Việc bồi dưỡng HS giỏi cần được tiến hành thường xuyên liên tục, đồng thời với nội dung mỗi đơn vị kiến thức theo từng lớp và từng cấp học. Bồi dưỡng không phải là việc dạy trước các kiến thức của bậc học. Bồi dưỡng HS giỏi trước hết để các em phát triển những phương pháp tư duy đặc trưng của toán học, góp phần nâng cao năng lực tư duy toán học, đó là trừu tượng hoá, khái quát hoá, suy luận, diễn đạt suy luận, vận dụng toán học,.... giúp các em có khả năng học tốt khi tiếp các bậc học trên. Hiện nay có nhiều tài liệu tham khảo, mỗi GV cần lựa chọn các bài toán phù hợp với HS của trường mình, lớp mình để các em dần được nâng cao khả năng tư duy nhằm tiếp tục học tập tốt, tránh quá mức gây chán nản học tập.
Trang 1BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN DẠY HỌC SINH GIỎI CẤP TIỂU HỌC, NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN
I Về quan điểm bồi dưỡng HS giỏi tiểu học:
- Việc bồi dưỡng HS giỏi cần được tiến hành thường xuyên liên tục, đồng thời với nội dung mỗi đơn vị kiến thức theo từng lớp và từng cấp học
- Bồi dưỡng không phải là việc dạy trước các kiến thức của bậc học
- Bồi dưỡng HS giỏi trước hết để các em phát triển những phương pháp
tư duy đặc trưng của toán học, góp phần nâng cao năng lực tư duy toán học, đó
là trừu tượng hoá, khái quát hoá, suy luận, diễn đạt suy luận, vận dụng toán học, giúp các em có khả năng học tốt khi tiếp các bậc học trên
- Hiện nay có nhiều tài liệu tham khảo, mỗi GV cần lựa chọn các bài toán phù hợp với HS của trường mình, lớp mình để các em dần được nâng cao khả năng tư duy nhằm tiếp tục học tập tốt, tránh quá mức gây chán nản học tập
II Một số bài toán tham khảo:
1 Các bài toán về số học:
Nội dung trọng tâm Các phép tính Quan hệ thứ tự
- Giới thiệu số
- Đọc số
- Viết số
- Khái niệm
- Kĩ năng tính
- Tính chất
- Khái niệm về so sánh
- Kỹ thuật so sánh
- Tính chất Được xét trên tập: N, Q+
Ví dụ:
a Về kỹ thuật tính và so sánh:
VD1: Tìm số có 4 chữ số, trong đó chữ số hàng đơn vị là 5 Nếu chuyển
chữ số 5 đó lên vị trí hàng cao nhất mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số khác thì được một số mới kém số phải tìm là 531 đơn vị
Giải: Gọi số phải tìm là abc5, số mới là: 5abc
Ta có: abc5 - 5abc = 531
abcx10 + 5 - (5000 + abc) = 531
abc = 614
(khuyến khích HS thử lại).
VD2: Tìm một số có 3 chữ sô, biết rằng số đó chia hết cho tổng các chữ
số của nó thì được 11
Giải: Ta có: abc = (a + b + c) x 11
100xa + 10xb + c = 11xa + 11xb + 11xc 89xa = b + 10xc hay 89xa = cb Do đó a = 1, cb = 89
Vậy số đó là: 198
b Tính chất các phép tính:
VD1: So sánh:
4
5
và
3
4
;
4
3
và
5
4
;
17
9
và
18 9
Giải: Ta có:
4
1 1 4
5 = +
3
1 1 3
4 = + Do đó
3
4 4
5 < .
Trang 2VD2: Tính nhanh:
1024 512
8 4 2
) 23 24 48 47 48 47 ( 2046
+ + + + +
−
−
−
−
Giải: Ta có: Tử số: 2046
Mẫu số: M = 2+4+8+…+512+1024 Mx2 = 4+8+16+ …+1024+2048
Mx2 = 2+4+8+16+…+1024+2048-2
M = 2048-2 = 2046
Vậy: S = 1
VD4: Khi nhân một số với 305, một HS đã quên viết chữ số 0 ở số 305
nên tích đúng bị giảm đi 11250 đơn vị Tìm thừa số chưa biết
Giải: Gọi số cần tìm là X Tích đúng Xx305, tích sai Xx35
Xx305 – Xx35 = 112590
Xx(305-35) = 112590 X = 112590:270 = 417
VD5: Một phép chia có số bị chia là 1484, thương là 10 và số dư là số số
dư lớn nhất có thể có trong phép chia này Tìm số đó
Giải: Gọi số chia là X thì số dư lớn nhất cóa thể có là: X - 1
Ta có: 1484 = Xx10 + (X - 1) X = 135
VD6: Tính tổng các chứ số của dãy: 1, 2, 3, 4, …, 799
Giải: Thêm số 0 vào dãy đã cho thành 800 số
Ghép cặp: 0, 799; 1, 798; 2, 797; … ; 399, 400
Số cặp có là 400 cặp Mỗi cặp có tính các chữ số là 25 Vậy các chữ só của dãy:
25 x 400 = 10000
VD7: Viết thêm cho đầy đủ rồi tính tổng:
512
1
8
1 4
1 2
1 + + + +
=
S
Giải: Nhân S với 2, ta được:
256
1
8
1 4
1 2
1 1
2 = + + + + +
512
1 512
1 256
1
8
1 4
1 2
1 1
Sx
512
1 1
2 = +S−
512
511 512
1
=
VD8: Viết lại đầy đủ và tính nhanh tổng sau:
90
1
20
1 12
1 6
1 2
=
S
Giải: Ta có: 2 = 1 x 2; 6 = 2 x 3; … ; 90 = 9 x 10
Do đó:
10 9
1
5 4
1 4 3
1 3 2
1 2 1
1
x x
x x x
2
1 1 2
1
1 = −
x , … Kết quả:
10
9
=
VD 9: Tính: S2008 = 1 + 2 + 3 + … + 2008
Giải: Ta có: S2008 = 1 + 2 + … + 2007 + 2008 (dãy số trên có 2008 số)
S2008 = 2008+2007+… + 2 + 1
Do đó: S2008x2 = 2009x2008, hay S2008 = 2017036
Tổng quát: Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
2
) 1 (n−
nx
Trang 3
c Các bài toán xét lần lượt các trường hợp.
VD1: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số mà tích hai chữ số bằng thương của
1 chữ số chia cho chữ số kia
Giải: Gọi số đã cho là ab
+) TH1: a > 1, b > 1
Ta có: axb > a và a : b < a Do đó a : b <a x b Vậy TH1 loại
+) TH2: b = 0 Ta có: a x 0 = 0, 0 : b = 0 Do đo a x 0 = 0 : b
Do đó ta có các số: 10, 20, …, 90
+) TH3: a = 1 hoặc b = 1
Taluôn có: a x 1 = a : 1 = a hoặc b x 1 = b : 1 = b
Do đó ta chọn được: 11, 12, 13, …, 19 và 21, 31, …91
Vậy, các số thoả mãn là: (Học viên tự liệt kê)
VD2: Bố nói với con: 10 năm trước đây bố gấp 10 lần tuổi con, hai mươi
hai năm sau nữa tuổi bố gấp đôi tuổi con Tính tuỏi bố và tuổi con hiện nay?
Giải: Ta có sơ đồ tuổi của 2 bố con như sau:
Vậy tuổi bố: 60, con: 14
2 Các bài toán về hình học:
VD1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều gấp 3 lần chiều rộng, nếu
giảm chiều đi 2m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích tăng lêm 12m2 Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó?
Giải:
Như hình vẽ ta có, diện tích tăng lên chính là
diện tích hình 3 có chiều rộng 2m
Chiều dài hình 3 là: 12 : 2 = 6 (m)
Chiều rộng HCN ban đầu là:
(6 + 2) : 2 = 4 (m)
Chiều dài HCN ban đầu là: 4 x 3 = 12 (m)
VD2: Tính diện tích phần không tô đậm trong hình sau,
biết diện tích hình vuông là 150m2
Giải: Gọi cạnh hình vuông là a, đường kính đường tròn là a
Ta có:
Diện tích hình vuông là: a x a = 150
Diện tích hình tròn là: 3 , 14
4
150 14 , 3 2
a x
Diện tích phần không tô đậm là: 3 , 14 138 , 225
4
150
1 3
1
Trang 4VD3: Cho hình thang ABCD có góc A và D vuông, AB=50cm,
DC=AD=60cm, từ M trên cạnh DA, M cách D 10cm vẽ đường
thẳng song song với DC, cắt BC tại N
Tính diện tích hình thang ABNM
HD: Nối AN, DN Ta có:
SAND = SHT – ( SABN + SDNC)
Từ đó tính được NM, tính SABNM
VD4: Cho tam giác ABC có diện tích là 100cm2 Các điểm M,N,P lần lượt
là các điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CA Nối MN, NP, PM Tính diện tích 4 phần được chia ra từ tam giác ABC
Giải: Ta có: SCMA = SCMB (MB = MA, đường cao hạ từ A)
Mặt khác, SMAP = SMCP (CP=PA, đường cao hạ từ M)
SMAP =
2
1
SACM =
2
1
x
2
1
SABC =
4
1
SABC Tương tự, nối PB ta CM: SCPN =
4
1
SABC; SBMN =
4
1
SABC
Từ đó: SPNM = SABC – (
4
1
SABC +
4
1
SABC +
4
1
SABC) =
4
1
SABC Vậy diện tích mỗi hình là: 100 : 4 = 25 (cm2)
VD5: Cho tam giác ABC, có M là điểm chính giữa cạnh BC Hình EGKH
là hình chữ nhật Đoạn AM cắt EG ở N So sánh: SAEM và SAGM; EN và NG
Giải:
+) Ta có: SABM =SACM (BM = MC, đường cao hạ từ A)
Mặt khác SEBM =SGMC
(BM = MC, đường cao hạ từ E, G bằng nhau)
Vậy, SAEM = SAGM (3)
+) Từ (3), ta có hai đường cao hạ từ G, E bằng nhau
Mặt khác, SAEN = SAGN (chung cạnh AN, đường cao hạ từ E, G bằng nhau)
Do đó: EN = NG
VD6: Cho tam giác ABC, có SABC = 450 cm2, M, N là điểm chính giữa của
BC và AB, AP =
3
1
AC, AM cắt NP tại K
a) So sánh SABK và SACK
b) Tính SAKP
Giải: a) Ta có: SABM = SAMC (1)
Mặt khác: SKBM = SKCM (2)
Từ (1) và (2) suy ra SKAB = SKAC b) Ta có: SAKP =
3
1
SAKC, SAKN =
2
1
SAKB =
2
1
SAKC
Do đó: SAKN : SAKN =
3
2
Mặt khác, SAKP + SAKN = SANP =
6
1
SABC = 75 (cm2)
Vậy, SAKP = 75 : 9 2+3) x 2 = 30 (cm2)
C D
A
M
B
P
A
G E
M
N
C
A K N
M B
P
Trang 5Bài tập:
1 Người ta xây 1 cái kệ hình vuông trên một mảnh đất hình vuông nên diện tích còn lại của mảnh đất đó là 2275m2 Tính diện tích của cái bệ, biết diện tích của mảnh đất dài hơn cạnh của bệ 35m
2 Phát triển 1 bài toán cho SGK lớp 1 để giải cho HS lớp 3
Hình sau có mấy hình tam giác?
Thành 3 bài toán sau:
Bài 1: Đếm số ình tam giác trong mỗi hình sau:
Bài 2: Vẽ n đường thẳng đi qua 1 đỉnh và cắt cạnh của tam giác Có bao
nhiêu tam giác tạo thành?
Bài 3: Phải vẽ bao nhiêu đường thẳng đi qua 1 đỉnh và cắt cạnh đối diện
của 1 hình tam giác để được 66 hình tam giác?
HD giải:
- Có 1 tam giác ban đầu, không vẽ thêm đường nào: 1 hình
- Có 1 tam giác ban đầu, vẽ thêm 1 đường: 1+2 hình
- Có 1 tam giác ban đầu, vẽ thêm 2 đường: 1+2+3 hình
- Có 1 tam giác ban đầu, vẽ thêm 3 đường: 1+2+3+4 hình
Tổng số hình tam giác là: Sn+1 = 1 + 2 + 3 + … + n + n + 1 =
2
) 2 ( ) 1 (n+ × n+
2
) 2 ( ) 1 (n+ × n+ = , (n+1)x(n+2) = 132.
Tích 2 số 11 và 12 là 132
Vậy phải vẽ 10 đường qua 1 đỉnh và cắt cạnh đối diện
3 Các bài toán chuyển động.
*) Kiến thức trọng tâm:
t
S
v= ;
v
S
t= ; S=v×t
- Chuyển động ngược chiều nhau: t = S : (v1 + v2)
- Chuyển động cùng chiều đuổi nhau: t = S : (v1 - v2), với v1 > v2
- Chuyển động trên dòng sông: vx = vt + vn;
vn = vt - vn, với vt > vn
vx - vn = vnx2
- Chuyển động trên cùng một đoạn đường v và t tỷ lệ nghịch với nhau
- Vận tốc trung bình: vTB = tổng quãng đường : tổng thời gian
- Chú ý hệ thống đơn vị tính
Trang 6VD1: Một người đi từ A đến B bằng ô tô với vận tốc 40km/giờ, tiếp theo
trở lại A bằng xe máy với vận tốc 30km/giờ rồi lại trở về B bằng xe đạp với vận tốc 15km/giờ Tính vận tốc trung bình của người đó
Giải: Gọi quãng đường người đó đi từ A đến B là S
Tổng quãng đường người đó đi: 3xS
Tổng thời gian người đó đi là:
8 15 30 40
S S S
S + + = . Vận tốc trung bình của người đó là: vTB = 3xS :
8
S
= 24 (km/giờ)
VD2: Lan và chú cún con đứng ở cửa nhà, thấy Bố đi làm về đến ngõ,
Lan chạy chạy ra đón Bố chú cún con cũng chạy ra đón bố Lan, chú cún chạy đến bố Lan, chạy lại gặp Lan rồi lại chạy đến bố Lan, … và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi 2 bố con Lan gặp nhau Hỏi chú cún chạy bao nhiêu mét, biết mỗi giây Lan chạy được 2m, bố Lan đi được 1,5m, chú cún chạy được 4,5m, quãng đường từ cửa nhà ra ngõ dài 140m
Giải: Thời gian chú cún chạy và bố con Lan gặp nhau là bằng nhau.
Thời gian hai bó con Lan gặp nhau là: t = 140 : (2+1,5) = 40 (giây)
Quãng đường cún con chạy là: S = 4,5 x 40 = 180 (m)
VD3: Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 3 giờ 20 phút, xe thứ hai đi từ B đến
A hết 2 giờ 48 phút Biết rằng 2 xe khởi hành cùng một lúcvà sau 1 giờ 15 phút thì còn cách nhau 25 km Tính quãng đường AB
Giải: Đổi 3 giờ 20 phút = 200 phút; 2 giờ 48 phút = 468 phút;
1 giờ 45 phút = 75 phút
Phân số chỉ phần đường đi được sau 75 phút của xe 1 là:
8
3 200
75 = (Quãng đường) Phân số chỉ phần đường đi được sau 75 phút của xe 2 là:
56
25 168
75 = (Quãng đường) Phân số chỉ phần đường còn lại:
28
5 ) 56
25 8
3 (
1 − + = (Quãng đường) Quãng đường AB dài là: 25:5x28 = 140 (km)
VD4: Một người đi từ A đến B với vận tốc 4 km/giờ và dự tính đi đến B
vào lúc 11giờ 45 phút Đi được
5
4
đoạn đường thì người đó đi với vận tốc 3 km/giờ nên đến B vào lúc 12giờ cùng ngày Tính quãng đường AB?
Trang 7Giải: Ta có sơ đồ.
Giả sử đến C có 2 người cùng đi đến B
người 1 đi với vận tốc v1 = 3 km/giờ
người 2 đi với vận tốc v2 = 4 km/giờ
Khi đó: 43
2
1 =
v
v
chuyển động trên cùng một đoạn đường nên vận tốc và thời gian tỷ lệ nghịch với nhau, nên: 43
2
1 =
t
t
và t1 – t2 = 15 (phút)
Do đó: t1 = 15 : (4 – 3 ) x 4 = 60 ( phút) = 1 ( giờ)
Vậy chiều dài CB là: 3 x1 = 3 (km)
chiều dài AC là: 3 x 5 = 15 (km)
Vậy chiều dài AB là: 15 + 3 = 19 (km)
VD5: Một ô tô đi từ A đến B Sau khi đi được một nửa đoạn đường ô tô
tăng tốc thêm 0,25 vận tốc cũ nên đã đến B sớm hơn dự kiến là 0,5 giờ Tính thời gian ô tô đã đi
Giải: Ta có: vm = 1,25 vc =
4
5
vc, hay = 45
c
m
v
v
Vì hai nửa quãng đường bằng nhau nên vận tốc và thời gian tỷ lệ nghịch với nhau, do đo ta có: = 45
c
m
t
t
và tm – tc = 0,5
Thời gian mới ô tô đi là: 0,5 : ( 5 – 4 )x4 = 2 ( giờ)
Tổng thời gian đi là: 2 + 2,5 = 4,5 ( giờ0
VD6: Một ca nô xuôi 1 khúc sông AB hết 4 giờ và ngược khúc sông BA
hết 6 giờ Tính chiều dài khúc sông đó, biết vận tốc dòng nước 50 m/phút
Giải: Trên cùng một khúc sông t và v tỷ lệ nghịch với nhau Do đó
6
4
=
n
x
t
t
nên = 46
n
x
v
v
, vx – vn = vncx2
Ta có: vn = vncx 2: ( 6-4) x 6 = 100 : ( 6-4)x 6 = 300 (m/ph) = 18 (km/giờ)
Chiều dài khúc sông: 18 x 4 = 72 (km)
VD7: Một người dự định đi từ A đến B hết 2 giờ, nhưng vì vận tốc giảm
đi 12 m/ph nên người đó đi từ A đến B hết 2 giờ 30 phút Tính vận tốc và quãng đường AB
Giải:
Đổi tdđ = 2 giờ = 120 phút; tth = 2,5 giờ = 150 phút, tdđ : tth = 4 : 5
Do đó: vdđ : vth = 5 : 4, vdđ – vth = 12
vth = 12 : ( 5 – 4 ) x 4 = 48 (m/phút)
Quãng đường AB là: 48 x 150 = 7200 (m)