MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Tổ hợp : !
( )! !
k n
n C
n k k
=
−
Xác suất của biến có A được định nghĩa :P(A)= số phần tử của A / số phân tử của
Ω
0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P (Ω) =1 ; P(0) = 0 ;
Xác suất có điều kiện : ( ) ( )
( )
P AB A
P B
P B
= (xác suất của ciến cố A khi biết biến cố
B đã xảy ra)
( )
P AB
P B
Xác suất đầy đủ :
Cho Ω =(A A A1, 2, ,3 A n,) là họ đầy đủ không gian mẫu và F la 1 biến cố bất kì
P(F) = P(F/A1).P(A1) + P(F/A2).P(A2)… + P(F/An).P(An)
Công thúc Bayes: 1 1
1
( )
( )
P A
P F
; ( P(F) xác suất đầy đủ )
X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:
Kỳ vọng của X : E(X) = x1P1 + x2P2 + x3P3 + …xkPk
Kỳ vọng của X2 : E(X2) = 2 2 2 2
1 1 2 2 3 .3 k k
x P x P+ +x P +x P
Phương sai của X : Var (X) = E(X2) – (E(X))2
X là đại lượng ngãu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) :
Hàm phân phối của X được định nghĩa: F X( ) f x d x( ) ( )
+∞
−∞
= ∫
Xác suất của X trong khoảng:
Trang 2( ) ( ) ( )
b
a
P a x b f x d x
a x b
a x b
a x b
< < =
≤ ≤
< ≤
≤ ≤
∫
Kỳ vọng của X: E X( ) x f x d x ( ) ( )
+∞
−∞
= ∫
Kỳ vọng của X2: E X( 2) x f x d x2 ( ) ( )
+∞
−∞
= ∫
Phương sai của X: Var (X) = E(X2) – (E(X))2
Độ lệch chuẩn của X: σ( )X = Var( )X
Các định lí tính kì vọng và phương sai
Định lý 1:
( )
( ) ( )
E C C
E X Y E X E Y
E C X C E X
=
=
Định lý 2:
2
ar( ) 0
ar( ) ar( )
V C
V C X C V X
=
=
Cặp biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời f(x.y)
Hàm mật độ lề của x: f x X( ) f x y d y( ) ( )
+∞
−∞
Hàm mật độ lề của y: f x Y( ) f x y d x( ) ( )
+∞
−∞
= ∫
Các quy luật phân phối xác suất
Phân phối nhị thức:
( , )
X : B n p ( p: xác suất của biến cố quan tâm)
Trang 3 ( ) k k(1 )n k
n
P X =k =C p −p −
Phân phối chuẩn : X : N( , )µ σ ( µ: kì vọng E(X) ; σ: phương sai Var(X) )
P(α X β) φ(β µ) φ(α µ)
2
σ
−
2
σ
−
P X( µ α) 2 ( )φ α
σ
Một vài tính chất của xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập nếu : P(A/B) = P(A) ; P(B/A) = P(B) tức sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng tới biến cố kia
A và B độc lập P(A.B) = P(A).P(B)
A,B và C không độc lập P(AB) = P(B).P(A/B)
P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB)
Biến cố A và B xung khắc :
A B
P A B P A P B
φ
∩ =
A,B, và C xung khắc từng đôi : P A B C( ∪ ∪ )=P A( )+P B( )+P C( )
A và B bất kỳ:
( ) 1 ( )
P A B P A P B P AB
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
P A P A