De thi vao lop 10 chuyen Ly Tu Trong - Can Tho 2016-2017

De thi vao lop 10 chuyen Ly Tu Trong - Can Tho 2016-2017 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tậ...

Đề bài:

Cho các số thực ,x y thỏa mãn x≤2, x y+ ≥2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A= x + y + xy− x− y+

Phân tích:

Kí hiệu D={ (x y, )∈¡ 2 x≤2,x y+ ≥2 } Đặt

A= f x y = x + y + xy− x− y+

Ta sẽ xét ( , )f x y tại các điểm tới hạn và xét trên biên của D

Để tìm điểm tới hạn của hàm ( , )f x y ta xét hệ

'

'

2

( , ) 0

5

x

y

x

 =



Nhưng điểm 2 7,

Do đó ta còn phải xét f x y trên biên của ( , ) D

f y = y + y+ = y+  + ≥ >

- Với x y+ = ⇔ = −2 x 2 y thì f (2−y y, ) =(y−2)2+ ≥3 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của f x y trên D bằng 3.( , )

Nhận xét: Trên D hàm f x y không có giá trị lớn nhất, vì khi cố định ( , ) x=0 và cho y→ +∞ thì

f y → +∞

Lời giải:

Kí hiệu D={ (x y, )∈¡ 2 x≤2,x y+ ≥2 } Ta xét hai trường hợp.

* Trường hợp 7

3

y> Khi đó 1 ( )2 1 ( )2 14

A= x+ y− + y− +

y− > ⇒ y− > Nên 1 0 1 196 14 28 3 (1)

A> + + = >

* Trường hợp 7

3

y≤ Lúc này 7 4 7 7 7 3 7 7.2 3.7 7 0

3

x+ y− = x+ y− y− ≥ − − = Do đó

(14x2+22xy−42x) (− 14(2−y)2+22(2−y y) −42(2−y)) =2(x y+ −2)(7x+4y− ≥7) 0

Suy ra A≥14(2−y)2+22(2−y y) −42(2− +y) 9y2−34y+35 (= y−2)2+ ≥3 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có A≥3 Đẳng thức xảy ra khi

2 2

0 7

2 3

2 0

x

x y

x y

y

y

≤



 + ≥



=





 − =

 Vậy ( , )x y Dmin∈ A=3, đạt được khi x=0,y=2.