Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN NĂM HỌC: 2016 – 2017 ********************************************************************************* ĐỀ SỐ Câu I ( điểm) Giải phương trình x − x + + x + 10 x + 25 = y2 – 2y + = x + 2x + x2 + x + Câu II (4 điểm) Cho biểu thức : A = ( x + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) + + ÷ ≥ a b c 1 Câu III (4,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đường chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH hình chóp Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900 ********************************************************************************* ĐỀ SỐ xy + x x +1 + + 1 : 1 − xy + 1 − xy Bài (2đ): Cho biểu thức: A = xy + x xy − − x + xy + a Rút gọn biểu thức b Cho 1 + = Tìm Max A x y Chứng minh với số ngun dương n ta có: 1 1+ + = 1 + − từ tính tổng: n (n + 1) n n +1 Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 1+ S= Nùm hổc: 2016 – 2017 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2005 20062 Bài (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm: x + 6a + − 5a (2a + 3) = x + a +1 ( x − a)( x + a + 1) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức: x1 x 2 x2 + x ≥3 1 Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: m x −1 + y − = − 3m = y − x −1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 2 Giải hệ phương trình: y −9 x + 27 x −27 = z −9 y + 27 y −27 = x −9 z + 27 z −27 = Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = (k tham số) Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3.x ? Khi tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y số dương thoả mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = ( x + 1)( y + 1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ∆ ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đường thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF a Chứng minh AE vng góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF ln ln qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vng M chuyển động đường thẳng AB cố định · Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng đường thẳng qua Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ ********************************************************************************* ĐẾ SỐ Bài 1: (2 điểm) Chứng minh: 3 -1 = 3 + 9 Bài 2: (2 điểm) Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) Tính số trị biểu thức: M = ab 4b − b 2 Bài 3: (2 điểm) Chứng minh: a, b nghiệm phương trình: x + px + = c,d nghiệm phương trình: x2 + qx + = ta có: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bài 4: (2 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Tuổi anh em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đơi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi anh, em Bài 5: (2 điểm) Giải phương trình: x4 + x + 2006 = 2006 x2 Bài 6: (2 điểm) Trong hệ trục toạ độ vng góc, cho parapol (P): y = đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1 Vẽ (P) Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) Chứng tỏ (d) ln qua điểm cố định A ∈ (P) Bài 7: (2 điểm) Cho biểu thức A = x – xy + 3y - x + Tìm giá trị nhỏ mà A đạt Bài 8: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) ngồi Kẻ tiếp tuyến chung ngồi AB tiếp tuyến chung EF, A, E ∈ (O); B, F ∈ (O’) a Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b Chứng minh: AE ⊥ BF c Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng Bài 9: (2 điểm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước d góc nhọn đường chéo ∝ ********************************************************************************* ĐẾ SƠ Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x + + x + + x + − x + = Câu 2(2đ): a, Thực phép tính : 13 − 100 − 53 + 90 b, Rút gọn biểu thức : B= a2 b2 c2 + + a2 − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh Với a + b + c = Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 Câu 3(3đ) : a, Chứng minh : < 1+ 1 + + + < 10 2 50 b, Tìm GTNN P = x2 + y2+ z2 Biết x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi tốn K9 năm 2007 Biết : Nếu đưa em từ giải nhì lên giải số giải nhì gấp đơi giải Nếu giảm số giải xuống giải nhì giải số giải 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba 2/7 tổng số giải Câu (4đ): Cho ∆ ABC : Góc A = 900 Trên AC lấy điểm D Vẽ CE ⊥ BD a, Chứng minh : ∆ ABD ∞ ∆ ECD b, Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c, Chứng minh FD ⊥ BC (F = BA ∩ CE) d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a Tính AC, đường cao AH ∆ ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF Câu (4đ): Cho đường tròn (O,R) điểm F nằm đường tròn (O) AB A'B' dây cung vng góc với F a, Chứng minh : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chứng minh : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gọi I trung điểm AA' Tính OI2 + IF2 ********************************************************************************* ĐẾ SỐ 2 Câu 1: Cho hàm số: y = x − x + + x − x + a Vẽ đồ thị hàm số b Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c Với giá trị x y ≥ Câu 2: Giải phương trình: a − 12 x + x = b 3x − 18 x + 28 + x − 24 x + 45 = -5 – x2 + 6x c x + 2x − x+3 + x-1 Câu3 : Rút gọn biểu thức: a A = ( -1) + 2 − + 12 + 18 − 128 b B = +1 + 2+2 + + 2006 2005 + 2005 2006 + 2007 2006 + 2006 2007 Câu 4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M bên hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150 Vẽ tam giác ABN bên ngồi hình vẽ a Tính góc AMN Chứng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD Câu 5: Cho hình chóp SABC có SA ⊥ SB; SA ⊥ SC; SB ⊥ SC Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x a Tính Vhchóptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn ********************************************************************************* ĐẾ SỐ Câu : a) giải phương trình : x − 16 x + 64 + x = 10 x + + y − = x + − y = b) giải hệ phương trình : x x − x x + x − x + − x − 2 x Câu 2: Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > -6 Câu 3: Cho phương trình : x2 - 2(m-1)x +2m -5 =0 a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Nếu gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để x1 + x2 =6 Tìm nghiệm Câu 4: Cho a,b,c số dương Chứng minh 1< a b c + + (ab + bc + ca) 2) 18 2 ≤ + + với a, b ; c dương a+b+c a b c CÂU III : Cho đường tròn (O) đường kính AB vẽ hai tiếp tuyến Ax By; gọi M điểm tuỳ ý cung AB vẽ tiếp tuyến M cắt Ax By tai C D a) Chứng minh : AC.BD=R2 b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác OCD bé CÂU IV Tìm giá trị nhỏ A = x + y + xy − 5x − 4y + 2002 CÂU V: Tính 1 1 M= 1− 1− 1− 1− 1) 3 4 n + 1 1993 1992 2) N= 75( + + + + 5) + 25 CÂU VI : Chứng minh : a=b=c a + b + c = 3abc ********************************************************************************* ĐỀ SỐ CÂU I : Rút gọn biểu thức A= − − 29− 12 x + 3x + B= x +x +2 CÂU II : Giải phương trình 1) (x+4)4 +(x+10)4 = 32 2) x + x + 2004= 2004 CÂU III : Giải bất phương trình (x-1)(x-2) > CÂU IV : Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác vng cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P trung điểm BC; BD;CE a) Chứng minh : BE = CD BE ⊥ với CD b) Chứng minh tam giác MNP vng cân Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 a −1 b + c − = = 5a- 3b -4 c = 46 Xác định a, b, c a c 2a − 3ab + 5b 2c − 3cd + 5d = = 2) Cho tỉ lệ thức : Chứng minh : b d 2b + 3ab 2d + 3cd CÂU V : 1) Cho Với điều kiện mẫu thức xác định CÂU VI :Tính : S = 42+4242+424242+ +424242 42 ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (4đ) Cho biểu thức: x x −3 2( x − 3) x+3 P= − + x−2 x −3 x +1 3− x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x = 14 - c) Tìm GTNN P Bài 2( 4đ) Giải phương trình a) 1 1 + + = + x + x + x + x + 15 x + 12 x + 35 x + 16 x + 63 b) x + − x + + x + 11 − x + = Bài 3: ( 3đ) Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) có hệ số góc k qua điểm M(0;1) a) Chứng minh với giá trị k, đường thẳng (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Gọi hồnh độ A B x1 x2 Chứng minh : |x1 -x2| ≥ c) Chứng minh :Tam giác OAB tam giác vng Bài 4: (3đ) Cho số dương x, y thỏa mãn x + y =1 a) Tìm GTNN biểu thức M = ( x2 + y )( y2 + x ) b) Chứng minh : N=(x+ 1 25 ) + ( y + y )2 ≥ x Bài ( 2điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB = 6cm, AC = 8cm Gọi I giao điểm đường phân giác, M trung điểm BC Tính góc BIM Bài 6:( 2đ) Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M ∈ BC Các đường tròn đường kính AM, BC cắt N ( khác B) BN cắt CD L Chứng minh : ML vng góc với AC Bài ( 2điểm) Cho hình lập phương ABCD EFGH Gọi L K trung điểm AD AB Khoảng cách từ G đến LK 10 Tính thể tích hình lập phương ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 11 Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình: 1) x3 - 3x - = Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn 2) 7- x Nùm hổc: 2016 – 2017 + x - = x - 12x + 38 Câu 2: ( điểm) 1) Tìm số thực dương a, b, c biết chúng thoả mãn abc = a + b + c + ab + bc + ca ≤ 2) Cho x > ; y > thỗ mãn: x + y ≥ Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: + x y Câu 3: (3 điểm) Cho x + y + z + xy + yz + zx = CMR: x2 + y2 + z2 ≥ M = 3x + 2y + Câu 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax; By theo thứ tự C; D a) CMR: Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí M nửa đường tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ c) Tìm vị trí C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm Biết AB = 4cm Câu 5: (2 điểm) Cho hình vng ABCD , xác định hình vng có đỉnh thuộc cạnh hình vng ABCD cho hình vng có diện tích nhỏ nhất./ ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 12 Câu 1: (0,5đ) Phân tích đa thức sau thừa số a4 + 8a3 - 14a2 - 8a - 15 Câu 2: (1,5đ) Chứng minh biểu thức 10n + 18n - chia hết cho 27 với n số tự nhiên a+ b Câu (1,0đ) Tìm số trị 2a2 + 2b2 = 5ab; Và b > a > a− b Câu (1,5đ) Giải phương trình a 4y2 + x + 4y2 − x − x2 + ; b x4 + x2 + 2006= 2006 Câu (0,5đ) Cho ∆ABC cân A đường cao AH = 10cm, đường cao BK = 12cm Tính độ dài cạnh ∆ABC Câu (1,0đ) Cho (0; 4cm) (0; 3cm) nằm ngồi OO’ = 10cm, tiếp tuyến chung tiếp xúc với đường tròn (O) E đường tròn (O’) F OO’ cắt đường tròn tâm O A B, cắt đường tròn tâm (O) C D (B, C nằm điểm A D) AE cắt CF M, BE cắt DF N Chứng minh rằng: MN ⊥ AD ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 13 Câu 1: (4,5 điểm) : Giải phương trình sau: 1) 2) X − 2X +1 + X − 6X + = − = X + X − ( X + 1)(2 − X Câu 2: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng: Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 1 1 + + + + 2 b+c a+c a+b C©u 5: (2 ®iĨm) Cho c¸c sè d¬ng a,b,c,d Chøng minh: ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 74 3 x + Bµi 1(3®) Cho biĨu thøc: A = + x + 1 x + x + x − 27 a Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cđa A x = +2010 Bµi 2(3®) Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1) a T×m m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iĨm A(1; 5) b VÏ ®å thÞ hµm sè víi gi¸ trÞ võa t×m ®ỵc ë c©u a Gäi giao ®iĨm cđa ®å thÞ hµm sè (1) víi trơc Ox lµ B; giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng h¹ tõ A vu«ng gãc víi Ox lµ C TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC? Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh 52 Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 Bµi 3(2) Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x y z = = 2008 2009 2010 Chøng minh r»ng: z – x =2 ( x − y )( y − z ) Bµi 4(2.5) Cho x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc B = x + y3 + xy Bµi 5(2.5) Cho a, b>0 Chøng minh r»ng: b2 a2 + ≥ a+ b a b Bµi 6(3) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( Bˆ = 900, BC > BA) néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AC KỴ d©y cung BD vu«ng gãc víi ®êng kÝnh AC Gäi H lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD Trªn HC lÊy ®iĨm E cho E ®èi xøng víi A qua H §êng trßn ®êng kÝnh EC c¾t c¹nh BC t¹i I ( I kh¸c C) Chøng minh r»ng: a CI.CA = CB.CE b HI lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh EC Bµi 7(4) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp (0; R) §êng cao AK c¾t ®êng trßn (0) t¹i D; AN lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn (0) a Chøng minh: BD = CN b TÝnh ®é dµi AC theo R vµ α BiÕt ∠ ABC = α c Gäi H, G lÇn lỵt lµ trùc t©m, träng t©m cđa tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng H; G; O th¼ng hµng ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 75 Bµi 1(4 ®) a/ TÝnh 6−2 − 6+2 b/ Cho a +b +c = , a,b,c ≠ Chøng tá r»ng : 1 1 1 + + + 2+ = a b c a b c c/ H·y chøng tá x = + − − lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x3 +3x – = Bµi 2(4 ®) a/ Rót gän, tÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc A= x − y 1 + + ÷ xy xy x y x + y + xy b/ Gi¶i ph¬ng tr×nh ( 1 + ÷ x+ y x ) ] Víi x = − 3, y = + x+9 + x−7 = Bµi 3(5 ®) a/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ,gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B = x2 − x + x2 + x + b/ Trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é cho c¸c ®iĨm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A, C X¸c ®Þnh a ®Ĩ ®êng th¼ng y Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh 53 Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 =ax chia h×nh ch÷ nhËt OABC thµnh hai phÇn , ®ã diƯn tÝch phÇn chøa ®iĨm A gÊp ®«i diƯn tÝch phÇn chøa ®iĨm C C©u 4:(2đ) Cho h×nh chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trªn cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD F.Chứng minh : 1 = + 2 AB AE AF C©u (5®) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A ,®êng cao AH Gäi D vµ E lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu cđa ®iĨm H trªn AB vµ AC BiÕt BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, TÝnh ®é dµi ®o¹n DE b, Chøng minh r»ng AD AB = AE.AC c, C¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE t¹i D vµ E lÇn lỵt c¾t BC t¹i M vµ N Chøng minh M lµ trung ®iĨm BH ; N lµ trung ®iĨm cđa CH d, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c DENM Câu (3đ) Cho hai đường tròn (O) (O’) ngồi Kẻ tiếp tuyến chung ngồi AB tiếp tuyến chung EF ( A ,E ∈ (O) , B , F ∈ (O’) ) a/ Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh ∆ AOM ∆ BMO’ đồng dạng b/ Chứng minh AE vng góc với BF c/ Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng ¼ Câu 7(1đ) Cho hình vng ABCD Tính cos MAN biết M ,N theo thứ tự trung điiểm BC, CD ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 76 C©u 1: (4 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc sau: a) M = ( b) N = x x +3 x+ − x) víi x ≥ 0, x ≠ 3− x x − 3x + (49 − 20 6)(5 + 6) + − 11 C©u 2: (4 ®iĨm) a) x − + y − = x − − y = −5 Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: b) Cho c¸c ®iĨm A(7;2) ; B(2;8) vµ C(8;4) x¸c ®Þnh ®êng th¼ng (d) ®i Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh 54 Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 qua A cho c¸c ®iĨm B vµ C n»m vỊ hai phÝa cđa (d) vµ c¸ch ®Ịu (d) C©u 3: (5 ®iĨm) a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè d¬ng a,b,c cã tỉng a+b+c=1 1 + + ≥9 a b c Cho c¸c sè a,b,c tháa m·n ®iỊu kiƯn a+b+c=0 Chøng minh r»ng: (a 5+b5+ 5abc(a2 +b2 + c2 ) C©u 4: ( 5®iĨm) Cho nưa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BC vµ ®iĨm A trªn nưa ®êng b) trßn(A kh¸c B vµ C) KỴ AH vu«ng gãc víi BC Trªn cïng mét nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨm A, vÏ nưa ®êng trßn (O1) vµ (O2) ®êng kÝnh BH vµ CH chóng lÇn lỵt c¾t AB, AC ë E vµ F a) Chøng minh: AE.AB = AF.AC b) Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c) Gäi I vµ K lÇn lỵt lµ c¸c ®iĨm ®èi xøng cđa H qua AB vµ AC Chøng minh ®iĨm I, A, K th¼ng hµng d) Gäi M lµ giao ®iĨm cđa IK víi tiÕp tun kỴ tõ B cđa ®êng trßn (O) Chøng minh MC, AH vµ EF ®ång qui C©u 5: (2 ®iĨm) Cho S = 1 1 2009 + + + + So s¸nh S víi 1.2009 2.2008 3.2007 2009.1 2010 ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 77 C©u 1: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc sau: P = x2 − x x + x +1 − 2x + x x + 2( x − 1) x −1 Rót gän P T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P T×m x ®Ĩ biĨu thøc Q = x nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn P C©u 2: (2 ®iĨm) Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: 2( m − 1) x + ( m − 2) y = VÏ (d) víi m = Chøng minh r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh víi mäi m T×m m ®Ĩ (d) c¸ch gèc to¹ ®é mét kho¶ng lín nhÊt C©u 3: (2,5 ®iĨm) Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiƯm nguyªn: x + y + 3xy − ( x + y ) + = Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh 55 Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n: a + b = b a Chøng minh r»ng: 2a + 3b + + 10 ≥ 18 b C©u 4: (2,5 ®iĨm) Cho h×nh thang vu«ng ABCD ( Aˆ = Dˆ = 90 ) , tia ph©n gi¸c cđa gãc C ®i qua trung ®iĨm I cđa AD Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (I, IA) Cho AD = 2a TÝnh tÝch AB vµ CD theo a Gäi H lµ tiÕp ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (I) nãi trªn K lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD Chøng minh r»ng KH song song víi BC C©u 5: (1 ®iĨm) Cho a, b, c lµ c¹nh cđa mét tam gi¸c cã gãc nhän Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z ta lu«n cã: x y z 2x + y + 2z + + 〉 a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 ********************************************************************************* ĐỀ SỐ 78 Bài 1: ( ®iĨm ) Cho biểu thức P(x) = 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < (m + 1) x + my = 2m − Bµi ( ®iĨm ) Cho hƯ ph¬ng tr×nh mx − y = m − a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi m = b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi ( ®iĨm ) Cho hµm sè : y= mx -2m -1 ( m ≠ ) (1) a) Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè (1) lu«n lu«n ®i qua mét ®iĨm cè dÞnh m thay ®ỉi b) TÝnh theo m täa ®é c¸c giao ®iĨm A, B cđa ®å thÞ hµm sè (1) lÇn lỵt víi c¸c trơc Ox vµ Oy X¸c ®Þnh m ®Ĩ tam gi¸c AOB cã diƯn tÝch b»ng ( ®.v.d.t) Bµi ( ®iĨm ) Cho tam gi¸c nhän ABC ; BC = a; CA = b; AB = c Chøng minh r»ng : b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB Bµi ( ®iĨm ) Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 45 VÏ ®êng trßn ®êng Giấo viïn : Hoâng Qëc Khấnh 56 Trûúâng THCS Àưìng Lẩng Giấo ấn bưìi dûúäng HSG Toấn Nùm hổc: 2016 – 2017 kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E Chøng minh AE = EB Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE Bµi ( ®iĨm ) CMR, ∀n ≥ , n ∈ N : 1 1 + + + +