de thi hsg toan 7 vu quang 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨ QUANG ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán Thời gian: 120 phút Ngày thi: 18/04/2017 Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: 3 1 1 − + + − − 17 37 : a) A = 5 7 7 − + + − − 17 37 1 Bài 2: a) Tìm x biết x + + x + = 4x − x + b) B = 5.415.99 − 4.320.89 5.210.619 − 7.229.27 b) Cho a, b, c đôi khác khác Biết ab số nguyên tố ab b = bc c Tìm số abc Bài 3: a) Tìm số tự nhiên biết BCNN chúng 3150, tỉ số số thứ số thứ hai : 9, tỉ số số thứ số thứ ba 10 : b) Cho đa thức P ( x ) = ( a + 2015 ) x + ( b + 2016 ) x + 2017 (với a, b số) Biết P(13) = 14 Tính P(-13) Bài 4: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM + AN = 2AB a) Chứng minh BM = CN b) Chứng minh rằng: BC qua trung điểm đoạn thẳng MN · c) Đường trung trực đoạn thẳng MN tia phân giác BAC cắt K Chứng minh KC ⊥ AN · · Bài 5: Cho tam giác ABC có ABC = 450 ; ACB = 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho · CM = 2CB Tính số đo AMB BÀI GIẢI Nguyễn Ngọc Hùng – GV: THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:  1 1 1 3 − + ÷ + − − −21 17 37   : = : = a) A =  1  1 1  −7  − + ÷ −7  − − + + ÷  17 37   2 ( 22 ) ( 32 ) − 22.320 ( 23 ) 15 b) B = = 5.210 ( 2.3) − 7.229 ( 33 ) 19 229.318 ( 5.2 − 32 ) 29 18 ( 5.3 − ) = = 5.230.318 − 22.320.227 5.230.318 − 229.320 = 5.210.219.319 − 7.229.318 5.229.319 − 7.229.318 10 − = 15 − 1 1 1 + x + = 4x − x + ⇔ x + + x + + x + = 4x 4 1 1 1 Vì x + + x + + x + > ⇒ 4x > ⇔ x > Do x + ; x + ; x + > 4 1 1 1 13 13 Nên x + + x + + x + = 4x ⇒ x + + x + + x + = 4x ⇔ 3x + = 4x ⇔ x = >0 4 12 12 Bài 2: a) Ta có x + thỏa mãn điều kiện ab b ab − b a0 a = = = = ⇒ b = ac bc c bc − c b0 b Vì ab số nguyên tố có hai chữ số nên b ∈ { 1;3;7;9} Mặt khác ac = b , a ≠ c a, c < nên hai số a, c b ≠ số lại Do có b = thỏa mãn Suy ac = Vì a ≠ c a (Vì ab = 93 số nguyên tố) Vậy a = ta có số abc = 139 thỏa mãn toán b) Áp dụng dãy tỉ số ta có Bài 3: a) Gọi ba số cần tìm x, y, z (x, y, z ∈ N*) x y x y = Tỉ số số thứ số thứ hai : nên = ⇔ 10 18 x z x y z = Suy = = Tỉ số số thứ số thứ ba 10 : nên 10 10 18 x y z = = = k ⇒ x = 10k ; y = 18k; z = 7k Đặt 10 18 Vì BCNN (x; y; z) = 3150 nên BCNN(10k; 18k; 7k) = 3150 ⇒ 630k = 3150 ⇒ k = Vậy ba số cần tìm x = 50; y = 90; z = 35 b) Ta có P ( x ) = ( a + 2015 ) x + ( b + 2016 ) x + 2017 ⇒ P ( − x ) = − ( a + 2015 ) x − ( b + 2016 ) x + 2017 nên P ( x ) + P ( − x ) = 2017 + 2017 = 4034 Do P ( 13) + P ( −13) = 4034 ⇒ P ( −13 ) = 4034 − 14 = 4020 Bài 4: a) Ta có AB = AC (gt) A AM + AN = 2AB (gt) ⇒AM + AN = AB + AC ⇒AB – AM = AN – AC M ⇒ BM = CN b) Gọi E trung điểm MN E Trên BC lấy điểm D cho C B ·MDB = MBD · D ⇒ ∆MBD cân ⇒ BM = DM ⇒ DM = CN N · · Mặt khác MBD (gt) = MCB · · ⇒ MD // AN ⇒ MDB = ACB · · (so le) ⇒ DME = CNE Xét ∆DME ∆CNE có K  DM = CN · · · · nên B, E, C thẳng hàng  DME = CNE ⇒ ∆DME = ∆CNE (c – g – c) ⇒ DEM = CEN  EM = EN  Do BC qua trung điểm E MN · c) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt tia phân giác BAC K, suy EK trung trực MN ⇒ KM = KN Vì ∆ABC cân A có AK phân giác nên AK trung trực, AB = AC  suy KB = KC Xét ∆ABK ∆ACK có AK chung ⇒ ∆ABK = ∆ACK (c – c – c) KB = KC  · · · · (1) Tương tự ∆KBM = ∆KCN (c – c – c) ⇒ ABK (2) ⇒ ABK = ACK = KCN · · Từ (1) (2) suy ACK = KCN = 900 hay KC ⊥ AN Bài 5: Kẻ MH ⊥ AC H · Trên CM lấy điểm D cho MHD = 300 · · · Vì ACB = 1200 ⇒ ACM = 600 ⇒ DMH = 300 · · ⇒ MHD = DMH = 300 nên ∆DMH cân ⇒ DM = DH · · · Mặt khác MHD = 300 ⇒ DHC = 600 = ACM nên ∆CDH ⇒ DH = HC = CD = DM = BC · · ⇒ ∆BCH cân ⇒ HBC = CHB = 300 · · ⇒ HBC = DMH = 300 nên ∆BMH cân ⇒ HB = HM (1) · Ta lại có HBA = 450 − 300 = 150 ; · · · HAB = 1800 − 450 − 1200 = 150 ⇒ HBA = HAB A H B C D M ⇒ ∆ABH cân ⇒ HB = HA (2) Từ (1) (2) suy HA = HM hay ∆AHM vuông cân · Do AMB = 300 + 450 = 750 LỜI BÌNH - Mức độ khó: Đặc biệt hai hình khó, phải vẽ hình phụ Nếu so sánh với hình đề Toán chênh lệch Bài hình đề Toán dễ SGK - Nếu học sinh chưa làm hai hình thực không làm khoảng thời gian 120 phút - Nếu điều chỉnh biểu điểm hình thấp so với khác toán vô nghĩa Nếu không điều chỉnh biểu điểm điểm thấp - Đức Thọ giống đề Vũ Quang nên học sinh trúng bài: Bài 2a học nhiều Bài 2b vừa chữa cho học sinh Bài 3a vừa thi chọn HSG trường Bài kiểm tra 45 phút Bài học sinh hỏi nên chữa cách tuần Cảm ơn huyện Vũ Quang ... 2015 ) x + ( b + 2016 ) x + 20 17 ⇒ P ( − x ) = − ( a + 2015 ) x − ( b + 2016 ) x + 20 17 nên P ( x ) + P ( − x ) = 20 17 + 20 17 = 4034 Do P ( 13) + P ( −13) = 4034 ⇒ P ( −13 ) = 4034 − 14 = 4020 Bài... z = 7k Đặt 10 18 Vì BCNN (x; y; z) = 3150 nên BCNN(10k; 18k; 7k) = 3150 ⇒ 630k = 3150 ⇒ k = Vậy ba số cần tìm x = 50; y = 90; z = 35 b) Ta có P ( x ) = ( a + 2015 ) x + ( b + 2016 ) x + 20 17 ⇒... đề Vũ Quang nên học sinh trúng bài: Bài 2a học nhiều Bài 2b vừa chữa cho học sinh Bài 3a vừa thi chọn HSG trường Bài kiểm tra 45 phút Bài học sinh hỏi nên chữa cách tuần Cảm ơn huyện Vũ Quang