC b) CD qua trung điểm đường cao AH ∆ ABC • Gọi F giao BD CA B Ta có BD.BE = BA.BM (cmt) BD BM ⇒ ∆BDM # ∆BAE (c-g-c) ⇒ = BA BE · · · · » ) Mà BCF (cùng chắn AB ⇒ BMD = BEA = BEA · · ⇒ MD / /CF ⇒ D trung điểm BF ⇒ BMD = BCF • Gọi T giao điểm CD AH T H CT = (HQ định lí Te-let) ∆BCD có T H / /BD ⇒ BD CD T A CT = (HQ định lí Te-let) ∆FCD có T A / /FD ⇒ FD CD Mà BD = FD (D trung điểm BF ) • Từ (3), (4) (5) suy T A = T H ⇒ T trung điểm AH A N T O H M C E (3) (4) (5) ... + 13 S = 1; ( )( ) hoctoancapba. com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán hoctoancapba. com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có.. .hoctoancapba. com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Hướng dẫn