PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỨCTHỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN TOÁN - LỚP (Thời gian làm : 120 phút) Bài a) Thực phép tính : A = 2+ 2+ 4+2 + 2- 2- 4-2 b) Giải phương trình : ( x + ) -8x + ( x +1) - 4x + ( 2x + 3) - 24x = 1 Bài a) Cho x, y số thực cho x + y + số nguyên Chứng y x 2 minh x y + 2 số nguyên x y b) Cho a + b + c + d = Chứng minh : a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd) Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên cạnh BC, CD lấy điểm M, N cho CM = DN a · a) Tính giá trị sin MAN trường hợp CM = DN = b) Tìm giá trị nhỏ lớn diện tích ∆AMN Bài Cho ∆ABC có đường phân giác cắt I Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AI, đường thẳng cắt AB, AC M,N Chứng minh rằng: a) ∆BMI ∽ ∆BIC 2 b) BI CN = CI BM BM CN AI + = 1c) AB AC AB.AC Bài Chứng minh a + b + c = 1 1 + + = a b c abc b + c ≥ abc PHÒNG GD - ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN TOÁN - LỚP (Thời gian làm : 150 phút) Bài a) A = 2+ 2+ 4+2 + 2+ 2- 2- 4-2 = 2+ ( 4+2 4-2 2+ 2- + + = = 3+ 3- 3+ 3- = ( ) +1 ( ) +1 + ( ( ) −1 ( ) ( ) +1 2- + 2- ( ) −1 0.5 ) 2x0.5 ) -1 = +1 −1 + = =1 3 3x0.5 b) Phương trình cho tương đương với ( x - ) + ( x -1) + ( 2x -3) = ⇔ x − + x − + 2x − = (1) Ta có x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = dấu “=” xảy (x - 2)(1 - x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ mặt khác 2x − ≥ nên x − + x − + 2x − ≥ 2 1 ≤ x ≤ x − + − x = Do (1) ⇔ ⇔ ⇔x= 2x − = x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 1 , y + ∈ Z nên x + ÷ y + ÷ ∈ Z y y x x 1 ⇒ xy + + ∈ Z ⇒ xy + ∈Z xy xy a) Do x + 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 1 2 2 ⇒ xy + ÷ ∈ Z ⇒ x y + 2 +2 ∈ Z ⇒ x y + 2 ∈ Z x y x y xy 3 b) Từ a + b + c + d = ⇒ a + b = – c – d ⇒ ( a + b ) = ( −c − d ) ⇒ a + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 − d − 3cd ( c + d ) 2x0.5 0.5 0.5 ⇒ a3 + b3 + c3 + d3 = -3ab(a + b) – 3cd(c + d) = 3ab(c + d) – 3cd(c + d) = 3(c + d)(ab – cd) Bài A B a) Gọi I giao điểm AN DM Chứng minh ∆AND = ∆DCM (c.g.c) µ1=D µ mà A µ1+N µ = 900 ⇒A µ1+N µ = 900 hay DIN · nên D = 900 Đặt DN = CM = x (0 ≤ x ≤ a) a = 3x, BM = NC = 2x M Tính AM = x 13 , AN = x 10 I ∆AND vuông D, có đường cao DI nên ta có 1 D C 9x AD ( 3x ) N AD = AN AI ⇒AI = = = Hình vẽ : 0.25 đ 10 AN x 10 ∆AIM vuông I nên ta có IM = AM − AI = 2 7x 81x = 13x − 10 10 7x IM 130 · Do sin MAN = = : (x 13 ) = 10 AM 130 b) Ta có SAMN = SABCD - SADN - SMCN - SABM ax x ( a − x ) a ( a − x ) = a2 – − − 2 2 a xa - ax+x 2 = = ÷ + 3a 2 a 3a x- ÷ a2 Do ≤ x ≤ a ⇒ ≤ 3a ≤ + 2 3a a2 ⇒ ≤ SAMN ≤ 2 a 3a SAMN = ⇔x = ⇔ M, N trung điểm BC, CD x = N ≡ D,M ≡ C a2 SAMN = ⇔ ⇔ x = a N ≡ C,M ≡ B Vậy Min SAMN = 3a ⇔ M, N trung điểm BC, CD 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Max SAMN = Bài A x = N ≡ D,M ≡ C a2 ⇔ ⇔ x = a N ≡ C,M ≡ B a) Tính · BAC · BIC = 900 + 12 0.25 0.5 N M I 12 B Bài C · ·BMI = 900 + BAC µ =B ¶ · · ⇒ BIC = BMC mà B ⇒ ∆BMI ∽∆BIC (g.g) (2) Hình vẽ : 0.25 đ b) Tương tự câu a) ta chứng minh ∆INC ∽∆BIC (g.g) (3) BM IM BI = = Từ (2), (3) ⇒ ∆BMI ∽∆INC ⇒ (5) IN NC IC BI BM ⇒ ÷ = ⇒ BI NC = IC BM IC NC c) Từ (5) ⇒ BM NC = IM IN = IM2 = AM2 – AI2 = AM AN – AI2 (vì ∆AMN cân) = (AB – BM)(AC – CN) – AI2 = AB AC – AB CN – BM AC + BM CN –AI2 ⇒AB CN + BM AC = AB AC – AI2 BM CN AI ⇒ + = 1AB AC AB.AC Từ giả thiết suy a + b + c = Với x, y ta có (x – y)2 ≥ ⇒ (x + y)2 ≥ 4xy Cho x = a , y = b + c ta (a + b + c)2 ≥ 4a(b +c) ⇒ 22 ≥ 4a(b +c) ⇒ b + c ≥ a(b +c)2 (vì b + c > 0) mà a(b +c)2 ≥ a 4bc = 4abc nên b + c ≥ 4abc Lưu ý: học sinh giải cách khác gọn cho điểm tối đa PHÒNG GD - ĐT 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 2x0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25