Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008Đề IMO năm 2008
Language: Vietnamese Day: 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008 Thứ 4, 16/7/ 2008 Bài Tam giác nhọn ABC có trực tâm H Đường tròn qua H với tâm điểm BC giao với đường BC A1 A2 Tương tự, đường tròn qua H với tâm điểm CA giao với đường CA B1 B2, đường tròn qua H với tâm điểm AB giao với đường AB C1 C2 Chứng minh A1, A2, B1, B2, C1, C2 nằm đường tròn B B B B Bài (a) Chứng minh x2 y2 z2 + + ≥1 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) với số thực x, y, z, số khác 1, thỏa mãn xyz = (b) Chứng minh đẳng thức xNy số vô hạn ba số hữu tỷ x, y, z, số khác 1, thỏa mãn xyz = Bài Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương n cho n2 + có ước nguyên tố lớn 2n + 2n Language: Vietnamese Thời gian: 30 phút Mỗi điểm Language: Vietnamese Day: 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008 Thứ 5, 17/7/ 2008 Bài Tìm tất hàm f : (0,∞) → (0, ∞) (tức là, f hàm từ tập hợp số thực dương vào tập hợp số thực dương) cho ( f ( w) ) + ( f ( x) ) f ( y ) + f (z ) 2 = w2 + x y2 +z2 với số thực dương w, x, y, z mà wx = yz Bài Giả sử n k số nguyên dương với k ≥ n k − n số chẵn Cho 2n bóng đèn đánh số từ đến 2n; bóng sáng tắt Tại thời điểm ban đầu, bóng tắt Xét dãy gồm bước: bước, công tắc bóng đèn bật (từ sáng chuyển thành tắt từ tắt chuyển thành sáng) Giả sử N số dãy mà dãy gồm k bước kết thúc trạng thái: bóng đèn từ đến n sáng, bóng từ n+1 đến 2n tắt Giả sử M số dãy mà dãy gồm k bước kết thúc trạng thái: bóng đèn từ đến n sáng, bóng từ n+1 đến 2n tắt, trình không công tắc bóng từ n+1 đến 2n bật Tính tỉ số N/M Bài Giả sử ABCD tứ giác lồi với |BA| ≠ |BC| Ký hiệu đường tròn nội tiếp tam giác ABC ADC tương ứng qua ω1 ω2 Giả sử tồn đường tròn ω tiếp xúc với nửa đường thẳng BA kéo dài điểm sau A tiếp xúc với nửa đường thẳng BC kéo dài điểm sau C, đồng thời đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AD CD Chứng minh tiếp tuyến chung ω1 ω2 giao điểm nằm đường tròn ω Language: Vietnamese Thời gian: 30 phút Mỗi điểm ...Language: Vietnamese Day: 49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD MADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008 Thứ 5, 17/7/ 2008 Bài Tìm tất hàm f : (0,∞) → (0, ∞) (tức là, f hàm từ tập hợp số thực dương vào tập