Copy of DE 9 HSG t9

PHÒNG GD- ĐT ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN MÔN TOÁN – Thời gian làm 150 phút §Ò sè Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > a + b = 2 1  1  Chứng minh :  a + ÷ +  b + ÷ ≥ 12,5 a  b  Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho x, y hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 2  1  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : E =  x + ÷ +  y + ÷ y  x  Bài 5: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trung tuyến AD Gọi I, K trung điểm tương ứng MB, MC P, Q giao điểm tương ứng tia DI, DK với cạnh AB, AC Chứng minh: PQ // IK Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ đỉnh A,B,C xuống cạnh BC , CA AB tương ứng h a , hb , hc Gọi O điểm tam giác khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA AB tương ứng x , y z Tính M = x y z + + hb hc HƯỚNG DẪN CHẤM §Ò sè ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Bài Với n = ta có A(0) = 19 M19 2k k (3,5đ) Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.5 + 12.6 M19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M 19 2(k + 1) Ta có: A(k + 1) = 7.5 + 12.6k + 2k = 7.5 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 M 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Bài (2,5đ) n + 24 = k Ta có:  n − 65 = h 1,0 0,5 0,5 ⇔ k2 − 24 = h2 + 65 ⇔ ( k − h )( k + h ) = 89 = 1.89 k + h = 89 k = 45 ⇔ ⇒ k − h = h = 44 0,5 0,5 Vậy: 0,5 0,5 n = 452 – 24 = 2001 Bài (3,0đ) 0,5 0,75 0,75 Nhận xét với x,y ta có: ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ x + y + xy ⇒x +y 1  Đặt  a + ÷ = x a  Bài (3,0đ) ( x + y) ≥ 0,5 1  ;  b + ÷ = y ta : b  2 0,5 2 1  1 1 1 1 a+b 1   a + ÷ + b + ÷ ≥  a + + b + ÷ =  a + b + ÷ = 1 + ÷ a  b 2 a b 2 ab   ab   Vì = ( a + b ) ≥ 4ab ⇒ ab ≤   2  1  1 1  1÷  Do :  a + ÷ +  b + ÷ ≥ 1 + ÷ ≥  + ÷ = 12,5 a  b   ab  2 ÷   4  1   x y 2 Ta có E = ( x + y ) +  + ÷+  + ÷ y   y x x 1 Áp dụng BĐT: + ≥ vôùi a > 0; b > a b a+b 0,75 0,5 0,75 0,5 1,0 1,0  1  1 ⇔ + ≥1 Ta có  + ÷ ≥ 2 y  x +y x y x a b Áp dụng BĐT: + ≥ vôùi a > 0; b > b a  x y x y Ta có + ≥ ⇔  + ÷ ≥ y x  y x Bài (4,0đ) 0,5 Vậy giá trị nhỏ biểu thức E = Dấu “=” xảy x = y = - Vẽ hình - Gọi E trung điểm AM, chứng minh được: IK // BC, EI // AB, EK // AC - Áp dụng định lý Ta-lét vào tam giác DPA, DAQ Suy ra: DI DE DK = = DP DA DQ - Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra: PQ // IK Bài (4,0đ) Vẽ hình 1,5 1,5 0,5 0,5 A x 0,5 B Xét hai tam giác ABC OBC ta có : SABC = BC.ha (1) SOBC = BC x (2) x S OBC = Từ (1)và (2) ta suy : S ABC y S COA = hb S ABC Tương tự ta có : S z = AOB hc S ABC S BOC + S COA + S AOB S ABC = Từ tính : M = =1 S ABC S ABC C 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 ... CHẤM §Ò sè ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Bài Với n = ta có A(0) = 19 M 19 2k k (3,5đ) Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.5 + 12.6 M 19 Ta phải chứng minh... cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M 19 2(k + 1) Ta có: A(k + 1) = 7.5 + 12.6k + 2k = 7.5 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 M 19 Vậy... 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Bài (2,5đ) n + 24 = k Ta có:  n − 65 = h 1,0 0,5 0,5 ⇔ k2 − 24 = h2 + 65 ⇔ ( k − h )( k + h ) = 89 = 1. 89 k + h = 89 k = 45 ⇔ ⇒ k − h =