Phương pháp chọn điểm rơi, chứng minh BĐT

PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BĐT BÀI TỐN MỞ ĐẦU a,b > , tìm GTNN a + b ≤  Bài tốn Cho  P= 1 + 1+ a + b2 2ab Giải 1 4 + ≥ = ≥ =2 2 2 2ab a + 2ab + b + (a + b) + 1+ a + b 1+ a + b = 2ab (a − b)2 + 1= ⇔ ⇔ (vônghiệ m) Vậy khơng Dấu “=” xảy   a + b = a + b = tồn MinP ? ? Lời giải Ta có: P = Lời giải Ta có: 1 4 + + ≥ + = + 2 2 6ab 3ab a + 6ab + b + 3ab (a + b) + 1+ 4ab 3ab 1+ a + b P≥ + ≥  a+b 2 Mặt khác ab ≤   a+b a+b ÷ = Vậy 2+    ÷ 6 ÷     1+ a + b = 3ab  ⇔a=b= Dấu “=” xảy ⇔ a = b a + b =  P= Lời bình: Bài tốn áp dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách 1 + ≥ Lời giải sai? a b a+b 1 = + ? ? Làm nhận biết điều đó…? 2ab 6ab 3ab Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chun đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải tốn cực trị 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, cơng cụ hồn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực khơng âm a1,a2, ,an (n ≥ 2) ta ln có: a1 + a2 + L + an n ≥ a1a2 an Dấu “=” xảy a1 = a2 = L = an n * Một vài hệ quan trọng: 1 1 + + L + ÷ ≥ n vớ i ∀ai > 0, i = 1,n an   a1 a2 1 n2 vớ i ∀ai > 0, i = 1,n + + +L + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + L + an + Cho 2n số dương ( n ∈ Z ,n ≥ 2): a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn ta có: + (a1 + a2 + L + an ) n (a1 + b1)(a2 + b2) (an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn Trong chứng minh bất đẳng thức, đơi việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở khơng thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện ln thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy kĩ thuật ta vào số ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho a ≥ 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+ a Phân tích tìm tòi lời giải Xét bảng biến thiên a, a a 3 S S để dự đốn Min S a 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 … … 30 30 … 30 30 Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy a tăng S lớn từ dẵn đến việc dự đốn a=3 S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu tạo ấn tượng ta nói Min S= 10 đạt “Điểm rơi : a=3” Do bất đẳng thức cơsi xảy dấu điều kiện số tham gia phải ,nên “Điểm rơi:a=3”ta khơng thể sử dụng bất đẳng thức cơsi 1 ≠ Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức a a  a 1 cơsi cho cặp số  ,  cho “điểm rơi:a=3”thì = tức ta có lược đồ α a α a  trực tiếp cho số a “điểm rơi” sau đây: Sơ đồ: a α = α ⇒ = ⇒α =9 a=3 ⇒  α 1 =  a Từ ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu  a  8a a ⋅ 10 Lời giải: S=a+ =  +  + ≥ ⋅ + = a 9 a Vậy với a=3 Min S= a 10 Ví dụ 2: Cho a ≥ 6.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a + 18 a Sơ đồ điểm rơi :  18 36  18 36  = α  = α 18 18  = ⇒ ⇒ ⇒α = a=6 ⇒  a  a = 18  a = 36  a α  α 18  a 18     a 18  +  −   a ≥ ⋅ Lời giải: S=a + = a + 1 −  +  a 2 a  6 a  6 a a =6  + 1 −   6   a ≥ + 1 − .6 =36 +3 6  6 Vậy với a=6 Min S=2a+3 a,b > 1 , tìm GTNN biểu thức P = 2 + + 4ab ab a +b a + b ≤ Ví dụ 3: Cho  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : P= 1 4   + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab ÷ 2  2ab 2ab a +b a + b + 2ab 2ab (a + b)  2ab  Mặt khác 1 + 4ab ≥ 4ab = 2 Vậy P ≥ + 2 nên MinP = 2(2 + 2) 2ab 2ab Sai lầm 2: P= 1   1 1 + +  4ab + ≥ 4ab + ≥ 4+ 2+ = 6+ ÷+ 2 4ab  4ab (a + b) 2ab 4ab 4ab 4ab a + b ab  a + b2 = 2ab  1  2 ⇔ a = b = Thay a = b = Dấu xảy ⇔ a b = vào ta 16 2  a + b =  P ≥ ⇒ MinP = a = b = Ngun nhân sai lầm: Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 = + ab 2ab 2ab thói quen để làm xuất a + b2 + 2ab = (a + b)2 a = b   MinP = + 2 ⇔  = 4ab ⇒ VN Dấu “=” bất đẳng thức khơng xảy ⇒  2ab a + b = khơng kết luận MinP = + 2 Sai lầm 2: Học sinh có khái niệm điểm rơi, dự đốn dấu a=b= 1 nên tách số hạng MinP = a = b = đúng, 2 bước cuối học sinh làm sai Ví dụ (1− x)2 + x ≥ x , dấu xảy x = ⇒ Min (x − 1) + x  = 1?? Lời giải đúng: Do P biểu thức đối xứng với a,b , ta dự đốn MinP đạt a = b = , ta có: 1   1 + +  4ab + ≥ + 4ab + ≥7 ÷+ 2 2ab  4ab  4ab (a + b) 2ab a +b a+b 4 ÷   a + b2 = 2ab   2 ⇔a=b= Dấu xảy ⇔ a b = 16  a + b =  a,b > 1 Ví dụ 4: Cho  , tìm GTNN biểu thức S = 3 + + a +b a b ab a + b ≤ P= Sai lầm thường gặp: Ta có: 1 2 2 1  + + + + ≥ 3 +  + 2÷ 2 2  a b ab  a +b 3a b 3ab 3a b 3ab a + b + 3a b + 3ab  1 59 = +  +  ≥ 9+ ≥ (a + b) ab  a b   a+b a+b 3. ÷   59 MinS = a + b3 = 3a 2b 59  ⇔ a = b (vn) Ngun nhân sai lầm: MinS = a + b =  S= Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu xảy a = b = , ta thấy: a + b3 + 3a 2b + 3ab2 = (a + b)3 ta muốn xuất (a + b)3 , ta áp dụng bất 1 đẳng thức 3 + + vậy: a +b 2a b 2ab 1 + + ≥ 3 a +b 2a b 2ab (a + b) − ab(a + b) Ta khơng đánh giá tiếp ta phải áp dụng bất đẳng thức cho số: S= 1 1 25 + + + + ≥ ≥ a + b3 2a 2b 2ab2 2a 2b 2ab (a + b)3 + ab(a + b) 25 ≥ 20 ( a + b ) (a + b)3 + Dấu xảy a = b = Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải tốn liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức Bunhia Cho 2n số dương ( n ∈ Z ,n ≥ 2): a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn ta có: (a1b1 + a2b2 + L + anbn )2 ≤ (a12 + a22 + L + an2)(b12 + b22 + L + bn2) an a1 a2 c nế u bi = ⇒ = 0) Dấu “=’ xảy ⇔ = = L = (quy ướ b1 b2 bn * Một vài hệ quan trọng Dạng 1: ( a1 + a 22 + + a n2 )( b12 + b22 + bn2 ) ≥ ( a1 b1 + a b2 + + a n bn ) Dạng 2: ( a12 + a 22 + + a n2 ) ⋅ ( b12 + b22 + bn2 ) ≥ a1b1 + a b2 .a n bn Dạng 3: ( a12 + a 22 + + a n2 ) ⋅ ( b12 + b22 + + bn2 ) ≥ a1 b1 + a b2 + + a n bn a a a a a a n n 2 Dấu bằng: Dạng 1, dạng ⇔ b = b = = b ;dạng ⇔ b = b = = b ≥ n n a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a + b + c ≥ Ví dụ 1:Cho  S= a + 1 + b2 + + c2 + 2 b c a Phân tích tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2: ( ) Dấu xẩy ⇔ [a12 + a 22 ] b12 + b22 ≥ a1b1 + a b2 a1 a = ≥0 b1 b2 Ý nghĩa: chuyển đổi biểu thức thành biểu thức khác ngồi Xét đánh giá giả định với số α, β a2 +   2  2 a +    α + β ≥  b   α +β2  ( 1 = 2 b α +β2 1 b + = c α +β2 + c2 + ⇒ 1 = 2 a α +β2 S≥ α2 +β2 ) β   αa +  b    2  β   αb +  b +    α + β ≥ 2 a  c   α +β   ( )    2 c +  a  α + β ≥    α +β2 ( ) β   αc +  a  (1) (2) (3)   1  α (a + b + c) + β  a + b + c  = S    Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đốn S=So điểm rơi a=b=c=2, tất bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy dấu tức ta có sơ đồ điểm rơi sau: a = b βb Sơ đồ: a=b=c=2 ⇒ α a b c b = = = = = ⇔ β 1 1 ⇒ α βc b c a c = α βa α =4 β =1 Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi cối ” ta có lời giải sau: Lời giải đúng: + a2 + 1   2  1 =  a + ( + ) ≥  4a +  b b b  17  17  b2 + 1   2  1 =  b + ( + ) ≥  4b +  c c c  17  17  c2 + 1   2  =  c + ( + ) ≥  4c + a a  17  17  1  a  1 1 15  a b c 1  ( a + b + c ) +  + + + + +   4a + 4b + 4c + + +  =  a b c 17  17   4 a b c   15 a b c 1 1 17  ⋅ + 66 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  = ≥ =   4 a b c  45  17  17  +    17 Với a=b=c=2 Min S= ⇒ S≥ a,b,c > Ví dụ 2: Cho Tìm Min S= a2 + a+b+c ≥ 1 + b2 + c2 + b+c c+a a+b Bình luận lời giải Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với số α , β   2  β   α + β ≥ αa + a +  b+c  b + c    (1)   2  β   α + β ≥ αb + b +  c+a  c + a    (2)   2  β   α + β ≥ αc + c +  a+b  a + b    (3) ( + ( ( ) ) ) _  1  α + β S ≥ α (a + b + c) + β  + +  b+c c+a  a+b   1 1  α ( a + b + c ) + β  + +  = S o ⇔ S≥  b+c c + a   a+b α2 +β2  ⇒ Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=So điểm rơi a=b=c=2, bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy dấu tức có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a=b=c=2 ⇒ a = α βb b α a b c = ⇔ = = = = ⇒ α βb β 1 1 b c a c = α βa α =4 β =1 Từ ta có lời giải sau đây: *Lời giải đúng:   2  2   ( + ) ≥ 4a + a +  b+c  b + c      2  2   ( + ) ≥ 4b + b +  c+a  c + a    +   2  2   ( + ) ≥ 4b + c +  a+b  a + b     1   17 S ≥ 4(a + b + c) +  + + b+c c+a  a+b ≥ 4(a + b + c) + ≥ 4(a + b + c) + a+b + b+c + c+a a + b b + c c + a 9 ≥ 4(a + b + c) + = 4(a + b + c) + 2 6(a + b + c) (1 + + )[ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ] 31 a+b+c 9 = (a + b + c) + + + 8 6(a + b + c) 6(a + b + c) ⇒ ≥ 31 a+b+c 9 93 51 ⋅ + 33 ⋅ = + = 8 4 2 6(a + b + c) 6(a + b + c) ⇒S≥ 51 17 = 3.17 3.17 = 2.17 Với a=b=c=2 S= 17 Ví dụ3: Cho a, b, c > thoả mãn a+b+c+ 2abc ≥ 10 Chứng minh 9b c a 9c a b 9a b c + + + + + + + + ≥6 S= 2 4 a b2 c2 *Lời giải: Dự đốn điểm rơi: a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức bunhiacơpski có: + + 18 + 9b c a + + ≥ + 9b + ca a a2 + 18 + 9c a b + + ≥ + 9c + ab b b2 9a b c + 18 + + + ≥ + 9a + bc c c _  1 1 ⇒ 24 S ≥ 4 + +  +9(a+b+c)+ab+bc+ca a b c 4  4  4  =  + a  +  + b  +  + c  + (2a + bc) + (2bb + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c) a  b  c  4 ⋅a +2 ⋅b + ⋅ c + abc + abc + abc + 6(a + b + c) a b c = 12 + 6( a + b + c + 2abc ) ≥ 12 + 6.10 = 72 ⇒ S ≥ 72 / 24 = 6 ≥2 * Bài tập tương tự (trích dẫn đề thi đại học)  x, y , z > , chứng minh rằng:  xyz = Bài1: Cho  m + x3 + y m + y3 + z3 m + z + x3 + + ≥ 3 , với xy yz zx m ∈ N ∗ : Nế u m = làđềthi Đại học khố i D nă m 2005 Bài 2: Cho x, y, z số thỏa x + y + z = , chứng minh rằng: 3+ 4x + 3+ 4y + 3+ 4z ≥ (đề tham khảo 2005) ab c − + bc a − + ca b − abc Bài 4: Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a + 3b + b + 2c + c + 3a ≤ (ĐTK 2005) Bài 3: Cho a ≥ 2,b ≥ 3,c ≥ 4, tìm GTLN: P = a,b,c > , tìm GTNN biểu thức sau: a + b + c ≤ Bài 5: Cho  1 1 + + + a + b + c ab bc ca 1 1 1 S= 2+ 2+ 2+ + + ab bc ca a +b b +c c +a 1 1 1 Q= + + + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca P= 10