Hôm nay, www.hoctoan.ga tiếp tục giới thiệu đến độc giả chuyên đề “ Cực trị hàm số“. Nội dung chuyên đề gồm 3 phần: Tóm tắc lý thuyết cần nhớ Các ví dụ minh họa có phân tích nhận xét đưa ra các giải tổng quát. 69 câu hỏi trắc nghiệm khách quan có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết file word có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết côn thức toán đánh bằng mathtype
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ * Định nghĩa: Cho y = f ( x ) xác định liên tục ( a;b ) x0 ∈ ( a;b ) a) Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) y = f ( x ) x ≠ x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) ∀x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 * Định lí 1: Giả sử y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) có đạo hàm K K \ { 0} với h > Khi đó: ( Tại x0 đạo hàm không xác định ) * Định lí 2: Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai ( x0 − h; x0 + h ) với h > Khi đó: f ' ( x) = x0 điểm cực tiểu y = f ( x ) f " ( x) > f ' ( x) = b) Nếu x0 điểm cực đại y = f ( x ) f " ( x) < a) Nếu * Quy tắc tìm cực trị y = f(x) Quy tắc 1: Tìm TXĐ Tính f ' ( x ) Tìm điểm f ' ( x ) = f ' ( x ) không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc 1.Tìm TXĐ Tính f ' ( x ) Giải phương trình f ' ( x ) = kí hiệu xi ,i = 1,2,3, ,n nghiệm Tính f " ( x ) f " ( xi ) = 4, Dựa vào dấu f " ( xi ) suy tính chất cực trị xi II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = x3 − 3x + Bài giải Tập xác định D = ¡ x =1⇒ y = y = 3x − cho y' = ⇔ 3x − = ⇔ x = −1 ⇒ y = Bảng biến thiên Hàm số đạt cực đại x = −1 đạt cực tiểu x = Ví dụ Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x Bài giải Tập xác định D = ¡ x = ⇒ y = y = x3 − x cho y' = ⇔ x − x = ⇔ x = ±2 ⇒ y = −4 Bảng biến thiên Đồ thị hàm số có điểm cực đại ( 0; ) , cực tiểu ( −2; −4 ) ; ( 2; −4 ) Ví dụ 3: Định m để hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + đạt cực tiểu x = Bài giải Tập xác định D = ¡ y' = 3x − 6mx + m − m= Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y'( 2) = ⇔ m − 12m+ 11= ⇔ m= 11 Với m = suy y = x3 − 3x + 2, y' = 3x − x, y" = x − y'( 2) = 3.22 − 6.2 = Ta có hàm số đạt cực tiểu x = y"( 2) = 6.2 − = > Với m = 11 suy y = x3 − 33x + 120 x + ⇒ y' = x − 66 x + 120 ⇒ y" = x − 66 y'( 2) = 3.22 − 66.2 + 120 = Ta có hàm số đạt cực đại x = y"( 2) = 6.2 − 66 = −54 < Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán x2 − 4x + m Ví dụ 4: Định m để hàm số y = có cực đại cực tiểu 1− x Bài giải Tập xác định D = ¡ − x2 + 2x + m − y' = Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y' = có hai nghiệm phân biệt ( 1− x) ⇔ − x + x + m − = có hai nghiệm phân biệt ∆' = m − > ⇔ m > 3 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − mx + ( m + ) x − 2m + Tìm m để hàm số có hai cực trị A −1 ≤ m ≤ B −2 ≤ m ≤ C m < −2 ∨ m > D m < −1 ∨ m > Bài giải Tập xác định D = ¡ y' = x − 2mx + m + Hàm số có hai cực trị ⇔ y' = có hai nghiệm phân biệt ∆' = m − ( m + ) = m − m − > ⇔ m < −1 ∨ m > Chọn đáp án D Để thuận tiện cho việc giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm ta có ghi nhơ sau Ghi nhớ Xét hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) Ta có y' = 3ax + 2bx + c Hàm số cực trị ⇔ b − 3ac ≤ Hàm số có hai cực trị ⇔ b − 3ac > Khi đó, gọi x1 ,x2 hoành độ hai cực 2b x1 + x2 = − 3a trị ta có tính chất sau x x = c 3a Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + 2m − có hai cực trị thỏa mãn xCD − xCT = A m = 0,m = B m = 1,m = C m = 0,m = D m = ±2 Bài giải 2 xCD − xCT = ⇔ ( xCD − xCT ) = ⇔ ( xCD + xCT ) − xCD xCT = m = ⇔ ( 2m ) − ( m − 1) = ⇔ 4m − 4m = ⇔ Chọn đáp án C m = Ghi nhớ Xét hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) Lấy y chia cho y' ta phân tích y = p ( x ) y' + rx + q cực trị y' = nên đường thẳng qua cực trị y = rx + q Ví dụ 7: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = x − mx + ( m + 1) x + m − có hai điểm cực trị cho hai điểm cực trị điểm A ( 0; ) thẳng hàng Bài giải Ta có y' = x − 2mx + m + m 2 1 Lấy y chia y' ta y = x − ÷y' − ( m + m + 1) x + m − + m ( m + 1) 3 3 3 2 Suy đường thẵng qua hai cực trị : d : y = − ( m + m + 1) x + m − + m ( m + 1) Hai 3 m = 2 cực trị A ( 0; ) thẳng hàng d qua A ( 0; ) ⇔ m + 4m − 12 = ⇔ m = − Đối với hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c ( a ≠ ) x = Ta có y' = 4ax + 2bx = ⇔ −b x = ( a) 2a Đến có ghi nhớ sau Ghi nhớ Hàm bậc trùng phương có cực trị, số cực trị hàm phụ thuộc vào số nghiệm phương trình ( a ) Cụ thể b ≤ tức a,b dấu b = phương trình ( a ) vô nghiệm Nếu − 2a có nghiệm x = , hàm số có cực trị x = b > tức a,b trái dấu phương trình ( a ) có hai nghiệm phân biệt khác Nếu − 2a b 0, hàm số có ba cực trị x = 0,x = ± Cụ thể 2a b o a > ,b < hàm số có hai cực tiểu x = ± cực đại x = 2a b o a < 0,b > hàm số có hai cực đại x = ± cực tiểu x = 2a Hình vẽ minh họa dạng đò thị hàm bậc trùng phương a > ,b < a > ,b ≥ a < 0,b ≤ a < 0,b > Ví dụ 8: Tìm tham số m để hàm số y = mx + ( 2m − 3) x + có ba cực trị 3 A m > B m < C < m < D m < ∨ m > 2 Bài giải 3 Chọn C 2 Ví dụ 9: Tìm tham số m để hàm số y = mx + ( m − 2m − 3) x + 5m + có hai cực tiểu cực đại A m > B −1 < m < C m > D < m < Bài giải Hàm số có hai cực tiểu cực đại m > ⇔ ⇔ < m < Chọn D m − m − < Hàm số có ba cực trị ⇔ m ( 2m − 3) < ⇔ < m < Từ ghi nhớ ta có a.b < hàm y = ax + bx + c có ba cực trị A ( 0;c ) , B − − b ∆ ; − ÷, 2a 4a b ∆ C − ; − ÷với ∆ = b − 4ac Hơn từ hình vẽ ta nhận thấy ∆ABC cân A 2a 4a Ta có ghi nhớ sau Ghi nhớ uuu r uuur Tam giác ABC vuông cân ⇔ AB.AC = Tam giác ABC ⇔ AB = BC Diện tích tam giác ABC tính S = BC.AH với H trung điểm BC ∆ b2 ⇔ H 0; − ÷ ⇒ AH = 4a 4a Ví dụ 10 Cho hàm số y = x − 2mx + m + Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác A m = B m = 3 C m = D m = Bài giải Để hàm số có ba cực trị −2m < ⇔ m > Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0;m + 1) , B − m; −m + m + , C ( ) ( ) m; −m + m + Khi ta có AB = m + m , BC = 4m Tam giác ABC m = ⇔ AB = BC ⇔ m + m = 4m ⇔ m = Vậy m = 3 chọn B Nhận xét Trong trường hợp tổng quát ta có A ( 0;c ) , B − − b ∆ ; − ÷, 2a 4a 2 b ∆ − b ∆ b4 b C − ; − ÷ suy AB = + + c + = − ÷ ÷ 2a 4a 2a 4a 16a 2a b4 b b b b3 b3 −b 2 − = −4 ⇔ = −24 Và BC = nên AB = BC ⇔ + 3÷= ⇔ 16a 2a 2a 2a 8a a 2a Với nhận xét ta hoàn toàn giải nhanh ví dụ 10 sau b3 ( −2m ) = −24 ⇔ m3 = ⇔ m = 3 Nhưng tất nhiên việc nhớ nhiều công = −24 ⇔ a thức khiến bạn bị hao tốn nhớ Ví dụ 11 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực rị tạo thành tam giác vuông A m = −1 B m = C m = D m = Bài giải Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ⇔ −2 ( m + 1) < ⇔ m + > ⇔ m > −1 2 ( ) ( Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0;m ) , B − m + 1; −2m − , C uuu r uuur 2 AB = − m + ; − m − m − Suy , AC = m + 1; −m − 2m − uuu r uuur m = −1 Tam giác ABC vuông ⇔ AB.AC = ⇔ − ( m + 1) + ( m + 1) = ⇔ m = ( ) ( ) ) m + 1; −2m − Chọn đáp án C Ở ta có nhận xét tương tự ví dụ ta chứng minh để tam giác ABC b3 = −8 việc chứn minh hệ thức kha đơn giản dành cho tam giác vuông a bạn đọc tự chứng minh Một số tập rèn luyện Cho hàm số y = x − 2( m + )x + m (1).Tìm m để đồ thị hs (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại ĐS: m = ± 2 (thỏa m > -1) Cho hàm số y = x − 2mx + m − (1), Xác định m để hs (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị a/ Tạo thành tam giác ĐS: b/ Tạo thành tam giác vuông ĐS: c/ Tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp −1 ĐS: m = m = II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nhận biết Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số có cực trị A B C D Câu 2:Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số có cực trị A B C D y x -3 -2 -1 Câu 3:Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Phát biểu sau đúng? A Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (0;3), điểm cực đại (2;-1) B Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0;3), điểm cực tiểu (2;-1) C Đồ thị hàm số có điểm cực đại (3;0), điểm cực tiểu (-1;2) D Hàm số đạt cực đại cực tiểu -1 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Phát biểu sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = B Hàm số có cực trị C Giá trị cực tiểu hàm số D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = -1 -1 -2 -3 Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Phát biểu sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = −1 cực tiểu x = B Hàm số đạt cực đại x = −2 cực tiểu x = C Hàm số đạt cực đại x = cực tiểu x = −1 D Hàm số có ba cực trị Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Phát biểu sau đúng? A Hàm số có ba cực trị B Hàm số có hai cực trị C Hàm số có cực trị D Hàm số cực trị x4 − x + Hàm số đạt cực đại tại: A x = −2 B x = C x = D x = ±2 x Câu 8: Cho hàm số f ( x) = − x + Hàm số đạt cực tiểu tại: A x = B x = −4 C x = D x = Câu 7: Cho hàm số f ( x) = Câu 9: Hàm số y = x + x − đạt cực trị điểm có hoành độ là: A B C -1 D 2 Câu 10: Cho hàm số y = − x + Câu sau đúng ? A Hàm số đạt cực đại x = B Hàm số đạt cực tiểu x = C Hàm số cực đại D Hàm số nghịch biến Câu 11: Cho hàm số y = –x + 3x – 3x + 1, mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến; C Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số đạt cực tiểu x = Câu 12: Đồ thi hàm số sau có điểm cực trị? A y = x + x + B y = x + x − C y = x − x − D y = − x − x − Câu 13: Đồ thi hàm số sau có cực trị? A y = x + x + B y = x3 + x − x−2 2x + D y = x − x − C y = x − x + , mệnh đề sau đúng? A cực tiểu cực đại B cực đại cực tiểu C cực tiểu hai cực đại D cực đại hai cực tiểu Câu 15: Tìm điểm cực tiểu hàm số y = x − x − x + Câu 14: Cho hàm số y = A x = B x = C x = −1 Câu 16: Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3x + A ( 2;0 ) B ( 0; ) C ( 0;0 ) Câu 17: Tìm giá trị cực tiểu hàm số y = f ( x ) = x − 3x + A f CT = −1 B f CT = C f CT = −3 D x = − D ( −2; −16 ) D f CT = Câu 18: Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = − x3 + x 2 2 A −1; − ÷ B 1; ÷ C ( 1;0 ) D ( −1;0 ) 3 3 Câu 19: Tìm điểm cực tiểu hàm số y = − x3 + 3x − A x = B x = C x = −2 D x = Câu 20: Tìm giá trị cực tiểu hàm số y = f ( x ) = − x + 3x −1 A f CT = −3 B f CT = C f CT = D f CT = Câu 21: Hàm số y = x − x đạt cực tiểu A x = −1 B x = C x = D x = ±1 Câu 22: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = − x + x − A ( 0; −1) B ( 0;1) C ( −1;0 ) D ( 1; ) Câu 23: Điểm cực đại đồ thị hàm số y = x − x + A ( 0;3) B ( 0;1) C ( −1; ) D ( 1; ) Câu 24: Điểm cực tiểu hàm số y = x − x + A x = B x = −2 C x = D x = ±2 Câu 25: Số điểm cực tiểu hàm số y = x − x + A B C D Câu 26: Cho hàm số y = x − x + Mệnh đề đúng ? A Cực tiểu hàm số B Cực tiểu hàm số C Cực tiểu hàm số -1 D Cực tiểu hàm số ±1 Câu 27: Cho hàm số f có đạo hàm cấp ( a;b ) chứa x0 Chọn khẳng định khẳng định sau đây? f '( x0 ) = A Nếu hàm số f đạt cực đại điểm x0 f ''( x ) > 0 f '( x0 ) = B Nếu hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 f ''( x ) > 0 C Nếu f '( x0 ) = hàm số f đạt cực trị điểm x0 f '( x0 ) = D Nếu hàm số f đạt cực trị điểm x0 f ''( x0 ) = Thông hiểu Câu 28: Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào? A y B y C y D y = 2x − 6x = −2x + 6x = 2x − 6x + = −2x + 6x – Câu 29: Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào? 2x − x +1 −2 x − C y = x +1 −2 x + x +1 2x + D y = x +1 A y = B y = Câu 30:Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào? A B C D y = x4 − x2 y = − x4 − x2 y = − x4 + 2x2 y = x4 − x2 + Câu 31: Giá trị cực tiểu hàm số y = − x3 + x + A 10 B C 14 Câu 32: Điểm cực đại đồ thị hàm số y = x3 − x + là: 50 A ( 2;0 ) B ; ÷ C ( 0;2 ) 27 D − 50 D ; ÷ 27 Câu 33: Hàm số f có đạo hàm f '( x) = x ( x + 1) (2 x − 1) Số điểm cực trị hàm số là: A B C D 3 Câu 34 : Cho hàm số y = x – 3x + Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 Khi x1 + x2 A B C D 3 Câu 35: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = 3x − x là: 1 1 A ; −1÷ B − ;1÷ C − ; −1÷ D ;1÷ 2 2 Câu 36: Số cực trị hàm số y = −4 x + x + là: A B C D Câu 37: Giá trị cực đại hàm số y = x − 3x + là: B C D −1 Câu 38: Hàm số y = x + đạt cực trị điểm có hoành độ là: x A B C -1 D -1;1 A Câu 39: Giá trị cực tiểu hàm số y = x − x + là: A ±1 B C Câu 40: Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ? A Hàm số y = −2 x + + cực trị x+2 B Hàm số y = x − + D −1 có hai cực trị x +1 C Hàm số y = – x + 3x – có cực đại cực tiểu D Hàm số y = x + 3x + có cực trị Câu 41:Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + ) Số cực trị hàm số là: A B C D Câu 42:Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + 1) ( x + ) Số cực trị hàm số là: A B C D Câu 43:Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + 1) Số cực trị hàm số là: A B C D 3 Câu 44:Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + 1) ( x + ) Số cực trị hàm số là: A B C D Vận dụng Câu 45: Cho đường cong y = x − 3x Gọi ∆ đường thẳng nối liền cực đại cực tiểu Khi ∆ đường thẳng A qua điểm M(-1; -2) B qua điểm M(1; -2) C song song với trục hoành D không qua gốc toạ độ 2 Câu 46: Xác định m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + m đạt cực tiểu x = A m = m = B m = C m = D m = −1 Câu 47: Tìm giá trị tham số m để hàm số y = − ( m + 5m ) x + 6mx + x − đạt cực tiểu x = A m = −3 B m = −2 C m = m = −2 D m = Câu 48: Tìm m để hàm số y = x − mx + có cực trị A m = B m ≠ C m ≥ D m > Câu 49: Xác định m để hàm số y = x − 3mx − (m − 1) x + đạt cực tiểu x = A m = B m = C m = −1 D m = Câu 50: Với giá trị m, hàm số y = x − 3x + mx đạt cực tiểu x = A m = B m ≠ C m > D m < Câu 51: Tìm m để hàm số y = x − 2(m + 1) x + m có cực trị? A m > 2. B m > −1 C m < D m < −1 2 Câu 52: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 2mx + m + m có điểm cực trị A m ≠ B m ≤ C m > D m < − ≤ m ≤0 B Câu 53: Cho hàm số y = x3 + mx − mx + Tìm m để hàm số cực trị : A m ≥ C − < m ≤ D m ≤ −1 x2 + x + m Câu 54 : Tìm m để hàm số y = đạt cực tiểu cực đại? x −1 A m ≥ B m < C m > −2 D m ≤ −2 Câu 55 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = C Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = −1 cực đại x = D Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = cực đại x = −1 y -3 -2 -1 -1 -2 -3 Câu 56 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên x Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = − C Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = −2 cực đại x = D Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = cực đại x = −2 y x -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Câu 57 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) có cực tiểu C Hàm số y = f ( x ) cực trị D Giá trị cực tiểu hàm số y = Câu 58 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực tiểu B Hàm số y = f ( x ) có cực cực đại C Hàm số y = f ( x ) cực trị D Hàm số đạt cực đại x = Câu 59: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) có hai cực trị C Hàm số y = f ( x ) cực trị D Hàm số có ba cực trị 1.5 2.5 3.5 4.5 Vận dụng cao Câu 60: Cho hàm số y = x3 + ( m − ) x − 3mx + m Tìm giá trị tham số m để hàm số 1 + = 2x1x2 ? có cực đại, cực tiểu x1; x2 thỏa x1 x2 2 C m = D m = 3 Câu 61: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2(m + 1) x + m có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông B m = C m = D m = A m = B m = −1, m = A m = −1 Câu 62: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 4m3 có đồ thị ( Cm ) Xác định m để (Cm ) có điểm cực đại, cực tiểu đối đối xứng qua đường thẳng (d) : y = x 1 ;m = A m = ± B m = ± C m = D m = ± 2 Câu 63: Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + Với giá trị m hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = ? 2 A m = 2; m = B m = 2; m = C m = 1; m = D m = ; m = 3 Câu 64: Tìm tham số m cho khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 + 3mx + m − x + m3 − 3m đến gốc tọa độ nhỏ ( ) A m = B m = −1 C m = D m = 4 2 Câu 65: Cho hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + ( Cm ) Với giá trị m đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời cực đại cực tiểu tạo thành tam giác B m = − C m = − 3 D m = + 3 A m = + Câu 66: Hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Khi giá trị m A B C D Câu 67: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m = B m = 3 C m = −3 D m = Câu 68: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 1 A m = B m = C m = D m = −1 Câu 69: Biết A ( −1; ) ,B ( 3; −4 ) điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) Tính giá trị hàm số x = A y ( 1) = B y ( 1) = −2 C y ( 1) = D y ( 1) = Đáp án 1-A 11-A 21-D 31-D 41-A 51-B 61-B 2-B 12-C 22-A 32-C 42-A 52-D 62-A 3-B 13-C 23-A 33-A 43-C 53-B 63-B 4-A 14-D 24-D 34-A 44-B 54-C 64-A 5-C 15-A 25-C 35-C 45-B 55-C 65-C 6-B 16-A 26-A 36-C 46-C 56-C 66-A 7-C 17-A 27-B 37-C 47-B 57-C 67-B 8-A 18-A 28-A 38-D 48-D 58-A 68-C 9-A 19-A 29-D 39-A 49-A 59-D 69-B 10-A 20-A 30-A 40-D 50-A 60-C Câu 45: Cho đường cong y = x − 3x Gọi ∆ đường thẳng nối liền cực đại cực tiểu Khi ∆ đường thẳng A qua điểm M(-1; -2) B qua điểm M(1; -2) C song song với trục hoành D không qua gốc toạ độ Hướng dẫn Đường thẳng qua hai cực trị có phương trình y = −2 x Chọn B Câu 46: Xác định m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + m đạt cực tiểu x = A m = m = B m = C m = D m = −1 Hướng dẫn 2 Ta có y' = 3x − 6mx + ( m − 1) Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y' ( ) = 2 m = ⇔ m − 4m + = ⇔ m = Thử lại ta thấy m = thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Câu 47: Tìm giá trị tham số m để hàm số y = − ( m + 5m ) x + 6mx + x − đạt cực tiểu x = A m = −3 B m = −2 C m = m = −2 D m = Hướng dẫn 2 Ta có y' = −3 ( m + 5m ) x + 12mx + Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y '( 1) = m = ⇔ −3m − 3m + = ⇔ m = −2 Thử lại ta thấy m = −2 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 48: Tìm m để hàm số y = x3 − mx + có cực trị A m = B m ≠ C m ≥ D m > Hướng dẫn Hàm số có hai cực trị b − 3ac > ⇔ 02 − ( − m ) > ⇔ 3m > ⇔ m > Chọn D Câu 49: Xác định m để hàm số y = x3 − 3mx − (m − 1) x + đạt cực tiểu x = A m = B m = C m = −1 D m = Hướng dẫn Ta có y' = 3x − 6mx − m + Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y'( ) = ⇔ 13 − 13m = ⇔ m = Thử lại với m = , ta có y = x3 − 3x + ⇒ y' = 3x − x ⇒ y" = x − y'( 2) = 3.22 − 6.2 = hàm số đạt cực tiểu tai x = Chọn A y"( 2) = 6.2 − = > Câu 50: Với giá trị m, hàm số y = x3 − 3x + mx đạt cực tiểu x = A m = B m ≠ C m > D m < Hướng dẫn y' = 3x − x + m Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y'( ) = ⇔ 3.2 − 6.2 + m = ⇔ m = Thử lại ta thấy m = thõa mãn yêu cầu toán Chọn A Câu 51: Tìm m để hàm số y = x − 2(m + 1) x + m có cực trị? A m > 2. B m > −1 C m < D m < −1 Hướng dẫn Hàm số có cực trị ⇔ a.b < ⇔ −2 ( m + 1) < ⇔ m + > ⇔ m > −1 Chọn B 2 Câu 52: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 2mx + m + m có điểm cực trị A m ≠ B m ≤ C m > D m < Hàm số có cực trị ⇔ a.b < ⇔ 2.m < ⇔ m < Chọn D − ≤ m ≤0 B Câu 53: Cho hàm số y = x3 + mx − mx + Tìm m để hàm số cực trị : A m ≥ Hướng dẫn C − < m ≤ 2 Hàm số cực trị ⇔ b − 3ac ≤ ⇔ m − D m ≤ −1 ( −m ) ≤ ⇔ m2 + m ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ Chọn B x2 + x + m Câu 54 : Tìm m để hàm số y = đạt cực tiểu cực đại? x −1 A m ≥ B m < C m > −2 D m ≤ −2 Hướng dẫn x2 − 2x − m − y' = hàm số có hai cực trị ⇔ y' = có hai nghiệm phân biệt ( x − 1) ⇔ x − x − m − = có hai nghiệm phân biệt khác ( −1) − 1( − m − 1) > m > −2 ⇔ ⇔ ⇔ m > −2 m ≠ − 1 − 2.1 − m − ≠ Chọn C y Câu 55 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = C Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = −1 cực đại x = D Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = cực đại x = −1 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 y Câu 56 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = − C Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = −2 cực đại x = D Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x = cực đại x = −2 -6 -5.5 -5 -4.5 Câu 57 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) có cực tiểu C Hàm số y = f ( x ) cực trị D Giá trị cực tiểu hàm số y = Câu 58 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực tiểu B Hàm số y = f ( x ) có cực cực đại C Hàm số y = f ( x ) cực trị D Hàm số đạt cực đại x = -4 -3.5 -3 x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1.5 2.5 3.5 4.5 Câu 59 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) có hai cực trị C Hàm số y = f ( x ) cực trị D Hàm số có ba cực trị Vận dụng cao Câu 60: Cho hàm số y = x3 + ( m − ) x − 3mx + m Tìm giá trị tham số m để hàm số 1 + = 2x1x2 ? có cực đại, cực tiểu x1; x2 thỏa x1 x2 A m = −1 B m = −1, m = C m = D m = Hướng dẫn y' = 3x + ( m − ) x − 3m , hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ y' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = ( m − ) + 9m > ⇔ m + 5m + > ⇔ m < −4 ∨ m > −1 ( m − 2) x1 + x2 = − Khi đó, cực đại, cực tiểu x1; x2 thỏa mãn x x = −m m = −1 2( m − 2) 1 2 + = x1x2 ⇔ x1 + x2 = ( x1x2 ) ⇔ − = 2m ⇔ m = x1 x2 3 Chọn C Câu 61: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2(m + 1) x + m có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông B m = C m = D m = A m = Hướng dẫn Bạn đọc tham khảo ví dụ 11 ( −2 ( m + 1) ) = −8 ⇔ m + = ⇔ m = Chọn B b3 = −8 ⇔ a Câu 62: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 4m3 có đồ thị ( Cm ) Xác định m để (Cm ) có điểm cực đại, cực tiểu đối đối xứng qua đường thẳng (d) : y = x 1 ;m = A m = ± B m = ± C m = D m = ± 2 Hướng dẫn Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ b − 3ac > ⇔ ( −3m ) > ⇔ m ≠ x = ⇒ y = 4m3 Khi y' = 3x − 6mx = ⇔ x = 2m ⇒ y = ( ) Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A 0; 4m B ( 2m; ) , gọi I trung điểm A,B suy uuu r I m; 2m3 , AB = 2m; −4m3 A,B đối xứng qua đường thẳng d : y = x ( ) ( ) m = I ∈ d m = 2m r ⇔ ⇔ uuu m = ± 2m − 4m = AB ⊥ d Chọn đáp án A Câu 63: Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + Với giá trị m hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = ? 2 A m = 2; m = B m = 2; m = C m = 1; m = D m = ; m = 3 Hướng dẫn : Ta có y ' = mx − ( m − 1) x + 3m − Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 y ' = có nghiệm phân biệt m ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ 2 − + (*) < m < ∆ ' > −2m + 4m + > 2 Ta có 2m − x + x = (1) m 3m − (2) x1.x2 = m (3) x1 = − x2 3m − 2−m ; x2 = Từ (2),(4) ⇒ x1 = m m thỏa mãn điều kiện (*) Chọn B Câu 64: Tìm tham số m cho khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 + 3mx + m − x + m3 − 3m đến gốc tọa độ nhỏ Thay vào (3) giải m = 2; m = ( ) A m = B m = −1 C m = D m = 2 Hướng dẫn Đáp án đáp án A y ' = 3x + 6mx + m −1 Phương trình y’=0 có hai nghiệm x = −m − x = −m + Lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số đạt cực tiểu x = −m + yCT = −2 Vậy điểm cực ( tiểu đồ thị hàm số A ( −m + 1; −2 ) Ta có OA = Vậy OA nhỏ OA=2 m = Chọn A ( −m + 1) ) + ( −2 ) = ( m − 1) +4≥2 2 Câu 65: Cho hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + ( Cm ) Với giá trị m đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời cực đại cực tiểu tạo thành tam giác B m = − C m = − 3 D m = + 3 A m = + Hướng dẫn Bạn đọc tham khảo ví dụ 10 ( ( m − ) ) = −24 ⇔ m − = −3 ⇔ m = − 3 Chọn C b3 = −24 ⇔ ( ) a Câu 66: Hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Khi giá trị m A B C D Hướng dẫn Bạn đọc tham khảo ví dụ 10 b3 ( −2m ) = −8 ⇔ m = Chọn A = −8 ⇔ a Câu 67: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m = B m = 3 C m = −3 D m = Hướng dẫn Bạn đọc tham khảo ví dụ 11 b3 ( −2m ) = −24 ⇔ m = 3 Chọn B = −24 ⇔ a Câu 68: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 1 A m = B m = C m = D m = −1 Hướng dẫn Hàm số có ba cực trị ⇔ a.b < ⇔ −2m < ⇔ m > Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0; 2m ) , B ( ) ( ) m; 2m − m , C − m; 2m − m 2 Gọi H trung điểm BC ⇒ H ( 0; 2m − m ) ⇒ AH = m ,BC = 4m = m S∆ABC = AH BC = m m = ⇔ m = Chọn C Câu 69: Biết A ( −1; ) ,B ( 3; −4 ) điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) Tính giá trị hàm số x = A y ( 1) = B y ( 1) = −2 C y ( 1) = D y ( 1) = Hướng dẫn Từ giả thiết toán ta có hệ a = y' ( −1) = 3a − 2b + c = b = − y ( −1) = −a + b − c + d = ⇔ ⇔ y' ( 3) = 27 a + 6b + c = c = − y ( 3) = −4 27 a + 9b + 3c + d = −4 d = − 3 Khi y = x − x − x − ⇒ y ( 1) = −2 8 8 Chọn B ... Hàm số đạt cực đại x = cực tiểu x = −1 D Hàm số có ba cực trị Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Phát biểu sau đúng? A Hàm số có ba cực trị B Hàm số có hai cực trị C Hàm số. .. cực trị hàm số là: A B C D Câu 42 :Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + 1) ( x + ) Số cực trị hàm số là: A B C D Câu 43 :Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + 1) Số cực trị hàm. .. luận sau A Hàm số y = f ( x ) có cực trị B Hàm số y = f ( x ) có cực tiểu C Hàm số y = f ( x ) cực trị D Giá trị cực tiểu hàm số y = Câu 58 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' (