PHUONG TRINH VO TI THCS NGUYỄN TRÃI

CHUN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA I-KIẾN THỨC: �f ( x) �0 � f ( x)  g ( x ) ۳ �g ( x ) �f ( x)  g ( x ) � 1/ �g ( x) �0 f ( x )  g ( x) � � �f ( x )  g ( x ) �f ( x) �0 � 3/ f ( x)  g ( x)  h( x) ۳ �g ( x) � �f ( x)  g ( x)  f ( x).g ( x)  h( x) �f ( x) �0 � n g ( x) (n N * ) 4/ n f ( x) ۳� �g ( x ) �f ( x)  g ( x ) � 2/ �g ( x) �0 f ( x)  g ( x ) � � (n �N * ) 2n �f ( x )  g ( x ) 6/ n 1 f ( x)  n1 g ( x) � f ( x)  g ( x) (n �N * ) 5/ 2n 7/ n1 f ( x)  g ( x) � f ( x)  g n1 ( x) (n �N * ) … II-BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: x   x  (1) �x  �0 x �1 � �x �1 � � � x3 � � x  3x  �x  �x   (x  1) � Bài 2: Giải phương trình: x  x   HD:Ta có: x  x   � x   x �x �0 �� x   x2 � HD: (1)  � �x �0 � �2 �x  x   �x �0 � � �� x  1 � x  �� x3 �� Bài 3: Giải phương trình: x    x   x HD: Ta có: x    x   x � x    x   x �  x �0 � ��  x �0 � �x    x   x  (1  x)(1  x) � �x �2 � � �x � �� �� x  �0 � � x   x  3x  (2 x  1)  x  3x  � � � �1 �x � �1 � � �x � �2 � �2 � x0 �� x0 �x  x  �� � � � x  7 �� Bài 4: Giải phương trình: x   x   �x  �0 � ۳ x (1) �x  �0 x   ( x  2)( x  2)  � x   x   HD:ĐK: �2 PT   �x   �� � �1  x   �   x2 � � 17 � x � (2) Kết hợp (1) (2) ta được:x = Bài Giải phương trình : 3x  x 3x HD:Đk: �x � pt đã cho tương đương: x  3x  x   3 10  � � 10 � �x  �x � 3� 3 � Bài Giải phương trình sau : x   x  x  HD:Đk: x �3 phương trình tương đương : x 1 � � x    3x 2 �   x  9x � � � 5  97 � x � x    3 x � 18   Bài Giải phương trình sau :  3 x  x    x  3 3x  x   HD: pt �  x   3x   � x 1 Bài Giải biện luận phương trình: x   x  m �x �m �x �m �� HD: Ta có: x   x  m  � 2 2mx  (m  4)  �x   x  4xm  m � – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2  m2  – Nếu m ≠ 0: x  Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤   m �2 + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có mợt nghiệm x  m2  2m – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: x  x  m (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) �x �m �x �m � � 2 2mx  (m  3)  �x   x  m  2mx � HD: Ta có: x   x  m � � – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2  m2  �m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  �m � – Nếu m ≠ 0: x  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤  Tóm lại: – Nếu �m � hoặc m � Phương trình có mợt nghiệm: x  m2  2m – Nếu   m �0 hoặc m  : phương trình vô nghiệm Bài 10 Giải biện luận theo tham số m phương trình: x  x  m  m HD: Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x  1)   có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x  m)( x  m  1)  �x  m  �� �x  1 m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1  m) + Nếu m > 1: phương trình có mợt nghiệm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x  x   13 2/ x  34  x   3/ x   3x   5/ x    x  6/ x   x   12  x 4/  x x   x  7/ x  x   x   x   8/ x    9/ = 6x  x 10/ 5x   0 11/  x   19 13/ 16 x  17  x  23 14/ 3x    x  Bài 2: Giải phương trình: b) x  x   a) x   x  d)  x   x  e) 3x   x   g) x    x  h) 3x   x   x  Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x  x   Bài 4: Cho phương trình: x   x  m a) Giải phương trình m = 12/ 8 x 5  15/ 20   x  x  c) x  x   f)  x   x  i) x  x   2m  x  x b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: x  mx   x  m a) Giải phương trình m=3 b) Với giá trị m thì phương trình có nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau: a/ x  x    d/ x   x   x   17 b/ 2x   e/ x   c/ 3x  x   x  27  x  12  1 f) ( x  3) 10  x  x  x  12 g/ x 2  6 x x 4 7 x h/ x   x   i/ 5 x  x  12  PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC: �f ( x)  g ( x) ( f ( x) �0) �f ( x)   g ( x) ( f ( x)  0) Sử dụng đẳng thức sau: f ( x)  g ( x) � f ( x)  g ( x) � � II-BÀI TẬP: Bài 1: Giải phương trình: x  4x   x  (1) HD: (1)  (x  2)   x  |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x �2 : (1)  x – = – x  x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 2: Giải phương trình: x   x   x  10  x   x   x  (2) � �x  �0 HD: (2)  � � x   x    x   2.3 x    x   x   �x �1 � (*) � x   1 | x   | 2.| x   1| Đặt y = x  (y ≥ 0)  phương trình(*) đã cho trở thành: y  1 | y  | | y  1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = (thoả mãn) Vậy: x = Bài 3:Giải phương trình: x   x   x   x   HD:ĐK: x � PT � x   2 x    x   x    14 � 2x    x    14 � 2x   � x  15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: x  x   x  x   HD:ĐK: x �1 Pt � x   x    x   x    � x 1 1 x 1 1  Nếu x  pt � x    x    � x  (Loại) Nếu x �2 pt � x     x   � x  (Luôn với x )  x R | x 2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S Σ� III-Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x  x   2/ x  x   3/ x  x   x  4/ x  x   5x  5/ x  x   x  x   6/ x  x   x  x   10 7/ x  x   x  x   x  x  9/ x  x   x  x   8/ x2  x   x2  x   10/ x 3 x   x  x  1 11/ 12/ x   2x   x   2x   x   x   x  11  x   13/ x  x  x  x    15/ 17/ 19/ 14/ x   x   x   2 x  4 16/ x  x   x  x  x   x  10 x x 1  x  2 x  x 1  x  x 1  x  x 1  18/ x3 21/ ( x  1)   x   x   x     0 20/ x  x    x 22/ x   x   PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải có thể đặt t  f  x  ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng ta có thể giải phương trình theo t thì việc đặt phụ xem “hoàn toàn ” Bài Giải phương trình: x  x   x  x   HD:Điều kiện: x �1 Nhận xét x  x  x  x   1 Đặt t  x  x  thì phương trình có dạng: t   � t  t x  Thay vào tìm Bài Giải phương trình: x  x   x  HD:Điều kiện: x � t2  Thay vào ta có phương trình sau: t  10t  25 2  (t  5)   t � t  22t  8t  27  16 � (t  2t  7)(t  2t  11)  Đặt t  x  5(t �0) thì x  Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2  1 �2 2; t3,4  �2 Do t �0 nên nhận gái trị t1  1  2, t3   Từ tìm nghiệm phương trình l: x   vàx   Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế phương trình với điều kiện x  x  �0 Ta được: x ( x  3)2  ( x  1)2  , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : y   x  đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x   x   HD:Điều kiện: �x �6 Đặt y  x  1( y �0) thì phương trình trở thành: y  y   � y  10 y  y  20  ( với  21 1  17 (loaïi), y  2 11  17 Từ ta tìm giá trị x  y � 5) � ( y  y  4)( y  y  5)  � y    Bài Giải phương trình sau : x  2004  x   x  HD: ĐK: �x �1 2 Đặt y   x thì phương trình trở thành:   y   y  y  1002   � y  � x  Bài Giải phương trình sau : x  x x   3x  x HD:Điều kiện: 1 �x  Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x  x  1  3 x x x Đặt t  x  , ta giải Bài Giải phương trình : x  x  x  x  � 1� HD: x  không phải nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: �x  � x   x � x� Đặt t= x  1� , Ta có : t  t   � t  � x  x Bài 7.Giải phương trình: 3x  21x  18  x  x   HD:Đặt y = x  x  ; y �0 � 5 y � y 1 Phương trình có dạng: 3y + 2y - = � � � �y  x  1 � Với y = � x  x   � � Là nghiệm phương trình đã cho x  6 � Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải một lớp đơn giản, phương trình t lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u   uv   v  (1) cách �u � �u � Xét v �0 phương trình trở thành : � �  � �   �v � �v � v  thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa về (1)  a A  x   bB  x   c A  x  B  x    u   v  mu  nv Chúng ta hãy thay biểu thức A(x) , B(x) bởi biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A  x   b.B  x   c A  x  B  x  Như vậy phương trình Q  x    P  x  có thể giải phương pháp nếu: �P  x   A  x  B  x  � � Q  x   aA  x   bB  x  � Xuất phát từ đẳng thức : x    x  1  x  x  1 x  x    x  x  1  x   x  x  1  x  x  1    x4   x2  x  x2  x  x    x  x  1  x  x  1 Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng ví dụ như: x  2 x   x  Để có mợt phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at  bt  c  giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình :  x    x  HD: Đặt u  x  (u �0) ; v  x  x  (v � ) u  2v � � 37 � phương trình trở thành :  u  v   5uv � Tìm được: x  � u v � Bài Giải phương trình : x  3x    x  x  (*) 4 2 2 HD:Dễ thấy: x  x    x  x  1  x   x  x  1  x  x  1 2 Ta viết   x  x  1    x  x  1   Đồng vế trái với (*) ta : 3  x  x  1   x  x  1   x x  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1 � 3� � 3� 2 Đặt : u  x  x  �u � � ; v  x  x  �v � � 4 � � � � phương trình trở thành :-3u+6v=- uv � u  3v Từ ta tìm x Bài 3: Giải phương trình sau : x  x   x3  (*) HD:Đk: x �1 Nhận xét : Ta viết   x  1    x  x  1   x  1  x  x  1 Đồng vế trái với (*) ta :  x  1   x  x  1   x  1  x  x  1 v  9u � Đặt u  x  �0 , v  x  x   , ta được: 3u  2v  uv � � � v u � Ta : x  � Bài Giải phương trình : x  x   x  2  6x  HD:Nhận xét : Đặt y  x  ta biến pt về phương trình bậc x y: x y � x  3x  y  x  � x3  3xy  y  � � x  2 y � Pt có nghiệm : x  2, x   Bài 5:Giải phương trình: 10 x3    x   HD:ĐK: x �1 Pt � 10 x  x  x   3( x  2) � u  x 1 � Đặt � v  x2  x  � (u , v �0) u  3v � v  3u � Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2) �  3u  v   u  3v   � � Nếu u = 3v � x   x  x  � x  10 x   (vô nghiệm) � x   33 2 Nếu v = 3u � x  x   x  � x  10 x   � � x   33 � nghiệm b).Phương trình dạng :  u   v  mu  nv Phương trình cho ở dạng thường khó “phát hiện “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế thì đưa về dạng Bài Giải phương trình : x  x   x  x  � u  x2 �  u, v �0; u �v  phương trình trở thành : u  3v  u  v HD:Ta đặt : � v  x 1 � hay: 2(u + v) - (u - v)=  u  v   u  v  Bài 2.Giải phương trình sau : x  x  x   3x  x  HD:Đk x � Bình phương vế ta có : x  x   x  1  x  � x  x   x  1   x  x    x  1 � u  x2  x Ta có thể đặt : � ta có hệ : v  2x 1 � � 1 u v � uv  u  v � � � 1 u v � � 1 1 Do u, v �0 u  v � x2  2x   x  1 2 Bài Giải phương trình : x  14 x   x  x  20  x   x  x  20   x  1  x     x  x  20     x  1 vậy ta không HD:Đk x �5 Chuyển vế bình phương ta được: x  x   Nhận xét : Không tồn tại số  ,  để : x 2 � u  x  x  20 thể đặt : � v  x 1 � 2 Nhưng may mắn ta có :  x  x  20   x  1   x    x    x  1   x    x  x   Ta viết lại phương trình:  x  x     x    ( x  x  5)( x  4) Đến toán giải Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn  Từ phương trình tích x   x   x   ,  2x   x      2x   x   Khai triển rút gọn ta phương trình vô tỉ khơng tầm thường chút nào, đợ khó phương trình dạng phụ tḥc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể hiện qua ví dụ sau   2 Bài Giải phương trình : x   x  x   x  t 3 � HD:Đặt t  x  ; t � , ta có : t    x  t   3x  � � t  x 1 � Bài Giải phương trình :  x  1 x  x   x  HD:Đặt : t  x  x  3, t � Khi phương trình trở thnh :  x  1 t  x  � x    x  1 t  Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có  chẵn : 2 t2 � x  x    x  1 t   x  1  � t   x  1 t   x  1  � � t  x 1 � Bài 3:Giải phương trình: x  3x    x  3 x  HD:Đặt t  x  1; t �1 Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = � (t - x)(t - 3) = tx � �� t 3 � Nếu t = x � x   x (Vô lý) Nếu t = � x   � x  �2 Vậy: x  �2 Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích  Xuất phát từ mợt số hệ “đại số “ đẹp có thể tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức  a  b  c   a  b3  c3   a  b   b  c   c  a  , Ta có a  b3  c3   a  b  c  �  a  b   a  c   b  c   Từ nhận xét ta có thể tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba x   x2  x   x2  8x   3x    x  x   x   Bài Giải phương trình : x   x  x   x  x   x  x HD:ĐK: x �2 � u   x ; u �0 � � Đặt �v   x ; v �1 , ta có : � �w   x ; w � 30 239 được: u  � x 60 120 � �  u  uv  vw  wu  u  v   u  w  � �  v  uv  vw  wu � �  u  v   v  w   , giải hệ ta � � �  w2  uv  vw  wu  v  w  u  w  � � Bài Giải phương trình sau : x   x  3x   x  x   x  x  � a � � b � HD:Ta đặt : � c � � d � 2x2  x  3x  2x  2x  ab cd � , ta có : � a  b2  c2  d � � x  2 x2  x  Bài Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  � �a  x  x  HD:Đặt � b  x2  x  � �  a; b �0  � a  4b  x  Ta hệ phương trình: � a  2b  x  � a  2b � a   2b � Từ ta có: a2 - 4b2 = a - 2b � (a - 2b)(a + 2b - 1) = � � Nếu a = 2b � x  5x   x  x  � x  (thoả mãn) Nếu a = - 2b � x  x    x  x  (*) Ta có : VT(*) �0 (1) 1� VP(*) =  x  x    � �x  � �1   (2) � 2� Từ (1) (2) suy phương trình (*) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau : x  x   x     x    x  x  x   x  Đặt ẩn phụ đưa hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường  Đặt u    x  , v    x  tìm mối quan hệ   x    x  từ tìm hệ theo u,v   3 3 Bài Giải phương trình: x 35  x x  35  x  30 10 HD:Đặt y  35  x3 � x3  y  35 �xy ( x  y )  30 , giải hệ ta tìm �x  y  35 ( x; y )  (2;3)  (3;2) Tức nghiệm phương trình x �{2;3} 1  x  x  Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: �x �  � � 1 x  u �� u � 1,0 v Đặt � � �x v � u  v � � u  v  � � �� Ta đưa về hệ phương trình sau: � �1 � 4 � � u  v  1 � �4  v � v   � �2 � � Khi phương trình chuyển về hệ phương trình sau: �3 � � Giải phương trình thứ 2: (v  1)  �v  �  , từ tìm v thay vào tìm nghiệm 2� � 2 phương trình Bài Giải phương trình sau: x   x   HD:Điều kiện: x �1 Đặt a  x  1, b   x  1(a �0, b � 5) thì ta đưa về hệ phương trình sau: � a2  b  � � (a  b)(a  b  1)  � a  b   � a  b  �2 b a 5 � Vậy x 1 1   x 1 � x 1   x � x  Bài Giải phương trình:  2x  2x   5 x 5 x 11  17 HD:Điều kiện: 5  x  Đặt u   x , v   y  u , v  10   � � (u  v)  10  2uv u  v  10 � � Khi ta hệ phương trình: � 4 8�� � 2� (u  v) �  �    2(u  v)  � � �u v � uv � � Bài Giải phương trình: 629  x  77  x 8 HD:ĐK: 77 �x �629 � �u  629  x Đặt � �v  77  x (u; v �0)  u  v 8, u  v 706 Đặt t = uv  t  128t  1695 0  t 15   t 113 11 Với t = 15  x = Với t = 113  x = 548 Bài Giải phương trình: x3  x   x3  x2   HD:Với điều kiện: x3  x  �0 � x3  x   (1) � �u  x  x  Đặt � Với v > u ≥ v  x3  x  � � Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình �u  v  �2 v  u2  � � � uv 3 �� � (v  u )(v  u )  � � uv 3 �u  �� � v2 � �v  u  � � x  x 1  �� � �x x 2 2 �x  x   � �3 �x  x   � x3  x2   � ( x  1)( x  x  2)  � x  (do x  x   x) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1} 2 Bài Giải phương trình:  x   3 � 1 �x �1  x �0 � � � HD: Điều kiện: � � x �0 � x �0 2  x  x Với điều kiện (*),đặt u  x ; v   x , với u ≥ 0, v   1 x2  Ta có:      (*) 1  u  x  v  Do dó ta có hệ 12 � � �u  v  �u  v  �� � 4 �  u  v2 � u  v  � � � � uv  u  v  � � � 3 �� �� 2 � � u  v   2u.v �  2u v    u  v   2u v  � � � � � � � uv  uv  � � � � �� �� �4 � � �2u v  16 u.v  65   2u.v � 2u v  � � 81 � �9 � � � � u  v  � � � � � �  194 � u.v  � � 18 � �� � � uv  � � � � � �  194 � u.v  � � 18 � �  u v nghiệm phương trình  2  194  0( a ) y  y  18   y  y   194 0(b) 18   (b) vơ nghiệm  (a) có nghiệm 97 3 1 ; y2   u1  y1  u  y   Do đó:   v1  y  v  y1 1 y1  97 3 1 Vì u ≥ nên ta chọn u  y2   1 x 97 3   1  x     97 3  97  3      1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  1   4 Bài Giải phương trình: 18  x  64  x 4  97  3   HD:Với điều kiện 13  18   18  x 0  x  18 64     x   64 5  64  x 0  x   4 Đặt u  18  x , v  64  x , với u ≥ 0, v ≥  u 18  x Suy   v 64  x (*) Phương trình đã cho tương đương với hệ:  u  v 4  4  u  v 82   v 0, v 0  u  v 4   2 2  u  v  2(uv) 82  v 0, v 0    Đặt A = u + v P = u.v, ta có: S 4   2  S  P  P 82  P 0, S 0   S 4    p  32 P  87 0   P 0    S 4    P 3  P 29  P 0  (1) Với S = 4, P = u v nghiệm phương trình: y 1 � y2  y   � � y3 �  u 1  u 3   Do ta có:   v 3  v 1 4 � � 18  x  � � 18  x  �� Suy �4 � 64  x  � 64  x  18  x  81 �18  x  � �� �� 64  x  81 �64  x  � 17 63  x   x thoả mãn (*) 5 (2) Với S = 4, P = 29  không tồn tại u v Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 17 � x1   � � 63 � x2  � � 5.2 Giải phương trình vơ tỉ cách đưa hệ đối xứng loại II  Ta hãy tìm nguồn gốc toán giải phương trình cách đưa về hệ đối xứng loại II �  x  1  y  �  Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : �  y  1  x  � � (1) (2) việc giải hệ thì đơn giản 14 Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y  f  x  cho (2) , y  x   , ta có phương trình :  x  1  ( x   1)  � x  x  x  2 Vậy để giải phương trình : x  x  x  ta đặt lại đưa về hệ �   x     ay  b � Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : � , ta xây dựng  y    ax  b   � � phương trình dạng sau : đặt  y    ax  b , ta có phương trình : a    x     ax  b  b    a  n Tương tự cho bậc cao :   x     n ax  b  b    Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết về dạng : n   x     p n a ' x  b '   đặt  y    n ax  b để đưa về hệ , ý về dấu  ??? n Việc chọn  ;  thông thường cần viết dạng :   x     p n a ' x  b '   chọn Bài 1: Giải phương trình: x  x  2 x  1 HD:Điều kiện: x � Ta có phương trình viết lại là: ( x  1)   2 x  � �x  x  2( y  1) Đặt y   x  thì ta đưa về hệ sau: � �y  y  2( x  1) Trừ hai vế phương trình ta ( x  y )( x  y )  Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x   Cách 2: Đặt x   t  a � x   t  2at  a Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2 �x  x  2t  kết hợp với đầu ta có hệ phương trình: �2 t  2t  x  � Giải hệ ta tìm x Bài Giải phương trình: x  x   x  HD:Điều kiện x � Ta biến đổi phương trình sau: x  12 x   x  � (2 x  3)2  x   11 � (2 x  3)  y  � � ( x  y )( x  y  1)  Đặt y   x  ta hệ phương trình sau: � (2 y  3)2  x  � Với x  y � x   x  � x   Với x  y   � y   x � 2 x   x  (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm phương trình x   Bài 3:Giải phương trình: x  x   HD:ĐK: x �5 Pt � x   x  ; x � (*) Đặt x   t  a � x   t  2at  a 15 Chọn a = ta được:t2 - = x kết hợp với (*) ta hệ phương trình: �x   t từ ta tìm nghiệm �2 t 5  x � 4x  ( x  0) Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = 28 4x  4x   t  2at  a ta � HD:Đặt 28 28 4x  1  t  t  � 7t  7t  x  Chọn a  ta được: 28 � 7x  7x  t  � � Kết hợp với đầu ta hệ phương trình: � � 7t  7t  x  � Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Bài tập áp dụng: Giải phương trình: x  x   x  PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC: 1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2 �(a  b )( x  y ) a b Dấu ‘‘=’’ xảy � x  y 2.Bất đẳng thức côsi: a) Với hai số a, b �0 thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy � a  b ab � ab b) Với ba số a, b, c �0 thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy � a  b = c abc � abc c) Với bốn số a, b, c, d �0 thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy � a  b = c = d e) Với n số a1, a2,…, an �0 thì ta có: Dấu ‘‘=’’ xảy � a1  a2   an 3.GTLN,GTNN biểu thức: a/ A = m + f2(x) �m abc d � abcd a1  a2   an n � a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) �M  A m � MinA  m  A M � MaxA  M Dấu ''='' xảy � f(x) = Dấu ''='' xảy � g(x) = Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A2  B �0 , ta xây dựng phương trình dạng A2  B  Từ phương trình    5x   x    5x   x   16  ta khai triển có phương trình : x  12  x   x x    x  Dùng bất đẳng thức �A �m (1) �B �m (2) Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: � dấu ở (1) (2) đạt tại x0 thì x0 nghiệm phương trình A  B Ta có :  x   x �2 Dấu x  x 1  x = Vậy ta có phương trình:  2008 x   2008 x  �2 , dấu x 1  1 x x 1 �A �f  x  : �B �f ( x) Đơi một số phương trình tạo từ ý tưởng : � � �A  f  x  AB � � �B  f  x   Nếu ta đoán trước nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá II-BÀI TẬP: Bài Giải phương trình : 2  x  x9 x 1 HD:Đk: x �0 2 �1 � x �� �  x 1 �  � �� x  � ��x  � x  �� � � 1 � x x 1 �2 �  x ���2 Ta có : � � � x 1 � � Dấu � 2  x 1   Bài Giải phương trình : 13 x  x  x  x  16 HD:Đk: 1 �x �1  Biến đổi pt ta có : x 13  x   x   256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  13 13  x  3  x  � 13  27   13  13 x   x   40  16  10 x  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x  16  10 x 2  16 � � �� � 64 �2 � � � x  x2 � �1  x  �� Dấu � � � � x 10 x  16  10 x � � � 3` Bài Giải phương trình: x  3x  x  40  4 x   HD:Ta chứng minh : 4 x  �x  13 x3  x  x  40 �0 �  x  3 Bài 4: Giải phương trình:  x  x   x  12 x  38 HD:Ta có :VT2=(  x  x  )2 �(1 + 1).(7- x + x - 5) =  x  3 �x  13 17 Nên : < VT �2 Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 �2 Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình đã cho Bài 5: Giải phương trình:  x  3x   x   HD:ĐK: x � 1; 2 (1) PT �  x  3x    x  (2) Từ (2) ta có:  x  �0 � x 1 � � x  �2 ۣ x (3) Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn.Vậy :x = Bài 6:Giải phương trình : HD: Điều kiện x  x 4x   2 x 4x  1 Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: x 4x   4x  �2 x x � 4x  4x   x Theo giả thiết dấu xảy khi: x  4x  x 4x  � x  4x   � (x  2)  � x  2� Dấu “=” xảy  x  4x  � x  4x    x  4x    � (x  2)  � x   � � x  � (Thoả mãn) Vậy : x  � Bài 7:Giải phương trình : x   5x   3x  HD: Cách điều kiện x ≥ Với x ≥ thì: Vế trái: x   5x   vế trái âm Vế phải: 3x  ≥  vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x   5x   3x   x   8x   (5x  1)(3x  2)   7x  (5x  1)(3x  2) Vế trái một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vô nghiệm Bài 8:Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14   2x  x (1) � � � � HD: Ta có (1)  �x  2x   � �x  2x   � (x  2x  1)  5 � � �  3(x  1)   5(x  1)    (x  1) 2 � 18 Ta có: Vế trái ≥     Dấu “=” xảy  x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1 Vậy: phương trình đã cho có mợt nghiệm x = –1 Bài 9:Giải phương trình : HD: điều kiện x ≥ x7   2x  2x  x 1 Dễ thấy x = một nghiệm phương trình – Nếu �x  : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 +    Mà: VP >  x 1 2x  > 2.22 + =  VT <  1 x  � x 1  1 6 1  1 3 x 1 1 Vậy: phương trình đã cho có mợt nghiệm x = Bài 10:Giải phương trình :  6 3 x 2x nghiệm phương trình Ta cần chứng  4  minh nghiệm Thật vậy:Với x < : 3 x 2x   3 x 2x  6 Tương tự với < x < 2: 3 x 2x HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1   � � �   1.2 2.3 3.4 x  x  1 4x 4 4x 5 HD:ĐK: x �4 (1) Ta có:1  x    4 x 5 �  x  x  (*) 4 x Ta có: VP(*) = x  � (2) Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm III-BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải phương trình sau :  2x   2x   2x 1 2x  1 2x  2x x4   4  x4  x  x 3`  3x  x  40  4 x   x  1 x  x  1 x   Bài 2: Giải phương trình sau : 1/ x - + - x = x - 8x + 24  x2   � 1�   �x  � x � x� 16 x   x3  x  x  64  x  x  x  28 x    x  x  x  18 2/ x    x  x  10 x  27 19 3/  x  x   x  x  13 5/ x    x  x  12 x  14 4/  x   x  6/ x   10  x  x  12 x  40 PHƯƠNG PHÁP 5: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm nghiệm x0 vậy phương trình ln đưa về dạng tích  x  x0  A  x   ta có thể giải phương trình A  x   hoặc chứng minh A  x   vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A  x   vô nghiệm Bài 1:Giải phương trình: x  x    x  x  1  x (1) HD: C1: ĐK x �2; x �1  1 � � x2  x  x2  x x  x  1  x  x   3 x x  x  1  x  x   2 x  2 2x 3 � 3 � x  x  1  x  x    � x  x  1  x  Nếu x �1 ta có � � x  x  1  x  x    x �  3 Giải (3) ta tìm x � � x  x  1  x  x    � x  x  1  2 x  Nếu x �-2 ta có � � x  x  1  x  x    2 x �  4 Giải (4) ta tìm x C2: ĐK: x �2; x �1 Nếu x �1 ta chia cả hai vế cho x ta được:  x     x  1  x Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm x Nếu x �-2 Đặt t = -x  t Thay vào phương trình ta t  t    t  t  1  � t  t    t  t  1   t  t  2 Chia cả hai vế cho t ta  t     t  1  t Bình phương hai vế tìm t Sau tìm x Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản Bài Giải phương trình sau : x  x   x    x  x  1  x  x  HD: 2 2 Ta nhận thấy :  3x  x  1   x  x  3  2  x   v  x     x  x     x   Ta có thể trục thức vế : 2 x  x  x    x  x  1  3x  x   x  3x  Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình 20 Bài Giải phương trình sau: x  12   x  x  5 Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , vậy phương trình có thể phân tích về dạng  x   A  x   , để thực hiện điều ta phải nhóm , tách sau : x2  x2  2 x  12   3x   x   �  3 x  2  x  12  x2   x �۳ 12 x2 HD: Để phương trình có nghiệm thì : 3x x � x2 � x 1 �  x  2 �   � � x  2 x2   � � x  12  x2 x2    0, x  Dễ dàng chứng minh : 2 x  12  x 5 3 Bài Giải phương trình : x   x  x3  HD :Đk x �1 Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình � � x3 � �  x  3  x  x   3 x    x   x   �  x  3 � 1 � 3 x2  x3    x 1  �   � � � Ta chứng minh : x3 1 x  1  x    1  x3   x  3x  x2    x3    Vậy pt có nghiệm x = Bài 5:Giải phương trình sau: x2  x  x2   x2  x  x2  x HD:ĐK: x � Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình đã cho ta được: x �       x  x   x  x  x   3.x x  �x  � �� x  � �      x x 2      3.x 2 x  3  27 x � � �x  �x  ; x   x  �0 �� �� 2 ( x  3)3  x   x  4( x  3)3  x   x  � � � Giải hệ ta tìm x  2 x2  x9 Bài 6:Giải phương trình:   2x   � �x � HD:ĐK: � � �x �0 21  2x2   x Pt �   x9    2x     2x  x  18  x   x  �  x9 2 x2 �  2x  � x   nghiệm Bài tập vận dụng: 1) x  x  3  x  x    x 2)  x  3  x     x  3  x  1   x  3 Tổng quát:  f  x  g  x    f  x  h  x    f  x  3) 3x x  10  3x   BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất cả số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn: x1  12  x2  22   2005 x2005  20052   x1  x2   x2005  Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y 1  z    x  y  z Bài 3: Giải phương trình sau: x   2x   3( x  x  1)  ( x  x  1) x2  x   x   x  3  x  48  x   x  35 2( x  2)  x   x 3 4 x  9 x  x  x 27 x 10  x  864 0 x 2 x   ( x  2)( x  4)  5( x  2) x  17  x  x 17  x   10  x  x    x6  x4 6 x2 3x  1 x2  x   x2  x   x2  x   x  x2   x2  x  3x 3x  x  x2  x   x x  24  3 x  x  Bài 4: Giải phương trình sau: x2  x   x2  x   x2  x    25  x  10  x 3   x  x   x  5 x  7 x  x5  x  3 10  x  x  x  12 2x   x 3x  3x  x  x 1  x  1 x  � � 1� � �x  � � x  �  x� � x� � 2  x  3  x  1   x  3 x 1 3  x 3 x  x  20  x  10 x2  x   2 x  x    x  20  x  x  x  12  48  x 2x 2x   1 5 3 1 22 2 x 2 x   2 x 4x    x5  x  45  x  20   2 x x x 5   x   x  x2  4  x   x  5 x  7 x  x5 9x   x= x4 + x  2005  2005 2 3 x 3x a  b  x   a  b  x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - =  x x  x   x  x  28  Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x 3 � � � � � Giải phương trình sau: � �1 � � �  � x  � 855 Bài 6:Cho phương trình: x 6 x  x   x x  62 x Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x  y  1960 b/ x  y  1980 c/ x  y  48 Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:  x2 d/ x  y  2000 1225   74  x   y   z  771 y 1 z  771 Bài 9:Giải phương trình sau : x  14 x   x  x  20  x  x 1 1 2x   1  x  x x x x   8x3  x  15 30 x  x   2004   x  1 x  x  10  x  x  10  x3   x  x    x    x  3x  x    x  x  12 x   36   x   3  x2    x   2008 x  x   2007 x  x  (2004  x )(1   x ) ( x  x  2)( x  x  18)  168 x 3  30060 x   x   x3  x2  x    x   x    16   x   16   x   x  16 x   x   x3  x x  3x   x x   2 x  x  16 x  18  x   x  12 x  x   3x  x   3x3   x  2 x  11x  21  3 x     x   x  x   x   10  x  x2   x   2x  x   3x   x   x  x  x    x  3 x  x 1  x 1  x 3 x3  1 x   x  x2 Bài 10: Giải phương trình: a) x  x  x   12  x c) x  x   x  x  12 x  x   2x  3x  3x  2 x x2  3x  b) x  x  3x   3x  d) 3x  15 x  x  x   23 f) e) ( x  4)( x  1)  x  x   g) x  x   2 x  x    Bài 11: Giải phương trình: 1 x  x3  x x x 1  2x2  5x   2x2  5x   h) x  x  11  31  x   x2    x2 �  x   � � 35 12  x  3  x  1   x  3  x  2x  x2  x2    1 x �   x � � x 1  3 x3 64 x  112 x  56 x    x Bài 12: Cho phương trình:  x   x    x    x   m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm 1  m x 1 x Giải phương trình với m   Bài 13: Cho phương trình: a) b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình:  x  x   x  x   m  a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: y = x  x 1  x  x 1 x x x x  y y2    x2  4x y  x  x   x 1 y  x  2x   x  2x  y  x 1 x   x   x  Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x  x  x   x  y nếu: a/ Vế trái có 100 dấu b/ Vế trái có n dấu Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x  x  x   x  x  x (Vế trái có 100 dấu căn) Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn: Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn:  ab x2   x   ab   20  y   y  Tính x + y Bài 20:Giải phương trình: x   x  Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện: Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a  b  c  a  b  c Chứng minh rằng: 2010 a  2010 b  2010 c  2010 a  b  c x  y2  y  z  z  x2  Chứng minh rằng: x  y  z  24 Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: y   199  x  x Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biết: a  b  11  28 Bài 25:Giải phương trình: x   x2 1  2x2 Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn: 1 1 1 1 2009           2009 12 2 2 32 k  k  1 Bài 27:Giải phương trình: 1/  x    x   2/ x  x  x  x  x  3/ x  x 30  2007 30  x 2007  30 2007 4/ x   x  x   x  x   x  x  5/ x   x   x    100 x  100  165 6/ 1   1 x3  x2 x   x 1 x 1  x 7/ x  25 x  125 x  45  16 x  80   9 12 16 8/ x  712671620  52408 x  26022004  x  712619213  56406 x  26022004  9/ 2009  2010 x  x   20  2009  2010 x  x  10/ ( x  5)(2  x)  x  3x Bài 28:Giải phương trình sau: 15 x  x   x  15 x  11 ( x  5)(2  x )  x  x (1  x)(2  x)   x  x x  17  x  x 17  x  3x   x   x   3x  x  x  x  11  31 n (1  x)2  n  x  n (1  x)  ( x  x  2)( x  x  18)  168 x x  (2004  x )(1   x )  x2   x2  25 ... x  ti m mối quan hệ   x    x  từ ti m hệ theo u,v   3 3 Bài Giải phương trình: x 35  x x  35  x  30 10 HD:Đặt y  35  x3 � x3  y  35 �xy ( x  y )  30 , giải hệ ta ti m... phương trình với m = b) Ti m m để phương trình có nghiệm c) Ti m m để phương trình có nghiệm 1  m x 1 x Giải phương trình với m   Bài 13: Cho phương trình: a) b) Ti m m để phương trình... chuyển về hệ phương trình sau: �3 � � Giải phương trình thứ 2: (v  1)  �v  �  , từ ti m v thay vào ti m nghiệm 2� � 2 phương trình Bài Giải phương trình sau: x   x   HD:Điều kiện: