Đề và đáp án thi tuyển sinh vào 10 các tỉnh tham khảo (34)

Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE vàAF.a Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng - Các cách giải khác đúng thì cho điểm tương ứng

UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012-2013

Môn: Toán Ngày thi: 16/3/2013

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

hai điểm E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE vàAF.

a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng

- Các cách giải khác đúng thì cho điểm tương ứng với biểu điểm đã cho

- Điểm chấm của từng phần được chia nhỏ đến 0,25 điểm Điểm của toàn bài là

tổng điểm của các phần và không làm tròn số.

- Trong cùng một câu, nếu ý trên giải sai hay không giải mà ý dưới có liên quanđến kết quả của ý trên thì không cho điểm ý dưới

II ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:

x x

+ ≥

 + ≥

2 (x y xy xz z)( yz) 0

(x y y z z x)( )( ) 0

0 0 0

z x y

Giả sử A x y( ; ) 0 0 là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn

m m

P E

Suy ra OQ là đường trung bình của ∆ABF

∆ có hai đường cao AB và QKcắt nhau tại O, nên O

là trực tâm của ∆BEQ

0,5

Khi đó OE ⊥BQ, mà PI ⊥BQ Do đó EO//PI

AEO

∆ có P là trung điểm của AE và EO//PH

Suy ra H là trung điểm của OA (đpcm)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao

Câu 2: (4,0 điểm)

) 2 9 3 (

2 2

2 2

2( )

x y

x

+

-1≤y≤ -1(4)

Từ (3) và (4) => y=-1 thay voà (1) => x2-2x+1=0 => x=1

thử lại ta thấy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x=1; y=-1

E

N

B O

=>CON MIO MIO MIC· +· =· +· = 180O

=> 4 điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn

theo câu b ta có ONM· = ·AIM (4)

tương tự 0 < b,c <1

=>(1-a)(1-b)(1-c)>0

=> a+b+c - (ab+bc+ca) + abc <1

=> 2(a+b+c) - 2(ab+bc+ca) + 2abc < 2

=>(a+b+c)2 - 2(ab+bc+ca) + 2abc < 2

=>a2 +b2 +c2 + 2abc< 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠOLONG AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

MÔN THI :TOÁNNGÀY THI: 07/4/2011THỜI GIAN :150 phút (không kể thời gian phát đề)

1/ Cho hàm số y = ax2 (a≠0) có đồ thị là (P) đi qua M(-1;2) Trên (P) lấy A và

B có hoành độ tương ứng là 1 và 2 Xác định m để đường thẳng y = mx +5 song song với đường thẳng AB

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn O bán kính

R Ba đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

a/ Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

b/ Kẻ đường kính AK của đường tròn O.Gọi S là diện tích tam giác ABC

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời

2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x3 + 2x2 + 3x+ = 2 y3.

1 Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ

2 Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn

3 Gọi D là trung điểm của đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF là một tamgiác đều

-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM

(Đáp án biểu điểm này gồm 3 trang)

Câu

2.1

(2,0

đ)

Cho hai số thực a, b thỏa mãn 18a+ 4b≥ 2013 (1)

Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:

-1; x = 1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ;

· 120 0

⇒EMP= + QK cũng là phân giác ·OQP

0,5

0,50,5

Gọi D là trung điểm của đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF

là một tam giác đều.

Do hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng nên: PMPK =PQPE Suy ra:

Suy ra, D là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQEF

Ta có: FDP 2FQD OQP· = · = · ; EDQ 2EPD OPQ· = · = · 0,5

· 0 (· · ) · 0

FDE 180 = − FDP EDQ + = POQ 60 =

K E

F

D N

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 +b2 ≥ 2b nên:

+Tương tự ta có:

-HẾT -Lưu ý: - Các cách giải đúng khác cho điểm tương đương với biểu điểm

- Điểm toàn bài không làm tròn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

GIA LAI Năm học 2011 – 2012

b) Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của phương trình 2012x2 − (20a− 11)x− 2012 0 = (a là

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH vàtrung tuyến AM (H, M thuộc BC) Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đườngthẳng AB và đường thẳng AC lần lượt tại D và E (D và E khác điểm A)

a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DE

b) Chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn Gọi O là tâmcủa đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH là hình gì?

c) Đặt ACBˆ = α ;AMBˆ = β Chứng minh rằng: ( )2

sin α +cos α = + 1 sin β

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD Phòng thi

Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + 2 – a

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

a <a < <a a <a <a <a 0,5đ

H M

O D

E

C B

Vì ADE AEDˆ + ˆ =900 nên MAE AEDˆ + ˆ =900

Suy ra MA vuông góc với

DE 0,5đ

b) Từ ADE MCAˆ = ˆ suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn

(O) 0,5đ

Do OH vuông góc với DE và AM vuông góc với DE nên OH //AM………

Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

x x

x

x x A

1 1

3

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 2020 −x = 2015

Bài 2.(4 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 5n+2 + 26 5n + 8 2n+1  59

1 1 1

c) Khi P chạy trên cung nhỏ BC thì trung điểm I của PA di chuyển trên đườngnào?

Bài 5.(4 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm nằm trên đoạn OA, kẻđường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn MA, kẻ dây CDvuông góc với AB tại I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J

a) Tứ giác ACMD là hình gì? Giải thích?

b) Chứng minh ba điểm D, M, J thẳng hàng

c) Chứng minh đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

d) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất

HẾT PHÒNG GD&ĐT QUY NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

-TRƯỜNG THCS NHƠN BÌNH MÔN : TOÁN 9 (Năm học : 2014

n

tối giản ( n∈N*)Bài 2: (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương phương trình : xy2 + 2xy− 243y+x= 0

Bài 3 : (2 điểm) Giải phương trình :

Bài 4 : (2 điểm) Cho x,y dương thỏa x + y 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của :

P = x+ y

1

1 +x y

Bài 5 : (3 điểm) a) Vẽ đồ thị của hàm số y = x− 2 − 2x

b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho

PHÒNG GD&ĐT QUY NHƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HS GIỎI

TRƯỜNG THCS NHƠN BÌNH MÔN : TOÁN 9 ( Năm học: 2014 – 2015)

-

+

= + +

+

n n

n n

+

n n

y

y

(y, y+1) =1 ⇒ 243  (y+ 1 ) 2 ⇒ (y+ 1 ) 2 = 3 2 ∨ (y+ 1 ) 2 = 3 4 ( 1)2 3 2 2

3 1

y y= 8 , x = 24 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là : (x;y) =(54;2); (24;8)

0,5 điểm

0,5 điểm0,5 điểm0,5 điểm0,5 điểm0,5 điểmBài 3

(2 điểm) Điều kiện Phương trình đã cho tương đương

hoặc

Hai pt này đều có nghiệm duy nhất x = 0 (thoả đk)

4 15 16

15 4

≥

⇒

≥ +

y x xy

y x xy xy y

x

Lại có 161 +xy≥12

xy Dấu = khi xy= 41

P 2 154 +21 = Giá trị nhỏ nhất của P là khi x = y = 21

⇒ y= x− 2 − 2x hay y = −x− 2

Vẽ đúng đồ thị như hình 1 điểm

1 điểm

CD2 =

3 = x(2x+1)

0 3

2 2 + − =

⇔ x x Suy ra: x = 1 (nhận)

x = −23 (loại)

BD = BI + HI + HD = 3cm

6 3 9

2 2

BC

Suy ra BC = 6cm

0, 5 điểm

0.25điểm

0,25điểm

0, 5 điểm

0, 5 điểm

0, 5 điểm

0, 5 điểmBài 7

(4 điểm)

a) Ta có: (HM −HO) 2 ≥ 0

2

2

2 2

2 2

HO HM

HO HM

HO HM HO

⇔

R OM HO

2 1

2

2

2

R HO HM S

R HO HM

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian

Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó Kẻ hai tiếp tuyến

AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Trên đường thẳng d đi quatrung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P Đường tròn đường kính OPcắt đường tròn (O) tại M, N Chứng minh: PM = PN = PA

Bài 6 (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C, có · 0

BAC 30 = Trên đường tròn ngoại tiếptam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng:

2 3 12 2 2( 3 1)2 2 3 1 3 3

−

+ Vậy A= − 3 3.

⇔  = +t x 1t x 2= + 0.5Với t x 1 = + ta có pt: 2

3 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x( 2 + − 1) 2x 2y( 2 + + = 1 1 x y (1)) 3 3 3.0

Ta có (1) ⇔ 4xy(x y) 2(x y) 1 x y − − − + = 3 3 0.5

Đặt  =a x yb xy= − vì x, y nguyên nên a, b nguyên

Khi đó ta có pt : 4ab 2a 1 b − + = 3 với a, b nguyên

0.5

3

b 1 2a

2b 1

−

− (vì b nguyên nên 2b - 1 ≠0) 0.5 ⇔16a 4b= 2 +2b 1+ −2b 17− 0.5

Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7

Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được c> 4b2

Gọi I=OA∩d, K=OA∩BC, chứng minh được IA=IK 0.5

Có PA2 = AI2 + PI2

= AI2 + PO2 – OI2 (Pitago) 0.5 = PO2 – (OI – AI)(OI + AI)

= PO2 – OK.OA (vì IA = IK) 0.5 = PO2 – OC2 ( hệ thức trong tam giác vuông OAC) 0.5 = PO2 – ON2

= PN2 ( vì tam giác PNO vuông tại N)

Vậy PA=PM=PN

0.5

Câu

6

Cho tam giác ABC vuông tại C, có ·BAC= 30 0 Trên đường tròn

ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh

rằng: 3BD 2 = 5AD 2 + 5CD 2 ⇔ DC 2DA =

3.0

R 30°

Vậy P Min = 3 2 −

Hướng dẫn chung:

+ Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lờigiải chặt chẽ,

chính xác mới công nhận cho điểm

+ Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa

+ Chấm từng phần Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tínhđến 0.25 điểm

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB//CD) Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùngvới các đỉnh Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳngnày cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và

J Gọi H là trung điểm của IJ

a Chứng minh rằng: FH = HE

b Cho AB = 2CD Chứng minh rằng: EJ = JI = IF

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB (O ∉ AB) Các tiếp tuyến tại A và

B của đường tròn cắt nhau tại C Kẻ dây cung CD của đường tròn đường kính OC (Dkhác A và B) Dây cung CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C vàD)

Vì x, y là các số nguyên nên x − 2 và y − x + 5 cũng là các số nguyên

Hệ phương trình đã cho tương đương:

Từ đó suy ra ab = 9 Áp dụng hệ thức Viet ta có a, b là các nghiệm của phương trình:

X − 6X + 9 = 0 Phương trình này có nghiệm X = X = 3

⇒ IE = FJ ⇒ FJ − JH = IE − IH ⇒ FH = HE (đccm)b) Từ CD // AB ⇒ = mà AB = 2CD nên = 2 ⇒ = (4)Kết hợp (2) và (4) ta suy ra = ⇒ = =

+ > 2 = 2 ∙ = x (1)

Tương tự + > y (2) , + > z (3)

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được + + + + + > x + y + z

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C)

Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đườngthẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I làtrung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằmgiữa A và O), BC cắt MN tại K

a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đườngthẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm ME

- HẾT

-Họ và tên thí sinh: ……… … Số báo danh ……….Chữ kí giám thị 1 ……… Chữ kí giám thị 2 ………

ĐÁP ÁN Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa Điểm bài thi

= = ( thỏa mãn )Với 2

0,25b)

E

D

C M

0,250,250,25

∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2

Suy ra AB.AC = AH.AO

∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì AHK=AIO=90· · 0 và ·OAI

chung )

AH AK

= AI.AK=AH.AO

AI AO AI.AK=AB.AC

⇒

AB.AC AK=

AI

⇒

Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A

cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc

1,0

®iÓm

Ta có PMQ=90· 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

Xét ∆MHE và ∆QDM có MEH=DMQ· · ( cùng phụ với ·DMP),

EMH=MQD ( cùng phụ với ·MPO ) ⇒ MQ ME = MH DQ

∆PMH đồng dạng với ∆MQH

2 1

0,25

0,25Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009

b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đodiện tích bằng số đo chu vi

Bài 2 : ( 4,0 điểm )

a) Giải hệ phương trình :

( )( )( )

3xy = 2 x+ y 5yz = 6 y + z 4zx = 3 z + x

Bài 5 : ( 5,0 điểm )

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A.Trên đường tròn (O; R) vẽ dây AB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M,đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A) Đường thẳng qua

N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E

a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm

M trên cung lớn AB;

b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diệntích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009

HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN TOÁN LỚP 9

Bài 1 : ( 4,0 điểm )

a) Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3.

4, đạt được khi x = y = 1

2

0,75 điểm

0,75 điểm0,5 điểm

b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đodiện tích bằng số đo chu vi

Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm Giả

Từ (1) ⇒ c2 = (a + b)2 − 2ab

⇒ c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))

0,5 điểm

ĐỀ CHÍNH THỨC

⇔(a + b)2 − 4(a + b) + 4 = c2 + 4c + 4.

⇔(a + b − 2)2 = (c + 2)2 ⇔a + b − 2 = c + 2 (do a + b ≥

2)

⇔c = a + b − 4.

Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)

⇔ab −4a−4b + 8 = 0 ⇔b(a −4) −4(a−4) = 8 ⇔(a −4)(b−4)

Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5 ; 12 ; 13) và

(6 ; 8 ; 10) thỏa mãn yêu cầu của bài toán

0,5 điểm

0,5 điểm0,5 điểm

Bài 2 : ( 4,0 điểm )

a) Giải hệ phương trình :

( )( )( )

3xy = 2 x+ y 5yz = 6 y + z 4zx = 3 z + x

+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0

+ Với xyz ≠ 0 thì (I) được viết lại:

Suy ra : a b ab+ là số nguyên và a, b là số nguyên dương

Nên a b ab+ ≥ 1 ⇒ a + b ≥ ab

Do d là ước của a nên a M d ⇒ a ≥ d > 0

Và d là ước của b nên b M d ⇒ b ≥ d > 0

Suy ra : ab ≥ d2 nên a + b ≥ d2

Vậy : d ≤ a+b

0,5 điểm0,5 điểm0,5 điểm

0,5 điểm0,5 điểm

b) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011

- Nếu y chẵn thì với mọi x ∈ Z có 2008x2009 + 2009y2010 là

số chẵn; mà 2011 là số lẻ, (vô lý)

- Nếu y lẻ thì y1005 là số lẻ Đặt y1005 = 2k + 1 ( k ∈Z )

0,5 điểm0,5 điểm

⇒ 2009y2010 = 2009(y1005)2 = 2009(2k + 1)2 = 2009(4k2 + 4k

+ 1) = 4[2009(k2 + k)] + 2009

Ta có 2009y2010 chia cho 4 dư 1 ⇒ 2008x2009 + 2009y2010

chia cho 4 dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý)

Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn hệ thức :

2008x2009 + 2009y2010 = 2011

0,5 điểm0,5 điểm0,5 điểm

Bài 4 : ( 2,0 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường trònnội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giáccân

Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp

các tam giác AOB và AOC

0,5 điểm

0,5 điểm0,25 điểm0,25 điểm

đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A) Đường thẳng qua

N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E

a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm

M trên cung lớn AB

b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diệntích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

AM B AMB AKB = > (góc ngoài của tam giác AMK), do đó M

nằm giữa hai điểm B và K

suy ra khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn khoảng

0,5 điểm0,25 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm0,25 điểm0,25 điểm

O O’

M B

A N

E

K

M0H