giai phuong trinh vo ty giai phuong trinh vo ty

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ - Các phƣơng pháp giải PT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa 2) Phương pháp đặt ẩn phụ 3) Phương pháp biến đổi thành tích 4) Phương pháp nhân liên hợp 5) Phương pháp đánh giá 6) Phương pháp hàm số - Các phƣơng pháp giải BPT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa 2) Phương pháp đặt ẩn phụ 3) Phương pháp nhân liên hợp 4) Phương pháp đánh giá Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn BÀI : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ I Phƣơng pháp lũy thừa - Nêu dạng phương trình Bài Giải phương trình a) x  3x   x  b) c) x  x  3x  d) ( x  3) x   x  e) x    x  2x  f) g) ( x  3) x  x   x  x  15 x i) 3x  x   x  x    x   2x h) ( x  4) 10  x  x  x  3x   3x    x x j) 4x   4x    x Bài Giải phương trình a) x  3x   x  x   x  x  b) x  3x   x  x   x  x  c) x2  3x   x2  x   x  5x  Bài Giải phương trình a) x   x   x  11 c) b) x   x   5x x   x   3x  x  (Phải thử , loại nghiệm) Bài Giải phương trình a) x  x   x   x   Bình phương lần nghiệm x  b) c) x   x  16  x   x  Bình phương lần nghiệm x  x   3x   x  x  II Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 1) Dạng : Phƣơng trình có chứa f ( x) Bài Giải phương trình f ( x) Nghiệm 4; 9 a) ( x  1)( x  4)  x  x  28 b) c) 5x2  10 x    x  x (4  x)(6  x)  x  x  12 d) x( x  5)  x  x   Bài Tìm để phương trình có nghiệm a)  x2  x  (3  x)(1  x)  m  m  [  1;11] b) 2 x2  5x  (3  x)(1  x)  m  m  [  1; 41  56 ] Bài Giải phương trình :  2x  4 a) x  2x x  2x  7 b) x  2x x 2) Dạng : Phƣơng trình có chứa Bài Giải phương trình a) A  B AB Nghiệm 25  17 x   x   3x  2 x  x   2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b) x   x   49 x  x  42  181  14 x c) x   x   x  12  x  16 d) 3x   x   x   x  x  Bài (B – 2011) Giải phương trình :  x   x  4  x  10  3x - Đặt t   x  2  x Nghiệm x  Bài Tìm m để phương trình có nghiệm 9 m [ ;3] a)  x   x   x  x   m b)  x   x  (3  x)(6  x)  m c) 3(  x   x )  m  x   x  x 3) Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Bài Giải phương trình Đặt t  x  nghiệm t  3;1  x a) x2  3x  x x    x  b) ( x  1) x  x   x  Nghiệm x   c) x   x x  x d) x  x  48  (3 x  10) x  15 e) 2( x  1) x  x   x  x  f) x  x  ( x  2) x  x  15  39 g) (1  x) x   x  x  h) (4 x  1) x3   x3  x  i) x3  x   ( x  2) x3  x  4) Phƣơng pháp chia để làm xuất ẩn phụ Bài Giải phương trình a) ( x  2) x  x   x bình phương, chia x b) x  3x   x  x   x chia cho c) x   x  x   x Chia vế cho x Đặt t  x   t  0;5 thử lại  x  x Nghiệm x  x đặt t  x  x  x  4; Bài Giải phương trình a) 2( x  2)  x3  b) (Thi thử ninh giang 2013) - 5x2  14 x   x2  x  20  x  Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x  x   ( x  x  20)( x  1)  2( x  x  5)  3( x  4)  ( x  4)( x  x  5) - c) - 2 x2  4x  x2  4x  5  61 35  x  8; x4 x4 x2  25x  19  x2  x  35  x  Chuyển vế, bình phương ta : 3( x  5x  14)  4( x  5)  ( x  5x  14)( x  5) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 61  11137 18 5) Đặt nhiều ẩn phụ đƣa phuơng trình đẳng cấp  Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba Bài 10 - Chia vế cho ( x  5)  Nghiệm  7; a) 2( x  2)  x3  Đặt a  x  1; b  x  x  PT  2a  2b  5ab  x   37 b) x  5x   x3  Đặt u  x  1; v  x  x  PT  3u  2v  7uv  x   - Phương trình cho có dạng a.u  b.v  c.uv thường  uv c) x2  x2   x  x  - Cách : Đặt a  x ; b  x  PT  a  3b  a  b2 nghiệm : x  1 - Cách : Đặt a  x , thay vào PT ta 36a  136a  200a  100   a  d) - 5x2  14 x   x2  x  20  x  (Thi thử NG 2013) Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x  x   ( x  x  20)( x  1)  61 61  11137 Nghiệm :  7; 18  2( x  x  5)  3( x  4)  ( x  4)( x  x  5) e) - x2  25x  19  x2  x  35  x   x  8; Chuyển vế, bình phương ta : 3( x  5x  14)  4( x  5)  ( x  5x  14)( x  5) Bài 11 Giải phương trình : x2  x  x   3x  x  1 - Điều kiện : x  Bình phương vế ta có : x  x   x  1  x   x  x   x  1   x  x    x  1  1 u v  u  x  x 2 Ta đặt :  ta có hệ : uv  u  v    1 v  x  v u   1 1 v  x2  2x  Do u, v  nên u   x  1  x   x  2 - -   '    2       1       Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài 12 Giải phương trình : x2  5x   x  x   x   a  b  x  5x   a a, b   ta có : a  b  a  b   a  b  a  b  1     - Đặt  a b 1  x  x   b   -   x  4 x2  5x   x2  x  x  3     2 x   x  x   x  x    x  x    x  x   Bài 13 Giải phương trình : x3  3x  ( x  2)3  x  - Đặt y  x  ta phương trình : x3  3x2  y3  x   x3  y3  3x( x  2)  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x  y  x3  3xy  y     nghiêm x  2; 2-2  x  2 y - Chú ý sửa lại đề thành : x3  ( x  2)(3x  x  2)  Bài tập tương tự : x3  3x  ( x  1)3  3x  Bài tập tương tự : x3  (3x2  x  4) x   - 6) Dạng : Đặt nhiều ẩn phụ để đƣa hệ phƣơng trình Bài 14 Giải phương trình x   x   (2 x  1)( x  4)   u  x  Đặt   2v  u  (1) v  x  - Thay vào phương trình có : 3u  6v  uv   (2) - Thay (1) vào (2) rút gọn (2v  u )(u  v  3)   x  Bài 15 (Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình) Nghiệm x  2 a) 3x    x   (A – 2009) - b) 3x    x  16  Nghiệm x  2 c) x  17  x  x 17  x  Nghiệm x  1; d) x 35  x ( x  35  x )  30 Nghiệm x  ; e)  x 2x 1  1  Nghiệm x  1; 2 Nghiệm x  1; f) x3   x  g) x3   3 x  7) Dạng : Đặt ẩn phụ đặc biệt Bài 16 (Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt) x   x2  x  a) c) 4x   x2  x 28 x   x  x  10 d) x   x  12 x  b) PT vô nghiệm Đặt 4x  y 28 x2  y3 Đặt 2x   y  Đặt Gia sư Thành Được III www.daythem.edu.vn Phƣơng pháp biến đổi thành tích Bài Giải phương trình a) x   x x   x  x  x  - Phương trình  ( x   x)( x   1)   x  0; 4x x3 b) x3 4 x HD  ( x   x )2   x  c) x   x  x  HD :  (1  x  3)  x  x  1; 5  97 18 Bài Giải phương trình a) x  10 x  21  x   x   x  x  15  x   x   b) c) x  x   ( x  1) x  x  x  x2  x  4 x d) x2 IV Phƣơng pháp nhân liên hợp 1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ nhẩm nghiệm x0 hữu tỉ, phương trình viết thành ( x  x0 ) P( x)  P( x)  vô nghiệm giải 2) Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử giá trị x0 để bình phương lập phương Bài a) (Khối B 2010) Giải phương trình : 3x    x  3x2  14 x     3x  1)  Nghiệm x  - PT  ( x  5)( 3x    x 1 b) Giải phương trình : 3x    x  16  Nghiệm x  2 15 + ]=0  x  2 - PT  ( x  2)[ 3 ( 3x  2)  x    5x  c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình : 10  x  x  37  4x  15 x  33       - ĐK: x  Pt  4  x  37   10  x  x  15 x  81  -   27  x  16  x  37   x  37   8(6  x)  ( x  3)(4 x  27)   10  x - TH x    x  3 (TMPT) TH x  3 - pt  - -  36 16  x  37  12   36 x  37     x  37  0,25 0,25 0,25  16  x  27   10  x 16  x  27   10  x 36 16   4.5  27  Đẳng thức xảy  x  12 Vậy phương trình có nghiệm 3 Do x  nên VT  Bài Giải phương trình 0,25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) x   x   3x b) x   x2   x c) - Nghiệm x  0; x2  12   3x  x  Nghiệm x  Nhận xét  x  12  x   3x   x  để chứng minh biểu thức lại vô nghiệm x2  15  3x   x2  d) e) 3x2  5x   x2   3x2  3x   x  3x  - Nghiệm x  2, P( x)  vô nghiệm Bài Giải phương trình : a) x  x   x  x   x  b) - Ta có VT   ( x  4)   x  x   x  x  Nhân với biểu thức liên hợp ta : 2   2x  x   2x  x    2 x  x   x   x  0;  2   2x  x   2x  x   x  x  x   x  x   3x Từ phương trình  x  2x  ( x  x   x)  ( x  x   x)   ( x  1)[  2x  x   2x x  x 1  x ]=0  x  Bài Giải phương trình : x   x  x3  - Điều kiện : x  - Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   x3    x  3  x  x   3 x    x   x     x  3 1   x3   x2     x     - x3 Ta chứng minh :  x  1  x    1 - Vậy phương trình có nghiệm x = Bài Giải phương trình a) x2  3x   ( x  3) x2  b)  10  3x  x  c) (2  x)(5  x)  x  (2  x)(10  x) d) x  16 x  18  x   x  e) x   x  3x   x  x   x  x  f) 3x  x   x   3x  x   x  3x  Bài Giải phương trình : a) x   x   x  b) x   3x3   3x  c) x  11x  21  3 x   d) x   x  x3   x3  x 1 1  2 x  3x  x3   Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn V Phƣơng pháp đánh giá Bài Giải PT sau : Nghiệm x  a) x    x  x  x  11 b) x   10  x  x  12 x  52 c) x  2x   d) 2 x  x   x  10 x  14   x  x e) x   19  x  Nghiệm x  x 1  Nghiệm x  1  x  10 x  24 Bài Giải PT sau : a) x 11x  25 x  12  x  x  - VT :  (7 x  4)( x  x  3) (côsi )  VP Nghiệm x  1;7 b) x 3 x  x   x  x  c) 2x  2 Nghiệm x  1; 1   (x  ) x x PT  (  x x  x  15  x  x  18 Bài Giải phương trình: x  x  11 (1)     x  3   x  3  Mà :   x  3 2  1   x  3  x)  (  1  )4 x x (1) 9 3 Do ta có:  x  3   x  Bài Giải phương trình 13 x  x  x  x  16 - Bình phương vế ta : x2 (13  x2   x2 )2  256 - Áp dụng bđt bunhia : (13  x2   x2 )2  ( 13 13  13x2  3  3x2 )2  40(16  10 x2 ) -  VT  x 40(16  10 x ) Áp dụng cosi VT  VP Nghiệm x   Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn VI Phƣơng pháp hàm số 1) Cơ sở phương pháp : - Để giải phương trình : f ( x)  m ta chứng minh VT đồng biến nghịch biến - Xét hàm số f ( x) đồng biến nghịch biến mà có f (a )  f (b)  a  b 2) Bài tập Bài Giải phương trình a) x  x   x   x  16  14  x  b) x    x3  x  Chuyển vế, nghiệm x  c) x   x    x Chuyển vế, nghiệm x  Bài (CĐ – 2012) Giải phương trình x3  x  ( x  1) x   - Nhân vế với biến đổi phương trình  (2 x)3  x  (2 x  1) x   x  Xét hàm số f (t )  t  t  f '(t )  3t    Hàm số đồng biến - Từ phương trình có f (2 x)  f ( x  1)  x  x   x  Bài tập tương tự : 1 a) x(4 x  1)  ( x  3x  1) x  3x  x  0; b) x  x  ( x  2) x   Bài Tìm m để phương trình có nghiệm : m  x2  x   x  x  - y '   x  , vẽ bảng biến thiên  m  [4; ) Bài Tìm m để phương trình có nghiệm : - Cô lập tham số, y '   x  0; Bài Tìm m để phương trình có nghiệm :  x2  mx  m  x   x    x  18  3x  2m  Bài (A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : x   m x   x  x 1 x 1 - Cô lập tham số m  3 x 1 x 1 Bài (B – 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm : m(  x   x  2)   x   x   x - Đặt ẩn phụ : t   x   x Bài (B – 2007) Chứng minh với m  phương trình có hai nghiệm phân biệt : x  x   m( x  2) - Bình phương vế đưa phương trình bậc ba Bài Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 10 Tìm m để phương trình có nghiệm Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn BÀI : PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ I) Phƣơng pháp lũy thừa Có ba dạng phương trình :  f ( x)   - Dạng : f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  [g ( x)]2    f ( x)    g ( x)  - Dạng : f ( x)  g ( x)     g ( x)     f ( x)  [g ( x)]2 - Dạng : A  B  C Bài Giải bất phương trình : Kết : x [5;6] a) x2  x  15  x  b)  x2  x    x c) x2  2x   x  Kết : x [3;5] d) x2  3x  10  x  Bài Giải bất phương trình : a) ( x  3) x   x  b) 5x   x   x  ( A  2005) c) d) x  13  3x   5x  27 x   x   5x  (CD  2009) e) 2( x  16)  x 3  x3 Bài Giải bất phương trình : a) b) c) 7x x3  x  [2;10) ( A  2004) 51  x  x 1 1 x  2x  x2 1  3x 1  x  3x  x  T  (; 5 )  (1; )  (2; ) 2 Bài Giải bất phương trình : x2  x   x2  3x   x  II) Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Bài Giải bất phương trình : T  (; 3)  (1; ) a) 5x2  10 x    x  x b) x  x  5x   10 x  15 c) ( x  3)(8  x)  x2  11x  Bài Giải bất phương trình :  2x  4 a) x  2x x b) x x 1 2 3 x 1 x 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài (B – 2012) Giải bất phương trình x   x  x   x - Chia vế cho x đặt t  x   t   x  [0; ]  [4; ) x Bài (Thử GL – 2013) Giải BPT : x2  x   x  5x2  x  - Điều kiện : x  - Bình phương vế rút gọn ta : x( x  2)( x  1)  x( x  2)  2( x  1) - Chia vế cho ( x  1) đặt t  x( x  2) Nghiệm x  [3  13; ) x 1 Bài Giải bất phương trình 5x2  14 x   x2  x  20  x  a) - Chuyển vế, bình phương rút gọn ta x  x   ( x  x  20)( x  1)  2( x  x  5)  3( x  4)  ( x  4)( x  x  5) x2  4x  x2  4x  2 35 x4 x4  x [  61 ;8] x2  25x  19  x2  x  35  x  b) - Chuyển vế, bình phương ta : 3( x  5x  14)  4( x  5)  ( x  5x  14)( x  5) - Nghiệm x  Bài (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT x3  (3x2  x  4) x   y  - Điều kiện : x  1 Đặt y  x     y  x 1 0,25 - Bpt trở thành x3  (3x  y ) y  - TH y   x  1 Thỏa mãn BPT - TH y   x  1 Chia hai vế cho y ta x  x x        Đặt t  y giải BPT ta t   y  y -  1  x  x  t     x  x    x  y   x  x    -  1  x   1   x   1  x  Kết hợp x  1 ta  1  1  x  - 1  x  1 Vậy tập nghiệm BPT S = 0,25  1   1;     Cách : Có thể biến đổi BPT dạng tích x3  (3x  x  4) x    x  3x x   4( x  1) x   -  [x3  ( x  1) x  1]  [3x x   3( x  1) x  1]   ( x  x  1)( x  x  1)   Bài tập tương tự : x3  3x  ( x  2)3  x  11 0,25 0,25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Phƣơng pháp nhân liên hợp Bài Giải bất phương trình : a)  x   x  x 1 1   8x2 Nghiệm T  [ ;0)  (0; ) 1 b) 2 2x Bài Giải bất phương trình : a) Giải phương trình : 3x    x  3x2  14 x   Nhẩm nghiệm x  1 - BPT  ( x  5)(   3x  1)  Trong ngoặc   Nghiệm x  [ ;5) 3x    x 1 b) Giải phương trình : 3x    x  16  Nhẩm nghiệm x  2 15 - BPT  ( x  2)[ + ]   x  [  2; ] ( 3x  2)  x    5x  III) Phƣơng pháp đánh giá Bài Giải PT sau : Nghiệm x  a) x    x  x  x  11 b) x   10  x  x  12 x  52 c) x2  x   d) 2 x  x   x  10 x  14   x  x e) x   19  x  Nghiệm x  x    x  x2 Nghiệm x  1  x  10 x  24 Bài Giải PT sau : 2 a) x 11x  25 x  12  x  x  VT :  (7 x  4)( x  x  3) (côsi )  VP b) x 3 x  x   x  x  Bài (A – 2010) Giải BPT : x x  2( x  x  1) 1 - Ta có  2( x  x  1)  nên BPT  2( x  x  1)   x  x - Mặt khác ta lại có : - Từ  2( x  x  1)   x  x - Dấu  x  x  x  2( x  x  1)  2(1  x)  2( x )   x  x 3 (t / m x  0) 12 (1) (2)