hoctoancapba com ts10 2015 2016 AN GIANG (DE CHUYEN) _THI VÀO 10 THPT

hoctoancapba.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Môn : TOÁN (ĐỀ CHUYÊN) Khóa ngày 18 - - 2015 Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh: Phòng thi số: Bài 1: (1,0 điểm) Cho 𝐴 = 𝑥 + 3(𝑥 − 3) + 𝑥 − 3(𝑥 − 3) Tính 𝐴 𝑥 = Bài 2: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: = 𝑦 2𝑦 + = 𝑥 2𝑥 + m o c a b p a c n a to Bài 3: (2,0 điểm) Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: Từ chứng minh ∶ 1 + + + ⋯+ 𝑛 𝑛+1− 𝑛 >2 𝑛 >2 𝑛−2 Bài 4: (1,5 điểm) Tìm 𝑎; 𝑏; 𝑐 biết phương trình 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = có tập nghiệm 𝑆 = {−1; 1} Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn góc A 600 nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Các đường cao BD CE tam giác cắt H a Chứng minh AD AC = AE AB; b Chứng minh BC = DE; c Kéo dài BH cắt đường tròn tâm O H’ Chứng minh H H’ đối xứng qua AC hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, ABC có bán kính h c o Bài 6: (1,0 điểm) Cầu Vàm Cống bắc ngang qua Sông Hậu nối liền hai tỉnh Cần Thơ Đồng Tháp thiết kế theo kiểu dây giăng hình vẽ Chiều cao từ sàn cầu đến đỉnh trụ đỡ AB=120m, dây giăng AC=258m, chiều dài sàn cầu từ B đến C 218m Hỏi góc nghiêng sàn cầu BC so với mặt nằm ngang (giả thiết xem trụ đỡ AB thẳng đứng) Hết hoctoancapba.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH 10 Năm học 2014 -2015 MÔN TOÁN (CHUYÊN) A ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN Bài 𝐴= Bài 1,0 điểm Khi 𝑥 = ⇒ 𝐴 = = = Bài 1,5 điểm 𝑥 + 3𝑥 − + 𝑥 − 3𝑥 − Bài 2,0 điểm 0,25 5+2 6+ 5−2 + + + − + 3+ 2 + 3− 2 0,25 0,25 m o c a b p a c n a to = 3+ 2+ 3− 2=2 2𝑥 + = 𝑦 2𝑦 + = 𝑥 Điều kiện 𝑥 ≠ ; 𝑦 ≠ hệ trở thành 5𝑦 2𝑥𝑦 + = 2𝑥𝑦 + = 5𝑥 5𝑦 Từ hai phương trình hệ ta = 5𝑥 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 Thay vào phương trình ban đầu hệ ta có 2𝑥 + = ⟺ 4𝑥 − 5𝑥 + = ⟺ 𝑥 = ; 𝑥 = 2𝑥 Với 𝑥 = ⇒ 𝑦 = 1 𝑥= ⇒𝑦= Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1 1; , ; Chứng minh ≥2 𝑛 𝑛+1− 𝑛 Ta có 𝑛+1+ 𝑛 = 𝑛+1− 𝑛 𝑛+1− 𝑛 𝑛+1+ 𝑛 c o h Điểm = 𝑛+1+ 𝑛 > 𝑛+ 𝑛=2 𝑛 Từ biểu thức chứng minh ta có ≥2 𝑛+1− 𝑛 𝑛 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 hoctoancapba.com Cho 𝑛 từ đến 𝑛 ta có: >2 2− 1 >2 3− 2 … > 2( 𝑛 + − 𝑛) 𝑛 Cộng bất đẳng thức ta 1 + + ⋯+ > 𝑛 > 2 − + − + ⋯+ 𝑛 + − 𝑛 >2 𝑛+1−2 >2 𝑛−2 điều phải chứng minh Tìm 𝑎; 𝑏; 𝑐 biết phương trình 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = có tập nghiệm 𝑆 = {−1; 1} Phương trình có hai nghiệm 𝑥 = −1 ; 𝑥 = thay nghiệm vào phương trình ta hệ: −1 + 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 1+𝑎+𝑏+𝑐 =0 Trừ hai phương trình ta −2 − 2𝑏 = ⟹ 𝑏 = −1 Bài Cộng hai phương trình ta 𝑎 + 𝑐 = ⟹ 𝑐 = −𝑎 1,5 Phương trình trở thành điểm 𝑥 + 𝑎𝑥 − 𝑥 − 𝑎 = ⟺ 𝑥2 𝑥 + 𝑎 − 𝑥 + 𝑎 = ⟺ 𝑥 + 𝑎 𝑥2 − = theo giả thiết phương trình có tập nghiệm 𝑆 = {−1; 1} phương trình 𝑥 + 𝑎 = phải có nghiệm -1 ⟹ 𝑎 = 1; 𝑎 = −1 số 𝑎; 𝑏; 𝑐 cần tìm 𝑎 = 1; 𝑏 = −1; 𝑐 = −1 hay 𝑎 = −1 ; 𝑏 = −1 ; 𝑐 = 0,25 0,25 m o c a b p a c n a to c o h 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5a 1,0 điểm Hai tam giác vuông ADB AEC có chung góc A nên chúng đồng 0,5 dạng 𝐴𝐷 𝐴𝐵 0,25 ⟹ = ⟹ 𝐴𝐷 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐶 hoctoancapba.com Chứng minh 𝐵𝐶 = 2𝐷𝐸 Xét hai tam giác ADE ABC Góc A chung 𝐴𝐷 𝐴𝐸 Mà = (theo câu a) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Vậy hai tam giác đồng dạng 𝐴𝐷 𝐸𝐷 Bài 5b ⇒ = 1,0 𝐴𝐵 𝐵𝐶 điểm Mặt khác tam giác ABD vuông D có 𝐴 = 600 ⇒ cos 𝐴 = 𝐸𝐷 = ⟹ 𝐵𝐶 = 𝐸𝐷 𝐵𝐶 0,25 0,25 Kéo dài BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H’ Xét hai tam giác vuông AHD AH’D 0,25 Cạnh AD chung 𝐻𝐵𝐶 = 𝐻𝐴𝐶 (góc có cạnh tương ứng vuông góc) 𝐻𝐵𝐶 = 𝐶𝐴𝐻′(cùng chắn cung H’C) ⟹ 𝐻𝐴𝐶 = 𝐶𝐴𝐻′ Mà HH’ vuông với AC nên tam giác AHH’ cân A hay AC 0,25 đường trung trực HH’ H’ điểm đối xứng H qua AC Theo trênAC trung trực đoạn Hai tam giác AH’C AHC Suy bán kính hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC AH’C mà đường tròn ngoại tiếp tam giác AH’C đường tròn O Vậy hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC AHC có bán kính c o h 0,25 m o c a b p a c n a to ⇒ Bài 5c 1,0 điểm 𝐴𝐷 𝐴𝐷 ⟺ cos 600 = = 𝐴𝐵 𝐴𝐵 0,25 0,5 0,25 Bài 1,0 điểm Gọi H hình chiếu vuông góc C lên trụ đỡ AB Đặt BH=x Tam giác AHC vuông H ta 𝐻𝐶 = 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 + 𝑥 = 2582 − 120 + 𝑥 Tam giác BHC vuông H ta 𝐻𝐶 = 𝐵𝐶 − 𝐻𝐵2 = 2182 − 𝑥 0,25 hoctoancapba.com Ta có phương trình 2582 − 120 + 𝑥 = 2182 − 𝑥 ⟺ 2582 − 1202 − 2182 = 240 𝑥 58 ⟺𝑥= Ta lại có 𝐵𝐻 58 29 sin 𝐵𝐶𝐻 = = = 𝐵𝐶 3.218 327 Vậy góc nghiêng BC so với mặt nằm ngang 29 𝜑 = sin−1 ≈ 50 5′ 16′′ 327 0,25 0,25 B HƯỚNG DẪN CHẤM: Học sinh làm cách khác mà điểm tối đa Điểm số chia nhỏ tới 0,25 điểm cho câu đáp án, giám khảo chấm không dời điểm từ phần qua phần khác m o c a b p a c n a to h c o .. .hoctoancapba. com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH 10 Năm học 2014 -2015 MÔN TOÁN (CHUYÊN) A ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN Bài