Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh quảng ninh năm học 2016 2107(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng A Ngày thi: 03/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Bài (3,5 điểm) x 4 3 x x 2 (với x  0; x  16; x  1)   x5 x  x 4 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A  Cho biểu thức A  Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  x  x x    x   x  y  xy  5 b) Giải hệ phương trình:  2 3x  y  xy  y  Bài 3: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: 1) n  số phương 2) n  số phương 3) n chia hết cho Bài 4: (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A điểm cố định nửa đường tròn ( A  B; C ), D điểm chuyển động AC Hai đoạn thẳng BD AC cắt M, gọi K hình chiếu M BC a) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK b) Khi D di chuyển AC ( D  C ), chứng minh đường thẳng DK qua điểm cố định c) Đường thẳng qua A, vuông góc với BC cắt BD E Chứng minh BD.EM AM có giá trị không đổi D di chuyển AC ( D  A ) Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức A  x   14 x  15x với 1  x  15 -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (BẢNG A) (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Bài A Câu a 2,0 đ Bài 3,5đ  Điểm Sơ lược giải x 4 3 x x 2   x 4 x 1 x 4 x 1  x   2  x  3 x  1   x     x  4 x  1  x  13 x  1  x  =  x  1 x  4 x  x 4  1,0 1,0 x 1 x 5 1   0 x 4 x 4 Câu b 1,5 đ Có x   x 5   x    x    x  16 Nên x 4 Kết hợp với điều kiện xác định ta tìm  x  16; x  A 1 (nếu không đủ kq  x  16; x  không cho điểm bước này) ĐK: x  3 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 x2  2x  2x x    x   x2  x x   x   x  x   12    x x3 Bài 5,0đ   x   x   12   x   4  x  x  x 3  x  x 3 3     x    x    0,5 1  2 Câu a 2,5 đ Giải (1): Ta có x  3  VP  4  x  1, VT  Vậy (2) vô nghiệm x  Giải (2): (2)   x   x  6x  x   x2  6x   x2  x   x1  ( nhận); x2  (loại) Vậy phương trình có nghiệm x  0,5 0,5 0,75 3x  y  xy  y   x   x  y   y   x  x    x  y   4( x  y )    x  1 =  x  y   0,5 (nếu hs đưa pt bậc hai ẩn y tham số x tính  0,5đ) 2 x   x  y  x  y 1    x    x  y   y   3x TH1: x  y  thay vào pt x  y  xy  5 ta có y2 + y + = Câu b 2,5đ    4.4  nên phương trình vô nghiệm TH2: y   3x thay vào pt x  y  xy  5 ta có 3x2  x     97  97  y1   x1   = (-1)2 + 4.3.8 = 97 >     97  97  y2   x2   Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là:   97  97    97  97  ; ;   ;  6     Giả sử tìm n thỏa tc3 ta chứng minh n không thỏa tính chất 1; n  n  n  chia cho dư 2, mà số phương chia cho dư 1(*)  n  số phương n không thỏa tc1 0,5 0,5 0,75 0,25 0,5 n  n 3 n 3 n mà không chia hết cho  n  không chia hết cho Bài 2,5đ Mà số phương chia hết cho chia hết cho 9(**) nên n  không số phương n không thỏa tc2 n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết (hs cần chứng minh (*) (**) không chứng minh trừ 0,25 đ cho hai phần này) Ta tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ làm phần mà không lập luận phần trên) n   p Đặt  (p; k  N)  p2  k  11  ( p  k )( p  k )  11 n   k 0,75 0,5 Do p,k N  p  k  N ; p  k  Z ; p  k  p  k ;  p  k  11  p   p  k 1 k  Kết hợp với (1)   Vậy n  28 (hs làm tập cách xét 3TH TH tc; phần 0,75đ) 0,5 0,25 D A M E B K O C Câu a 2đ I a Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK 0,5 ADB  ACB Bài 7,0đ (hai góc nội tiếp (O) chắn AB )  MDK  MDA hay DM phân giác tam giác ADK Tương tự chứng minh AM phân giác tam giác ADK Vậy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK b Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK I 1,0  AI MK  IAC  KMC 0,5 Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC  KDC 0,5 Câu b Vậy IAC  IDC  tứ giác ADCI nội tiếp hay I   O cố định, 2,5đ mà I  đường thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định Vậy I cố định hay DK qua I cố định  c Có: EAM  KDC , AME  DKC  DMC Bài c 2,5đ hai tam giác KDB KCA có 1,0 DK DB   KC CA BD.EM AM DB BD.EM   CA  số Vậy  Vậy không AM ME CA AM phụ thuộc vào vị trí D cung AC A  3x  9( x  1)(1  15x) với 1  x  có 9( x  1)   15x  15 1,0 KCA  KDB , KAC  KBD  hai tam giác KDB KCA đồng dạng A  x   14 x  15x  x  ( x  1)(1  15x) Bài 2,0đ 0,5  AM DK  Vậy hai tam giác AEM DCK đồng dạng  ME KC Xét 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số 9( x  1)  15x không âm Có 9( x  1)  (1  15 x) 9( x  1)(1  15 x)    3x A  3x   3x  A   A  Dấu “=” xảy 9( x  1)   15 x  24 x  8  x  Vây giá trị lớn A 0,5 0,25 1 1 đạt x  3 0,25 0,25 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác cho điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết Có thể chia nhỏ điểm thành phần không 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm toàn chấm, không làm tròn Hết ...SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (BẢNG A) (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Bài... 5 ta có 3x2  x     97  97  y1   x1   = (-1)2 + 4.3.8 = 97 >     97  97  y2   x2   Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là:   97  97    97  97  ; ;   ;  6  ... Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số 9( x  1)  15x không âm Có 9( x  1)  (1  15 x) 9( x  1)(1  15 x)    3x A  3x   3x  A   A  Dấu “=” xảy 9( x  1)   15 x  24 x  8  x 