Copy of PHUONG TRINH VO TI THCS MY AN

Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc LI NểI U Phng trỡnh vụ t l mt ti ly thỳ v ca i s, ó lụi cun nhiu ngi nghiờn cu say mờ v t sỏng to tỡm li gii hay, y tng phong phỳ v ti u Tuy ó c nghiờn cu t rt lõu nhng phng trỡnh vụ t mói mói cũn l i tng m nhng ngi am mờ Toỏn hc luụn tỡm tũi hc hi v phỏt trin t Mi loi bi toỏn phng trỡnh vụ t cú nhng cỏch gii riờng phự hp iu ny cú tỏc dng rốn luyn t toỏn hc mm do, linh hot v sỏng to Bờn cỏnh ú, cỏc bi toỏn gii phng trỡnh vụ t thng cú mt cỏc k thi hc sinh gii Toỏn cỏc cp THCS Chuyờn '' Gii phng trỡnh vụ t'' c vit theo chng trỡnh SGK hin hnh nhm dy hc sinh i tr trờn lp cng nh ụn thi hc sinh gii Chuyờn ó gii thiu mt s phng phỏp hay dựng gii phng trỡnh vụ t: ễn thi hc sinh i tr: Phng phỏp 1: NNG LU THA Phng phỏp 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I ễn thi hc sinh gii , lp chn: Phng phỏp 3: T N PH Phng phỏp 4: PHNG PHP NH GI Phng phỏp 5: PHNG PHP HM S Phng phỏp 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Trong chuyờn mi mt phng phỏp cú dnh nhiu bi cho hc sinh t luyn Chỳng tụi hy vng chuyờn ny s mang li cho bn c nhiu iu b ớch v giỳp cỏc bn cm nhn thờm v p ca Toỏn hc qua cỏc phng trỡnh vụ t Mc dự ó c gng rt nhiu, nhng chuyờn khụng trỏnh nhng sai sút Chỳng tụi mong nhn c nhng y kiờn úng gúp quy bỏu t cỏc thy cụ v cỏc em hc sinh chuyờn ngy cng hon thin hn! Mi úng gúp xin gi v : khaiquyet@gmail.com Chỳng tụi xin cm n! Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc CHUYấN : PHNG TRèNH Vễ T I - Tỏc gi: NGUN: T toỏn trng THCS M An - Lc Ngn - Bc giang II - Mc Lc: Phng phỏp 1: NNG LU THA Phng phỏp 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I Phng phỏp 3: T N PH Phng phỏp 4: PHNG PHP NH GI Phng phỏp 5: PHNG PHP HM S Phng phỏp 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Bi tng hp: Trang 3-6 6-7 - 17 17 - 21 21 - 22 22 - 24 24 - 27 III - Ti liu tham kho: Cỏc thy cụ v cỏc em hc sinh cú th tham kho : Nõng cao v phỏt trin toỏn - Tp - V Hu Bỡnh Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc CHUYấN PHNG TRèNH Vễ T PHNG PHP 1: NNG LU THA I-KIN THC: f ( x) f ( x) = g ( x ) g ( x ) f ( x) = g ( x) 1/ g ( x) f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x ) f ( x) 3/ f ( x) + g ( x) = h( x) g ( x) f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) (n N * ) 4/ n f ( x) = n g ( x) g ( x) f ( x) = g ( x ) 2/ g ( x) f ( x) = g ( x ) (n N * ) 2n f ( x) = g ( x) 6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) f ( x) = g ( x) (n N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) f ( x) = g n +1 ( x) (n N * ) II-BI TP Bi 1: Gii phng trỡnh: x + = x (1) x x x x=3 2 x = x + = (x 1) x 3x = Bi 2: Gii phng trỡnh: x x + = HD:Ta cú: x x + = x + = x x 2 x + = x HD: (1) x x 2x = x x = x = x = Bi 3: Gii phng trỡnh: x + x = x HD: Ta cú: x + x = x x + = x + x x x x + = x + x + (1 x)(1 x) Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc x x x + x + = x 3x + (2 x + 1) = x x + x x x=0 x=0 x2 + x = x = Bi 4: Gii phng trỡnh: x x = x x (1) x x ( x 2)( x + 2) = x x + = HD:K: PT ( ) x2 =0 x + = ( ) x = x = 17 (2) Kờt hp (1) v (2) ta c:x = Bi Gii phng trỡnh : 3x = x 3+x HD:k: x ú pt ó cho tng ng: x + 3x + x = 3 10 10 x+ x= ữ = 3 3 Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x x HD:k: x phng trỡnh tng ng : x = x + + = 3x 2 + + x = 9x x = 97 x + + = x 18 ( ) Bi Gii phng trỡnh sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ( x + 3x ) = x =1 Bi Gii v bin lun phng trỡnh: x = x m x m x m HD: Ta cú: x = x m x = x 4xm + m 2mx (m + 4) = Nờu m = 0: phng trỡnh vụ nghim m2 + m2 + iu kin cú nghim: x m m 2m 2m + Nờu m > 0: m2 + 2m2 m2 < m Nờu m 0: x = + Nờu m < 0: m2 + 2m2 m2 m Túm li: m2 + Nờu m hoc < m 2: phng trỡnh cú mt nghim x = 2m Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Nờu < m hoc m > 2: phng trỡnh vụ nghim Hong Quc Bi Gii v bin lun phng trỡnh vi m l tham s: x = x m (ờ thi hoc sinh gioi cõp tinh nm hoc 1999 2000) x m x m 2 2 x = x + m 2mx 2mx (m + 3) = HD: Ta cú: x = x m Nờu m = 0: phng trỡnh vụ nghim m2 + m2 + m iu kin cú nghim: x m 2m 2m + Nờu m > 0: m2 + 2m2 m2 m + Nờu m < 0: m2 + 2m2 m2 m Nờu m 0: x = Túm li: Nờu m hoc m Phng trỡnh cú mt nghim: x = m2 + 2m Nờu < m hoc m > : phng trỡnh vụ nghim Bi 10 Gii v bin lun theo tham s m phng trỡnh: x x = m m HD: iu kin: x Nờu m < 0: phng trỡnh vụ nghim Nờu m = 0: phng trỡnh tr thnh x ( x 1) = cú hai nghim: x1 = 0, x2 = Nờu m > 0: phng trỡnh ó cho tng ng vi ( x m)( x + m 1) = x m =0 x = m + Nờu < m 1: phng trỡnh cú hai nghim: x1 = m; x2 = (1 m) + Nờu m > 1: phng trỡnh cú mt nghim: x = m III-Bi ỏp dng: Bi 1:Gii cỏc phng trỡnh sau: 1/ x + x = 13 2/ x + 34 x = 3/ x + 3x = 5/ x + = x 6/ x + x = 12 x 4/ + x x + = x + 7/ x x x + x + = 8/ x = 9/ = 6x x 10/ 5x + =0 11/ x + = 19 13/ 16 x + 17 = x 23 14/ 3x + + x = Bi 2: Gii phng trỡnh: b) x x + = a) x = x d) + x + x = e) 3x + x = g) x + = x + h) 3x + x + = x + Bi 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: x + x = Bi 4: Cho phng trỡnh: x x = m a) Gii phng trỡnh m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim 12/ x = 15/ 20 x = x c) x + x + = f) + x x = i) x x = 2m + x x Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Bi 5: Cho phng trỡnh: x + mx = x m a) Gii phng trỡnh m=3 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim Hong Quc Bi 6: Gii cỏc phng trỡnh sau: a/ x x = d/ x x + x = 17 b/ 2x = e/ c/ 3x x + = g/ x = x x x h/ x + x = x3 x 27 + x 12 = i/ x + x + 12 = f) ( x + 3) 10 x = x x 12 PHNG PHP 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I I-KIN THC: f ( x ) = g ( x) ( f ( x ) 0) f ( x ) = g ( x ) ( f ( x) < 0) S dng hng ng thc sau: f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) II-BI TP: Bi 1: Gii phng trỡnh: x 4x + + x = (1) HD: (1) (x 2) = x |x 2| = x Nờu x < 2: (1) x = x (vụ nghim) Nờu x : (1) x = x x = (tho món) Vy: x = Bi 2: Gii phng trỡnh: x + + x + + x + 10 x + = x + x + (2) x + HD: (2) x + + x + + + x + 2.3 x + + = x + x + + x (*) x + + 1+ | x + |= 2.| x + | t y = x + (y 0) phng trỡnh(*) ó cho tr thnh: y + 1+ | y |= | y 1| Nờu y < 1: y + + y = 2y y = (loi) Nờu y 3: y + + y = 2y y = Nờu y > 3: y + + y = 2y (vụ nghim) Vi y = x + = x = (tho món) Vy: x = Bi 3:Gii phng trỡnh: x + x + x + + x = HD:K: x PT x + 2 x + + x + x + = 14 2x + + x + = 14 2x = x = 15 (Tho món) Vy:x = 15 Bi 4:Gii phng trỡnh: x + x + x x = HD:K: x Pt x + x + + x x + = Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh x +1+ Hong Quc x 1 = Nờu x > pt x + + x = x = (Loi) Nờu x pt x + + x = x = (Luụn ỳng vi x ) Vy nghim ca phng trỡnh l: S = { x R | x 2} III-Bi ỏp dng: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1/ x + x + = 2/ x x + = 3/ x x + = x 4/ x + x + = 5x + 5/ x x + + x + x + = 6/ x x + x x + = 10 7/ x x + + x + x + = x x + 9/ x + x + x x = 8/ x2 x + + x2 x + = 10/ x x + x x =1 11/ 12/ x + 2x + x + + 2x = x + x + + x + 11 x + = 13/ x + x x + x + = 15/ x x + + x = 10 x+ x+ 17/ 19/ 14/ x + + x + x 2 x = 16/ x x + + x = 1 + x+ = 2 x + x + x x = x + x +1 = 18/ x+3 21/ ( x 1) + x + x x + = 20/ x x + = x 22/ x + x = PHNG PHP 3: T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t = f ( x ) v chỳ y iu kin ca t nờu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt biờn t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Bi Gii phng trỡnh: HD:iu kin: x Nhn xột x x2 + x + x2 = x x x + x = 1 t t = x x thỡ phng trỡnh cú dng: t + = t = t Thay vo tỡm c x = Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin: x t2 t t = x + 5(t 0) thỡ x = Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t + 25 2 (t 5) = t t 22t 8t + 27 = 16 Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc (t + 2t 7)(t 2t 11) = Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 = 2; t3,4 = Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 = + 2, t3 = + T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x = vaứx = + Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai vờ ca phng trỡnh vi iu kin x x Ta c: x ( x 3) ( x 1) = , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y = x + v a v h i xng (Xem phn t n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = HD:iu kin: x t y = x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y + y + = y 10 y y + 20 = ( vi y 5) ( y + y 4)( y y 5) = y = T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x = 11 17 ( + 21 + 17 (loaùi), y = 2 )( Bi Gii phng trỡnh sau : x = 2004 + x x ) HD: K: x 2 t y = x thỡ phng trỡnh tr thnh: ( y ) ( y + y 1002 ) = y = x = Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = 3x + x HD:iu kin: x < Chia c hai vờ cho x ta nhn c: x + x 1 = 3+ x x x t t = x , ta gii c Bi Gii phng trỡnh : x + x x = x + 1 HD: x = khụng phi l nghim , Chia c hai vờ cho x ta c: x ữ+ x = x x t t= x 1 , Ta cú : t + t = t = x = x Bi 7.Gii phng trỡnh: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:t y = x + x + ; y y = y =1 Phng trỡnh cú dng: 3y2 + 2y - = y =1 x = Vi y = x + x + = L nghim ca phng trỡnh ó cho x = Nhn xột : i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyờt c mt lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin : Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Hong Quc Khỏnh Chỳng ta ó biờt cỏch gii phng trỡnh: u + uv + v = (1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh : ữ + ữ+ = v v v = th trc tiờp Cỏc trng hp sau cng a v c (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) u + v = mu + nv Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A(x) , B(x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Nh vy phng trỡnh Q ( x ) = P ( x ) cú th gii bng phng phỏp trờn nờu: P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xut phỏt t ng thc : x + = ( x + 1) ( x x + 1) x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) ( )( ) x4 + = x2 x + x2 + 2x + x + = ( x x + 1) ( x + x + 1) Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: x 2 x + = x + cú mt phng trỡnh p , chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at + bt c = gii nghim p Bi Gii phng trỡnh : ( x + ) = x3 + HD: t u = x + (u 0) ; v = x x + (v ) u = 2v 37 phng trỡnh tr thnh : ( u + v ) = 5uv Tỡm c: x = u = v 2 x + x + (*) Bi Gii phng trỡnh : x x + = 4 2 2 HD:D thy: x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) 2 Ta viờt ( x + x + 1) + ( x x + 1) = ng nht vờ trỏi vi (*) ta c : ( x + x + 1) + ( x x + 1) = (x (x + x + 1) ( x x + 1) + x + 1) ( x x + 1) 3 2 t : u = x + x + u ữ ; v = x x + v ữ 4 phng trỡnh tr thnh :-3u+6v=- uv u = 3v T õy ta s tỡm c x Bi 3: Gii phng trỡnh sau : x + x = x (*) Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh HD:k: x Nhn xột : Ta viờt ( x 1) + ( x + x + 1) = Hong Quc ( x 1) ( x + x + 1) ng nht vờ trỏi vi (*) ta c : ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) v = 9u t u = x , v = x + x + > , ta c: 3u + 2v = uv v = u Ta c : x = Bi Gii phng trỡnh : x 3x + ( x + 2) 6x = HD:Nhn xột : t y = x + ta biờn pt trờn v phng trỡnh thun nht bc i vi x v y: x = y x 3x + y x = x 3xy + y = x = y Pt cú nghim : x = 2, x = Bi 5:Gii phng trỡnh: 10 x3 + = ( x + ) HD:K: x Pt 10 x + x x + = 3( x + 2) u = x + (u , v 0) t v = x x + u = 3v v = 3u Phng trỡnh tr thnh:10uv = 3(u2+v2) ( 3u v ) ( u 3v ) = Nờu u = 3v x + = x x + x 10 x + = (vụ nghim) x = 33 2 Nờu v = 3u x x + = x + x 10 x = x = + 33 l nghim b).Phng trỡnh dng : u + v = mu + nv Phng trỡnh cho dng ny thng khú phỏt hin hn dng trờn , nhg nờu ta bỡnh phng hai vờ thỡ a v c dng trờn Bi Gii phng trỡnh : x + x = x x + u = x ( u, v 0; u v ) ú phng trỡnh tr thnh : u + 3v = u v HD:Ta t : v = x hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v ) ( u v ) Bi 2.Gii phng trỡnh sau : x + x + x = 3x + x + HD:k x Bỡnh phng vờ ta cú : (x + x ) ( x 1) = x + (x + x ) ( x 1) = ( x + x ) ( x 1) Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 10 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh HD:Vi iu kin 18 18 + x x 18 64 x 64 5 64 x x Hong Quc (*) t u = 18 + x , v = 64 x , vi u 0, v u = 18 + x Suy v = 64 x Phng trỡnh ó cho tng ng vi h: u+v =4 u+v = 2 u + v = 82 u + v 2(uv) = 82 v 0, v v 0, v ( ) t A = u + v v P = u.v, ta cú: S =4 2 S P P = 82 P 0, S S =4 S =4 p 32 P + 87 = P = P = 29 P0 P0 ( ) (1) Vi S = 4, P = u v v l nghim ca phng trỡnh: y =1 y2 y + = y = u = u = Do ú ta cú: v = v = 18 + x = 18 + x = 64 x = 64 x = 18 + x = 18 + x = 81 64 x = 81 64 x = 17 63 x= x= tho (*) 5 (2) Vi S = 4, P = 29 khụng tn ti u v v Suy Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: 17 x = x = 63 5.2 Gii phng trỡnh vụ t bng cỏch a v h i xng loi II Ta hóy i tỡm ngun gc ca nhng bi toỏn gii phng trỡnh bng cỏch a v h i xng loi II Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 16 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc ( x + 1) = y + Ta xột mt h phng trỡnh i xng loi II sau : ( y + 1) = x + thỡ n gin Bõy gi ta s biờn h thnh phng trỡnh bng cỏch t y = f ( x ) (1) (2) vic gii h ny cho (2) luụn ỳng , y = x + , ú ta cú phng trỡnh : ( x + 1) = ( x + 1) + x + x = x + 2 Vy gii phng trỡnh : x + x = x + ta t li nh trờn v a v h ( x + ) = ay + b Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc : , ta s xõy dng c y + = ax + b ( ) phng trỡnh dng sau : t y + = ax + b , ú ta cú phng trỡnh : a ( x + ) = ax + b + b a n Tng t cho bc cao hn : ( x + ) = n ax + b + b Túm li phng trỡnh thng cho di dng khai trin ta phi viờt v dng : n ( x + ) = p n a ' x + b ' + t y + = n ax + b a v h , chỳ y v du ca ??? n Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn viờt di dng : ( x + ) = p n a ' x + b ' + l chn c Bi 1: Gii phng trỡnh: x x = 2 x HD:iu kin: x Ta cú phng trỡnh c viờt li l: ( x 1) = 2 x x x = 2( y 1) t y = x thỡ ta a v h sau: y y = 2( x 1) Tr hai vờ ca phng trỡnh ta c ( x y )( x + y ) = Gii ta tỡm c nghim ca phng trỡnh l: x = + Cỏch 2: t x = t + a x = t + 2at + a Chn a = -1 ta c:t2 - 2t = 2x - x x = 2t kờt hp vi u bi ta cú h phng trỡnh: t 2t = x Gii h ny ta s tỡm c x Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin x Ta biờn i phng trỡnh nh sau: x 12 x = x + (2 x 3) = x + + 11 (2 x 3) = y + ( x y )( x + y 1) = t y = x + ta c h phng trỡnh sau: (2 y 3) = x + Vi x = y x = x + x = + Vi x + y = y = x x = x + (vụ nghim) Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 17 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Hong Quc Khỏnh Kờt lun: Nghim ca phng trỡnh l x = + Bi 3:Gii phng trỡnh: x x + = HD:K: x Pt x = x + ; x (*) t x + = t + a x + = t + 2at + a Chn a = ta c:t2 - = x v kờt hp vi (*) ta c h phng trỡnh: x = t t õy ta s tỡm c nghim t = x Bi 4:Gii phng trỡnh: 7x2 + 7x = 4x + ( x > 0) 28 4x + 4x + = t + 2at + a =t+a 28 28 4x + 1 = t + t + 7t + 7t = x + Chn a = ta c: 28 x + x = t + Kờt hp vi u bi ta c h phng trỡnh: 7t + 7t = x + HD:t Gii h phng trỡnh trờn ta tỡm c nghim Bi ỏp dng: Gii phng trỡnh: x + x + = x + PHNG PHP 4: PHNG PHP NH GI I-KIN THC: 1.Bt ng thc Bunhiakụpxki: Cho hai b s : ( a , b), (x , y) thỡ ta cú: (ax + by)2 (a + b )( x + y ) a b Du = xy x = y 2.Bt ng thc cụsi: a) Vi hai s a, b thỡ ta cú: Du = xy a = b a+b ab b) Vi ba s a, b, c thỡ ta cú: Du = xy a = b = c a+b+c abc c) Vi bn s a, b, c, d thỡ ta cú: Du = xy a = b = c = d e) Vi n s a1, a2,, an thỡ ta cú: Du = xy a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN ca biu thc: a/ A = m + f2(x) m Am MinA = m a+b+c+d abcd a1 + a2 + + an n a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) M A M MaxA = M Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 18 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Du ''='' xy f(x) = Hong Quc Du ''='' xy g(x) = Dựng hng ng thc : T nhng ỏnh giỏ bỡnh phng : A2 + B , ta xõy dng phng trỡnh dng A2 + B = T phng trỡnh ( ) ( 5x x + ) 5x + x = ( ta khai trin cú phng trỡnh : x + 12 + x = x x + x Dựng bt ng thc ) A m (1) B m (2) Mt s phng trỡnh c to t du bng ca bt ng thc: nờu du bng (1) v (2) cựng t c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A = B , du bng x +1 + 1+ x v ch x = Vy ta cú phng trỡnh: 2008 x + + 2008 x = x +1 A f ( x ) ụi mt s phng trỡnh c to t y tng : ú : B f ( x) A = f ( x ) A=B B = f ( x ) Ta cú : + x + x Du bng v ch x = v x +1 + Nờu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c II-BI TP: Bi Gii phng trỡnh : HD:k: x 2 + x = x+9 x +1 x = x+9 + x +1 + x + x + ữ 1 x= x +1 2 + xữ 2 Ta cú : x +1 Du bng 2 = x +1 ( ) Bi Gii phng trỡnh : 13 x x + x + x = 16 HD:k: x ( Biờn i pt ta cú : x 13 x + + x ) = 256 p dng bt ng thc Bunhiacopxki: ( 13 13 x + 3 + x ) ( 13 + 27 ) ( 13 13 x + + x ) = 40 ( 16 10 x ) p dng bt ng thc Cụsi: 10 x ( 16 10 x 2 ) 16 ữ = 64 Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 19 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc x = + x x2 = Du bng 10 x = 16 10 x x = Bi Gii phng trỡnh: x 3` 3x x + 40 4 x + = HD:Ta chng minh : 4 x + x + 13 v x 3x x + 40 ( x 3) ( x + 3) x + 13 Bi 4: Gii phng trỡnh: x + x = x 12 x + 38 HD:Ta cú :VT2=( x + x )2 (1 + 1).(7- x + x - 5) = Nờn : < VT Mt khỏc:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 Theo gi thiờt du ''='' xy v ch khi:x = Vy x = l nghim nht ca phng trỡnh ó cho Bi 5: Gii phng trỡnh: x + 3x + x + = HD:K: x [ 1; 2] (1) PT x + 3x = x + (2) T (2) ta cú: 2 x +1 x +1 x +1 x (3) T (1) v (3) Ta cú x = thờ vo (2) tho món.Vy :x = Bi 6:Gii phng trỡnh : HD: iu kin x > x 4x + =2 x 4x 1 p dng bt ng thc cụ si ta cú: x 4x + 4x x x 4x ì 4x = x Theo gi thiờt du bng xy v ch khi: x = 4x x 4x x 4x + = (x 2) = x = Du = xy x = 4x x 4x + = x 4x + = (x 2) = x = x = (Tho món) Vy : x = Bi 7:Gii phng trỡnh : x 5x = 3x HD: Cỏch iu kin x Vi x thỡ: Vờ trỏi: x < 5x vờ trỏi luụn õm Vờ phi: 3x vờ phi luụn dng Vy: phng trỡnh ó cho vụ nghim Cỏch Vi x 1, ta cú: Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 20 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc x = 5x + 3x x = 8x + (5x 1)(3x 2) 7x = (5x 1)(3x 2) Vờ trỏi luụn l mt s õm vi x 1, vờ phi dng vi x phng trỡnh vụ nghim Bi 8:Gii phng trỡnh : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = 2x x (1) HD: Ta cú (1) x + 2x + + ữ + x + 2x + + ữ = (x + 2x + 1) + 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = (x + 1) Ta cú: Vờ trỏi + = + = Du = xy x = Vờ phi Du = xy x = Vy: phng trỡnh ó cho cú mt nghim x = Bi 9:Gii phng trỡnh : HD: iu kin x x+7 + = 2x + 2x x +1 D thy x = l mt nghim ca phng trỡnh Nờu x < : VT = Nờu x > 2: VP = 2x2 + + < + M: VP > + x +1 2x > 2.22 + = + VT < + 1+ x > x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vy: phng trỡnh ó cho cú mt nghim nht l x = Bi 10:Gii phng trỡnh : + =6 x 2x l nghim ca phng trỡnh Ta cn chng < v 6 Tng t vi < x < 2: x 2x HD: K: x < Bng cỏch th, ta thy x = Bi 11:Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 1 1 + + + ììì+ = 1.2 2.3 3.4 x ( x + 1) 4x +4 x +5 HD:K: x (1) Ta cú:1 x + = x +5 x = x (*) Ta cú: VP(*) = x x (2) T (1) v (2) ta cú:x = l nghim nht III-BI TP P DNG: Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 21 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau : 2x + + 2x = Hong Quc 2x + 2x + + 2x 2x x2 + 2x4 + = 4 + x4 + x4 x 3` 3x x + 40 4 x + = 1 = 4x+ ữ x x 16 x + = x + x + x + 64 x3 = x x + 28 x + x + x x = + x + x = x x + 18 Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau : 1/ x - + - x = x - 8x + 24 3/ x + x + = x x + 13 5/ x + x = x 12 x + 14 2/ x + x = x 10 x + 27 4/ x + + x = 6/ x + 10 x = x 12 x + 40 PHNG PHP 5: PHNG PHP HM S S dng cỏc tớnh cht ca hm s gii phng trỡnh l dng toỏn khỏ quen thuc Ta cú hng ỏp dng sau õy: Hng 1: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = k Bc 2: Xột hm s y = f ( x) Bc 3: Nhn xột: Vi x = x0 f ( x) = f ( x0 ) = k ú x0 l nghim Vi x > x0 f ( x) > f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vi x < x0 f ( x) < f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 2: Thc hin theo cỏc bc Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = g ( x) Bc 2: Dựng lp lun khng nh rng f ( x) v g(x) cú nhng tớnh cht trỏi ngc v xỏc nh x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bc 3: Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 3: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng f (u ) = f (v) Bc 2: Xột hm s y = f ( x) , dựng lp lun khng nh hm s n iu Bc 3: Khi ú f (u ) = f (v) u = v ( ) ( ) 2 Vớ d: Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = ( HD:pt ( x + 1) + ( ( x + 1) ) ( + = ( x ) + ) ( 3x ) ) + f ( x + 1) = f ( x ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng biờn trờn R, ta cú x = Vớ D 2: Gii phng trỡnh: x + + x + + x + = HD: nhn thy x = -2 l mt nghim ca phng trỡnh t f ( x ) = x + + x + + x + Vi x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) vy hm s f(x) ng biờn trờn R Vy x = -2 l nghim nht ca phng trỡnh Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 22 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Bi ỏp dng: Gii phng trỡnh: c) x = + x x a) x + x = b) x = x3 x + d) x = x + x x3 Hong Quc e) x + x + = f) 2x + x2 + = x PHNG PHP 6: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch ( x x0 ) A ( x ) = ta cú th gii phng trỡnh A ( x ) = hoc chng minh A ( x ) = vụ nghim , chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A ( x ) = vụ nghim Bi 1:Gii phng trỡnh: x ( x + ) + x ( x 1) = x (1) HD: C1: K x 2; x ( 1) x2 x x2 2x x ( x 1) x ( x + ) x x ( x 1) x ( x + ) =2x ( 2) =2x x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nờu x ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x ( 3) Gii (3) ta tỡm c x x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nờu x -2 ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x ( 4) Gii (4) ta tỡm c x C2: K: x 2; x Nờu x ta chia c hai vờ cho x ta c: ( x + ) + ( x 1) = x Bỡnh phng hai vờ sau ú gii phng trỡnh ta tỡm c x Nờu x -2 t t = -x t Thay vo phng trỡnh ta c t ( t + ) + t ( t 1) = t ( t ) + t ( t + 1) = ( t) ( t ) 2 Chia c hai vờ cho t ta c ( t ) + ( t + 1) = t Bỡnh phng hai vờ tỡm c t Sau ú tỡm x Trong C1 ta ó s dng kiờn thc liờn hp Cũn C2 ta dng kiờn thc xỏc nh v n ca phng trỡnh.nhỡn chung thỡ vic dng theo C2 n gin hn Bi Gii phng trỡnh sau : x x + x = ( x x 1) x x + HD: 2 2 Ta nhn thy : ( x x + 1) ( x x 3) = ( x ) v ( x ) ( x 3x + ) = ( x ) Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 23 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Ta cú th trc cn thc vờ : Hong Quc x + x x + + ( x x + 1) 3x = x + x 3x + D dng nhn thy x = l nghim nht ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x + 12 + = x + x + 5 Ta nhn thy : x = l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng ( x ) A ( x ) = , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x2 x2 2 x + 12 = x + x + = 3( x 2) + x + 12 + x2 + + x + 12 x + = x x HD: phng trỡnh cú nghim thỡ : x+2 x +1 ( x 2) 3ữ= x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 < 0, x > D dng chng minh c : 2 x + 12 + x +5 +3 Bi Gii phng trỡnh : x + x = x HD :k x Nhn thy x = l nghim ca phng trỡnh , nờn ta biờn i phng trỡnh x + ( x 3) ( x + x + ) 3 x + x = x ( x 3) + = 3 x2 x3 + ( ) + x + Ta chng minh : x+3 1+ (x 1) + x + = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 + + x3 + ) Vy pt cú nghim nht x = Bi 5:Gii phng trỡnh sau: x2 + x+ x + + x2 x x =x HD:K: x Nhõn vi lng liờn hp ca tng mu s ca phng trỡnh ó cho ta c: (x ) )( ) )( ( x + x x + x x = 3.x (x x > x ( ) + ) +( x (x 2 + + ) ) = 3.x +2 (x 3) = 27 x x > x > ; x ( 2x ) 4 4 ( x 3) = x ( x ) 4( x 3) = x ( x ) Gii h trờn ta tỡm c x = 2 x2 = x+9 Bi 6:Gii phng trỡnh: + 2x ( ) Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 24 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh x HD:K: x Pt ( 2x2 + + x ( + 2x ( )( ) + + 2x x 18 + x + + x 4x + 2x = x = l nghim Hong Quc ) = x+9 ) = x+9 Bi dng: 1) x ( x 3) + x ( x ) = x 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x 1) = ( x + 3) Tng quỏt: f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x ) = f ( x ) 3) 3x x + 10 = 3x + BI TP TNG HP Bi 1: Tỡm tt c cỏc s thc x1; x2; ; x2005 tho món: x1 12 + x2 22 + + 2005 x2005 20052 = ( x1 + x2 + + x2005 ) Bi 2: Tỡm cỏc s thc x, y, z tha iu kin: x + y + z = ( x + y + z) Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau: x + 2x = 3( x x + 1) = ( x + x 1) x + x +1 = x2 x + = ( x + 48 = x + x + 35 2( x + 2) = x + ) x x = x x = x 27 x10 x + 864 = x x = ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) x + 17 x + x 17 x = 10 x = x )( x+4 =6 x+2 x 3x = x2 + x + x2 x + = x2 + x + x x2 + = x2 x + 3+x 3x + x = x + x + x x + 24 + = x + x + Bi 4: Gii cỏc phng trỡnh sau: 25 x 10 x = ( x) x + ( x 5) x x + x5 ( x + 3) 10 x = x x 12 2x + = x x2 4x + + x2 4x + + x2 x + = + =2 ( x 3) ( x + 1) ( x 3) x +1 +3= x x + x + 20 = x + 10 x2 + x + = 2 x + 3x + 3x x + x = x + = x 20 Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 25 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc + x + x = 3 x + x x 12 = 48 + x 2x 2x = +1 3 +1 x + ữ x + ữ+ = x x 2+ x x + + 2+ x 4x + + = x5 x 45 = x 20 + x x x2 ( x) = x + x2 =4 x + ( x 5) x x + x5 9x + + x= x4 + x + 2005 = 2005 =2 3x 3+x a + b x = + a b x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = x x + x + x + x + 28 = Bi 5: Ky hiu [x] l phn nguyờn ca x 3 Gii phng trỡnh sau: + + + x = 855 Bi 6:Cho phng trỡnh: x x + x + = x x + 62 x Gi tng cỏc nghim ca phng trỡnh l S,tớnh S15 Bi 7:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x y = 48 Bi 8:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: + x2 d/ x + y = 2000 1225 + = 74 x y z 771 y z 771 Bi 9:Gii cỏc phng trỡnh sau : x 14 x + x x 20 = x + x 1 2x + = + x x x x x + = x3 x 15 30 x x ) = 2004 ( ( x 1) x x 10 = x x 10 ( x3 + = x3 + x + ) ( x + = x + 3x + x + ) ( x + x + 12 x + = 36 ( + x ) + 3 x2 + ( x ) = 2008 x x + = 2007 x x = (2004 + x )(1 x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 3 ) 30060 x + + x + x3 + x + x + = + x ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x x + 16 x + 18 + x = x + 12 x + x = x + x + 3x3 = x 2 x 11x + 21 3 x = ( x) ( x) = x+ ( x ) ( 10 x ) x2 + = x + 2x x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x + x +1 = x 3 x3 + (1 x ) = x 2x2 x + x + = 2x + 3x2 + 3x + x2 + x + = 3x + Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 26 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Bi 10: Gii phng trỡnh: a) x + x + x + = 12 x Hong Quc b) x x + x + = x d) 3x + 15 x + x + x + = c) x x + = x x + 12 e) ( x + 4)( x + 1) x + x + = f) g) x + 3x + 2 x + x + = Bi 11: Gii phng trỡnh: (1 x ) x3 + x+ x x = x2 + 5x + 2 x2 + 5x = h) x + x + 11 = 31 + x2 ( x ) = x ( x2 ) 35 12 ( x 3) ( x + 1) + ( x 3) x 2x x2 x2 + = ( 1+ x) = + x2 x +1 = x3 64 x 112 x + 56 x = x Bi 12: Cho phng trỡnh: + x + x + ( + x ) ( x ) = m a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim nht 1 + =m x x2 Gii phng trỡnh vi m = + Bi 13: Cho phng trỡnh: a) b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 14: Cho phng trỡnh: ( x x ) + x x m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 15:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: y = x + x + x x x+ x+ x+ x = y y2 = + x2 4x y = x + x + + x +1 y = x + 2x + x 2x y = x x + x + x Bi 16: Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x = y nờu: a/ Vờ trỏi cú 100 du cn b/ Vờ trỏi cú n du cn Bi 17:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x + x = x (Vờ trỏi cú 100 du cn) Bi 18:Tỡm cỏc s hu t a v b tho món: Bi 19:Cho hai s x , y tho món: ( a+b x2 + x )( a b = 20 ) y + y = Tớnh x + y Bi 20:Gii phng trỡnh: x + + x = Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 27 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Bi 21:Cho cỏc s thc dng x,y,z tho iu kin: Bi 22:Cho cỏc s thc dng a,b,c tho iu kin: a + b c = a + b c Chng minh rng: 2010 a + 2010 b 2010 c = 2010 a + b c x y + y z + z x2 = Hong Quc Chng minh rng: x + y + z = Bi 23:Gii phng trỡnh nghim nguyờn: y = + 199 x x Bi 24:Tỡm cỏc s hu t a v b biờt: a b = 11 28 Bi 25:Gii phng trỡnh: x + x2 =1 x2 Bi 26:Tỡm cỏc s nguyờn k tho món: 1+ 1 1 1 2009 + + + + + + + + = 2009 12 22 22 32 k ( k + 1) Bi 27:Gii phng trỡnh: 1/ + x + x = 2/ x + x + x x = x + 3/ x x 30 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x + x 3x = x + x + + x x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 7/ x + 25 x + 125 x + 45 16 x + 80 + =9 12 16 8/ x + 712671620 52408 x + 26022004 + x + 712619213 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 2010 x + x + 10/ ( x + 5)(2 x) = x + 3x Bi 28:Gii cỏc phng trỡnh sau: 15 x x = x 15 x + 11 ( x + 5)(2 x) = x + x (1 + x)(2 x) = + x x x + 17 x + x 17 x = 3x + x = x + 3x x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n x + n (1 x) = x = (2004 + x )(1 x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x2 + x2 = HT Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 28 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 29 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Hong Quc Khỏnh Hóy trõn trng Toỏn hc mi bn hc Toỏn!!! 30 ... = c = d e) Vi n s a1, a2,, an thỡ ta cú: Du = xy a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN ca biu thc: a/ A = m + f2(x) m Am MinA = m a+b+c+d abcd a1 + a2 + + an n a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) M A... trỡnh vụ t Khỏnh Hong Quc CHUYấN : PHNG TRèNH Vễ T I - Tỏc gi: NGUN: T toỏn trng THCS M An - Lc Ngn - Bc giang II - Mc Lc: Phng phỏp 1: NNG LU THA Phng phỏp 2: A V PHNG TRèNH TR TUYT I Phng... vụ t , gii chỳng ta cú th t t = f ( x ) v chỳ y iu kin ca t nờu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt biờn t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton