Cong thuc sac xuat thong ke

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ  Tổ hợp : Cnk = n! (n − k )!k !  Xác suất biến có A định nghĩa :P(A)= số phần tử A / số phân tử Ω  ≤ P(A) ≤ ; P ( Ω ) =1 ;  Xác suất có điều kiện : P( A B) = P(0) = ; P ( AB ) (xác suất ciến cố A biết biến cố P( B) B xảy ra) P ( AB ) P( A ) = → P ( AB ) = P( B ).P( A ) = P( A).P( B ) B B A P( B)  Xác suất đầy đủ : Cho Ω = ( A1 , A2 , A3 , An , ) họ đầy đủ không gian mẫu F la biến cố  P(F) = P(F/A1).P(A1) + P(F/A2).P(A2)… + P(F/An).P(An)  Công thúc Bayes: P   A1  = P ( A1 ) P( F ) F÷ A1  P( F ) ; ( P(F)  xác suất đầy đủ ) X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: X X1 P P1  Kỳ vọng X : X3 X4 X3 P2 P3 E(X) = x1P1 + x2P2 + x3P3 + …xkPk P4  Kỳ vọng X2 : E(X2) = x12 P1 + x22 P2 + x32 P3 + xk2 Pk  Phương sai X : Var (X) = E(X2) – (E(X))2 X đại lượng ngãu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) :  Hàm phân phối X định nghĩa: F ( X ) = +∞ ∫ −∞  Xác suất X khoảng: f ( x).d ( x ) b P (a < x < b) = ∫ f ( x).d ( x ) a a≤ x≤b a< x≤b a≤ x≤b  Kỳ vọng X: E ( X ) = +∞ ∫ x f ( x).d ( x) −∞  Kỳ vọng X : E ( X ) = +∞ ∫ x f ( x).d ( x) −∞  Phương sai X: Var (X) = E(X2) – (E(X))2  Độ lệch chuẩn X: σ ( X ) = Var( X ) Các định lí tính kì vọng phương sai  Định lý 1: E (C ) = C E ( X ± Y ) = E ( X ) ± E (Y ) E (C X ) = C.E ( X )  Định lý 2: Var(C ) = Var(C X ) = C Var( X ) Var( X + C ) = Var( X ) Cặp biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời f(x.y)  Hàm mật độ lề x: f X ( x) = +∞ ∫ f ( x y ).d ( y ) −∞  Hàm mật độ lề y: fY ( x) = +∞ ∫ f ( x y ).d ( x) −∞ Các quy luật phân phối xác suất  Phân phối nhị thức: X : B (n, p ) ( p: xác suất biến cố quan tâm)  P( X = k ) = Cnk p k (1 − p)n − k  Phân phối chuẩn : X : N ( µ , σ ) ( µ: kì vọng E(X) ; σ: phương sai Var(X) ) X ∈ N ( µ1 , σ 12 ), Y ∈ N ( µ , σ 22 ) → a.X+b.Y ∈ N(aµ1 + bµ2 , a 2σ 12 + b 2σ 22 ) β −µ α −µ ) −φ( ) σ σ  P (α < X < β ) = φ (  P( X < α ) = α −µ +φ( ) σ  P( X > α ) = α −µ −φ( ) σ  α P ( X − µ < α ) = 2.φ ( ) σ Một vài tính chất xác suất:  Hai biến cố A B độc lập : P(A/B) = P(A) ; P(B/A) = P(B)  tức xảy hay không biến cố không ảnh hưởng tới biến cố A B độc lập P(A.B) = P(A).P(B) A,B C không độc lập P(AB) = P(B).P(A/B) P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB)  Biến cố A B xung khắc : A∩ B =φ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )  A,B, C xung khắc đôi : P( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P(C )  A B bất kỳ: • P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P ( AB ) • P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC ) • P ( A) = − P ( A)