Hướng dẫn gợi mở giúp học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài hình bậc THCS

MỤC LỤC Nội dung 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 a b c 2.4 3.1 3.2 Mở đầu Lý chọn đề tài0 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Những toán sách giáo khoa sách tập Một số tập nâng cao Bài tập đề nghị giúp học sinh rèn luyện kỹ Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân Kết luận, kiến nghị Kết luận Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 2 2 2 3 11 12 13 13 13 15 1.Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài Trong trình dạy môn toán trường THCS Hình học phân môn quan trọng, giúp học sinh phát triển tư toán học mà cụ thể kỹ phân tích tổng hợp, dự đoán …Song môn học khó trừu tượng với học sinh kể học sinh giỏi Vậy làm thể để tháo gỡ khó khăn giúp học sinh có hứng thú học tập, thích học môn toán nói chung hình học nói riêng Trong trình giảng dạy bồi dường học sinh giỏi lớp 7,8,9 suốt năm qua bên cạch phương pháp truyền thống, phương pháp phân loại dạng toán theo chuyên đề, thân trọng đến việc làm để “ Hướng dẫn gợi mở giúp học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho hình” Để phần tháo gỡ khó khăn đồng thời giúp giáo viên, học sinh chủ động sáng tạo trình tìm tòi lời giải hình, thu hút say mê hứng thú học tập học sinh, góp phần nâng cao chất lượng môn hình học nói riêng môn toán nói chung 1.2.Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài phân tích tổng hợp số hình cụ thể chương trình hình học sở để từ tìm tòi cách khác để chứng minh Tháo gỡ khó khăn đồng thời giúp học sinh chủ động sáng tạo trình tìm tòi lời giải hình, thu hút say mê hứng thú học tập học sinh, góp phần nâng cao chất lượng môn hình học nói riêng môn toán nói chung 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn gợi mở giúp học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho hình chương trình hình học 7,8,9; sách tập hình học 7,8,9;sách nâng cao phát triển hình học 7,8,9 số đề thi cấp tỉnh 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp dạy học tích cực để đưa vài kinh nghiệm nhỏ tích lũy trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 Từ ví dụ, tập cụ thể phân tích để tìm nhiều lời giải giúp học sinh tìm tòi nhiều lòi giải khác để giúp em cố kiến thức bản, tăng cường kỹ vận dụng kiến thức để giải tập theo cách khác Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận: Dạy học giải toán vấn đề trọng tâm dạy học môn toán trường THCS Đối với học sinh, việc giải toán hoạt động chủ yếu việc học tập môn toán Do vậy, rèn kỹ giải toán cho học sinh vô cần thiết Trên sở học sinh nắm vững kiến thức bản, để giúp học sinh có kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế giải tập đặc biệt tập hình đòi hỏi người giáo viên phải khéo léo hướng dẫn học sinh làm tập từ dễ đến khó, từ tập SGK, sách BT đến tập nâng cao thi học sinh giỏi cấp Vì việc “hướng dẫn học sinh giải số tập hình học nhiều cách khác nhau” phần giúp học sinh phát triển tư duy, kỹ vẽ hình, kỹ suy luận, tăng tính thực tiễn tính sư phạm, tạo điều kiện cho học sinh tăng cường độ học tập thực hành, rèn kỹ tính toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế dạy học môn hình học bậc THCS năm qua nhận thấy học sinh làm tập hình học giặp khó khăn mà vấn đề xảy học sinh giỏi Nó khó khăn với học sinh miền núi Qua tìm hiểu nghiên cứu thấy nguyên nhân dẫn đế thực trạng Nếu không phân tích hướng dẫn em thường thụ động dễ làm cho xong khó thi ỉ lại, tư tưởng chờ đợi khó có kết cao học tập đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề a Những toán sách giáo khoa sách tập Hệ thống bái tập hình học sách giáo khoa nói chung giúp học sinh cố lại kiến thức rèn luyện số kỹ tiết học chương Có tập sử dụng kiến thức khác lớp để giải vấn đề Muốn giáo viên phải biết phân tích gợi mở để học sinh tự tìm tòi lời giải khác Sau số tập sách giáo khoa Ví dụ 1: ( Bài 58-SGK Hình 8) Cho tam giác ABC cân (AB=AC) vẽ đường cao BH,CK ( hình vẽ) a) Chứng minh: BK = CH b) Chứng minh: KH // BC A K B H C Giáo viên hướng dẫn phân tích gợi mở a Muốn chứng minh BK = CH chứng minh cặp tam giác nhau? + Chứng minh: ∆ BCK = ∆ ACK b Muốn chứng minh KH//BC có cách chứng minh nào? + Dựa vào quan hệ song song (Kiến thức lớp 7): Chứng minh cặp góc so le hay hai góc đồng vị nhau: + Dựa vào định lý Talet đảo ( Kiến thức lớp 8): Tóm tắt phân tích gợi mở Câu a Cách 1: (1) (2) (3) BK = CH ∠ BKC = ∠ CHB = 90 (GT) ∆ BHC = ∆CKB BC cạch chung (Cạnh huyền) ∠ BHC = ∠ BCK ( ∆ABC cân) Giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh vào vở.( Giáo viên yêu cầu học sinh xét trực tiếp tam giác vuông BHC CKB) Cách 2: BK = CH ∆ AHB = ∆ACK (1) ∠ AHB = ∠ AKC = 900 (GT) ∠ A chung (2) (3) AB = AC ( ∆ ABC cân) Giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh vào .( Giáo viên yêu cầu học sinh xét trực tiếp tam giác vuông BHC CKB) Tóm tắt phân tích gợi mở câu b Cách 1: KH // BC ∠ ABC = ∠ AKH ( Hai góc vị trí đồng vị) ∠ ABC = (1800 – góc A)/2 ∠ AKH = (1800 – góc A)/2 ∆AKH Cân A AK = AH ∆AKC = ∆AHB (Câu a) Yêu cầu học sinh chứng minh vào Cách 2: KH // BC ( Theo định lý đảo Talet) AK AH BK HC BK = CH ( Câu a) AK = AH ( Câu a) Yêu cầu học sinh chứng minh vào Với cách phân tích gợi mở thể giúp học sinh vừa nhớ lại kiến thức học lớp chứng minh tam hai tam giác nhau, chứng hai đoạn thắng song song dựa vào hai góc đồng vị Đồng thời vận dụng kiến thức định lý Talet lớp để chứng minh Ví dụ 2: ( Sách tập toán 7) Cho tam giác ABC có AB Góc CAM hai góc gắn chúng vào tam giác Vậy cần vẽ thêm đường phụ nào? Cách 1: - Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AM tạo D A B C M D Phân tích gợi mở ∠ BAM > ∠ CAM ∠ ADC > ∠ CAM AC > DC ( Trong ∆ADC) ∠ BAM = ∠ ADC ∆ABM =∆DCM ∠ ABM = ∠ DCM ( So le theo cách vẽ).(1) MB = MC ( M trung tuyến) (2) ∠ AMB = ∠ DMC ( đ đ) (3) Cách 2: - Lấy N trung điểm AC vận dụng tích chất đường trung bình tam giác A N B M C - So sánh ∠ MAN với ∠ AMN ∠ BAM > ∠ CAM ∠ AMN > ∠ CAM ∠ ABM = ∠ AMN ( hai góc so le theo cách vẽ) AC/2 > AB/2 MN = ½ AB ( MN đường trung bình ∆ACB MB = MC ( M trung tuyến) MN//AB ( cách vẽ) Ví dụ 3: ( Bài SGK hình 9) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 8cm; AC = 6cm Tính độ dài AH? A B H C M Hướng dẫn: Làm thể để tính đường cao AH Nêu hướng vận dụng hệ thức lượng tam giác vuông để tính AH? Phân tích gợi mở cách tính AH Cách 1: Để tính AH AH = (AC.AB):BC AH.CB = AC.AB ( Hệ thức 3) BC = ( AB + AC ) ( Theo định lý pitago) ABC vuông A Yêu cầu học sinh trình bày lời giải vào Cách 2: Để tính AH 1 2 AH AB AC2 ( Hệ thức 4) AB = cm, AC = cm Cách 3: Để tính AH AH2 = HC.HB ( Hệ thức 2) HC = BC-BH BH = AB2 : BC ( Theo hệ thức 3) BC = ( AB + AC ) ( Theo định lý pitago) ABC vuông A Yêu cầu học sinh trình bày lời giải vào Cách 4: Gọi M trung điểm BC ( MB = MC) Để tính AH AH2 = AM2 – MH2 (ĐL Pi ta go) (1) MH = BH-BM ( Tam giác HAM vuông H) (2) BM = MC = AM = BC BC = ( AB + AC ) ( Theo định lý pitago) ∆ABC vuông A Yêu cầu học sinh trình bày lời giải vào Ví dụ 4: ( Bài 71b – SBT hình 9) Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OB, vẽ đường tròn tâm I qua B cắt đường tròn (I) M cắt đường tròn (O) Chứng minh OC // IM C M A O I B Hường dẫn giải: Để chứng minh OC//IM cần dựa vào kiến thức nào? Giáo viên gợi ý cho học sinh tìm tòi cách chứng minh Cách 1: OC // IM IM đường trung bình tam giác OCB MB = MC ( OM trung tuyến vìTam giác BOC cân O) ∠ OMC = 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Yêu cầu học sinh trình bày lời giải vào Cách 2: OC // IM ∠ OCB = ∠ IMB ∠ OCB = ∠ OBC ( Vi tam giác BOC cân O) ∠ IMB = ∠ OBC ( Vi tam giác BIM cân I) Yêu cầu học sinh trình bày lời giải vào Cách 3: OC // IM ∠ COM = ∠ OMI ( Vị trí so le trong) (1) ∠ IMO = ∠ IOM ( Vi tam giác OMI cân I) (2) ∠ MOI = ∠ COM OM tia phân giác góc OM đường cao tam giác BOC cân tai O Giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh vào Như gợi ý phân tích tìm tòi hướng dẫn học sinh giả nhiều cách khác tập không khó sách giáo khoa sách tập rèn luyện kỹ tư phân tích hình học cho học sinh Như giúp cho học sinh có hứng thú học tập Sau gợi phân tích xong cách làm giáo viên yêu cầu học sinh thực chứng minh giúp cho em tăng thêm kỹ sư phạm trình bày giải chứng minh hình học cách khoa học, logic b.Một số tập nâng cao Đối với tập nâng cao để tìm lời giải cần phải vẽ thêm đường phụ, với cách vẽ khác có cách làm khác Vấn đề người dạy phải biết hướng để tìm cách vẽ đường phụ nào? Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh đường thẳng cắt cạch AB D, Cạnh BC K cắt tia đối tia CA E cho: BD = CE tỉ số KE không đổi KD Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: Để xuất tỉ số KE cần xuất đoạn thẳng song song nào? KD Gợi ý phân tích tìm lời giải: Cách 1: Qua D vẽ đường thẳng DI (I thuộc BC) AC A D B C I K E (1) (2) BD BI KE KD KE không đổi KD KE AB = KD AC AB = AC BD = BI BD DI = AB AC CE = BD KE CE = ( Hệ ĐL Talet) KD CD Cách 2: Qua E kẻ EM //BC A D B C K M E KE không đổi KD KE AB = KD AC MB AB AM AC (1) = = BC // ME CE CE MB CE KE ME (3) = BD = CE KD MC KE ME = ME / BD ( Theo ĐL Talet) KD BD A D C B M K E Cách 3: Qua E kẻ EM //AB ( M thuộc BC) KE không đổi KD KE AB = KD AC KE ME (1) = BD = CE KD CE KE ME = ( Hệ ĐL Talet) KD BD ME AB ME CE (2) = = C ME //AB (Theo cách vẽ) BD AC AB AC Ví dụ 2: ( Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2005-2006) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm AC, đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC D Chứng minh BD = 2.CD Hướng dẫn học sinh tìm lời giải A M I B H D C Cách 1: Kẻ đường cao AH AB cắt BM I Vì BI AD nên I trực tâm tam giác ABD Suy BI AD mà AC AB => DI//CA DC IM IM = = Mà I trọng tâm tam giác ABC => DB IB IB DC = => => BD = 2.DC DB => Cách 2: Từ M kẻ CE//MB ( E thuộc tia AD Ta có IM AM = = (1) EC AC Mặt khác: ∆ AIM => A ∆ BIA IM AI AM = = = IA BI AB M (2) Từ (1) (2) C I IM EC = = EC BI DC = => => DB = 2.DC DB => D E B Ví dụ 3: ( Bài tập 72 trang 29 sách nâng cao & chuyên đề hình học 7) Cho tam giác ABC, Các đường cao BD CE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh KI┴ ED A D E I B K C Hướng dẫn học sinh chứng minh: * Hướng dẫn phân tích gợi mở: Ta thấy KI đường trung tuyển ∆ EKD nên chứng minh cho KI┴ ED ta cần chứng minh ∆ EKD cân K cách EK=KD Lại có EK,KD hai đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vuông EBC, BDC Do để chứng minh EK = KD ta cần chứng minh KE = = BC , KD BC cách áp dụng tính chất : Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạch huyền” Ta hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất sau: 10 Giả sử ∆ ABC vông A có AM trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Ta cần chứng minh AM = BC A C B M D Thật vậy: Qua C kẻ đường thẳng song song với AB Cắt AM kéo dài D Ta có: ∠ ACD = 900 ( CD//AB mà AB┴ AC) ∠ DCM= ∠ MBA (so le trong) ∆ ABM ∆ DCM có: ∠ MBA = ∠ MCD MB = MC, => ∆ ABM = ∆ DCM ( G-C-G) ∠ AMB = ∠ DMC => AB =CD, AM = MD Mà M nằm A D nên AM = MD => AM = AD (1) Mặt khác: Xét hai tam giác vuông ABC CDA có AB = CD ∠ BAC = ∠ DCA = 900 => ∆ABC = ∆ CDA ( C-G-C) => BC = AD (2) AC canh chung Từ (1) (2) => AM = BC Sau hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất để áp dụng cho toán (chỉ áp dụng danh cho ôn học sinh giỏi) học sinh biết cách phân tích chứng minh cách dễ dàng Phân tích gợi mở KI┴ ED KI đường trung tuyến, đường cao ∆ DKE ∆ DKE ( Cân K) KD = KE ( Hai cạch bên nhau) BC ( Áp dụng tích chất GV HD) BC KE = ( Áp dụng tích chất GV HD) KD = Đối với việc ôn thi học sinh giỏi có tính chất cần phải hướng dẫn chứng minh cho em vận dụng kiến thức khung chương trình để chứng minh số tính chất mà em áp dụng vào tập mức độ 11 khó phức tạp Nếu hiểu vận dụng học sinh nhận dạng chứng minh toán cách dễ dàng c Bài tập đề nghị giúp học sinh rèn luyện kỹ Bài tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròng (O;R) tia phân giác góc BAC cắt (O) D (D khác A) Chứng minh OD ┴ BC Bài tập ( Đề thi HSG TP HCM) Trên dây cung AB đường tròn (O) lấy hai điểm A D cho AC = CD = DB Kẻ bán kính OE qua C bán kính qua D Chứng minh AE