Kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng vào giải toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN VĂN NGHĨA KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TÂM TỶ CỰ VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN VĂN NGHĨA KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TÂM TỶ CỰ VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2017 i Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo phận sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Văn Nghĩa i Danh mục hình 1.1 Quy tắc Archimedes 1.2 Tọa độ diện tích 11 2.1 Chọn tâm tỷ cự 19 2.2 Quĩ tích đường trịn 21 2.3 I đỉnh thứ tư hình bình hành 23 2.4 Trực tâm H 27 2.5 Tọa độ tỷ cự điểm đồng quy 29 2.6 Tính tỷ số 32 2.7 Tính diện tích 34 2.8 Hình chóp tam giác 35 3.1 P, Q, R thẳng hàng 43 3.2 MOP 2006 53 3.3 USAMO 2001 #2 54 3.4 USAMO 2008 55 i Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu 1 Tâm tỷ cự hệ chất điểm 1.1 Hệ chất điểm tâm tỷ cự 1.2 Các tính chất tâm tỷ cự 1.3 Tâm tỷ cự diện tích đại số 1.3.1 Diện tích đại số 1.3.2 Tọa độ tỷ cự mặt phẳng 12 1.4 Công thức Lagrang công thức Jacobi 15 Các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự ứng dụng 18 2.1 Kỹ thuật chọn tâm tỷ cự 18 2.2 Kỹ thuật diện tích hóa tọa độ hóa 26 2.3 Kỹ thuật giao hoán-kết hợp 31 2.4 Kỹ thuật quán tính 36 Các vấn đề liên quan 41 3.1 Chứng minh số định lý tiếng 41 3.2 Một số toán thi học sinh giỏi thi Olympic 50 3.2.1 Véc tơ chuyển chỗ 51 3.2.2 Đường thẳng vuông góc 51 3.2.3 Phương trình đường trịn 52 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Khái niệm tâm tỷ cự nhà toán học đề cập đến từ lâu, chẳng hạn xem ([1], [5], [6]) Tuy nhiên việc ứng dụng khái niệm hạn chế ngồi định nghĩa thơng qua véc tơ, tính chất biểu diễn khác tâm tỷ cự chưa nêu tài liệu truyền thống Mục đích đề tài nghiên cứu đề xuất tính chất đăc trưng tâm tỷ cự từ đề kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự để giải loại tốn hình học phẳng Cụ thể là: - Nghiên cứu tính chất đặc trưng tâm tỷ cự hệ chất điểm Đưa kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự nhằm ứng dụng có hiệu vào việc giải tốn Hình học - Ứng dụng kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự vào giải tốn tính tốn, chứng minh, tìm tập hợp điểm vấn đề khác nhằm khắc sâu phương pháp giải toán liên quan đến tâm tỷ cự - Các kiến thức nâng cao: Xây dựng lý thuyết chặt chẽ có hệ thống tâm tỷ cự, kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự, tính chất mơ men quán tính, dựa vào khái niệm véc tơ Bổ sung thêm phương pháp hiệu giải tốn hình học sơ cấp Đặc biệt áp dụng vào việc giải toán thi olympic Quốc gia Quốc tế Có thể nói sáng tạo để giải tốn hình học, phương pháp giải tốn có hiệu Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Đề tài giải vấn đề sau: Hệ thống, chứng minh tính chất tâm tỷ cự, trình bày kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự để ứng dụng vào giải tốn hình học có liên quan Nêu tốn mẫu, điển hình minh họa cho kỹ thuật biến đổi, giải tốn khó, thể tính hẳn so với cách giải thơng thường Nội dung chia làm chương: Chương Tâm tỷ cự hệ chất điểm Định nghĩa nêu tính chất tâm tỷ cự chủ yếu mặt phẳng, kiến thức cần thiết để xây dựng số kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự, chuẩn bị cho chương hai Các tính chất xây dựng chứng minh chặt chẽ, đầy đủ Chương gồm mục sau 1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.2 Các tính chất tâm tỷ cự 1.3 Các ví dụ mở đầu 1.4 Cơng thức Lagrang cơng thức Jacobi Chương Các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự ứng dụng Lần lượt trình bày kỹ thuật biến đổi dựa vào tính chất tâm tỷ cự mặt phẳng Mỗi kỹ thuật nêu thành bước vận dụng, ví dụ tốn mẫu Hình thành kỹ " chọn tâm tỷ cự, biến đổi tâm tỷ cự, coi diện tích tọa độ tâm tỷ cự, " để giải loại tốn hình học phẳng: chứng minh, tính tốn, tìm quỹ tích, Chương trình bày mục sau: 2.1 Kỹ thuật chọn tâm tỷ cự 2.2 Kỹ thuật diện tích hóa 2.3 Kỹ thuật giao hoán kết hợp 2.4 Kỹ thuật quán tính Chương Các vấn đề liên quan Trình bày toán liên quan đến tâm tỷ cự mức độ khó hơn, gồm hai nội dung: 3.1 Chứng minh số định lý tiếng hình học sơ cấp 3.2 Một số toán thi học sinh giỏi thi Olympic - Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Tác giả mong góp ý, bổ sung đồng nghiệp thầy cô giáo nhằm làm cho kết nghiên cứu hoàn chỉnh có ích Xin chân thành cảm ơn Tác giả Chương Tâm tỷ cự hệ chất điểm Các khái niệm xét mặt phẳng không gian Thuật ngữ "barycentric" nhiều tác giả dịch "tâm tỷ cự" "khối tâm", Thực sử dụng từ nghĩa phần "barycentric" liên quan đến đoạn thẳng khái niệm quen thuộc học Đến "barycentric" tốn học hóa dựa vào khái niệm khơng gian véc tơ cách Việt hóa có hạn chế định Trong luận văn sử dụng chữ "tâm tỷ cự" tính chất lịch sử khái niệm phù hợp với tài liệu hành (xem [1]) Các ký hiệu tham khảo vận dụng vào việc trình bày cho thuận tiện 1.1 Hệ chất điểm tâm tỷ cự Mệnh đề 1.1 Cho hai điểm A, B hai số thực m1 , m2 không đồng thời Khi −→ −→ i Nếu m1 + m2 = khơng có Z cho m1 ZA + m2 ZB = ~0 ii Nếu m1 + m2 6= tồn điểm Z cho −→ −→ m1 ZA + m2 ZB = ~0 Khi Z thỏa mãn đẳng thức với điểm O ta ln có: −→ −→ −→ m1 OA + m2 OB OZ = m1 + m2 Chứng minh −→ − → −→ −→ −→ −→ i Ta có m1 ZA+m2 ZB =~0 ⇐⇒ m1 ZA+m2 (ZA+ AB) =~0 ⇐⇒ (m1 +m2 )ZA+ −→ m2 AB = ~0 Nếu m1 + m2 = khơng có Z m2 −→ −→ AB, chứng tỏ Z xác ii Nếu m1 + m2 6= đẳng thức AZ = (m1 + m2 ) định −→ −→ Với O tùy ý, xen điểm Z vào m1 OA + m2 OB ta có: −→ −→ −→ −→ −→ −→ m1 OA + m2 OB = m1 (OZ + ZA) + m2 (OZ + ZB) −→ −→ −→ −→ = (m1 + m2 )OZ + (m1 ZA + m2 ZB) = (m1 + m2 )OZ Mệnh đề 1.2 Cho ba điểm A, B, C ba số thực m1 , m2 , m3 không đồng thời O Khi đó, i Nếu m1 + m2 + m3 = khơng có Z cho −→ −→ −→ m1 ZA + m2 ZB + m3 ZC = ~0 ii Nếu m1 + m2 + m3 6= tồn điểm Z cho −→ −→ −→ m1 ZA + m2 ZB + m3 ZC = ~0 Khi Z thỏa mãn đẳng thức với điểm O ta ln có: −→ −→ −→ −→ m1 OA + m2 OB + m3 ZC OZ = m1 + m2 + m3 (1.1) Chứng minh Chứng minh tương tự mệnh đề 1.1 Nhận xét 1.1 −→ −→ Trong trường hợp m1 = m2 = m3 6= đẵng thức (1.1) trở thành ZA + ZB + − → ZC = ~0 ⇐⇒ Z ≡ G− trọng tâm tam giác ABC Mệnh đề 1.3 Cho n điểm A1 , A2 , , An n số thực m1 , m2 , , mn không đồng thời O Khi i Nếu m1 + m2 + + mn = khơng có Z cho −−→ −−→ −−→ m1 ZA1 + m2 ZA2 + + mn ZAn = ~0 ; Dc = , định thức cấp 3: a1 a2 b1 b2 c2 x y z ... trưng tâm tỷ cự từ đề kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự để giải loại tốn hình học phẳng Cụ thể là: - Nghiên cứu tính chất đặc trưng tâm tỷ cự hệ chất điểm Đưa kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự nhằm ứng dụng. .. hiệu vào việc giải tốn Hình học - Ứng dụng kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự vào giải tốn tính tốn, chứng minh, tìm tập hợp điểm vấn đề khác nhằm khắc sâu phương pháp giải toán liên quan đến tâm tỷ cự. .. chất tâm tỷ cự 1.3 Các ví dụ mở đầu 1.4 Cơng thức Lagrang công thức Jacobi Chương Các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự ứng dụng Lần lượt trình bày kỹ thuật biến đổi dựa vào tính chất tâm tỷ cự mặt