ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘTPHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM I.Một số định nghĩa : 1.
Trang 1ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘT
PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM I.Một số định nghĩa :
1 Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b), f(x) liên tục tại x 0 (a; b)
lim f ( x )
0
x
x = lim f ( x )
0
x
x = limf(x)
0
x x = f(x 0)
2 Định nghĩa 2: f(x) liên tục trên [a; b] f(x) liên tục x (a,b) và
) b ( f ) x (
f
lim
) a ( f ) x (
f
lim
b
x
a
x
3 Định nghĩa 3: Nếu f(x), g(x) liên tục trên D thì: f + g; f – g; f.g; gf (nếu g 0) là các hàm liên tục trên D
II.Một vài định lý áp dụng :
1.Định lý 1:
f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó
2.Định lý 2:
f(x) liên tục trên [a; b]; m = xmin[a;b]f(x); M = xmax[a;b]f(x) thì k [m; M], c
[a; b] sao cho f(c) = k
3.Hệ quả :
f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì c (a; b) sao cho f(c) = 0
Ví dụ 1 Cho 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng: ax + bx + c = 0 có nghiệm 2
x [0;
3
1
]
Giải.
Đặt f(x) = ax + bx + c.2
f(0) = c
18.f(
3
1
) = 2a + 6b + 18c = – c (gt)
f(0).f(
3
1 ) = – 18
c 2
0 theo hệ quả trên f(x) = 0 có nghiệm x [0;
3 1 ]
Trang 2Ví dụ 2 Chứng minh rằng a, b, c phương trình: a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + sinx
= 0 có nghiệm
Giải.
Đặt f(x) = a.cos3x +b.cos2x + c.cosx +sinx
f(0) = a + b + c
f(
2
) = – b +1
f(
2
3
) = – b – 1
f() = – a + b – c
f(0) + f(
2
) + f(
2
3
) + f() = 0
trong các số f(0); f(
2
); f(
2
3
); f() có ít nhất 1 số 0, 1 số 0 tích của chúng 0 áp dụng hệ quả suy ra phương trình trên có nghiệm
Ví dụ 3 Cho f(x) liên tục trên [0; 1] thoả mãn f(0) = f(1) Chứng minh rằng n
N thì c [0; 1] sao cho f(c) = f(c +
n
1 )
Giải.
Đặt g(x) = f(x +
n
1 ) – f(x) g(x) liên tục trên [0;
n
1
n ] g(0) = f(
n
1
) – f(0)
g(1) = f(
n
2
) – f(
n
1 )
g(
n
1
n
) = f(1) – f(
n
1
n )
g(0) + g(
n
1 ) + + g(
n
1
n ) = f(1) – f(0) = 0
i, j {0, 1, , n–1} sao cho g(
n
i ) 0, g(
n
j ) 0
g(
n
i
).g(
n
j ) 0
c [min{
n
i , n
j }, max{
n
i , n
j }] sao cho g(c) = 0
f(c +
n
1 ) – f(c) = 0 f(c) = f(c +
n
1 )
Ví dụ 4 Cho f(x) liên tục trên [a; b] và 2 số , > 0 Chứng minh rằng c
[a; b] sao cho: .f(a) + .f(b) = ( + ).f(c)
Giải.
Theo định lý 1 tồn tại x 1, x 2 [a; b] sao cho
f(x 1) = xmin[a;b]f(x) = m; f(x 2) = xmax[a;b]f(x) = M
Trang 3vì > 0, > 0 nên ( + ).m < .f(a) + .f(b) < ( + ).M.
Xét hàm số g(x) = ( + ).f(x) – .f(a) – .f(b)
Ta có f(x ) liên tục trên [a; b] g(x) cũng liên tục trên [a; b] Không mất tính tổng quát giả sử x 1 < x 2 [x 1; x 2] [a; b]
Ta có
g(x 1) = ( + ).f(x 1) – .f(a) – .f(b) = ( + ).m – .f(a) – .f(b) g(x 2) = ( + ).f(x 2) – .f(a) – .f(b) = ( + ).M – .f(a) – .f(b)
g(x 1).g(x 2) 0 c [x 1; x 2] sao cho g(c) = 0
( + ).f(c) – .f(a) – .f(b) = 0 ( + ).f(c) = .f(a) + .f(b) (đpcm )
4.Định lý Lagrange:
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f ’(c) =
b a
) b ( f ) a ( f
Ví dụ Cho m > 0 và
2 m
a
1 m
b
m
c = 0
Chứng minh rằng: ax + bx + c = 0 có nghiệm x 2 (0; 1)
Giải.
Xét hàm f(x) =
2 m
a
2 m
x +
1 m
b
1 m
x +
m
x
f ’(x) = a.xm 1 + b.x + c.m xm 1
ta có f(1) =
2 m
a
1 m
b
m
c = 0
f(0) = 0
áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [0; 1]: x 0 (0; 1) sao cho:
f ’(x 0) =
0 1
) 0 ( f ) 1 ( f
= 0
a m 1
0
+ b m 0
x + c m 1
0
= 0
0
0
x + b.x 0 + c) = 0
a 2
0
x + b.x 0 + c = 0 (vì x 0 (0; 1) xm01
0)
x 0 là nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 và 2 x 0 (0; 1) (đpcm)