bài tập đồng biến nghịch biến của hàm số

ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn khoảng y  f  x  hàm số xác định K Ta nói: + Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x   g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hiệu f  x   g  x  b Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hàm số f  x  , g  x  không hàm số dương D c Nhận xét Cho hàm số u  u  x  , xác định với x   a;b  u  x    c; d  Hàm số f u  x   xác định với x   a; b  Ta có nhận xét sau: i Giả sử hàm số u  u  x  đồng biến với x   a;b  Khi đó, hàm số f u  x   đồng biến với x   a;b   f  u  đồng biến với u   c; d  ii Giả sử hàm số u  u  x  nghịch biến với x   a;b  Khi đó, hàm số f u  x   nghịch biến với x   a;b   f  u  nghịch biến với u   c; d  Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '  x   0,x  K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '  x   0,x  K Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f nghịch biến K c) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f không đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b  f '  x   0, x   a; b  hàm số f đồng biến đoạn  a; b Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: Định lí 3.(mở rộng định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0,x  K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0,x  K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K B - BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y  f  x  +) f '  x   đâu hàm số đồng biến +) f '  x   đâu hàm số nghịch biến Quy tắc: +) Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   tìm nghiệm +) Lập bảng xét dấu f '  x  +)Dựa vào bảng xét dấu kết luận Câu 1: Cho hàm số f  x  đồng biến tập số thực  , mệnh đề sau đúng? A Với x1  x2  R  f  x1   f  x2  C Với x1 , x2  R  f  x1   f  x2  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có : f  x  đồng biến tập số thực  B Với x1 , x2  R  f  x1   f  x2  D Với x1  x2  R  f  x1   f  x2   x1  x2    f  x1   f  x2  Câu 2: Cho hàm số f  x   2 x3  x  3x  a  b Khẳng định sau sai ? A Hàm số nghịch biến  C f  b   B f  a   f  b  D f  a   f  b  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có : f   x   6 x  x   0x    Hàm số nghịch biến   a  b   f  0  f  a   f b  Câu 3: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm  a; b  Phát biểu sau ? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 A Hàm số y  f ( x) f ( x)  0, x   a; b  B Hàm số y  f ( x) f ( x)  0, x   a; b  C Hàm số y  f ( x) f ( x)  0, x   a; b  D Hàm số y  f ( x) đồng biến f ( x)  0, x   a; b  f ( x)  hữu hạn giá trị x   a; b  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Theo định lý mở rộng (SGK Đại số giải tích 12 ban trang 7) Câu 4: Cho hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm khoảng K Cho phát biểu sau: (1) Nếu f '  x   0, x  K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K (2) Nếu f '  x   0, x  K f '  x   có hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K (3) Nếu hàm số đồng biến K f '  x   0, x  K (4) Nếu hàm số nghịch biến K f '  x   0, x  K Có phát biểu phát biểu trên? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Chỉ có phát biểu (3), (4) Các phát biểu (1) , (2) sai f '  x   0, x  K f không đồng biến không nghịch biến Câu 5: Giả sử hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm khoảng K Cho phát biểu sau: (1) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K (2) Nếu f '  x   0,x  K hàm số f nghịch biến K (3) Nếu hàm số  C  đồng biến K phương trình f  x   có nhiều nghiệm thuộc K (4) Nếu hàm số  C  nghịch biến K phương trình f  x   có nghiệm thuộc K Có phát biểu phát biểu A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Các phát biểu (1), (2) Câu 6: Giả sử hàm số  C  : y  f  x  nghịch biến khoảng K hàm số  C '  : y  g  x  đồng biến khoảng K Khi A hàm số f  x   g  x  đồng biến khoảng K B hàm số f  x   g  x  nghịch biến khoảng K C đồ thị hàm số (C) (C’) có nhiều điểm chung D đồ thị hàm số (C) (C’) có điểm chung Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Các phát biểu (1), (2), (3) Phát biểu (4) sai f đồng biến K nhiên phương trình f(x) = vô nghiệm K Chẳng hạn hàm  C '  : y  x  đồng biến khoảng  0;  , nhiên x   lại vô nghiệm  0;  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Câu 7: Hàm số y  ax3  bx  cx  d , a  có khoảng đồng biến chứa hữu hạn số nguyên a  a  a  a  B  C  D  A  b  3ac  b  3ac  b  3ac  b  3ac  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Một hàm số đồng biến hàm số nghịch biến cắt cắt điểm Câu D sai không thiết hai hàm số phải cắt Câu A, B hiển nhiên sai Câu 8: Hàm số y  ax3  bx  cx  d , a  có khoảng nghịch biến chứa hữu hạn số nguyên a  a  a  a  B  C  D  A  b  3ac  b  3ac  b  3ac  b  3ac  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Hàm số y  ax3  bx  cx  d , a  có khoảng đồng biến chứa hữu hạn số nguyên đồng biến khoảng  x1 ; x2  với x1 , x2 nghiệm phương trình y '  Tức phải có bảng a  a  xét dấu y’ sau: Vậy   b  3ac   y '  Chú ý: Các em nên nắm vững cách xét dấu tam thức bậc hai phần thấy nhẹ nhàng giải toán nhanh Câu 9: Chọn phát biểu nói tính đơn điệu hàm số y  ax  bx  c, a  A Hàm số đơn điệu R B Khi a > hàm số đồng biến C Hàm số tồn đồng thời khoảng đồng biến nghịch biến D Khi a < hàm số nghịch biến R Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Lập luận tương tự câu Câu 10:Hàm số y  ax3  bx  cx  d , a  đồng biến R a  a  a  a  C  D  A  B  b  ac b  ac  b  ac b  ac  0       Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Vì y '  4ax  2bx đổi dấu a  Câu 11: Cho hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  a;b   c;d  ,  a  b  c  d  Phát biểu sau nói hàm số cho A Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành nhiều điểm có hoành độ thuộc  a; b    c; d  B Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành nhiều điểm có hoành độ thuộc  a; b    c; d  C Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành nhiều hai điểm có hoành độ thuộc  a; b    c; d  D Hàm số đồng biến khoảng  a; b    c; d  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Hàm số y  ax3  bx  cx  d , a  đồng biến R a  y '  3ax  2bx  c  0, x  R   b  ac   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Câu 12: Cho hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm khoảng K phát biểu sau: (1) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K (2) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f nghịch biến K (3) Nếu hàm số đồng biến K f '  x   0, x  K (4) Nếu hàm số nghịch biến K f '  x   0, x  K Có phát biểu phát biểu trên? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Câu D câu lại nói chung không Xem hình minh họa bên trái Nói chung ta không hàm số đồng biến  a; b    c; d  Vì với x1  x2 vẩn f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến khoảng (a;b) có nghiệm thuộc (a;b) nghiệm Tuy nhiên, không thiết phải có nghiệm khoảng (a;b) Câu 13: Hàm số y  x  3x  9x 1 đồng biến khoảng: A  1;3  3;   B  ;1 1;3 C  ;3  3;   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D D  ;1  3;    x  1 Ta có y   x  x  nên y     x  Bảng xét dấu y x 1  y     Do hàm số đồng biến khoảng  ;1  3;   Câu 14: Cho hàm số y  2x  3x  Khẳng định sau tính đơn điệu hàm số A Hàm số đồng biến khoảng  ;0  B Hàm số nghịch biến khoảng  ;0  1;   C Hàm số nghịch biến khoảng  0;1 D Hàm số nghịch biến khoảng  ;1  0;  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A + TXĐ: D  R + y '  6 x  x x  + y '   6 x  x    x 1 + Bảng biến thiên: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 y Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến  ;0  Câu 15: Tìm khoảng nghịch biến hàm số y  x  x  12 x  B (;1) C (2;3) A (1; 2) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A  x 1 Ta có y '  x  18 x  12   x  x      x  Bảng biến thiên x   + _ y + y D (2; ) Hàm số nghịch biến khoảng 1;  Câu 16: Các khoảng đồng biến hàm số y  x  3x  là: A  ;0  B  0;2  C  ;0    2;   D  ;0   2;   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D x  Ta có y   x  x y    x  Xét dấu y suy hàm số đồng biến khoảng  ;0   2;   Câu 17: Tìm khoảng nghịch biến hàm số y  x  3x  x A (; 3) B (1; ) C (3;1) (; 3)  (1; ) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C  x  3 y  3x2  x  , f   x     x 1 Bảng biến thiên x 3  y + D   + 27  y  5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến  3;1 Câu 18: Các khoảng nghịch biến hàm số y   x  x  là: A  ;0  ;  2;   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A B  0;2  D  C 1;   x  Ta có y '  3 x  x , y    x  Bảng biến thiên x  y     y  1  Hàm số nghịch biến khoảng  ;0  ;  2;   Câu 19: Hàm số sau nghịch biến toàn trục số? B y   x  x  C y   x  x  3x  D y  x A y  x  x Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C y  x  3x  y   3x  6x Loại A y  x  3x 1  y  3x   Loại B y  x  3x  3x   y  3x  6x   3  x 1  Câu 20: Hỏi hàm số y   x  x  x  44 đồng biến khoảng nào? A  ; 1 B  ;5  C  5;   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D y   x2  x   x  1 y    x  Bảng biến thiên: x -1 y D  1;5  y Vậy hàm số đồng biến khoảng  1;5  Câu 21: Tìm khoảng đồng biến hàm số y   x  x  x  A  3;1 B  3;   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D y   x  x  x  TXĐ: D   C  ; 3  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D  1;3 Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12  x  1 y   3 x  x     x  Dựa vào bảng xét dấu tam thức bậc hai thấy y    x   1;3 Vậy hàm số đồng biến khoảng  1;3 Câu 22: Hàm số y   x  3x  đồng biến khoảng nào? A  0;2  B  2;   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A y   3 x  x x  y    x  Bảng biến thiên: x y C  ;   0 y D  ;0  Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  x3 x   6x  A Hàm số đồng biến khoảng  2;3 B Hàm số nghịch biến khoảng  2;3 C Hàm số nghịch biến  ; 2  D Hàm số đồng biến  2;   Câu 23: Cho hàm số f  x   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Tập xác định D   87  x  3, y    Ta có f   x   x  x  , f   x    x  x      x  2, y  169  12 Bảng biến thiên x 2  y 0   169 12 y 87   Câu 24: Hỏi hàm số y  x  3x nghịch biến khoảng ? A  ;0  B  1;1 C  0;       D  ;    Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Ta có y   3x  ; y   x  1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Hàm số y  x3  3x nghịch biến khoảng  1;1 Câu 25: Cho hàm số y   x3  x  x  Mệnh đề sau đúng?     B Hàm số đồng biến   ;1  A Hàm số nghịch biến   ;1      5  C Hàm số đồng biến  ;   D Hàm số đồng biến 1;   3  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B x  2 y   x  x  x   y  3 x  x     x      x 0 y      Hàm số đồng biến   ;1    Câu 26: Hỏi hàm số y  x  x  nghịch biến khoảng nào? A  ; 1 B  1;0  C  0;   D  3;1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B x  Có y '  x  x     x  1 Hàm số nghịch biến khoảng Câu 27: Hàm số sau đồng biến tập xác định nó? A y  x Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A B y   x  C y  x 2 D y  x3  3x y  x TXĐ: D   0;   21 y '  x  0, x  D  Hàm số đồng biến trập xác định Câu 28: Hàm số y  x  x  x  nghịch biến khoảng: 1 1   A  ;   1;   B  ;   3 3     C   ;1 D 1;     Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Xét hàm số y  x  x  x   y '  3x  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Hàm số đồng biến khoảng xác định  y  x  m  m  m    8  m  Câu 24: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  mx  nghịch biến 3x  m khoảng xác định B m  3 C 3  m  D m  A 3  m  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A m ĐKXĐ: x   m2  Ta có: y  Để hàm số nghịch biến khoảng xác định y  với  3x  m  m Suy m2    3  m  x Câu 25: Với giá trị m hàm số y  A 2  m  mx  đồng biến khoảng 1;  xm m  B   m  2 C m  D m  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Điều kiện x  m y  m2   x  m Hàm số đồng biến khoảng 1;  m  m        m  2  m  m   m  1  Câu 26: Tìm tất giá trị m để hàm số y  A m  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A m2 Ta có : y '   x  2 B m  xm đồng biến khoảng xác định x2 C m  D m  ycbt  y '   m  Vì m  y  x  R hàm số hàm đồng biến khoảng xác định Câu 27: Tìm tất giá trị thực tham số m đề hàm số y  x nghịch biến khoảng xm 1;  A  m  B  m  C m  D  m  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có : y '  m  x  m  0, m  Phần Hàm số - Giải tích 12 (1) Hàm số nghịch biến khoảng  ; m   m;  nghịch biến (2) Từ (1) , (2) suy :  m  thỏa ycbt x2  m Câu 28: Cho hàm số f  x    m  1 Chọn câu trả lời x 1 A Hàm số giảm  ;1 1;  với m  B Hàm số giảm tập xác định C Hàm số tăng  ;1 1;  với m  D Hàm số tăng  ;1 1;  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Ta có : y  x2  2x  m  x  1 2  x  1  m    x  1 Khi với m  y '  0, x  Do hàm số tăng  ;1 1;  với m  Câu 29: Cho hàm số y  mx  ( m tham số) Với giá trị m hàm số nghịch biến xm khoảng xác định ? A 1  m  B m  1 C m   m  1 D  m  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A TXĐ: D   \ m y'  m2   x  m Hàm số nghịch biến D y '  với x  D m2    m    1  m  Hay  x  m Câu 30: Tìm tất giá trị m để hàm số y  A 2  m  m  B   m  2  m  1 x  xm đồng biến khoảng xác định C 2  m  m  D   m  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C m  1 x   m  m  y  y  xm  x  m y   x     m2  m   x  m   x       m  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Câu 31: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y   m  1 x  2m  xm nghịch biến khoảng  1;   A m  ( ;1)  (2; ) B m  C 1  m  D  m  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D TXD: x  m m2  m  Ta có y  Hàm số có nghịch biến khoảng  1;   y  0, x   1;    x  m dấu xảy tập đếm m  m    1  m  Khi ta có   1 m    m  1  m   1;   Câu 32: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  ex  m  đồng biến khoảng e x  m2    ln ;0    A m   1;2  1  1 C m    ;   1;  D m    ;   2  2 B m  1;2  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D tm2   1  1  x , t   ;1 Đặt e  t , x   ln ;0   t   ;1 Xét hàm số y  t m   4  4   m  1 Vì t  m   4 m  2 m  y'   m2  m  2 t  m     m2  m    1  m   1 Kết hợp hai điều kiện ta có m    ;   2 Câu 33: Tìm giá trị m cho hàm số y  x 1 nghịch biến khoảng  2;   xm C m  D m  2 A 2  m  B m  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Vì x  m hàm số nghịch biến  2;  nên m   m  2 y'  m 1  x  m   m  Vậy m   2;1 Câu 34: Tìm tập hợp giá trị m để hàm số y  A m  (2;  ) Hướng dẫn giải: B m  ( 2;0) mx  nghịch biến (0; ) xm C m  ( ; 2)  (2;  ) D m  ( ; 2) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12 Chọn đáp án B Vì x  m hàm số nghịch biến  0;  nên m  (do m  ) y'  m2   x  m   2  m  Vậy m   2;0  Câu 35: Tìm giá trị tham số m để hàm số y  A m  B m  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Tập xác định D   \ m Ta có y  x đồng biến  2;   xm C m  2 D m  2 m  x  m x đồng biến  2;   y  0, x   2;   xm m   m     m  2 m   2;    m  2 mx  đồng biến khoảng 1;  Câu 36: Với giá trị m hàm số y  xm m  C m > D m hàm số đồng biến C Hàm số tồn đồng thời khoảng đồng biến nghịch biến D Khi a < hàm số nghịch biến R Hướng dẫn giải: