Đề IMO năm 2013

Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013Đề IMO năm 2013

Language: Vietnamese Day: Thứ Ba, 23 tháng Bảy, 2013 Bài Chứng minh với hai số nguyên dương k n tùy ý, tồn k số nguyên dương m1 , m2 , , mk (không thiết đôi khác nhau) cho 2k −      = 1 + 1+  1 +  1 + n m1  m2   mk   Bài Một tập hợp gồm 4027 điểm mặt phẳng gọi tập Colombia ba điểm điểm thẳng hàng, đồng thời có 2013 điểm tô màu đỏ 2014 điểm lại tô màu xanh Mặt phẳng phân chia thành miền ta kẻ số đường thẳng Một cách kẻ số đường thẳng gọi cách kẻ tốt tập Colombia cho trước hai điều kiện sau thỏa mãn: không đường thẳng qua dù điểm thuộc tập hợp đó; không miền chứa điểm màu đỏ điểm màu xanh Tìm số k nhỏ cho với tập Colombia tùy ý gồm 4027 điểm, tồn cách kẻ k đường thẳng cách kẻ tốt Bài Đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC điểm A1 Điểm B1 CA điểm C1 AB định nghĩa cách tương tự, cách xét đường tròn bàng tiếp góc B góc C, tương ứng Giả sử tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC đường tròn tiếp xúc với đoạn thẳng BC, phần kéo dài phía B cạnh AB phần kéo dài phía C cạnh AC Các đường tròn bàng tiếp góc B góc C định nghĩa cách tương tự Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm Language: Vietnamese Day: Thứ Tư, 24 tháng Bảy, 2013 Bài Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Cho W điểm tùy ý cạnh BC, khác với điểm B C Các điểm M N tương ứng chân đường cao hạ từ B C Kí hiệu ω đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN, gọi X điểm ω cho WX đường kính ω Tương tự, kí hiệu ω đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM, gọi Y điểm ω cho WY đường kính ω Chứng minh điểm X, Y H thẳng hàng Bài Kí hiệu ℚ > tập hợp số hữu tỉ dương Cho f : ℚ > → ℝ hàm số thỏa mãn ba điều kiện sau: (i) với x, y ∈ ℚ > , ta có f(x)f(y) ≥ f(xy); (ii) với x, y ∈ ℚ > , ta có f(x + y) ≥ f(x) + f(y); (iii) tồn số hữu tỉ a > cho f(a) = a Chứng minh f(x) = x với x ∈ ℚ > Bài Cho số nguyên n ≥ Xét đường tròn lấy n + điểm nằm cách đường tròn Xét tất cách ghi số 0, 1, … , n lên điểm lấy cho cách ghi, điểm ghi số số ghi lần Hai cách ghi coi cách ghi nhận từ cách ghi nhờ phép quay quanh tâm đường tròn Một cách ghi gọi đẹp với bốn số tùy ý a < b < c < d mà a + d = b + c, dây cung nối hai điểm ghi a d không cắt dây cung nối hai điểm ghi b c Kí hiệu M số cách ghi đẹp kí hiệu N số cặp có thứ tự (x, y) số tự nhiên thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y ≤ n ƯCLN(x, y) = Chứng minh M = N + Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm  ...Language: Vietnamese Day: Thứ Tư, 24 tháng Bảy, 2013 Bài Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Cho W điểm tùy ý cạnh BC, khác với điểm B C Các điểm