Đề IMO năm 2007

Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007Đề IMO năm 2007

Vietnamese version Bản tiếng Việt Ngày thứ 25 tháng năm 2007 Bài Cho trước số thực a1 , a2 , , an Với i (1 ≤ i ≤ n) đặt di = max{aj : ≤ j ≤ i} − min{aj : i ≤ j ≤ n} đặt d = max{di : ≤ i ≤ n} a) Chứng minh rằng, với số thực x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn tùy ý , ta có d max{|xi − | : ≤ i ≤ n} ≥ (*) b) Hãy tồn số thực x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn cho bất đẳng thức (*) trở thành đẳng thức Bài Xét năm điểm A, B, C, D E cho ABCD hình bình hành BCED tứ giác nội tiếp Cho đường thẳng qua A Giả sử cắt miền đoạn thẳng DC F cắt đường thẳng BC G Cũng giả sử EF = EG = EC Chứng minh phân giác góc DAB Bài Trong kỳ thi học sinh giỏi toán có số thí sinh bạn bè Quan hệ bạn bè quan hệ hai chiều Gọi nhóm thí sinh nhóm bạn bè hai người nhóm bạn bè (Một nhóm tùy ý hai thí sinh coi nhóm bạn bè) Số lượng thí sinh nhóm bạn bè gọi cỡ Cho biết rằng, kỳ thi này, cỡ nhóm bạn bè có nhiều người số chẵn Chứng minh xếp tất thí sinh vào hai phòng cho cỡ nhóm bạn bè có nhiều người phòng cỡ nhóm bạn bè có nhiều người phòng Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi điểm Vietnamese version Bản tiếng Việt Ngày thứ hai 26 tháng năm 2007 Bài Trong tam giác ABC, đường phân giác góc BCA cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác R, cắt đường trung trực BC P , đường trung trực AC Q Trung điểm BC K trung điểm AC L Chứng minh tam giác RP K tam giác RQL có diện tích Bài Cho trước a b hai số nguyên dương Chứng minh (4ab − 1) ước số (4a2 − 1)2 a = b Bài Cho n số nguyên dương Xét S = {(x, y, z) : x, y, z ∈ {0, 1, , n}, x + y + z > 0} tập hợp gồm (n + 1)3 − điểm không gian 3-chiều Hãy xác định số nhỏ mặt phẳng mà hợp chúng chứa tất điểm S không chứa điểm (0, 0, 0) Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi điểm ...Vietnamese version Bản tiếng Việt Ngày thứ hai 26 tháng năm 2007 Bài Trong tam giác ABC, đường phân giác góc BCA cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác R,