Đề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhấtĐề IMO năm 2017 ngày thứ nhất
Trang 1ĐỀ OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ NĂM 2017
Ngày thi thứ nhất (18/7/2017)
Bài toán 1 Với mỗi số nguyên dương a0 > 1, xác định dãy số a0, a1, a2, sao cho với mọi số
tự nhiên n > 0 thì
an+1=
(√
an nếu√
an∈ Z
an+ 3 nếu ngược lại.
Xác định tất cả các giá trị a0 sao cho tồn tại một số nguyên dương A mà an = A với vô hạn giá
trị tự nhiên của n.
Bài toán 2 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn
f (f (x)f (y)) + f (x + y) = f (xy)
với mọi x, y ∈ R.
Bài toán 3 Có một con thỏ và một thợ săn chơi trò chơi trên mặt phẳng Euclid Con thỏ xuất phát tại điểm A0 còn thợ săn xuất phát tại B0(trùng với A0) Sau n − 1 lượt chơi, vị trí của thỏ
và của thợ săn lần lượt là An−1, Bn−1 Ở lượt thứ n của trò chơi, có ba điều sau đây sẽ lần lượt
xảy ra:
1 Con thỏ di chuyển bí mật đến một điểm An mà khoảng cách từ An−1 đến An là 1.
2 Một thiết bị thăm dò báo vị trí Pncho thợ săn, biết rằng khoảng cách từ Pnđến Ankhông vượt quá 1.
3 Thợ săn di chuyển từ vị trí Bn−1 đến vị trí Bn cách Bn−1 một khoảng là 1.
Hỏi thợ săn có thể luôn chọn được cách di chuyển thích hợp không để sau 109lượt chơi, với mọi cách đi của thỏ và mọi vị trí mà thiết bị thăm dò trả về, đều có thể đảm bảo rằng khoảng cách
từ thợ săn đến thỏ không vượt quá 100?