Ebook giáo trình đa thức và nhân tử hóa phần 1

Đại học Huế Trung tâm đào tạo từ xa GVC Lấ THANH H GIO TRèNH đa thức nhân tử hóa (Tỏi bn ln th nht) NH XUT BN I HC HU LI NểI U Trong giỏo trỡnh ny, chỳng tụi xem nh ngi hc ó cú sn nhng kin thc cn thit v cu trỳc vnh v cỏc kiu vnh nh nguyờn, th, trng Trong chng I, vnh a thc s c nh ngha v xõy dng nh mt cỏch m rng ca vnh Vnh c s (vnh cỏc h t) ca a thc khụng nht thit l vnh giao hoỏn, ch cn cú phõn t n v Bng cỏch ú, ngi ta cú th núi n a thc trờn mt vnh cỏc phộp bin i ca khụng gian, trờn vnh cỏc ma trn vuụng, hoc trờn mt th nh th cỏc quatecnion Trng hp vnh c s l vnh giao hoỏn, d nhiờn ngi ta cú i s cỏc a thc Vnh a thc theo mt bin siờu vit hay nhiu bin c lp i s thc l nhng kiu vnh t trờn mt hp phn t sinh, vi tớnh cht ph dng ca ng cu nhỳng vnh vo vnh cỏc a thc i vi vnh a thc theo mt bin, ngoi phộp cng v phộp nhõn ca mt vnh, cũn cú phộp chia a thc thc hin c di mt vi iu kin Hm a thc v nghim ca a thc cng c chỳ trng n Nhiu tớnh cht ca a thc theo mt bin c suy rng cho a thc theo nhiu bin Nhng i vi a thc theo mt s hu hn hn bin, cỏc a thc i xng l phn ch yu v lý thuyt cng nh v ng dng Cỏc cụng thc Newton c a vo tng cng phng phỏp biu th a thc i xng theo cỏc a thc i xng s cp, qua trung gian mt lp a thc i xng ng cp c bit Chng II trc ht trỡnh by mt lý thuyt tng quỏt v nhõn t húa trờn nhng nguyờn Nhúm cỏc phn t kh nghch v lp cỏc iờan chớnh ca nguyờn c s dng nh ngha quan h liờn kt, cỏc phn t bt kh quy v khỏi nim c chung ln nht Sau ú i vo nh ngha v kho sỏt cỏc nguyờn Gauss (min nguyờm vi dng nhõn t húa nht) v cỏc dng c bit ca nú nh nguyờn chớnh, nguyờn Euclid, kho sỏt cỏc tớnh cht c trng ca mi kiu nguyờn ny cng nh mi quan h gia chỳng vi Phn cui chng II dnh kho sỏt cỏc nguyờn a thc cú h t cỏc nguyờn hay cỏc trng s thụng dng Trong mi chng, sau mi xon Đ, u cú mt s bi ỏp dng Cui mi chng cú mt s Bi tng hp, nhm b sung nhng lớ thuyt, chỳng cng cú th gi ý cho nhng ti lm bi ln Mt s ti c hng dn, gii ỏp; nhiờn, i vi phn nhiu bi vic gii v trin khai chi tit thng c dnh cho c gi L.T.H K HIU THễNG DNG Kớ hiu Ngha ca kớ hiu C N Q R Z Zn A[u] A[x] bc Trng cỏc s phc Tp hp cỏc s nguyờn t nhiờn Trng cỏc s hu t Trng cỏc s thc Vnh cỏc s nguyờn Vnh cỏc s nguyờn mod.n Vnh a thc theo mt bin u bt kỡ Vnh a thc theo mt bin x siờu vit Bc ca a thc f I.3 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 Hm a thc tng ng vi a thc f 1.2 A[u1,,ur] A[x1,,xr] s1,,sr f(n) aD, (a) a|b a~b (a, b) [a, b] (D, ) Z[i] p (x) Vnh a thc theo r bin bt k Vnh a thc theo r bin c lp i s Cỏc a thc i xng s cp o hm bc n ca a thc f Iờan chớnh sinh bi a a l c ca b a liờn kt vi b c chung ln nht ca a v b Bi chung nh nht ca a v b Min nguyờn Euclid Vnh cỏc s nguyờn Gauss a thc chia ng 1.4 1.5 1.5 1.6 II.1 II.1 II.1 II.1 II.1 II.3 II.3 II.5 z Liờn hip ca s phc z Trng quadratic Vnh s nguyờn quadratic II.5 II.6 II.6 f Q[d] J(d) Chng I VNH A THC Trờn c s cu trỳc vnh, nhng a thc theo mt s hu hn bin s c kho sỏt; núi rừ hn, ta s cp n vnh a thc theo mt bin v vnh a thc theo nhiu bin Cu trỳc ca vnh a thc theo mt bin 1.1 Vnh cỏc a thc theo mt bin ca mt vnh Cho mt vnh B, mt vnh A ca B v mt phn t u B, ta xem xột vnh ca B sinh bi b phn A {u} bi toỏn c n gin, ta gi thit vnh B, vnh A v phn t u tha cỏc iu kin sau õy: i) Vnh B cú phn t n v 1B ii) 1B A iii) au = ua vi mi a A Vnh ca B sinh bi A {u} s c kớ hiu l A[u] Dng ca mi phn t thuc vnh c biu th theo cỏc phn t ca b phn sinh, cho thy cn phi xột cỏc phn t ca B cú dng a0 + a1u + + anun = n aiui, A (1) i0 nh ngha 1: Mt phn t ca vnh B cú dng (1) c gi l mt a thc theo bin u v cú h t thuc vnh A Mnh : Vnh A[u] ca vnh B l hp tt c cỏc a thc theo bin u cú h t thuc vnh A Chng minh : t P(A, u) l hp cỏc phn t ca B cú dng mt a thc nh (1) Ta cn chng minh P(a,u) = A[u] Hin nhiờn P(A,u) A[u] cú ng thc ta cn chng t P(A, u) l mt vnh ca B cha A v u D nhn thy A P(A, u) v u P(A, u) Ly hai phn t bt k ca P(A, u) n f = aiui, n g= i0 i0 aiui Khụng mt tớnh tng quỏt ca lp lun, ta cú th gi thit m n (xem am+1 = = an = 0B), tng ca chỳng cú th vit : n f + g = (ai + ai) ui (2) i0 ú f + g P(A, u) Cũn tớch ca chỳng cú th vit nm f.g = p i ui i0 ú, vi mi i, pi = a0ai + a1ai-1 + + ai-1a1 + aia0 = ajak A, (3) j k i cho nờn fg P(A, u) Ngoi ra, vi mi phn t f = u), cú phn t - f = n i0 n i0 aiui P(A, (-ai)ui cho f + (-f) = 0B Vy P(A, u) l mt vnh ca B cha A {u}, ú cha vnh A{u} Túm li, P(A, u) = A[u] v mnh c chng minh Nu xy B = A[u] vi mt vnh A ca B v mt phn t u B, ta núi B l mt vnh a thc theo bin u cú h t thuc vnh A n Nu mt a thc i0 aiui A[u] cú tt c cỏc h t = 0B thỡ a thc y bng 0B Ngc li, xột cỏc a thc ca A[u] bng 0B, ta cú hai trng hp tng ng vi cỏc nh ngha sau õy ca bin u: nh ngha 2: Trong vnh a thc A[u] 1) u gi l i s i vi vnh A nu A[u] cú mt a thc n i0 aiui = 0B vi cỏc h t khụng bng 0B tt c 2) u gi l siờu vit i vi vnh A, nu u khụng phi l i s i vi A, tc l nu vi mi a thc n i0 aiui A[u], n i0 ui = 0B kộo theo = 0B vi mi i Mnh 2: Nu bin u siờu vit vi vnh A, thỡ dóy cỏc h t a0, a1,,an ca mi a thc n i0 aiui A[u] cú tớnh nht Chng minh: Tht vy, gi s f A[u] cú th vit f = n i0 ui = n i0 aiui ta suy : n i0 (ai ai) ui = v vỡ u siờu vit i vi A, ta cú a i a i = tc l = a i vi mi i = 0,,n iu ny chng t dóy cỏc h t a0, a1, , an ca f cú tớnh nht BI TP: (1) Chng minh rng vnh Z[ ] (cỏc a thc theo bin u = cú h s nguyờn) ca trng R l b phn cỏc s thc cú dng m + n vi m, n Z (2) Chng minh rng vnh Z[ ] ca R cha hn b phn cỏc s thc cú dng m + n vi m, n Z (3) Chng minh rng s thc u = - l i s i vi vnh Z cỏc s nguyờn 1.2 Nhỳng mt vnh vo a thc theo mt bin siờu vit Cho mt vnh A vi phn t n v 1A Ta tỡm cỏch nhỳng A vo mt vnh A[x] cỏc a thc cú h t thuc A v theo mt bin x siờu vit i vi A Theo 1.1 Mnh 2, mi a thc ca vnh A[x] c xỏc nh bi dóy cỏc h t nht ca nú, tc l mt dóy vụ hn (a0, a1, , an, 0A, ) phn t ca A, hu ht bng 0A ngoi tr mt s hu hn Vỡ th xõy dng A[x], ta xột hp B = A(N) cỏc ỏnh x f : N A t hp cỏc s t nhiờn 0, 1, 2, vo vnh A cú giỏ tr f (i) = hu ht bng 0A ngoi tr mt s hu hn i N Trờn hp B = A(N) ta s nh ngha cỏc phộp toỏn cng v nhõn nh sau, vi f, g B ta cú phn t f + g B nh bi (f + g)(i) = f(i) + g(i) vi mi i N (1) Cú th kim chng B cựng phộp cng (f, g) f = g l mt nhúm aben Phn t 0B ca nhúm cng ny l ỏnh x 0A : N A nh bi 0A (i) = 0A vi mi i N Cũn mi f B cú phn t i l ỏnh x (-f): N A cho bi (-f)(i) = - f (i) vi mi i N Vi f, g B, ta li cú phn t fg B cho bi (f g)(i) = f(j)g(k), vi mi i N (2) j k i tng v sau c ly vi mi cp j, k N cho j + k = i Phộp nhõn (f, g) f g trờn B cú tớnh kt hp; Tht vy, vi bt k f, g, h B v vi mi i N, mt mt ta cú [f(gh)](i) = f(j) g(k)h(l) = f(j)g(k)h(l), mt khỏc [f(gh)](i) = j ( k l ) i k l m j m i f(j)g(k) h(l) = j k m m l i f(j)g(k)h(l) ( j k ) l i cho nờn [f(gh)](i) = [(fg)h](i) Vy f(gh) = (fg)h T cỏc cụng thc nh ngha, cng cú th kim chng phộp nhõn trờn B phõn phi i vi phộp cng trờn B Vy B cựng phộp cng (f, g) f + g v phộp nhõn (f, g) f g nh ngha trờn õy l mt vnh Vnh B ny cú phn t n v, ú l ỏnh x 1B = 1A : N A nh bi (3) (0) = 1A v (i) = 0A vi mi i A A Mt cỏch tng quỏt, vi mi phn t a A ta cú phn t a B ú l ỏnh x a : N A nh bi a (0) = a v a (i) = 0A vi mi i (4) Vỡ bt kỡ a, a A, ta cú a = a nu v ch nu a = a cho nờn s tng ng a a l mt n ỏnh x jA: A B Hn na theo phộp cng v phộp nhõn trờn B, vi mi a, a A jA(a + a) = a+a = a + a = jA(a) + jA(a) jA(aa) = aa = aa = jA(a) jA(a) ngoi jA(1A) = 1a = 1B, nờn a a l mt cu vnh jA: A B chuyn n v thnh n v Vy A ng cu vi vnh ImjA = {a B|a A} ca B ng nht A vi cnh ImjA ca A, tc l ng nht mi a A vi a B (khi ú 0A c ng nht vi 0B = OA v 1A c ng nht vi 1B = 1A) cho chỳng ta nhỳng A vo vnh B Núi mt cỏch khỏc vnh B cha A nh mt vnh v n v ca A cng l n v ca B Bõy gi ta ý n phn t x B ú l ỏnh x x : N A nh ngha bi x (1) = 1A v x(i) = 0A vi mi i (5) Vỡ a ng nht vi a v theo phộp nhõn trờn B, ta cú (ax)(1) = (ax)(1) = a v (ax)(i) = (ax)(i) = 0A vi mi i v (xa)(1) = (xa)(1) = a v (xa)(i) = (xa)(i) = 0A vi mi i cho nờn ax = xa vi mi a A Do ú, theo 1.1 ta cú vnh A[x] ca B, gm cỏc a thc theo bin x cú cỏc h t thuc vnh A v B Ngoi ra, ý vi mi s nguyờn q 0, ly tha bc q ca x q B l ỏnh x x : N A nh bi xq(q) = 1A v xq(i) = 0A vi mi i q v vi mi a A, ta cú phn t axq = xqa B, ú l ỏnh x N A nh bi (axq)(q) = a v (axq)(i) = 0A vi mi i q Do ú, vi mi phn t f B, vỡ f(0) = a0, , f(n) = an v f(i) = 0A vi mi i > n cho nờn theo cỏc phộp toỏn trờn B, ta cú th vit f = a0 + a1x ++anxn, A (hai v l ỏnh x N A cú giỏ tr ti mi i N bng nhau); iu ny chng t B = A[x] Hn na, bin x siờu vit i vi A, tht vy vi mi a thc f = a0 + a1x ++anxn B = A[x] vỡ f(i) = vi mi i = 0, 1,,n cho nờn f = a0 + a1x ++ anxn = 0B kộo theo a0 = a1 = = an = 0A Vy ta cú nh lý 3: Mi vnh A cú phn t n v u nhỳng c vo mt vnh A[x] cỏc a thc cú h t thuc A theo mt bin x siờu vit i vi A Sau ny, n cu vnh jA: A A[x] nh bi jA (a) = a vi mi a A s c gi l ng cu bao hm BI TP: (1) Trờn B = A(N) kim chng phộp nhõn (2) phõn phi i vi phộp cng (1) (2) Trỡnh by li chng minh ca nh lý 3, bng cỏch kớ hiu mi f B = A(N) nh l mt dóy f = (a0, a1,,) phn t ca A 1.3 Tớnh cht ph dng ca vnh a thc A[x] Cho A l vnh vi n v 1A, vnh a thc A[x] theo bin x siờu vit i vi A v ng cu bao hm jA : A A[x] cú tớnh cht sau õy nh lý 4: Vi mi vnh B cú n v 1B v ng cu vnh h: A B cho h(1A) = 1B v mi phn t u B kh hoỏn vi mi phn t ca nh Imh, tn ti mt ng cu vnh nht h : A[x] B cho h o jA = h v h (x) = u Chng minh: vỡ x siờu vit i vi A, mi phn t ca A[x] cú dng nht f = n i aixi, a i A Mt khỏc, vi ng cu vnh h : A B nh A = Imh = {a=h(a)|a A} l mt vnh ca B: vỡ 1B = h(1A) A v ua = au vi mi a = h(a) A ta cú vnh A[u] cỏc a thc theo bin u cú h t thuc A ca B Hin nhiờn quy tc tng ng n f= aixi h (f) = i n h(ai)ui i l mt ỏnh x h : A[x] B Hn na, phộp cng v phộp nhõn a thc cho kim chng c : h (f + g) = h (f) + h (g) v h (fg) = h (f) h (g) vi bt k f, g A[x] Cho nờn h l mt ng cu vnh cú nh Im h =A[u] Ngoi ra, vi mi a A, h (a) = h(a), nờn ta cú ho jA = h, hn na h(x) = h (1Ax) = 1Bu = u Bõy gi gi s mt ng cu vnh h: A[x] B cho ho jA = h v h(x) = u; ú vi mi f = n i0 h(ai)h(x)i = n i0 n i0 aixi A[x] vỡ h(f) = h(ai)ui = h(f) cho nờn h = h iu ny chng minh ng cu h l nht 10 H qu 1: Nu A[x] l mt vnh cỏc a thc theo bin x siờu vit i vi vnh A v A[u] l mt vnh ca a thc theo bin u (bt k i vi vnh A), thỡ mi ton cu vnh h: A A cú th m rng c thnh mt ton cu vnh nht h : A[x] A[u] cho h (x) = u cú h qu, ta ỏp dng nh lý ú ly vnh B = A[u] cỏc a thc theo bin u cú h t thuc vnh A H qu 2: Nu A[x] l mt vnh cỏc a thc theo bin x siờu vit v A[u] l mt vnh cỏc a thc theo bin u bt kỡ, thỡ mi ng cu vnh A A kộo theo ng cu vnh A[x] / I A[u] Trong ú I l mt iờan ca A[x] cho A I = {0A} Tht vy theo H qu 1, ng cu vnh h : A A m rng c thnh mt ton cu vnh h : A[x] A[u], v theo nh lý ng cu ta cú ng cu A[x] / Kerh A[u], ú I = Ker h l mt iờan ca A[x] cho I A = Kerh = {0A} H qu 3: Nu A[x] l vnh cỏc a thc theo bin x siờu vit i vi A v A[y] l vnh cỏc a thc theo bin y siờu vit i vi A, thỡ mi ng cu vnh A A cú th m rng c thnh mt ng cu vnh nht A[x] A[y] i x thnh y Tht vy, theo h qu 1, ng cu vnh h : A A m rng c thnh mt ton cu vnh nht h : A[x] A[y] cho h (x) = y; vi mi a thc f = n i n i0 aixi A[x], ta cú h (f) = h(ai)yi = 0A, kộo theo h(ai) = 0A tc l = 0A vi mi i = 1, , n vỡ h l ng cu v vỡ y siờu vit i vi A Do ú Ker h = {0} v h l mt ng cu c bit, vi A = A v h l t ng cu ng nht ca vnh A thỡ cỏc ng cu vnh h qu v h qu tr thnh: A[x] / I A[u] ú bin x siờu vit, bin u bt k i vi A, v I l iờan ca A[x] cho I A = {0A}; cũn A[x] A[y] ú bin x v bin y u l siờu vit i vi A 11 Mnh 11 : Nu F l mt trng v p l mt a thc bt kh quy ca vnh F[x] vi bc p = n, tn ti mt trng K cú cỏc tớnhh cht : i) K cha F nh mt trng ii) K cha mt nghim u ca a thc p, iii) Trng K c sinh bi F v u, v mi phn t ca K cú th t di dng mt a thc nht theo u vi h t thuc F v cú bc n-1 Chng minh: Vỡ p l mt a thc bt kh quy ca nguyờn chớnh F[x] nờn iờan sinh bi p ca F[x] l iờan ti i Do ú vnh thng K = F[x]/(p) l mt trng Gi : F[x] F[x]/(p) = K l ton cu chớnh tc f f + (p); thu hp ca vo F l mt ng cu trng : F K cho nờn l mt n cu v F ng cu vi trng Im = (F) ca trng K ng nht F vi Im tc l ng nht mi a F vi a + (p) K, ta cú K cha F nh mt trng Tr li ng cu vnh : F[x] F[x]/(p) = K; t u = (x) = x + (p) K, vỡ (a) = (a) = a vi mi a F v (p) = (p) = K nờn K ta cú ~ p (u) = ~ p ( (x)) = (p) = K núi cỏch khỏc u l mt nghim ca a thc p K Ngoi ra, vỡ l ton cu, mi phn t ca K cú dng (f) vi mt a thc f F[x]; nhng ta cú th vit (f) = (f(x) ) = f ((x)) = f(u), tc l mt a thc theo u vi h t thuc F Vy K = F[u], mt vnh a thc theo bin u K vi h t thuc vnh F ca K, ngha l K c sinh bi F v u Hn na, vỡ mi a thc f F[x] cú th t di dng f = pq + r vi mt a thc nht r F[x], nu khỏc 0, cú bc r < bc p = n, nờn (f) = (pq + r) = (r) = r(u) F[u] iu ny chng t mi phn t ca K = F[u] cú th vit thnh mt a thc nht r(u) theo bin u vi h t thuc F, v nu r(u) thỡ bc r n-1 90 Trng K sinh bi mt trng F v mt nghim ca a thc bt kh quy p F[x] cú tớnh nht theo ngha sau õy Mnh 12: Nu F[u] v F[v] l cỏc trng sinh bi trng F v theo th t bi cỏc nghim u v v ca cựng mt a thc bt kh quy p F[x] thỡ F[u] ng cu vi F[v] (qua mt phộp ng cu gi bt bin mi a F v chuyn u thnh v) Chng minh: Vi nghim u ca a thc bt kh quy p F[x], theo tớnh ph dng ca cỏc vnh a thc (1.Đ1.3), t ng cu ng nht ca trng F cú th m rng thnh mt ton cu vnh nht hu: F[x] F[u] cho hu(x) = u; ú theo nh lý c bn v ng cu vnh, hu cm sinh ng cu u : F[x] / Kerhu F[u] Nhng vỡ hu(p) = p(u) = theo gi thit u l nghim ca p, nờn p Kerhu v ú iờan (p) Kerhu; hn na vỡ (p) l iờan ti i ca vnh chớnh F[x], ta cú (p) = Kerhu Vy vi nghim u ta cú ng cu u : F[x] / (p) F[u] (6) cho v(a + (p)) = a vi mi a F v v (x + (p)) = u Tng t, vi nghim v ca p F[x], ta cú ng cu v: F[x] / (p) F[v] cho v(a + (p)) = a vi mi a F v v (x + (p)) = v Do ú tn ti ng cu = vou-1 : F[u] F(v) nht cho (a) = a vi mi a F v (u) = v Núi mt cỏch tng minh, nu a thc bt kh quy p F[x] cú bc n thỡ theo Mnh 10, mi phn t ca F[u] cú dng nht a0 + a1u ++an-1un-1, F cho nờn ng cu : F[u] F(v) chớnh l s tng ng a0 + a1u ++an-1un-1 a0 + a1v ++an-1vn-1 (7) Trc núi n mt kt qu cn thit na, ta cú chỳ ý sau õy: Gi s F l mt trng ca trng K; theo tớnh ph dng, n cu bao hm j : F K m rng c thnh mt n cu nht jF : F[x] K[x] so cho jF(x) = x Do ú mt a thc f = a0 + 91 a1x ++ anxn F[x] vit c nh mt a thc jF(f) = a0 + a1x ++ anxn K[x], v ngc li, mt a thc g K[x] cú h t thuc F c xem nh mt a thc ca F[x] Vi cỏch ký hiu ny, Mnh 10 cho ta núi rng: Nu F l mt trng v p l mt a thc bt kh quy ca vnh F[x], thỡ tn ti mt trng K cha F nh mt trng con, cho vnh K[x] a thc p cú mt c bc 1, tc l cú u K p = (x u)g, g K(x) Tng quỏt hn ta cú Mnh 13 : Nu F l mt trng v f l mt a thc ca vnh F[x], vi bc f = n > 0, thỡ tn ti mt trng K cha F nh mt trng con, cho vnh a thc K[x], f cú dng f = an (x - u1)(x un) g (8) ú an, u1,, un l nhng hng thuc K v g l mt a thc ca K[x] Chng minh : Trc ht a thc f F[x] khỏc bc n cú h t dn u an cú th vit f = anfn vi a thc fn F[x] cú h t dn u v bc fn = bc f = n Ta chng minh Mnh bng quy np trờn n = bc f Nu n = 1, ta cú f = a0 + a1x F[x] (a1 0) v cú th vit f = a1 (x u1) vi u1 = - a0 , vy trng hp ny a1 trng K chớnh l F Vi n >1, gi s Mnh ỳng vi mi a thc khỏc cú bc n ca F[x] Vỡ f = anfn v fn cú mt c bt kh quy p F[x], cho nờn theo Mnh 10, tn ti mt trng K1 cha F nh mt trng v mt nghim u1 ca p vnh a thc K1[x], ta cú fn = (x u1) g1 v f = an (x u1) g1 vi mt a thc g1 K1[x] cú h t dn u v bc g1 = n Theo gi thit quy np, tn ti mt trng K cha K1 v F nh nhng trng cho vnh a thc K[x], g cú dng g1 = (x u2)(x un)g v ú f = an (x u1) g = an (x u1)(x u2)(x un) g 92 Vy Mnh 12 ỳng vi mi a thc f F[x] khỏc cú bc n > Bõy gi, ỏp dng Mnh 10 cho trng F = R (trng cỏc s thc) v a thc bt kh quy p = + x2 R[x] ta c trng C = R[x] / (1 + x2), cha R nh mt trng v mt nghim i ca a thc + x2 : + i2 = Trng C c sinh bi trng R v phn t i C ny; mi phn t z C cú th t di dng nht z = a + bi, a, b R gi l s phc vi phn thc a v phn o b Khi cỏc phn t t di dng trờn õy, quy tc cng v nhõn trờn trng s phc C l nh sau : (a + bi) + (a + bi) = (a + a) + (b + b) i (a + bi)(a + bi) = aa bb + (ab + ba) i (tng t nh cng v nhõn cỏc lp ng d mod + x2 trờn vnh a thc R[x] c bit, (a + bi)(a bi) = a2 + b2 R, ú s phc a + bi cú phn t nghch l s phc a b = 2 - 2i a bi a b a b Nghim th hai ca a thc + x2 C l i, vỡ th theo Mnh 11, t ng cu nht ca trng C gi bt bin mi s thc v chuyn i thnh i l ỏnh x : z = a + bi z = a - bi, cho tng ng vi mi s phc z C liờn hip ca nú Theo nh ngha ny ca , vi mi z C ta cú z R nu v ch nu (z) = z R v 2(z) = z = z Hn na vi mi s phc : z = a + bi, ta cú z + z = 2a, z z = a2 + b2 u l s thc 93 Ta ó bit rng trng R mt s thc a l bỡnh phng ca mt s thc nu v ch nu a (Đ5.2) nhng i vi trng m rng C ca R, ta cú B 14 : Mi phn t ca C l bỡnh phng ca mt phn t ca C v mi a thc bc ca C[x] u cú nghim C Chng minh : Cho s phc a + bi R, ta chng t cú mt s phc s + ti C cho (s + ti)2 = a + bi Nhng ng thc ny tng ng vi cỏc ng thc s2 t2 = a v 2st = b R T ú suy (s2 + t2)2 = a2 + b2 Gi c l cn bc hai ca s thc a2 + b2 0, ta cú c |a|, c |b| v s2 + t2 = c Do ú s2 = (c + a) / 2, t2 = (c a) / Vỡ c |a| nờn c + a v c a v cỏc ng thc trờn cho nh cỏc s thc s v t Vy s phc a + bi l mt bỡnh phng Bõy gi cho a thc ax2 + bx + c C[x] vi a Ta cú th vit ax2 + bx + c = a x+ b 2a b 4ac 4a Theo trờn cú s phc d cho d2 = (b2 4ac) / 4a2 nờn a thc bc hai ó cho cú nghim - b d C 2a Vỡ R l trng ca trng C, mi a thc ca R[x] cú th xem l mt a thc ca C[x] i vi cỏc a thc ca R[x] xem nh a thc ca C[x], ta cú Mnh 15: Mi a thc bc > ca R[x] u cú nghim C Chng minh: Cho cỏc a thc g R[x] khỏc vi bc g = n> Trc ht ý rng s nguyờn n luụn luụn cú dng n = 2m q 94 vi s nguyờn m v s nguyờn q l s l Vỡ Mnh ỳng vi m = (Đ5.2 nh lý 8), ta chng minh bng quy np trờn m Khụng lm mt tớnh tng quỏt ca chng minh, ta cú th gi s h s dn u ca g l an = 1, vỡ mi a thc f R[x] cú th vit f = an g vi bc f = bc g v g cú h t dn u bng Theo Mnh 13 cú mt trng K cha R nh mt trng cho K[x] a thc g cú dng nhõn t húa g = (x 1)(x 2)(x n) (9) Di dng khai trin g = xn s1 xn + s2 xn - + (-1)n sn, ú s1, , sn l cỏc a thc i xng s cp theo cỏc nghim 1, 2,, n K ca g Vỡ g R[x], dng ny cho thy cỏc h t s1, , sn u thuc R Vi mt s thc b R ly sn, ta xột a thc sau õy ca K[x]: Gb(x) = x ( i j b i j ) 1i j n n(n ) nghim ij = i + j+ bi j K a thc ny hin nhiờn cú cho nờn cỏc h t ca Gb(x) l nhng a thc i xng theo cỏc ij vi h s thuc R, ú cng l a thc i xng theo 1, , n vi h s thc Vỡ mi h t ca Gb (x) l a thc i xng ca vnh R[1, , n], nờn theo Đ5.2, cỏc h t ny biu th c nh l a thc theo s1, , sn v vi h t thuc R N hng vỡ s , , s n R theo trờn, cho nờn cỏc h t ca G b (x) u thuc R, núi cỏch khỏc a thc Gb(x) R[x] Hn na, ta cú bc Gb(x) = n(n 1) = 2m-1 q(2m q 1) = 2m-1 q Vi q = q(2m q 1) l mt s nguyờn l Do ú theo gi thit quy np, a thc Gb(x) cú mt nghim ij C Vỡ ta cú iu ny vi 95 bt k s thc b ly sn, cho nờn vi n(n 1) + giỏ tr phõn bit ca b R, ta cú ớt nht mt cp ch s (i,j) cho i + j+ bi j C v i + j+ bi j C vi b b T ú suy i + j C v ij R; hn na, vỡ (x i)(x j) = x2 (i + j)x + ij C[x], ta cú i v j l cỏc nghim ca mt a thc bc vi h s phc, cho nờn theo B 14, cỏc nghim i v j thuc C iu ny chng t a thc g R[x] ó cho cú ớt nht mt nghim (trong cỏc nghim 1, , n) thuc C Vy Mnh 15 c chng minh xong Mnh 15 cho thụng tin v s tn ti nghim C ca nhng a thc thuc R[x] Trc cp n nghim C ca cỏc a thc thuc C[x], ta cn núi thờm mt vi kt qu Theo tớnh cht ph dng ca vnh a thc (I.Đ1.3), t ng cu liờn hip ca trng C nh bi z = a + bi (z) = z = a bi, m rng c thnh mt t ng cu L ca vnh C[x] cho L(x) = x v L(a) = vi mi a C Mt cỏch tng minh, L nh bi f = a0 + a1x + + anxn L(f) = f a0 a1 x a n x n , (10) vi mi a thc f C[x] cho tng ng a thc f C[x], cú cỏc h s l liờn hip ca cỏc h s ca f B 16: T ng cu L ca vnh C[x] nh bi (10) cú cỏc tớnh cht sau õy: i) L2(f) = f vi mi f C[x] (ngha l L = L-1); ii)Vi mi f C[x], L(f) = f nu v ch nu f R[x] Chng minh : Vỡ a a vi mi s phc a C nờn ta cú i) Mt khỏc, vi mi s phc a C, vỡ a a nu v ch nu a R ta suy ii) 96 ý vỡ C l trng vụ hn, ta cú th ng nht mi a thc f ~ C[x] vi hm a thc f tng ng H qu : i) S phc C l nghim ca a thc f C[x] nu v ch nu v ch nu liờn hip l nghim ca a thc L(f) = f ii) Nu mt a thc f R[x] nhn s phc C[x] lm nghim thỡ cng nhn liờn hip lm nghim Chng minh : i) C l nghim ca a thc f C[x] nu v ch nu f = (x ) g vi g C[x], nhng theo B 15 i) ng thc ny tng ng vi f = (x - ) g vi g C[x], ngha l l nghim ca f iii) Vi a thc f R[x], theo B 15 ii), ta cú f f = L(f) = f v theo trờn f() = kộo theo f( ) = f ( ) = Mnh sau õy thng c gi l nh lý c bn ca i s hc (c in) Mnh 17 : Mt a thc bc dng ca C[x] u cú nghim C Chng minh : Cho a thc f C[x] vi bc f > Ta cú a thc g = f L(f) = f f Vỡ L(g) = L(f f ) = L(f)L( f ) = f f = g nờn g R[x] theo b 15 ii) Hn na vỡ bc g = bc f + bc f > 0, nờn theo Mnh 14, g cú mt nghim C T = g( ) = ( f f )( ) = f() f ( ) ta cú f() = hay f ( ) = hn na f () = tng ng vi f( ) = theo H qu trờn Vy a thc f C[x] ó cho cú nghim l l s phc hay liờn hip ca nú 97 T cỏc kt qu va c cú th suy dng nhõn t húa cỏc nguyờn Gauss R[x] v C[x] nh lý 18 : Cỏc phn t bt kh qui ca nguyờn R[x] ch l cỏc a thc bc hoc cú bit s õm Mi a thc f R[x] khỏc vi bc f = n cú dng nhõn t húa nht n n f = a(x b1) (x bs) (x2 + c1s + d1) m (x2 + ctx + dt) m (11) s t ú a R*, cỏc s thc b1, , bs phõn bit nhau, cỏc ụi s thc (c1,d1),,(ct,dt) phõn bit v cho c2i 4di < (i = 1,,t), cũn (n1,,ns) v (m1,,mt) l nhng s nguyờn cho n1 ++ ns + 2(m1 + + mt) = n Chng minh : Trong R[x] cỏc a thc bc l bt kh qui vỡ khụng cú c thớch ỏng, cỏc a thc bc bt kh qui ch cú bit s õm theo Mnh Hn na mi a thc f R[x] vi bc f > u l kh qui Tht vy, vỡ cng l a thc ca C[x], theo Mnh 16, f cú nghim = a + bi C v theo H qu ca B 15, f cng cú nghim = a + bi C Do ú C[x], f = (x )(x - )h = (x2 2ax + a2 + b2)h, nhng vỡ cỏc a thc f v g = x2 2ax + a2 + b2 thuc R[x], ng thc trờn v t ng cu L cho suy L(h) = h, ngha l a thc h R[x], ngoi bc h = bc f iu ú chng t a thc f l kh qui Dng nhõn t húa (11) l hin nhiờn nguyờn Gauss R[x] vi cỏc phn t bt kh quy ó nh rừ (xem Đ1.3) nh lý 18 : Cỏc phn t bt kh quy ca nguyờn C[x] ch gm cỏc a thc bc Mi a thc f C[x] khỏc vi bc f = n cú dng nhõn t húa nht n n f = a(x - 1) (x - r) (12) r ú a C*, cỏc s phc 1,,r phõn bit v n1, , nr l nhng s nguyờn cho n1 + + nr = n Chng minh : Trong C[x], mi a thc bc l bt kh quy vỡ khụng cú c thớch ỏng, cũn theo Mnh 16, mi a thc f vi bc f > u l kh quy vỡ cú ớt nht mt nghim C Vỡ cỏc 98 phn t bt kh quy ch gm cỏc a thc bc 1, dng nhõn t húa (12) C[x] l hin nhiờn Chỳ ý : Mt a thc f ca R[x] cng l mt a thc ca C[x] cho nờn f va cú mt dng nhõn t húa R[x] va cú mt dng nhõn t húa C[x] Khi i t dng nhõn t húa R[x] sang dng nhõn t húa C[x], mi nhõn t bc bt kh quy x2 + cx + d R[x] (c2 4d < 0) tr thnh tớch ca hai nhõn t bc mt x a, x - R[x] (13) vi cỏc s phc liờn hip Vỡ th, tỡm dng nhõn t húa (11) R[x] ca mt a thc f R[x], ngi ta thng nh dng nhõn t húa (12) ca f C[x] trc, ri nhõn tng cp nhõn t (13) c cỏc c bt kh quy bc cú h s thc ca f BI TP (1) Chng minh rng vnh thng Z2[x] / ( + x + x2) l mt trng cú phn t, lp bng cng v bng nhõn ca trng ny (2) Chng minh rng a thc + x + x2 l phn t bt kh quy ca Z3[x] Nu ta kt ni vo Z3 mt nghim ca a thc ny thỡ trng thu c cú bao nhiờu phn t ? Vit rừ cỏc phn t ú v phn t nghch ca mi phn t khỏc (3) Cho a thc bc hai ax2 + bx + c R[x] cú bit s b2 4ac < Hóy thit lp mt ng cu trng C R[a] / (ax2 + bx + c) (4) Chng minh rng vnh thng C[x] / (1 + x2) khụng phi l mt nguyờn (5) Gi q v r l thng v d ca phộp chia mt a thc f cho mt a thc g C[x] Chng minh rng nu f v g cú cỏc h s u thc thỡ q v r cng vy 6) Tỡm dng nhõn t húa ca a thc f = + x + 3x2 + 2x3 + 3x4 + x5 + x6 Trong R[x], bit rng a thc ny nhn s phc i lm nghim kộp 99 (7) Bit rng a thc cú h s phc sau õy f = 3i + 9ix (5 + 6i)x2 + 2x3 cú mt nghim s thc Tỡm dng nhõn t húa ca f C[x] (8) Tỡm dng nhõn t húa ca cỏc a thc sau õy C[x] a) + i + x + x2 b) + x x3 x4 c) x5 + d) x6 i (9) Tỡm dng nhõn t húa ca mi a thc sau õy C[x] v R[x] a) x7 b) x4 2x2 cos + ( R cho sn) (10) Tỡm dng nhõn t húa ca mi a thc sau õy R[x] a) + x8 b) + x4 + x8 c) + 4x + 8x2 + 4x3 + x4 d) 6x 2x3 + x4 100 BI TP TNG HP CHNG III (1) Cho m v n l hai s nguyờn dng, chng minh rng hp cỏc s nguyờn ms + nt, ú s v t l nhng s nguyờn dng, cha tt c cỏc bi s ca (m,n) ln hn mn (2) a) m v n l hai s nguyờn dng, chng minh rng nu (m,n) = v nu mn l mt bỡnh phng thỡ m l mt bỡnh phng b) tỡm tt c cỏc b ba s nguyờn x,y,z cho x2 + y2 = z2, chng t rng cú th gi s (x,y) = Trong trng hp ú, chng minh rng x v y khụng th ng thi l nhng s l Nu y l s chn, hóy dựng cõu a) chng minh rng y = 2mn vi m v n l cỏc s nguyờn cho x = m2 n2, z = m2 + n2 (3) Cho D l mt nguyờn, chng minh rng vnh a thc D[x1,,xr] khụng phi l mt nguyờn chớnh thờm mt hai gi thit sau õy: i) s bin r 2; ii) D khụng phi l mt trng (4) Gi Z[i] l nguyờn cỏc s nguyờn Gauss m + ni, ú m, n Z, i2 = -1 Vi mi = m + ni Z[i], t = m ni v N() = m2 + n2 Chng minh: (a) N() = N()N() vi mi , Z[i] (b) Z[i] l kh nghch nu v ch nu N() = 1, nh nhúm U cỏc phn t kh nghch ca Z[i] (c) Nu ~ Z[i] thỡ N() = N(), nh cỏc Z[i] cho ~ (d) Nu N() l s nguyờn t Z thỡ l s nguyờn t Z[i] (e) Mt s nguyờn t p Z cng l nguyờn t Z[i] nu v ch nu p N() vi mi Z[i] (f) Nu mt s nguyờn t p Z cú dng p = 4q + thỡ p l nguyờn t Z[i] (5) Cho D l mt nguyờn cú phn t n v Tp hp nhõn ca D theo nh ngha l mt hp S D* n nh i vi 101 phộp nhõn Vi mt hp nhõn S ca D, ký hiu DS-1 l hp cỏc phn t as -1 (a D, s S) ca trng cỏc thng FD ca D a) Vi mi hp nhõn S ca D cho sn, chng minh: i) DS-1 l mt vnh ca FD, ii) Nu D l nguyờn chớnh thỡ vnh DS-1 cng l nguyờn chớnh iii) Nu D l nguyờn Gauss thỡ vnh DS-1 cng l nguyờn Gauss v cỏc phn t nguyờn t ca DS-1 cú dng ps ú s S v p l phn t nguyờn t ca D cho (pD) S = b) Gi s D l nguyờn chớnh v cho p l mt phn t bt kh quy ca D, chng minh : (i) S = D pD l mt hp nhõn ca D (ii) Trong vnh DS-1, iờan pDS-1 l iờan ti i nht v trng DS-1 / pDS-1 ng cu vi trng D/pD (6) Tiờu chun bt kh quy Eisenstein Cho D l mt nguyờn Gauss v FD l trng cỏc thng ca D Chng minh rng nu mt a thc g = a0 + a1x + + anxn D[x] khỏc v cú bc dng m cú mt phn t nguyờn t p ca D cho p l c ca a0, a1, , an-1, p khụng phi l c ca an, p2 khụng phi l c ca a0, thỡ g l mt a thc bt kh quy ca FD[x] p dng : Cho mt trng F v mt phn t u mt trng m rng ca F siờu vit i vi F Gi K l trng cỏc thng ca nguyờn F[u] cỏc a thc theo bin u cú h t thuc F Chỳng minh rng a thc xn u bc n 1, l mt a thc bt kh quy ca nguyờn cỏc a thc K[x] (7) Tiờu chun bt kh quy thu gn Cho D v E l hai nguyờn cú phn t n v, ký hiu FD v FK l trng cỏc thng ca D v ca E Vi mt ng cu vnh : D E (chuyn n v thnh 102 n v), ta cng ký hiu : D[x] E[x] ch m rng ca cỏc vnh a thc gi c nh bin x Cho a thc f D[x] cho a thc f E[x] khỏc v bc f = bc f a) Chng minh rng nu f l a thc bt kh quy FE[x] thỡ f khụng cú dng nhõn t húa f = gh vi g,h D[x] v bc g, bc h b) Gi s D l a phng v gi s P = Ker l iờan ti i nht ca D; chng minh rng ú nu f l a thc bt kh quy FE[x] thỡ f l a thc bt kh quy ca D[x] c) Gi s D l nguyờn Gauss; chng minh rng nu f l a thc bt kh quy FE[x] thỡ f l a thc bt kh quy ca FD[x] p dng : Ly D = Z, E = Z | pZ = Zp (trong ú p l mt s nguyờn t) v : Z Zp l phộp chiu t nhiờn; vi f Z[x], ký hiu f = f Zp[x] i) Gi s f Z[x] cú h t dn u bng 1; chng minh rng nu f l a thc bt kh quy Zp[x] thỡ f l a thc bt kh quy Q[x] v nu f l a thc bt kh quy ca Z[x] thỡ mi nhõn t ca f thu v mt nhõn t ng bc ca f Zp[x] ii) S dng cỏc kt qu trờn xem xột mi a thc sau õy ca Z[x] cú phi l a thc bt kh quy Q[x] hay khụng: 25 + 5x + 6x2 + x3, + 11x + 6x2 + x3 + 2x + x2 + 8x3 + x4 (8) S nguyờn quadratic Cho d Z khỏc 0, khỏc v khụng cú c thớch ỏng bng bỡnh phng ca mt s nguyờn a) Chng t rng x2 d l mt a thc bt kh quy Q[x] Suy trng Q cú mt trng m rng Q( d ) cha mt nghim d ca a thc x2 d, mi phn t ca Q( d ) cú dng nht = r + s d ; r, s Q v = r + s d = r - s d l mt t ng cu ca trng Q( d ) cho vi mi Q( d ), = Q 103 b) nh ngha vt v chun ca Q( d ), theo th t l T() = + , N() = Kim chng rng mi Q( d ) l i s i vi Q v T( + ) = T() + T(), N() = N()N() vi mi , Q( d ) c) Mt phn t Q( d ) c gi l s nguyờn (quadratic) nu T() Z v N() Z Chng minh rng r + s d l s nguyờn quadratic ch mt hai trng hp sau xy ra: (i) Nu d hay (mod.4) thỡ r, s Z; (ii) Nu d (mod.4) thỡ hoc r, s Z hoc r v s u cú dng m + vi m Z d) Chng minh rng cỏc s nguyờn quadratic to thnh mt vnh J(d) ca trng Q( d ), cú cỏc phn t kh nghch l cỏc J(d) cho N() = e) Chng minh rng J(d) cựng ỏnh x : N l nguyờn Euclid vi ỳng giỏ tr õm ca d, ú l d = -1, -2, -3, -7, -11 104 ... thực Vành số nguyên Vành số nguyên mod.n Vành đa thức theo biến u Vành đa thức theo biến x siêu việt Bậc đa thức f I.3 I .1 I .1 I .1 I .1 I .1 I .1 I .1 I .1 Hàm đa thức tương ứng với đa thức f 1. 2 A[u1,…,ur]... cấu nhúng vành vào vành đa thức Đối với vành đa thức theo biến, phép cộng phép nhân vành, có phép chia đa thức thực vài điều kiện Hàm đa thức nghiệm đa thức trọng đến Nhiều tính chất đa thức theo... vành đa thức A[x1, , xr] Mệnh đề 5: Nếu A miền nguyên, phần tử khả nghịch vành A[u1, , ur] phần tử khả nghịch vành A 27 Thí dụ: Vành đa thức Z[x1, , xr] miền nguyên; phần tử khả nghịch vành phần