PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ 16 NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN (Đề gồm trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) Rút gọn biểu thức sau a b A = 3x + x − x + B = 3+ − 3− − Bài 2: (2.0 điểm) Giải phương trình b x − x + 36 = x + a x x − x − x = 2 2 c TÝnh C = (1+ tan α)(1- sin α) + (1+cotan α)(1-cos α) Bài 3: (2.0 điểm) a Cho số nguyên dương a; b; c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b có phải số phương không? Vì sao? b Cho x; y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= 20 11 + x +y xy Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M trung điểm HC; N trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vuông góc với HC đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Từ suy SAEF = SABC cos ∠ BAC b BH.KM = BA.KN c GA5 + GB + GH =4 GM + GK + GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ phía AB tia Ax By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt Mz thay đổi vuông góc với M cắt Ax, By theo thứ tự C D tạo góc ∠ AMC= α Xác định số đo α để tam giác MCD có diện tích nhỏ Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… ®Ò 16 Bài Ý a 2.5 0.75 b 0.75 2a 1.0 2.0 2b 1.0 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt 4 x − 2; = x + ( x − 2) = x + x − = 2 x + 2; neu x ≥ neu x < 0.25x3 B = + − − − = ( + 1) − ( − 1) − = | + 1| − | − 1| −2 = + − + − = Suy A = ĐK: x ≥ x x − x − x = ⇔ x (x − − x ) = x = ⇔ x ( x − 2)( x + 1) = ⇔ x = −4 ĐKXĐ: x ≥ ; Học sinh đối chiếu ĐK kết luận nghiệm 0.25 ( x − x + 16) + (3 x + − x + 4.4 + 16) = ⇔ ( x − 4) + ( x + − 4) = (a + b)c = ab ⇒ ( a − c)(b − c ) = c Gọi UCLN a-c b-c d ⇒ c Md ⇒ c Md ⇒ a Md ; b Md mà a; b; c số đôi nguyên tố nên d = Do a-c b-c hai số phương Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q số nguyên) c2 = p2q2 ⇒ c = pq ⇒ a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 số phương 20 10 20 20 80 P= + + Ta có + ≥ 20 = 2 2 x +y xy xy x +y xy x + y + xy ( x + y ) Mà x + y ≤ 20 20 + ≥ 20 2 Nên x +y xy Mặt khác : xy ≤ 2.0 0.5 0.25 0.25x4 ⇔ x − = 3x + − = ⇔ x = 4(tm) 3a 1.0 Điểm 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 0,25 Dấu x = y =1 ( x + y )2 22 ≤ = Nên ≥ Dấu xảy xy 4 x = y =1 0.25 0.25 Vậy giá trị nhỏ P 21 x = y =1 3b 1.0 A F E H K N G B D M C AE AF vuông F nên · cos CAF = ∆ACF ; AB AC Tư chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên S AEF AE · · = = cos BAC ⇒ S AEF = S ABC cos BAC S ABC AB · · · ; ·ABH = MKN (Góc có cạnh tương ứng song song) ∆ABH ∆MNK có BAH = NMK ∆AEB 4a 1.0 4b 0.75 vuông E nên · cos BAE = Suy ∆AHB đồng dạng với ∆MNK ( g.g); ⇒ 2.5 ∆AHB đồng dạng với ∆MNK nên AHC); Lại có: 4c 0.75 BA BH = ⇒ BA.KN = BH KM KM KN 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 AB AH = = ( Vì MN đường TB tam giác MK MN AG HG = 2; = ( G trọng tâm tam giácAHC) MG NG AB AG · · = = Mặt khác BAG ( so le trong) = GMK MK MG ⇒ ∆ABG đồng dạng với tam giác ∆MKG (c.g.c) GB GA GH GB5 GA5 GH GB + GA5 + GH ⇒ = = =2⇒ = = = = 32 GK GM GN GK GM GN GK + GM + GN ⇒ 0.25 GB + GA5 + GH ⇒ =4 GK + GM + GN 0.25 · · MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC = BDM =α ; a b ab MC = , MD = ; SMCD = cosα sin α cosα.sin α Ta có : SMCD = 1.0 Do a,b số nên SMCD nhỏ ⇔ 2sinα.cosα lớn Theo bất đẳng thức 2xy ≤ x2 +y2 ta có : 2sinα.cosα ≤ sin2α +cos2α = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin(90 −α) ⇔ α = 900−α ⇔ α = 450 ⇔ ∆AMC ∆BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi α = 450 ; C,D xác định tia Ax ; x By cho AC = AM , BD = BM 0.5 y D α C A a α( M b B 0.5 ...®Ò 16 Bài Ý a 2.5 0.75 b 0.75 2a 1.0 2.0 2b 1.0 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt 4 x − 2; = x + ( x − 2) = x + x − = 2 x + 2;... 0.25 AB AH = = ( Vì MN đường TB tam giác MK MN AG HG = 2; = ( G trọng tâm tam giácAHC) MG NG AB AG · · = = Mặt khác BAG ( so le trong) = GMK MK MG ⇒ ∆ABG đồng dạng với tam giác ∆MKG (c.g.c) GB... +y2 ta có : 2sinα.cosα ≤ sin2α +cos2α = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin (90 −α) ⇔ α = 90 0−α ⇔ α = 450 ⇔ ∆AMC ∆BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi α = 450 ; C,D xác định tia Ax ;