Bài toán min max tối ưu 2017 file word

PHN BI TON THC T_TI U Bi toỏn (SGK 12 CB) Trong s cỏc hỡnh ch nht cú cựng chu vi 16 ( cm) , hóy tỡm hỡnh ch nht cú din tớch ln nht Li gii: ( ) 48 ( m ) , hóy Hỡnh vuụng cú cnh bng ( cm) l hỡnh cú din tớch ln nht v maxS = 16 cm Bi toỏn (SGK 12 CB) Trong tt c cỏc hỡnh ch nht cú din tớch xỏc nh hỡnh ch nht cú chu vi nh nht Li gii Hỡnh vuụng cú cnh bng ( m) l hỡnh cú chu vi nh nht v P = 16 ( m) Bi toỏn (SGK BT 12 CB) Trong cỏc hỡnh tr ni tip hỡnh cu bỏn kớnh R, hóy tỡm hỡnh tr cú th tớch ln nht Li gii Kớ hiu chiu cao, bỏn kớnh ỏy v th tớch ca hỡnh tr ni tip hỡnh cu ln lt l h, r v V Khi ú: V = h r 2 Vỡ r = R h2 h2 h3 V = h R2 ữ = hR2 ữ 4 h3 V h = Bi toỏn tr thnh tỡm giỏ tr ln nht ca hm s ( ) hR ữ, h ( 0;2R) 3h2 V ' h = Ta cú: ( ) R ữ = h = 2R Bng bin thiờn: h + V' V 2R 2R R3 3 2R R3 T BBT, suy max V = V ữ= ( 0;2R) 3 Vy hỡnh tr ni tip hỡnh cu bỏn kớnh R cú th tớch ln nht chiu cao ca nú 2R R3 bng Khi ú, th tớch tr l 3 Bi toỏn (Team 12 Hu) Mt tm km hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 30 ( cm) Ngi ta gp tm km theo hai cnh EF v GH cho n AD v BC trựng nh hỡnh v di õy c mt hỡnh lng tr khuyt hai ỏy http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Giỏ tr ca x th tớch lng tr ln nht l A x = ( cm) B x = ( cm) C x = ( cm) D x = 10 ( cm) Li gii Ta cú: DF = CH = x, FH = 30- 2x ị pDHF = 15 Th tớch lng tr nh hỡnh v l V = SFDH EF = 30 15( 15- x) ( 15- x) ( 15- 30+ 2x) ổ 15 = 30 15( 15- x) ( 2x- 15) , x ẻ ỗ ;15ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Xột hm s f ( x) = ( 15- x) ( 2x- 15) f '( x) =- 2( 15- x) ( 2x- 15) + 2( 15- x) =- 2( 15- x) ( 3x- 30) ộx = 10 f '( x) = ờx = 15 Bng bin thiờn: Da vo BBT, max f ( x) = 125 ổ 15 ữ ỗ ỗ ;15ữ ữ ữ ỗ ố2 ứ x= 10 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Do ú th tớch lng tr nh hỡnh v ln nht x = 10 ( cm) Khi ú Vmax = 750 ( cm ) La chn ỏp ỏn D Bi toỏn (SGK BT 12 CB) Mt cht im chuyn ng theo quy lut s( t ) = 6t2 t3 Tớnh thi im t (giõy) ti ú tc v ( m/ s) ca chuyn ng t giỏ tr ln nht Li gii Theo gi thit: s( t ) = 6t t , t ( 0; + ) Vn tc ca chuyn ng l v( t ) = s'( t ) = 12t 3t Ta cú: v'( t ) = 12 6t = t = Bng bin thiờn: t v' ( t ) + + 12 v( t ) v( t) = v( 2) = 12 ( m/ s) Vy tc t giỏ tr ln nht Da vo BBT, ta cú (max 0;+Ơ ) t = ( s) Bi toỏn (SGK BT 12 CB) Cho s dng m Hóy phõn tớch m thnh tng ca hai s dng cho tớch ca chỳng l ln nht Li gii Cho m> t x l s th nht, < x < m, s th hai l m x Xột tớch P ( x) = x( m x) , x ( 0; m) Ta cú: P '( x) = 2x + m= x = Bng bin thiờn: x P '( x) P ( x) + m m m m2 m m2 m Vy phõn tớch m thnh tng hai s T BBT, ta cú max P ( x) = P ữ = ( 0;m) Bi toỏn (SGK BT 12 CB) Tỡm hai s cú hiu l 13 cho tớch ca chỳng l nht http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Li gii Gi mt hai s phi tỡm l x, ta cú s l x+ 13 Xột tớch P ( x) = x( 13+ x) Ta cú: P '( x) = 2x + 13 = x = Bng bin thiờn: x P '( x) P ( x) 13 13 + + + + 169 13 169 Vy tớch hai s l nht mt s l T BBT, ta cú P ( x) = P ữ = 13 13 v s l 2 Bi toỏn (SGK BT 12 CB) Hóy tỡm tam giỏc vuụng cú din tớch ln nht nu tng ca mt cnh gúc vuụng v cnh huyn bng hng s a ( a> 0) Li gii a Kớ hiu cnh gúc vuụng AB l x, x 0; ữ Khi ú, cnh huyn BC = a x, cnh gúc vuụng l AC = BC AB2 = ( a x) x2 = a2 2ax Din tớch tam giỏc ABC l S( x) = Ta cú: S'( x) = Bng bin thiờn: x a( a 3x) a x a2 2ax , x 0; ữ a = x = a2 2ax S'( x) a + a a2 S( x) S( x) = T BBT, suy max a 0; ữ a2 AB = a 2a , BC = 3 Bi toỏn (SGK 12 NC) Cho mt tam giỏc u ABC cnh a Ngi ta dng mt hỡnh ch nht MNPQ cú cnh MN nm trờn cnh BC , hai nh P v Q theo th t nm trờn hai cnh AC v AB ca tam giỏc Xỏc nh v trớ ca im M cho hỡnh ch nht cú din tớch ln nht v tỡm giỏ tr ln nht ú http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Li gii a t BM = x; x 0; ữ ta c MN = a 2x; QM = x ( ) Din tớch hỡnh ch nht MNPQ l: S( x) = MN QM = ( a 2x) x = ax 2x a Ta cú: S'( x) = ( a 4x) = x = Bng bin thiờn: x S'( x) + a a a2 S( x) T BBT, suy S( x) t giỏ tr ln nht ti im x = a v giỏ tr ln nht ca a2 a max S x = S = ( ) din tớch hỡnh ch nht l a 4ữ 0; ữ Bi toỏn 10 (SGK 12 NC) Khi nuụi cỏ thớ nghim h, mt nh sinh vt hc thy rng: Nu trờn mi n v din tớch mt h cú n cỏ thỡ trung bỡnh mi cỏ sau mt v cõn nng P ( n) = 480 20n ( gam) Hi phi th bao nhiờu cỏ trờn mt n v din tớch ca mt h sau mt v thu hoch c nhiu cỏ nht? Li gii Nu trờn mi n v din tớch ca mt h cú n cỏ thỡ sau mt v, s cỏ trờn mi n v din tớch mt h trung bỡnh cõn nng f ( n) = nP ( n) = 480n 20n ( gam) Xột hm s f ( x) = 480x 20x ; x ( 0; + ) (Bin s n ly cỏc giỏ tr nguyờn dng c thay th bi bin s x ly cỏc giỏ tr trờn khong ( 0;+ ) ) Ta cú: f '( x) = 480 40x = x = 12 Bng bin thiờn: x f '( x) f ( x) + 12 + 2880 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB T BBT, trờn ( 0;+ ) , hm s f t giỏ tr ln nht ti im x = 12 T ú, suy f ( n) t giỏ tr ln nht ti im n = 12 Bi toỏn 11 (SGK 12 NC) gim huyt ỏp ca mt bnh nhõn c cho bi cụng thc G ( x) = 0,025x ( 30 x) , ú x l liu lng thuc c tiờm cho bnh nhõn ( x c tớnh bng miligam) Tớnh liu lng thuc cn tiờm cho bnh nhõn huyt ỏp gim nhiu nht v tớnh gim ú Li gii Ta cú: G ( x) = 0,75x 0,025x x > G '( x) = 1,5x 0,075x = x = x = 20 Bng bin thiờn: x G '( x) + 20 + 100 G ( x) G ( x) = G ( 20) = 100 Vy liu lng thuc cn tiờm cho bnh T BBT, suy max ( 0;+ ) nhõn huyt ỏp gim nhiu nht l 20 mg Khi ú, gim huyt ỏp l 100 Bi toỏn 12 (SGK 12 NC) Mt cỏ hi bi ngc dũng vt mt khong cỏch l 300 km Vn túc dũng nc l km/h Nu tc ca cỏ bi nc ng yờn l v (km/h) thỡ nng lng tiờu hao ca cỏ t gi c cho bi cụng thc E ( v) = cv3t, ú c l mt hng s, E c tớnh bng jun Tỡm tc bi ca cỏ nc ng yờn nng lng tiờu hao l ớt nht Li gii Vn tc cỏ bi ngc dũng l v (km/h) Thi gian cỏ bi vt khong 300 cỏch 300 km l t = (gi) v Nng lng tiờu hao ca cỏ vt khong cỏch ú l E ( v) = cv3 (jun), v > Ta cú: E '( v) = 600cv Bng bin thiờn: v E '( v) E ( v) v ( v 6) 300 v3 = 300c v v = v = v = (loi v > ) + + + + E ( 9) T BBT, ớt tiờu hao nng lng nht, cỏ phi bi vi tc (khi nc ng yờn) l (km/h) http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Bi toỏn 13 (SGK 12 NC) Sau phỏt hin mt bnh dich, cỏc chuyờn gia y t c tớnh s ngi nhim bnh k t ngy xut hin bnh nhõn u tiờn n ngy th t l f ( t ) = 45t t ,t = 0, 1, 2, , 25 Nu coi f l hm s xỏc nh trờn 0;25 thỡ f '( t ) c xem l tc truyn bnh (ngi/ngy) ti thi im t a) Tớnh tc truyn bnh vo ngy th b) Xỏc nh ngy m tc truyn bnh l ln nht v tớnh tc ú c) Xỏc nh cỏc ngy m tc truyn bnh ln hn 600 d) Xột chiu bin thiờn ca hm s f trờn on 0;25 Li gii S ngi nhim bnh k t ngy xut hin bnh nhõn u tiờn n ngy th t l f ( t ) = 45t t , t  , t 0;25 xột tc truyn bnh, ngi ta xem hm s f l xỏc nh trờn on 0;25 a) f '( t ) = 90t 3t = 3t ( 30 t ) Tc truyn bnh vo ngy th nm l f '( 5) = 375 (ngi/ngy) b) f ''( t ) = 90 6t = t = 15 Bng bin thiờn: t f ''( t ) + 15 + 675 f '( t ) T BBT, tc truyn bnh l ln nht vo ngy th 15 Tc ú l f '( 15) = 675 (ngi/ngy) 2 c) f '( t ) > 600 90t 3t > 600 t 30t + 200 < 10 < t < 20 T ngy 11 n ngy th 19, tc truyn bnh l ln hn 600 ngi mi ngy Bi toỏn 14 (SGK 12 NC) Cho parabol ( P ) : y = x v im A ( 3;0) Xỏc nh im M thuc parabol ( P ) cho khong cỏch AM l ngn nht v tỡm khong cỏch ngn nht ú Li gii ( ) Gi M x; x l mt im bt kỡ ca parabol ( P ) Ta cú: AM = ( x + 3) + x4 = x4 + x2 + 6x + Khong cỏch AM t giỏ tr nh nht v 2 ch f ( x) = AM t giỏ tr nh nht ( ) Xột f ( x) = x + x + 6x + f '( x) = 4x + 2x + = ( x + 1) 4x 4x + = x = Bng bin thiờn: x http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii + MS: MM-LBB f '( x) + + f ( x) + Da vo BBT, ta suy f ( x) t giỏ tr nh nht ti im x = v f ( 1) = Do ú, khong cỏch AM t giỏ tr nh nht M nm v trớ ca im M ( 1;1) ; AM = Bi toỏn 15 (SGK 12 NC) Mt viờn n c bn vi tc ban u v0 > t mt nũng sỳng t gc ta O , nghiờng mt gúc vi mt t (nũng sỳng nm mt phng thng ng Oxy v to vi trc honh Ox gúc ) Bit qu o chuyn ng ca viờn n l parabol g ( ) : y = 2v2 1+ tan2 x2 + xtan ( g l gia tc trng trng) ( ) Chng minh rng vi mi 0; ữ, ( ) luụn tip xỳc vi parabol ( ) cú phng 2 g v trỡnh l y = x + v tỡm ta tip im ( ( ) c gi l parabol an ton) 2g 2v0 Li gii Honh tip im ca hai parabol l nghim ca h phng trỡnh: g g v02 2 1+ tan x + x tan = x + 2g 2v0 2v0 g 1+ tan2 x + tan = g x v2 v02 ( ( T (2) x = ) ) (1) (2) v02 D thy ú cng l nghim ca phng trỡnh (1) Vy vi mi gtan x 0; ữ hai parabol luụn tip xỳc vi Honh tip im l x = v02 gtan http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB g v02 Tung ca tip im l y = 2v0 gtan v02 v02 ; im gtan 2g tan v02 v02 ữ ữ + 2g = 2g tan2 ữ x l tip im ca hai parabol vi mi ữữ 0; ữ ữ Bi toỏn 16 (SGK 12 NC) Mt chi c bỏn vi giỏ 20 nghỡn ng mt cun Chi phớ xut bn x cun (bao gm: lng cỏn b, cụng nhõn viờn, giy in, ) c cho bi cụng thc C ( x) = 0,0001x 0,2x + 10000, C ( x) c tớnh theo n v ng Chi phớ phỏt hnh cho mi cun l nghỡn ng 1) a) Tớnh tng chi phớ T ( x) (xut bn v phỏt hnh) cho x cun b) T s M ( x) = T ( x) c gi l chi phớ trung bỡnh cho mt cun x xut bn x cun Tớnh M ( x) theo x v tỡm s lng chi cn xut bn cho chi phớ trung bỡnh l thp nht 2) Cỏc khon thu bao gm tin bỏn v 90 triu nhn c t qung cỏo v s tr giỳp cho bỏo Gi s s cun in u c bỏn ht a) Chng minh rng s tin lói in x cun l L ( x) = 0,0001x2 + 1,8x 1000 b) Hi in bao nhiờu cun thỡ cú lói? c) In bao nhiờu cun thỡ lói nhiu nht? Tớnh s tin lói ú Li gii 1) a) Tng chi phớ cho x cun l T ( x) = C ( x) + 0,4x = 0,0001x + 0,2x + 10000 b) Ta cú: M ( x) = 0,0001x + 10000 + 0,2 vi x = 1,2, x (6) Ta xột hm s y = M ( x) trờn khong ( 0;+ ) (trong ú M ( x) c xỏc nh bi cụng thc (6) vi mi x > ) v tỡm x > 0, ú hm s M t giỏ tr nh nht trờn ( 0; + ) Ta cú: M '( x) = 0,0001 Bng bin thiờn: x M '( x) 10000 = x = 10000 x2 10000 + + M ( x) http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB 2,2 M ( x) = M ( 10000) = 2,2 Vy chi phớ trung bỡnh cho x cun T BBT, suy ( 0;+ ) thp nht x = 10000 (cun) Chi phớ cho mi cun ú l 2,2 ng = 22000 (ng) 2) a) Tng s tin thu c bỏn x cun ( x nguyờn dng) l 2x+ 9000 (vn ng) S tin lói bỏn x cun l: L ( x) = 2x + 9000 T ( x) = 0,0001x + 1,8x 1000 b) Cú lói 0,0001x2 + 1,8x 1000 > L ( x) > 0, tc l: 0,9 0,71 0,9 + 0,71 < x< 0,0001 0,0001 9000 71000000 < x < 9000 + 71000000 Vỡ x ly giỏ tr nguyờn dng v 9000 71000000 > 573,85 v 9000 + 71000000 > 17426,15 nờn 573 < x < 17427 c) Ta xột hm s: L ( x) = 0,0001x + 1,8x 1000; x ( 0; + ) v tỡm x > ti ú L ( x) t giỏ tr ln nht trờn ( 0;+ ) Ta cú: L '( x) = 0,0002x + 1,8 = x = 9000 Bng bin thiờn: x L '( x) + 9000 + 7100 L ( x) L ( x) = L ( 9000) = 7100 Vy mun lói nhiu nht thỡ phi in 9000 T BBT, suy max ( 0;+ ) cun Khi ú tin lói thu c l: 7100 ng = 71000000 (ng) Bi toỏn 17 (SGK 12 NC) Ngi ta nh lm mt cỏi hp hỡnh tr bng tụn cú th tớch V cho trc Tỡm bỏn kớnh ỏy r v chiu cao h ca hỡnh tr cho tn ớt nguyờn liu nht Li gii Th tớch hỡnh tr l V = h r Din tớch ton phn ca hỡnh tr l: S = r + rh = r + r V 2V = r + r r Ta tỡm r > cho ti ú S t giỏ tr nh nht Xột hm s S( r ) = r + 2V 2V V ; r ( 0; + ) Ta cú: S'( r ) = r = r = r r Bng bin thiờn: http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB ã ; 0< x < , Dng AH CD t x = ADC ta c: AH = sin x; DH = cos x; DC = 1+ 2cos x Din tớch hỡnh thang l: S= AB + CD AH = ( 1+ cos x) sin x; x 0; ữ t S( x) = ( 1+ cos x) sin x = sin2x + sin x; x 0; ữ cos x = S ' x = cos2 x + cos x = 2cos x + cos x = x = 0; ữ Ta cú: ( ) cos x = Suy hỡnh thang cú din tớch ln nht = S= Khi ú, din tớch hỡnh thang l 3 cm2 ( ) Bi toỏn 20 (SGK BT 12 NC) Trong cỏc tam giỏc vuụng m cnh huyn cú di bng 10 cm, hóy xỏc nh tam giỏc cú din tớch ln nht Li gii Gi x, y l di hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng cú cnh huyn bng 10 ( cm) , < x < 10 v < y < 10 Din tớch tam giỏc l: S = xy cm2 Ta cú x2 + y2 = 100 ( ) ( ) 2 2 S t giỏ tr ln nht v ch tớch x y = x 100 x t giỏ tr ln nht ( ) 2 Bi toỏn quy v: Tỡm x ( 0;10) cho ti ú hm s z = x 100 x ; x ( 0;10) t giỏ tr ln nht Kt qu: Tam giỏc vuụng cõn cú din tớch ln nht di hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc ú l x = y = ( cm) Bi toỏn 21 (SGK BT 12 NC) Mt hnh lang gia hai tũa nh cú hỡnh dng ca mt hỡnh lng tr ng Hai mt bờn ABB' A ' v ACC ' A ' l hai tm kớnh hỡnh ch nht di 20 m, rng m Gi x (một) l di cnh BC a) Tớnh th tớch V ca hỡnh lng tr theo x b) Tỡm x cho hỡnh lng tr cú th tớch ln nht v tớnh giỏ tr ln nht ú Li gii ( ) a) V = 5x 100 x2 m3 ; < x < 10 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB b) ( Hỡnh ) lng tr cú th tớch ln nht ( ) x = ( m) v max V = V = 250 m3 ( 0;10) Bi toỏn 22 (SGK BT 12 NC) Ct b hỡnh qut trũn AOB (hỡnh phng cú nột gch hỡnh bờn) t mt mnh cỏc tụng hỡnh trũn bỏn kớnh R ri dỏn hai bỏn kớnh OA v OB ca hỡnh qut trũn cũn li vi c mt cỏi phu cú dng ca mt hỡnh nún Gi x l gúc tõm ca qut trũn dựng lm phu, < x < a) Hóy biu din bỏn kớnh r ca hỡnh trũn ỏy v ng cao h ca hỡnh nún theo R v x b) Tớnh th tớch hỡnh nún theo R v x c) Tỡm x hỡnh nún cú th tớch ln nht v tớnh giỏ tr ln nht ú Li gii ằ ca qut trũn dựng a) Vỡ di ca ng trũn ỏy hỡnh nún bng di AB lm phu, nờn ta cú: r = Rx r = R R2x2 R ; h = R2 r = R2 = 2 4 x2 R3 b) Th tớch hỡnh nún l: V = r h = x x2 ; < x < 24 c) Ta tỡm x ( 0;2 ) cho ti ú V t giỏ tr ln nht ( ) 2 R3 R3 x 3x 2 t V ( x) = x x V '( x) = 24 24 x2 Vi < x < , ta cú: V ( x) = x = 1,63 ( 0;2 ) Bng bin thiờn: x V' V + R3 27 6 T BBT, suy hỡnh tr cú th tớch ln nht x = v max V = V ( 0;2 ) http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii R3 = ữ ữ 27 MS: MM-LBB Bi toỏn 23 (SGK BT 12 NC) Cho hỡnh vuụng ABCD vi cnh cú di bng ằ l mt phn t ng trũn v cung AB tõm A , bỏn kớnh AB cha hỡnh vuụng Tip tuyn ti im M ca cung ằ ct on thng CD ti im P v BD ct on thng BC ti im Q t x = DP v y = BQ a) Chng minh rng: PQ = x2 + y2 2x 2y + v PQ = x + y T ú tớnh y theo x b) Tớnh PQ theo x v tỡm x PQ cú di nh nht Li gii a) y = x ; < x < 1+ x b) PQ = x2 + ; < x < on thng PQ cú di nh nht x = x+ Bi toỏn 24 (SGK BT 12 NC) Th tớch V ca kg nc nhit T (T nm gia v c cho bi cụng thc 00 300 ) V = 999,87 0,06426T + 0,0085043T 0,0000679T cm3 nhit no thỡ nc cú ( ) lng riờng ln nht? Li gii Bi toỏn tr thnh: Tỡm T ( 0;30) cho ti ú V t giỏ tr nh nht Kt qu: T 3,9665 ( C) Bi toỏn 25 (SGK BT 12 NC) Lu lng xe ụtụ vo ng hm c cho bi cụng thc 209,4v (xe/giõy), ú v (km/h) l tc trung bỡnh ca cỏc 0,36v + 13,2v + 264 xe vo ng hm Tớnh tc trung bỡnh ca cỏc xe vo ng hm cho lu lng xe l ln nht v tớnh giỏ tr ln nht ú f ( v) = Li gii Ta cú: f '( v) = 290,4 f '( v) = v = 0,36v2 + 264 ( 0,36v 264 0,6 f ) + 13,2v + 264 ; v > t giỏ tr ln nht v= 264 27,08 0,6 (km/h) v 264 f 8,9 0,6 ữ ữ http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Bi toỏn 26 (SGK BT 12 NC) Mt ngn hi ng t v trớ A cỏch b bin mt khong AB = ( km) Trờn b bin cú mt cỏi kho v trớ C cỏch B mt khong l ( km) Ngi canh hi ng cú th chốo ú t A n im M trờn b bin vi tc ( km/ h) ri i b n C vi tc ( km/ h) Xỏc nh v trớ ca im M ngi ú n kho nhanh nht Li gii t x = BM , x Khi ú, AM = x2 + 25 , MC = x Thi gian ngi canh hi ng i t A n C l T ( x) = x2 + 25 x (gi), x + Hm s T t giỏ tr nh nht ti im x = 4,472 (km) Bi toỏn 27 (SGK BT 12 NC) Mt hỡnh chúp t giỏc u ngoi tip hỡnh cu bỏn kớnh a a) Chng minh rng th tớch ca hỡnh chúp l 4a2x2 V= ; ú x l chiu cao ca hỡnh chúp 3( x 2a) b) Vi giỏ tr no ca x, hỡnh chúp cú th tớch nh nht? Li gii Gi ý: a) Mt phng i qua ng cao SH ca hỡnh chúp v trung im M ca mt cnh ỏy ct hỡnh chúp theo tam giỏc cõn SMN v ct hỡnh cu theo hỡnh trũn tõm O , bỏn kớnh a ni tip tam giỏc SMN ã Cú th tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v = SNH Sau ú s dng ng thc x = a+ SO tỡm h thc gia a, x v a) Ta cú HN = x cot ; MN = 2x cot Th tớch hỡnh chúp l V = MN 2.SH = x3 cot2 3 Ta tớnh cot theo a v x a x2 2ax 2 SH = OH + SO x = a + sin = cos = ; T ng thc: cos x a ( ) cot2 = cos2 a2 = T ú suy cụng thc cn chng minh sin2 x( x 2a) b) Cn chỳ ý V xỏc nh x > 2a Bi toỏn 28 (SGK BT 12 NC) Mt si dõy kim loi di 60 ( cm) c ct thnh hai on on dõy th nht c un thnh hỡnh vuụng, on th hai c un thnh http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB vũng trũn Phi ct si dõy nh th no tng din tớch ca hỡnh vuụng v hỡnh trũn l nh nht? Li gii 60 ( cm) on dõy c un thnh hỡnh vuụng +4 240 30 33,6 ( cm) Bỏn kớnh ng trũn l r = l ( cm) +4 +4 60 26,4 ( cm) on dõy c un thnh vũng trũn cú di l +4 30 r 30 ; 0< r < Ta cú: 4x + r = 60 x = Tng din tớch hỡnh vuụng v hỡnh trũn l S = r + x2 = r + ( 30 r ) 30 D thy S t giỏ tr nh nht ti im r = +4 di cnh hỡnh vuụng l x = Bi toỏn 29 (SGK BT 12 NC) Mt cụng ty bt ng sn cú 50 cn h cho thuờ Bit rng nu cho thuờ mi cn h vi giỏ 000 000 ng/1 thỏng thỡ mi cn h u cú ngi thuờ v c mi ln tng giỏ cho thuờ mi cn h 100 000 ng/1 thỏng thỡ cú thờm hai cn h b b trng Hi mun cú thu nhp cao nht, cụng ty ú phi cho thuờ mi cn h vi giỏ bao nhiờu mt thỏng? Khi ú, cú bao nhiờu cn h c cho thuờ? Li gii Gi ý: Nu tng giỏ cho thuờ mi cn h x (ng/thỏng) thỡ s cú 2x cn h b 100000 b trng 2x Khi ú, s tin cụng ty thu c l S = ( 2000000 + x) 50 ữ (ng/thỏng) 100000 Kt qu: 250 000 (ng/1 thỏng) v cú 45 cn h PHN CC BI TON THC T LIấN QUAN N TCH PHN Bi toỏn (SGK 12 NC) Gi s mt võt chuyn ng cú tc thay i theo thi gian, v = f ( t ) ( < t < T ) Chng minh rng quóng ng L vt i c khong http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB thi gian t thi im t = a n thi im t = b ( < a < b < T ) l: L = F ( b) F ( a) , ú F l mt nguyờn hm bt kỡ ca f trờn khong ( 0;T ) Li gii Gi s = s( t ) l quóng thi ng i c ca vt cho n thi im t Quóng ng vt i c khong thi gian t thi im t = a n thi im t = b l L = s( b) s( a) Mt khỏc, ta ó bit s'( t ) = f ( t ) , ú s = s( t ) l mt nguyờn hm ca f Thnh th, tn ti mt hng s C cho L = s( b) s( a) = F ( b) + C F ( a) + C = F ( b) F ( a) s( t ) = F ( t ) + C Vy Bi toỏn (SGK 12 NC) Mt ụ tụ ang chy vi tc 20 ( m/ s) thỡ ngi ngi p phanh (cũn gi l thng) Sau p phanh, ụ tụ chuyn ng chm dn u vi tc v( t ) = 40t + 20 ( m/ s) , ú t l khong thi gian tớnh bng giõy k t lỳc bng u p phanh Hi t lỳc p phanh n dng hn, ụ tụ cũn di chuyn bao nhiờu một? Li gii Ly mc thi gian l lỳc ụ tụ bt u c p phanh Gi T l thi im ụ tụ dng Ta cú v( T ) = suy 20 = 40T T = 0,5 Nh vy, khong thi gian t lỳc p phanh n dng hn ca ụ tụ l 0,5 giõy Trong khong thi gian 0,5 giõy ú, ụ tụ di 0,5 chuyn c quóng ng l L = ( 20 40t) dt = ( 20t 20t ) 0,5 = ( m) Bi toỏn (SGK 12 NC) Mt vt chuyn ng vi tc v( t ) = 2sin2t ( m/ s) Tớnh quóng ng vt di chuyn khong thi gian t thi im t = ( s) n thi im t = ( s) Li gii Quóng ng S = ( 2sin2t) dt = Bi toỏn (SGK 12 NC) Mt vt chuyn ng chm dn vi tc v( t ) = 160 10t ( m/ s) Tớnh quóng ng vt di chuyn c thi im t = ( s) n thi im m vt dng li Li gii Gi t0 l thi im vt dng li Ta cú v( t0 ) = Suy t0 = 16 Vy S = 16 ( 160 10t) dt = 1280 ( m) Bi toỏn (SGK 12 NC) Mt vt ang chuyn ng vi tc 10 ( m/ s) thỡ tng ( ) 2 tc vi gia tc a( t ) = 3t + t m/ s Tớnh quóng ng vt i c khong thi gian 10 giõy k t lỳc bt u tng tc http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Li gii Gi v( t ) l tc ca vt Ta cú v'( t ) = a( t ) = 3t + t Suy v( t ) = Vỡ v( 0) = 10 nờn suy C = 10 Vy v( t ) = 3t2 t3 + +C 3t2 t3 + + 10 3t2 t3 4300 + + 10ữdt = Thnh th quóng ng vt i c l S = ( m) 3 10 Bi toỏn (SGK 12 NC) Mt viờn n c bn lờn theo phng thng ng vi tc ban u 25 ( m/ s) Gia tc trng trng l 9,8 m/ s ( ) a) Sau bao lõu thỡ viờn n t ti cao ln nht? b) Tớnh quóng ng viờn n i c t lỳc bn lờn cho n chm t (tớnh chớnh xỏc n hng phn trm) Li gii Gi v( t ) l tc ca viờn n Ta cú v'( t ) = a( t ) = 9,8 Suy v( t ) = 9,8t + C Vỡ v( 0) = 25 nờn C = 25 Vy v( t ) = 9,8t + 25 Gi T l thi im viờn n t cao ln nht Ti ú viờn n cú tc bng 25 2,55 (giõy) Vy v( T ) = Suy T = 9,8 Vy quóng ng viờn n i c cho n ri xung t l 2S 31,89 ( m) Bi toỏn (SGK 12 NC) Gi s mt vt t trng ngh t = ( s) chuyn ng thng vi tc v( t ) = t ( t ) dng li ( m/ s) Tỡm qung ng vt i c cho ti nú Li gii Vt dng li ti thi im t = Quóng ng vt i c l S = t ( t ) dt = 125 ( m) Bi toỏn (SGK 12 NC) Mt cht im A xut phỏt t v trớ O , chuyn ng thng nhanh dn u; giõy sau nú t n tc ( m/ s) T thi im ú nú chuyn ng thng u Mt cht im B xut phỏt t cựng v trớ O nhng chm hn 12 giõy so vi A v chuyn ng thng nhanh dn u Bit rng B ui kp A sau giõy (k t lỳc B xut phỏt) Tỡm tc ca B ti thi im ui kp A Li gii http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Thi im A v B gp l 20 giõy k t lỳc A xut phỏt th tc ca A l ng gp khỳc OMN Quóng ng A ó i c l din tớch hỡnh thang OMNQ = 96 , ú lỳc gp B, A i c 96 ( m) th tc ca B l ng thng HP Vỡ B xut phỏt cựng v trớ vi A nờn quóng ng B i c l 96 ( m) Din tớch ca nú l ( 20 + 12) Mt khỏc, quóng ng B ó i c bng din tớch hỡnh tam giỏc HPQ vi HQ = 8PQ = 4PQ nờn v PQ chớnh l tc ca B ti thi im ui kp A Suy 96 = PQ = 24 Vy tc ca B ti thi im nú ui kp A l 24 ( m/ s) Bi toỏn (SGK BT 12 NC) Mt ỏm vi trựng ti ngy th t cú s lng l N ( t ) 4000 v lỳc u ỏm vi trựng cú 250000 Hi sau 10 ngy s 1+ 0,5t lng vi trựng l bao nhiờu? Bit rng N '( t ) = Li gii Ta cú: N ( t ) = 8000ln ( 1+ 0,5t ) + 250000 N ( 10) = 8000ln6 + 250000 264334 Kt qu: 264334 Bi toỏn 10 (SGK BT 12 NC) Mt vt chuyn ng vi tc v( t ) m/ s2 Vn tc ban u ca vt l t+1 10 giõy (lm trũn kt qu n hng n v) tc v'( t) = ( ) ( m/ s) cú gia ( m/ s) Hi tc ca vt sau Li gii Ta cú: v( t ) = 3ln ( t + 1) + v( 10) = 3ln11+ 13 ( m/ s) Kt qu: 13 ( m/ s) Bi toỏn 11 (SGK BT 12 NC) Gi h( t ) ( cm) l mc nc bn cha sau bm 13 t + v lỳc u bn khụng cú nc Tỡm mc nc bn sau bm nc c giõy (lm trũn kt qu n hng phn trm) c t giõy Bit rng h'( t ) = Li gii h( t ) = 12 t + 8) ( 20 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Kt qu: 2,66 ( m) Bi toỏn 12 (SGK BT 12 NC) Vn tc ca mt vt chuyn ng l sin ( t ) v( t ) = + ( m/ s) Tớnh quóng ng di chuyn ca vt ú khong thi gian 1,5 giõy (lm trũn kt qu n hng phn trm) Li gii + 0,34 ( m) Bi toỏn 13 (SGK BT 12 NC) Vn tc ca mt vt chuyn ng l t2 + v( t ) = 1,2 + ( m/ s) Tớnh quóng ng di chuyn ca vt ú khong thi t+ gian giõy (lm trũn kt qu n hng phn trm) Kt qu: Li gii Kt qu: 0,8 13ln3+ 13ln7 11,81 ( m) PHN BI TON THC T LIấN QUAN ấN M LễGARIT Bi toỏn 1: (BI TON LI KẫP) Mt ngi gi s tin triu ng vo mt ngõn hng vi lói sut 7%/nm Bit rng nu khụng rỳt tin ngõn hng thỡ c sau mi nm, s tin lói s c nhp vo ban u (ngi ta gi l lói kộp) Hi ngi ú c lnh bao nhiờu tin sau n nm ( nẻ Ơ * ), nu khong thi gian ny khụng rỳt tin v lói sut khụng thay i ? http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Bi gii: Gi s n Gi s ban u l P, lói sut l r Ta cú P = (triu ng), r = 0,07 + Sau nm th nht : Tin lói l T1 = P.r = 1.0,07 = 0,07 (triu ng) S tin c lnh (cũn gi l tớch ly) l P1 = P +T1 = P + P.r = P ( 1+ r) = 1,07 (triu ng) + Sau nm th hai : Tin lói l T2 = P1.r = 1,07.0,07 = 0,0749 (triu ng) Vn tớch ly l P2 = P1 +T2 = P1 + P1.r = P ( 1+ r ) = 1,1449 (triu ng) n n Tng t, tớch ly sau n nm l Pn = P ( 1+ r) = ( 1,07) (triu ng) n Vy sau n nm ngi ú c lnh ( 1,07) (triu ng) Bi toỏn 2: Trong Vt lớ, s phõn ró ca cỏc cht phúng x c biu din t ổử 1ữT ú m l lng phúng x ban u (ti bng cụng thc m( t) = m0 ỗ ữ ỗ ỗ ố2ữ ứ thi im t = ), m( t) l lng cht phúng x ti thi im t , T l chu kỡ bỏn ró (tc l khong thi gian mt na s nguyờn t ca cht phúng x b bin thnh cht khỏc) Bi toỏn 3: Dõn s th gii c tớnh theo cụng thc S = A.eni , ú A l dõn s ca nm ly lm mc tớnh, S l dõn s sau n nm, i l t l tng dõn s hng nm Bi toỏn 4: Cho bit nm 2003, Vit Nam cú 80.902.400 ngi v t l tng dõn s l 1,47% Hi nm 2010 Vit Nam s cú bao nhiờu ngi, nu t l tng dõn s hng nm khụng i ? Bi gii : Vo nm 2010, tc l sau nm, dõn s ca Vit Nam l 80902400.e7.0,0147 ằ 89670648 ngi http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Bi toỏn 5: Mt ngi gi tit kim vi lói sut 8,4%/nm v lói hng nm c nhp vo Hi sau bao nhiờu nm ngi ú thu c gp ụi s tin ban u ? Bi gii : Gi s tin gi ban u l P Sau n n nm, s tin thu c l n Pn = P.( 1+ 0,084) = P.( 1,084) n Pn = 2P thỡ phi cú ( 1,084) = Do ú n= log1,084 ằ 8,59 Vỡ n l s t nhiờn nờn ta chn n= Bi toỏn 6: Cho bit chu kỡ bỏn ró ca mt cht phúng x l 24 gi (1 ngy ờm) Hi 250 gam cht ú s cũn li bao nhiờu sau : a) 1,5 ngy ờm ? b) 3,5 ngy ờm ? Bi gii: t ổử 1ữT Ta bit cụng thc tớnh lng cht phúng x ti thi im t l m( t) = m0 ỗ ữ ỗ ỗ2ữ ố ứ , ú m0 l lng phúng x ban u (ti thi im t = ), m( t) l lng cht phúng x ti thi im t , T l chu kỡ bỏn ró Ta cú T = 24 gi = ngy ờm, m0 = 250 gam Do ú : a) Khi lng cht phúng x cũn li sau 1,5 ngy ờm l x cũn li sau 3,5 ngy ờm l 1,5 ổử 1ữ1 m( 1,5) = 250.ỗ ữ ằ 88,388 gam ỗ ỗ ố2ữ ứ b) Khi lng cht phúng 3,5 ổử 1ữ1 gam m( 1,5) = 250.ỗ ữ ỗ ữ ằ 22,097 ỗ2ứ ố http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Bi toỏn 7: Mt khu rng cú tr lng g 4.105 Bit tc sinh trng ca cỏc cõy khu rng ú l 4%/mi nm Hi sau nm, khu rng ú s cú bao nhiờu g ? Bi gii : Gi tr lng g ban u l V0 , tc sinh trng hng nm ca rng l i phn trm Ta cú : + Sau nm, tr lng g l V1 = V0 + V0i = V0 ( 1+ i ) ; + Sau nm, tr lng g l V2 = V1 + V1i = V0 ( 1+ i) ; + Sau nm, tr lng g l V5 = V0 ( 1+ i) Thay V0 = 4.105 ( m3 ), i = 4% = 0,04 , ta c V5 = 4.105 ( 1+ 0,04) ằ 4,8666.105 ( m3 ) Bi toỏn : S tng trng ca mt loi vi khun tuõn theo cụng thc S = A.ert , ú A l s lng vi khun ban u, r l t l tng trng ( r > ), t l thi gian tng trng Bit rng s lng vi khun ban u l 100 v sau gi cú 300 Hi sau 10 gi cú bao nhiờu vi khun ? Sau bao lõu s lng vi khun ban u s tng gp ụi ? Bi gii : Trc tiờn, ta tỡm t l tng trng mi gi ca loi vi khun ny T gi thit 300 = 100.e5r suy r = ln300- ln100 ln3 = ằ 0,2197 Tc l t l tng trng ca loi 5 vi khun ny l 21,97% /mi gi Sau 10 gi, t 100 vi khun s cú 100.e10.0,2197 ằ 900 (con) T 100 con, cú 200 thỡ thi gian cn thit l tằ ln200- ln100 ằ 3,15 gi ằ gi phỳt 0,2197 Bi : Cho bit chu kỡ bỏn ró ca cht phúng x plutụni Pu239 l 24360 nm (tc l mt lng Pu239 sau 2430 nm phõn hy thỡ ch cũn li mt na) S phõn hy c tớnh theo cụng thc S = A.ert , ú A l lng cht http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB phúng x ban u, r l t l phõn hy hng nm ( r < ), t l thi gian phõn hy, S l lng cũn li sau thi gian phõn hy t Hi 10 gam Pu239 sau bao nhiờu nm phõn hy s cũn gam ? Bi gii : Trc tiờn, ta tỡm t l phõn hy hng nm ca Pu239 Ta cú Pu239 cú chu kỡ bỏn hy l 24360 nm, ú ta cú = 10.er.24360 Suy : r = ln5- ln10 ằ - 2,84543.10- ằ - 0,000028 2430 Vy s phõn hy ca Pu239 c tớnh theo cụng thc S = A.e- 0,000028t , ú S v A tớnh bng gam, t tớnh bng nm - 0,000028t t= Theo bi ra, ta cú : 1= 10.e - ln10 ằ 82235 (nm) - 0,000028 Vy sau khong 82235 nm thỡ 10 gam cht Pu239 s phõn hy cũn gam Bi toỏn 10 : (Trớch minh 2017) ễng A vay ngn hn ngõn hng 100 triu ng, vi lói sut 12% /nm ễng mun hon n cho ngõn hng theo cỏch : Sau ỳng mt thỏng k t ngy vay, ụng bt u hon n; hai ln hon n liờn tip cỏch ỳng mt thỏng, s tin hon n mi ln l nh v tr ht tin n sau ỳng thỏng k t ngy vay Hi, theo cỏch ú, s tin m m ụng A s phi tr cho ngõn hng theo cỏch ú l bao nhiờu ? Bit rng, lói sut ngõn hng khụng thay i thi gian ụng A hon n A m= 100.( 1,01) 3 ( 1,01) B m= ( 1,01) - (triu ng) (triu ng) C m= 100.1,03 (triu ng) D m= 120.( 1,12) ( 1,12) 3 - (triu ng) Bi gii : Lói sut 12%/1nm ị 1%/thỏng (do vay ngn hn) Sau thỏng 1, ụng A cũn n: 100.1,01- m (triu ng) http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Sau thỏng 2, ụng A cũn n: ( 100.1,01- m) 1,01- m (triu ng) Sau thỏng 3, ụng A ht n, ú ta cú : ( 100.1,01 ị mằ 2,01m) 1,01- m= 100.1,013 - 3,0301m= 100.1,013 (triu ng) La chn ỏp ỏn A Bi toỏn 11 : Khong 200 nm trc, hai nh khoa hc Phỏp l Clụ-zi-ut (R Clausius) v Clapay-rụng (E Clapeyron) ó thy rng ỏp sut p ca hi nc (tớnh bng milimột thy ngõn, vit tt l mmHg) gõy nú chim khong trng phớa trờn ca mt nc cha mt bỡnh kớn (Hỡnh 2.7) c tớnh theo cụng thc k p = a.10t+273 , ú t l nhit C ca hi nc, a v k l nhng hng s Cho bit kằ - 2258,624 a) Tớnh a bit rng nhit ca nc l 1000C thỡ ỏp sut ca hi nc l 760 mmHg (tớnh chớnh xỏc n hng phn chc) b) Tớnh ỏp sut ca hi nc nhit ca nc l 400C (tớnh chớnh xỏc n hng phn chc) Bi gii : a) Khi nhit nc l t = 1000C thỡ P = 760 Do ú ta cú phng trỡnh (n a) : - 2258,624 373 760 = a.10 ị aằ 863188841,4 b) ằ 52,5 mmHg http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Bi toỏn 12 : S dng cụng thc L ( dB) = 10log I , hóy tớnh gn ỳng, chớnh I0 xỏc n hng n v, ln (dB) ca õm cú t s I cho bng sau I0 ri in vo ct cũn trng : STT Loi õm Ngng nghe Nhc ờm du 4000 Nhc mnh phỏt t loa 6,8 108 Ting mỏy bay phn lc 2,3 1012 Ngng au tai 1013 I I0 ln ( L ) I I0 ln ( L ) Bi gii : Ta cú bng sau STT Loi õm Ngng nghe dB Nhc ờm du 4000 36 dB Nhc mnh phỏt t loa 6,8 108 88 dB Ting mỏy bay phn lc 2,3 1012 124 dB Ngng au tai 1013 130 dB http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB ... BBT, max f ( x) = 125 ổ 15 ữ ỗ ỗ ;15ữ ữ ữ ỗ ố2 ứ x= 10 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB Do ú th tớch lng tr nh hỡnh v ln nht x = 10 ( cm) Khi ú Vmax =... tng hai s T BBT, ta cú max P ( x) = P ữ = ( 0;m) Bi toỏn (SGK BT 12 CB) Tỡm hai s cú hiu l 13 cho tớch ca chỳng l nht http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB... ; < x < 10 http://dethithpt.com Website chuyờn thi, file word cú li gii MS: MM-LBB b) ( Hỡnh ) lng tr cú th tớch ln nht ( ) x = ( m) v max V = V = 250 m3 ( 0;10) Bi toỏn 22 (SGK BT 12 NC)