Đang tải... (xem toàn văn)
Hôm nay http:www.hoctoan.ga xin gửi tới các bạn chuyên đề tính đồng biến nghịch biến của hàm số, hay còn gọi là tính biến thiên của hàm số. Chuyên đề được thiết kế thành 3 phần bao gồm tóm tắc lý thuyết, các ví dụ có lời giải, và hệ thống các câu trắc nghiệm để học sinh rèn luyện
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I TÓM TẮC KIẾN THỨC: 1) Sự đơn điệu hàm số: * Định nghĩa: Hàm số y = f ( x ) đồng biến (a;b) ⇔ ∀x1, x2 ∈ ( a; b) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (a;b) ⇔ ∀x1, x2 ∈ ( a; b) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Đồ thị hàm số tăng ( α;β ) Đồ thị hàm số giảm ( α;β ) * Định lí: Hàm số y = f ( x) đồng biến (a;b) ⇔ y′ ≥ ; ∀x ∈ (a;b) Hàm số y = f ( x) nghịch biến (a;b) ⇔ y′ ≤ ; ∀x ∈ (a;b) Chú ý: dấu “=” xảy số hữu hạn điểm * Chú ý: • Khi yêu cầu “Tìm khoảng đơn điệu” tức “Tìm khoảng đơn điệu tập xác định” • Để xét tính đơn điệu hàm số, ta thực sau: + Tìm D + Tính y′ + Tìm nghiệm y′ hay điểm thuộc D y’ không xác định ( có) + Lập bảng biến thiên + Căn vào bảng biến thiên ta kết luận khoảng đơn điệu • Hàm số biến đồng biến (nghịch biến) khoảng xác định, xét điều kiện đủ không xảy dấu “=” Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga * Một số kiến thức bổ trợ: a Dấu nhị thức bậc f ( x ) = ax + b x −∞ b a − Trái dấu với a f ( x) +∞ dấu với a a Dấu tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c Xét biệt thức ∆ = b − 4ac ∆' = b' − ac * Nếu ∆ < f ( x ) dấu với a,∀x ∈ R −b b * Nếu ∆ = f ( x ) dấu với a,∀x ∈ R \ , f − ÷ = 2a 2a * Nếu ∆ > dấu f ( x ) xét theo bảng sau x −∞ f ( x) II x1 dấu với a +∞ x2 trái dấu với a dấu với a MỘT SỐ VÍ DỤ: Xét tính đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu hàm số Bài giải: Từ đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ; ( 3; +∞ ) nghịch biến khoảng ( 1; 3) Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga Hỏi đồ thị hàm số nghịch biến khoảng nào? Bài giải: Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số nghịch biến ( −2;1) Ví dụ : Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = − x3 + x − Bài giải: Tập xác định: D = R x = ⇒ y = −2 y' = −3x + x , cho y' = ⇔ −3x + x = ⇔ x = ⇒ y = Ta có bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) nghịch biến khoảng ( −∞; ) ; ( 2; +∞ ) Ví dụ : Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = − x + x − Bài giải: Tập xác định: D = R Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga x = ⇒ y = −1 y' = − x + x , cho y' = ⇔ − x + x = ⇔ x = ±2 ⇒ y = Ta có bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ; ( 0; ) nghịch biến khoảng ( −2; ) ;( 2; +∞ ) Ví dụ : Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = −x − x −1 Bài giải: Tập xác định: D = R/\{ 1} y' = ( x − 1) > 0,∀x ∈ D Ta có bảng biến thiên Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ; ( 1; +∞ ) Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga Ví dụ : Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = x − x Bài giải: Tập xác định D = [ 0; 2] y' = 1− x 2x − x cho y' = ⇔ − x = ⇔ x = ⇔ y = Ta có bảng biến thiên Hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) nghịch biến ( 1; ) Ví dụ : Cho hàm số y = x − mx + ( m + ) x + 2m − Tìm m để hàm số đồng biến R Bài giải: Ta có y' = x − 2mx + m + Hàm số đồng biến R ⇔ y' ≥ ,∀x ∈ R ⇔ ∆' = m − ( m + ) ≤ ⇔ m − m − ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ Nhận xét: Để tiện cho việc giải nhanh câu trắc nghiệm ta có nhận xét sau y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) ⇒ y' = 3ax + 2bx + c a > * Hàm số đồng biến R ⇔ b − 3ac ≤ Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a < ⇔ R * Hàm số nghịch biến b − 3ac ≤ Ví dụ : Cho hàm số y = định http://www.hoctoan.ga mx + Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác 2x + m Bài giải: m Tập xác định D = R \ − 2 Ta có y' = m2 − ( 2x + m) hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y' > 0,∀x ∈ D ⇔ m − > ⇔ m < −2 ∨ m > III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM: NHẬN BIẾT Câu Cho hàm số y = f (x) xác định R có đồ thị hình vẽ bên: Mệnh đề sau ? A Hàm số đồng biến khoảng (−∞;+∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞;−1) (1;+∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−1;1) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;+∞) Câu Cho hàm số y = f (x) xác định R có đồ thị hình vẽ bên: Mệnh đề sau ? Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) B Hàm số đồng biến khoảng ( −1; ) (1;+∞) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −1; ) (1;+∞) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên: Mệnh đề sau sai ? A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) B Hàm số đồng biến R \ { −2} C Hàm số đồng biến ( −∞; −2 ) D Hàm số đồng biến ( −2; +∞ ) Câu Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) y B Hàm số đồng biến R C Hàm số đồng biến khoảng ( - ¥ ;0) ( 1;+¥ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( - ¥ ;3) ( 1;+¥ ) x -1 O Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng D Với điều kiện hàm số cho đồng biến khoảng D ? A ∃x ∈ D : f '( x ) > B ∀x ∈ D : f '( x ) > C ∀x ∈ D : f '( x ) < D ∀x ∈ D : f ( x ) > Câu 6: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên: Khẳng định sau ? A Hàm số y = f (x) tăng (- ¥ ;2) (0; +¥ ) Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ù B Hàm số y = f (x) đồng biến tập ¡ \ é ê ë1;3ú û http://www.hoctoan.ga C Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (0;2) D Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (1;3) Câu Cho hàm số y = f (x), có bảng biến thiên: Mệnh đề sau sai ? A Hàm số đồng biến khoảng (−∞;−2) (2;+∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞;−1) (1;+∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−1;0) (0;1) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−2) (2;+∞) Câu Cho hàm số y = f (x) xác định R có bảng biến thiên hình vẽ bên: Hỏi hàm số cho đồng biến khoảng ? A (4;5) B (−∞;4) C (0;1) D.(1;+∞) Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến hình vẽ Hỏi hàm số đồng biến khoảng ? A (0;+∞) B (−∞;+∞) C (0;1) D (−2;0) Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) Khẳng định sau sai? A Nếu f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) B Nếu f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) f ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) C Nếu f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ ( a; b ) f ( x ) hàm số khoảng ( a; b ) Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga D Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) f ( x ) đồng biến khoảng Câu 11.Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên: Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến ¡ B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) C Hàm số đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 1; +∞ ) Câu 12.Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên: Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến ( −∞; −2 ) B Hàm số đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;5) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;1) THÔNG HIỂU Câu 13: Các khoảng đồng biến hàm số y = − x + x − x là: A (−∞; +∞) B (−∞; −4) vµ (0; +∞) C ( 1;3) D (−∞;1) vµ (3; +∞) Câu 14: Các khoảng đồng biến hàm số số y = − x + 3x − là: A (−∞;1) vµ (2; +∞) B ( 0; ) C ( 2; +∞ ) D ¡ Câu 15: Các khoảng đồng biến hàm số y = x − 3x là: A (−∞;0) (2; +∞) B ( 0; ) C ( 2; +∞ ) D ¡ Câu 16: Hàm số y = x − x + đồng biến tập nào? Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga A ( −2;0 ) ( 2; +∞ ) B ( −∞; −2 ) ( 0; ) C ( −∞;0 ) D ( 0; +∞ ) Câu 17: Hàm số y = − x + x + đồng biến tập nào? A ( −2;0 ) ( 2; +∞ ) B ( −∞; −2 ) ( 0; ) C ( −∞;0 ) D ( 0; +∞ ) Câu 18: Hàm số y = x +1 đồng biến tập nào? x+2 A ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) Câu 19: Hàm số y = B ( −∞; +∞ ) C ( −∞; −1) D ¡ \ { −2} C ( −∞;3) D ¡ \ { 1} x −3 đồng biến tập nào? x −1 A ( −∞;1) ( 1; +∞ ) B ( −∞; +∞ ) Câu 20: Hàm số sau đồng biến ¡ ? A y = x+2 x −1 B y = x − x + C y = x3 + x + x + D y = − x3 + x + x − Câu 21 Hàm số y = x − x nghịch biến khoảng nào? A ( 1; ) B ( 0;1) C ( −∞;1) D ( 1; +∞ ) Câu 22 Hàm số sau nghịch biến ¡ ? A y = 2x −1 x +1 B y = − x3 + x − 10 x C y = x3 − 3x D y = x − Câu 23 Các khoảng nghịch biến hàm số y = − x + 3x − A ( 0;2 ) B ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) C ( −∞;0 ) ( 1; +∞ ) D ( −∞;1) ( 2; +∞ ) Câu 24 Hàm số y = x − x + đồng biến khoảng nào? Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang 10 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A (−∞; −1);(0,1) B (−1;0);(1; +∞) C (0; +∞) Câu 25 Xác định khoảng để hàm số y = A ( −∞;1) ,( 1; +∞ ) B ¡ \ { 1} http://www.hoctoan.ga D ¡ x +1 nghịch biến? x −1 C ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) D ( −∞;1) ∩ ( 1; +∞ ) Câu 26 Cho hàm số y = − x + x − x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến ¡ 1 B Hàm số nghịch biến khoảng ;1÷ 3 1 C Hàm số đồng biến khoảng ;1÷ 3 D Hàm số đồng biến khoảng −∞; ÷ ( 1; +∞ ) Câu 27 Cho hàm số y = 2x − Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau x +1 A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến R \ { −1} D Hàm số đồng biến R \ { −1} Câu 28 Hàm số y = x − x nghịch biến khoảng ? A ( 0; ) B ( 2; ) C ( −∞; ) D ( 2; +∞ ) Câu 29 Hàm số y = x − x nghịch biến khoảng ? A ( −∞;0 ) B ( 4; +∞ ) C ( −∞; ) D ( 2; +∞ ) Câu 30 Hàm số y = − x đồng biến khoảng A ( −3;0 ) Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ B ( 0;3) C ( −∞;0 ) D ( 0; +∞ ) Trang 11 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga Câu 31 Hàm số y = −2 x + x − đồng biến khoảng sau 1 5 5 A ; ÷ 2 4 C −∞; ÷ B ; ÷ 4 D ( 2; +∞ ) Câu 32 Hàm số sau đồng biến tập xác định (I) y = x − (II) y = 3x3 − x + x − A (I) (II) (III) y = − x3 + 3x − x − (IV) y = x + 3x B (I) (IV) C (II) (III) D (II) (IV) Câu 33 Hàm số sau hàm số đồng biến R? A y = ( x − 1) − 3x + B y = x C x +1 y= x x +1 D y = tan x Câu 34 Hàm số sau nghịch biến ¡ ? A y = − cos 3x B y = 2x + x −1 C y = cot x D y = − x3 − x + Câu 35.(Đề thử nghiệm Bộ GD-ĐT) Cho hàm số y = x3 − x + x + Mệnh đề ? 1 A Hàm số nghịch biến khoảng ;1÷ 3 B Hàm số nghịch biến khoảng −∞; ÷ 1 C Hàm số đồng biến khoảng ;1÷ 3 D Hàm số nghịch biến khoảng ( 1; +∞ ) Câu 36 Hàm số y = cos2x − 2x + Mệnh đề sau đúng? π A Nghịch biến ¡ B Đồng biến 0; ÷ 2 C Đồng biến ¡ D Đồng biến ; +∞ ÷ 2 π VẬN DỤNG Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang 12 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga Câu 37 Cho hàm số y = f (x) xác định đồng biến R Hỏi hàm số kiệt kê đồng biến R? A B y = f 2(x) y = − f (x) C y= f (x) D ( ) y = f3 x Câu 38 Cho hàm số y = f (x) xác định đồng biến R Hỏi hàm số liệt kê nghịch biến R? A y = − f (x) C y = B y = f 2(x) f (x) ( ) D y = f x Câu 39 Cho hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (3;7); nghịch biến khoảng (1;2) Hỏi với x1, x2 nhận giá trị liệt kê để (x1 − x2)( f (x1) − f (x2)) > A x1 = 0, x2 = B x1 = 5, x2 = C x1 = 6, x2 = D x1 = 4, x2 = Câu 40 Cho hàm số: f ( x) = x3 + x + ( m + 1) x + Tìm tất giá trị m để hàm số cho đồng biến ¡ A m > B m ≤ C m < Câu 41 Cho hàm số y = D m ≥ mx − Tìm tất giá trị m để hàm số nghịch biến x −1 khoảng xác định nó? A m ≤ B m > C m ≥ D m < Câu 42 Với giá trị tham số m hàm số y = − x3 + mx − mx + nghịch biến ¡ ? A ≤ m ≤ B < m < Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ C m > ∨ m < D m ≥ ∨ m ≤ Trang 13 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://www.hoctoan.ga Câu 43 Với giá trị m hàm số y = − x + x − mx + nghịch biến tập xác định A m≥4 B m Câu 44: Cho hàm số f ( x) có tính chất: f '( x) ³ 0, " x Î ( 0;3) f '( x) = ù Hỏi khẳng định sau khẳng định sai ? xÎ é ê ë1;2ú û A Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( 0;3) B Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( 0;1) C Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( 2;3) D Hàm số f ( x) hàm (tức không đổi) khoảng ( 1;2) Câu 45: Hàm số y = x−2 nghịch biến khoảng ( −∞;3) x−m A m > B m > Câu 46: Tìm m để hàm số y = A m = C m < D m < 2x − m đồng biến khoảng xác định x −1 B m> C m< D m ∈ R Câu 47 Tìm tất giá trị m để hàm số y = x3 + mx2 − mx − m đồng biến ¡ A m≥ m≤ −1 B m≤ −1 C ∀m∈ ¡ D m> m< −1 Câu 48: Giá trị b để hàm số y = f ( x ) = sin x - bx nghịch biến A ( −∞; −1) B [ 1;+∞ ) C ( 1;+∞ ) D ( −∞;1] Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ Trang 14 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 49: Hàm số khi: A m = http://www.hoctoan.ga y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài B m = - C m = D m = - Câu 50: Giá trị nhỏ tham số m để hàm số y = m x − x + ( m + 3) x + m đồng biến R là: A m = −4 B m = C m = −2 D m = Câu 51: Có số nguyên m đoạn [-2017;2017]để hàm số y = (m2 − 2m)x3 + (m − 2)x2 + 3x − đồng biến ¡ A 4034 B 4033 C 2017 D 2016 Câu 52: Có số nguyên không âm m để hàm số y = x + ( − 2m ) x + ( − m ) x + m + đồng biến khoảng ( 0; + ∞ ) ? A Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ B C D Trang 15