Đề IMO năm 2016

Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016Đề IMO năm 2016

Language: Vietnamese Day: Thứ Hai, ngày 11 tháng Bảy 2016 Bài Cho tam giác BCF vuông B Gọi A điểm nằm đường thẳng CF cho FA  FB F nằm A C Lấy điểm D cho DA  DC AC phân giác  DAB Lấy điểm E cho EA  ED AD phân giác  EAC Gọi M trung điểm CF Gọi X điểm cho AMXE hình bình hành (AM // EX AE // MX) Chứng minh đường thẳng BD, FX ME đồng qui Bài Hãy tìm tất số nguyên dương n để điền vào ô vuông bảng ô vuông n  n chữ I, M O cho:   hàng cột, có phần ba số ô điền chữ I, phần ba số ô điền chữ M phần ba số ô điền chữ O; đồng thời đường chéo mà số ô vuông nằm đường chéo bội 3, có phần ba số ô điền chữ I, phần ba số ô điền chữ M phần ba số ô điền chữ O Chú ý: Giả sử tất hàng, tất cột, bảng ô vuông n  n đánh số thứ tự số nguyên từ đến n Khi đó, ô vuông bảng tương ứng với cặp số nguyên dương (i, j),  i, j  n Với n  1, bảng có 4n – đường chéo, chia thành hai loại Mỗi đường chéo loại đường gồm tất ô (i, j) mà i + j số; đường chéo loại đường gồm tất ô (i, j) mà i – j số Bài Cho P  A1 A2 Ak đa giác lồi mặt phẳng tọa độ Tất đỉnh A1 , A2 , , Ak có tọa độ nguyên nằm đường tròn Kí hiệu S diện tích P Cho n số nguyên dương lẻ mà bình phương độ dài cạnh P số nguyên chia hết cho n Chứng minh 2S số nguyên chia hết cho n Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm Language: Vietnamese Day: Thứ Ba, ngày 12 tháng Bảy 2016 Bài Một tập hợp số nguyên dương gọi tập hương tập có hai phần tử phần tử có ước nguyên tố chung với phần tử lại Đặt P ( n)  n  n  Hãy tìm số nguyên dương b nhỏ cho tồn số nguyên không âm a để tập hợp {P(a + 1), P(a + 2), … , P(a + b)} tập hương Bài Người ta viết lên bảng phương trình (x – 1)(x – 2)…(x – 2016)  (x – 1)(x – 2)…(x – 2016), với 2016 nhân tử bậc vế Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ để xóa k nhân tử số 4032 nhân tử bậc nêu cho vế lại nhân tử phương trình thu nghiệm thực Bài Trong mặt phẳng, cho n  đoạn thẳng cho hai đoạn thẳng cắt điểm nằm đoạn ba đoạn thẳng đồng qui Với đoạn thẳng, thầy Minh chọn đầu mút đặt lên ếch, cho mặt ếch hướng đầu mút lại Sau thầy vỗ tay n – lần Mỗi lần thầy vỗ tay, ếch nhảy đến giao điểm gần đoạn thẳng Tất ếch không thay đổi hướng nhảy toàn trình nhảy Thầy Minh muốn đặt ếch cho sau lần thầy vỗ tay, hai nhảy đến giao điểm (a) Chứng minh thầy Minh thực ý muốn n số lẻ (b) Chứng minh thầy Minh thực ý muốn n số chẵn Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm ... + b)} tập hương Bài Người ta viết lên bảng phương trình (x – 1)(x – 2)…(x – 2016)  (x – 1)(x – 2)…(x – 2016) , với 2016 nhân tử bậc vế Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ để xóa k nhân tử số 4032 nhân...Language: Vietnamese Day: Thứ Ba, ngày 12 tháng Bảy 2016 Bài Một tập hợp số nguyên dương gọi tập hương tập có hai phần tử phần tử có ước nguyên tố chung