Một số tiêu chuẩn về đa thức bất khả quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ KIM CHI MỘT SỐ TIÊU CHUẨN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 05 - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ KIM CHI MỘT SỐ TIÊU CHUẨN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Huy Hiền HÀ NỘI, 05 - 2017 Mục lục Phần mở đầu 1 Một số khái niệm đa thức Đa thức bất khả quy R C 1.1 Khái niệm đa thức bất khả quy 1.2 Đa thức bất khả quy trường số phức 12 1.3 Đa thức bất khả quy trường số thực 15 Đa thức bất khả quy trường số hữu tỉ 17 2.1 Nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên 17 2.2 Tiêu chuẩn Eisenstein 23 2.3 Tiêu chuẩn Dumas 28 2.4 Tiêu chuẩn bất khả quy thu gọn 32 2.5 Tiêu chuẩn bất khả quy liên quan đến nghiệm đa thức 38 2.5.1 Tiêu chuẩn Perron thứ 38 2.5.2 Tiêu chuẩn Brauer 40 2.5.3 Tiêu chuẩn Osada 42 2.5.4 Tiêu chuẩn Polya 44 2.5.5 Tiêu chuẩn Perron thứ hai 45 Tiêu chuẩn bất khả quy tam thức tứ thức 52 3.1 Tiêu chuẩn bất khả quy tứ thức 52 3.2 Tiêu chuẩn bất khả quy tam thức 58 Một số tập đa thức bất khả quy 61 Đa thức bất khả quy nhiều biến 69 5.1 Khái niệm đa thức nhiều biến 69 5.2 Định lý Hilbert 73 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Một khái niệm quan trọng toán học nói chung đại số nói riêng khái niệm đa thức Đây chuyên đề trọng tâm chương trình toán trung học phổ thông Đa thức không đối tượng nghiên cứu đại số mà công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực giải phương trình, bất phương trình nhiều lĩnh vực khác Trong kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, kì thi Olympic toán sinh viên trường đại học toán liên quan đến đa thức thường xuyên đề cập xem toán khó Tuy vấn đề cổ điển thu hút hấp dẫn với người yêu Toán Trong lý thuyết đa thức đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng giống vai trò số nguyên tố tập số nguyên Các toán xét tính bất khả quy đa thức trường số C R giải từ người ta chứng minh Định lý Đại số chứng minh hoàn chỉnh đưa Gauss năm 1816 Nhưng toán xét tính bất khả quy đa thức Q thử thách nhà toán học giới Với lý chọn đề tài "Một số tiêu chuẩn đa thức bất khả quy" nhằm mục đích trình bày, hệ thống số kết tiêu chuẩn bất khả quy đa thức trường số số tập điển hình liên quan đến việc xét tính bất khả quy đa thức Định hướng nghiên cứu Trước hết, tác giả cần tìm hiểu trình bày số kiến thức đa thức, đa thức bất khả quy, Trên sở tác giả trình bày định nghĩa, kết số ví dụ đa thức bất khả quy Phương pháp nghiên cứu Đọc dịch tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương Một số khái niệm đa thức Đa thức bất khả quy trường C R Trình bày số kiến thức đa thức, đa thức bất khả quy đa thức bất khả quy trường số C R thông qua Định lý Đại số Chương Đa thức bất khả quy Q Trình bày nghiệm hữu tỉ đa thức hệ thống số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức biến trường Q chẳng hạn Tiêu chuẩn Eisenstein, Tiêu chuẩn Dumas, Tiêu chuẩn Perron, Các tập chương bao gồm việc chứng minh đa thức biến bất khả quy dựa vào tiêu chuẩn biết Chương Tiêu chuẩn bất khả quy tam thức, tứ thức Chương Một số tập đa thức bất khả quy Trình bày số tập điển hình liên quan đến việc xét tính bất khả quy đa thức Chương Đa thức bất khả quy nhiều biến Trình bày định nghĩa đa thức bất khả quy nhiều biến Định lý Hilbert LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Toán- Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô môn Đại số nói riêng dạy bảo dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Huy Hiền, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ để hoàn thành luận văn Qua đây, xin gửi lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo TS Nguyễn Đạt Đăng người cho ý tưởng luận văn góp ý hướng dẫn trình nghiên cứu đề tài Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Học viên Nguyễn Thị Kim Chi Chương Một số khái niệm đa thức Đa thức bất khả quy R C 1.1 Khái niệm đa thức bất khả quy Cho A vành giao hoán có đơn vị Kí hiệu A [x] = {f = a0 + a1 x + · · · + an xn |ai ∈ A, n ∈ N} với biến x Giả sử f = a0 + a1 x + · · · + an xn , g = b0 + b1 x + · · · + bm xm ∈ A[x] Không làm tính tổng quát ta giả sử m ≥ n, m = n + s Khi g = b0 + b1 x + · · · + bn xn + bn+1 xn+1 + · · · + bn+s xn+s ∈ A[x] Trên A[x] ta có quan hệ f = g = bi với i = 0, , n bn+1 = = bn+s = Phép cộng phép nhân định nghĩa sau: n (ai + bi )xi + bn+1 xn+1 + · · · + bn+s xn+s f +g = i=0 m+n fg = i ai−j bj )xi ( i=0 j=0 Bằng việc kiểm tra ta rút rằng: với hai phép toán cộng nhân nêu A[x] vành giao hoán có đơn vị Khi A[x] gọi vành đa thức biến x A, phần tử A[x] gọi đa thức biến x A Đa thức f = a0 + a1 x + · · · + an xn gọi có bậc n kí hiệu degf = n, an = ta gọi an hệ tử cao f Ta định nghĩa bậc cho đa thức khác 0, ta quy ước đa thức bậc Kí hiệu A [x] tập đa thức ẩn x với hệ số A Định nghĩa 1.1 Cho f (x), g(x) ∈ A [x], A miền nguyên Nếu f (x) = h(x)g(x) với h(x) ∈ A [x] ta nói g(x) ước f (x) f (x) chia hết cho g(x) Định lý 1.2 Giả sử A trường, đa thức f (x), g(x) ∈ A [x] g(x) = Khi tồn cặp đa thức q(x), r(x) ∈ A [x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), với r(x) = deg r(x) < deg g(x) Định nghĩa 1.3 Cho A vành giao hoán có đơn vị, K trường chứa A, đa thức f (x) = am xm + am−1 xm−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ A [x] Khi phần tử c ∈ K gọi nghiệm f (x) f (c) = am cm + am−1 cm−1 +· · ·+a1 c+a0 = Trong trường hợp ta gọi c nghiệm phương trình f (x) = Định nghĩa 1.4 Một đa thức d(x) ∈ K [x] gọi ước chung lớn g(ai ) h(ai ) số nguyên nên mối chúng ±1 Vì đẳng thức g(ai )h(ai ) = −1, suy g(ai ) h(ai ) có dấu ngược Suy g(ai ) + h(ai ) = với i = 1, 2, n Ta xét đa thức g(ai ) + h(ai ) đa thức có bậc nhỏ n (vì bậc g(x) h(x) nhỏ n) theo giả thiết a1 , a2 , , an nghiệm khác Suy g(ai ) + h(ai ) đồng hay g(x) = −h(x), phân tích f (x) = −g (x) Điều không xảy hệ số cao vế trái số dương vế phải số âm dẫn đến vô lý Suy điều phải chứng minh (ii) Giả sử f (x) khả quy Z, nghĩa f (x) = u(x)v(x) với u(x), v(x) ∈ Z [x] , ≤ deg u(x), deg v(x) < n, f (x) đa thức nguyên Khi đó, với i = 1, 2, , n ta có u(ai )v(ai ) = f (ai ) = 1, u(ai ) = v(ai ) = ±1 Kết hợp với deg u(x), deg v(x) < n ta u(x) = v(x), f (x) = (u(x))2 deg n u(x) = , n phải số chẵn Từ [u(x) + 1] [u(x) − 1] = f (x) − = (x − a1 )(x − a2 ) (x − an ) deg(u(x) + 1) = deg(u(x) − 1) = n n nghiệm thuộc tập {a1 , a2 , , an } Bằng việc đánh lại số (nếu cần), ta viết Suy u(x)+1 u(x)−1 có k = u(x) + = (x − a1 )(x − a2 ) (x − ak )với a1 < < ak u(x) − = (x − ak+1 )(x − ak+2 ) (x − an )với ak+1 < < an Như vậy, với i = 1, 2, , n ta có u(ai ) = nên = (ai − a1 )(ai − a2 ) (ai − ak )với − a1 > > − ak 65 Vì n ≥ nên n ≥ Nhưng phân tích thành tích số nguyên phân biệt nên k = n = Mặt khác, có cách viết thành tích số nguyên phân biệt giảm dần = 1.(−1).(−2) nên − a1 = với i = k + 1, , n Điều mâu thuẫn với ak+1 < an Vậy f (x) bất khả quy Z [x] Bài tập Cho a1 ,2 , , an n số nguyên phân biệt Chứng minh đa thức f (x) = (x − a1 )2 (x − a2 )2 (x − an )2 + bất khả quy ∈ Z khác Chứng minh Giả sử f (x) không bất khả quy Z [x] Do f (x) có hệ số cao nên ta viết f (x) = u(x)v(x) với u, v ∈ Z [x] , < deg u ≤ deg v < 2n u(x), v(x) có hệ số cao Với i = 1, 2, , n ta có u(ai )v(ai ) = f (ai ) = nên u(ai ) = v(ai ) = ±1 Mà f (x) > với x ∈ R nên u(x), v(x) nghiệm thực, suy u(x), v(x) không đổi dấu x ∈ R u(ai ) = với i = 1, 2, , n u(ai ) = −1 với i = 1, 2, , n Mặt khác, từ deg u ≤ deg v deg u+ deg v = deg f = 2n suy deg u ≤ n Nếu deg u < n ta phải có u(x) ≡ u(x) ≡ −1, mâu thuẫn với deg u > Nếu deg u = n deg v = n = deg u nên u(x) − v(x) đa thức bậc nhỏ n nhận a1 , a2 , , an làm nghiệm Do đó, u(x) = v(x) f (x) = (x − a1 )2 (x − a2 )2 (x − an )2 + = (u(x))2 66 Ta [u(x) − (x − a1 )(x − a2 ) (x − an )] [u(x) + (x − a1 )(x − a2 ) (x − an )] = Suy u(x)−(x−a1 )(x−a2 ) (x−an ) = u(x)+(x−a1 )(x−a2 ) (x−an ) = ±1 Do đó, (x − a1 )(x − a2 ) (x − an ) = (vô lý) Vậy toán chứng minh Bài tập Chứng minh đa thức f (x) = xp − x + a bất khả quy Z [x], với p số nguyên tố, a số nguyên không chia hết cho p Chứng minh Áp dụng tiêu chuẩn modulo p, ta cần chứng minh đa thức f (x) = xp − x + a bất khả quy Zp Chú ý a p nên a = Zp Gọi α môt nghiệm tùy ý f Thế với i = 0, , p − ∈ Zp , ta có f (α + i) = (α + i)p − (α + i) + a = αp + ip − α − i + a = 0, ip − i = Zp Vậy α + i với i = 0, , p − 1, tất nghiệm phân biệt f Chú ý a = nên α ∈ / Zp Bây ta giả sử f (x) = g(x)h(x) với g, h ∈ Zp [x] Khi ta viết (x − (α + i)) g(x) = i∈S 67 với S tập Zp Ta có deg g = d = |S| Khai triển tích phải, ta g(x) = xd − (α + i)xd−1 + hạng tử bậc nhỏ i∈S Hệ số xd−1 g(x) i∈S (α + i) = |S| α + i∈S i Do g(x) ∈ Zp Nhưng α ∈ / Zp nên ta phải có |S| = |S| = p Như deg g = deg g = p Từ suy f (x) bất khả quy Zp 68 Chương Đa thức bất khả quy nhiều biến 5.1 Khái niệm đa thức nhiều biến Định nghĩa 5.1 Giả sử A vành giao hoán có đơn vị (i) Đặt A1 = A [x1 ] A2 = A1 [x2 ] An = An−1 [xn ] Khi vành An = An−1 [xn ], kí hiệu A [x1 , x2 , , xn ] gọi vành đa thức n biến x1 , x2 , , xn lấy hệ tử vành A Mỗi phần tử An gọi đa thức n biến lấy hệ tử vành A Đa thức có dạng cxa11 xann với c ∈ A, gọi đơn thức Hai đơn thức axa11 xann bxb11 xbnn với a, b ∈ A, gọi hai đơn thức đồng dạng a1 = b1 , , an = bn 69 (ii) Đặt B1 = A [[x1 ]] B2 = B1 [[x2 ]] Bn = Bn−1 [[xn ]] Khi vành Bn = Bn−1 [[xn ]], kí hiệu A [[x1 , x2 , , xn ]] gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến x1 , x2 , , xn A Mỗi phần tử A [[x1 , x2 , , xn ]] gọi chuỗi lũy thừa hình thức n biến vành A Mệnh đề 5.2 Từ định nghĩa vành đa thức nhiều biến, ta suy (i) Mỗi đa thức f (x1 , x2 , , xn ) vành A [x1 , x2 , , xn ] viết dạng: f (x1 , x2 , , xn ) = c1 xa111 xan1n + c2 xa121 xan2n + · · · + cm xa1m1 xanmn với ci ∈ A ai1 , , ain , i = 1, , m số tự nhiên đồng thời (ai1 , , ain ) = (aj1 , , ajn ), i = j Các ci gọi hệ tử, ci x1ai1 xanin gọi hạng tử đa thức f (x1 , x2 , , xn ) Đa thức f (x1 , x2 , , xn ) = hệ tử không tất (ii) Hai đa thức f (x1 , x2 , , xn ) g(x1 , x2 , , xn ) ta quy dạng f (x1 , x2 , , xn ) = c1 xa111 xan1n + c2 xa121 xan2n + · · · + cm xa1m1 xanmn , g(x1 , x2 , · · · , xn ) = d1 xa111 xan1n +d2 xa121 xan2n +· · ·+dm xa1m1 xanmn , 70 (ai1 , , ain ) = (aj1 , , ajn ), i = j (iii) f (x1 , x2 , , xn ) = g(x1 , x2 , , xn ) ci = di với i = 1, 2, , m (iv) Tổng, hiệu, tích f (x1 , x2 , , xn ) g(x1 , x2 , , xn ) n (ci ± di )xa1i1 xanin f (x1 , x2 , , xn ) ± g(x1 , x2 , , xn ) = i=0 n n a +aj1 (ci dj )x1i1 f (x1 , x2 , , xn )g(x1 , x2 , , xn ) = xanin +ajn i=1 j=1 Định nghĩa 5.3 Giả sử f (x1 , x2 , , xn ) ∈ A [x1 , x2 , , xn ] đa thức khác không f (x1 , x2 , , xn ) = c1 xa111 xan1n + c2 xa121 xan2n + · · · + cm xa1m1 xnamn , với ci = 0, i = 1, , m (ai1 , , ain ) = (aj1 , , ajn ) i = j Ta gọi bậc đa thức f (x1 , x2 , , xn ) biến xi số mũ cao mà xi có hạng tử vế phải Nếu biến xi mặt hạng tử vế phải đa thức f (x1 , x2 , , xn ) ta nói bậc f (x1 , x2 , , xn ) xi Ta gọi ai1 + · · · + ain bậc hạng tử ci xa1i1 xanin = Bậc f (x1 , x2 , , xn ) số, kí hiệu deg f (x1 , x2 , , xn ) số lớn bậc hạng tử vế phải Nếu hạng tử vế phải f (x1 , x2 , , xn ) có bậc k f (x1 , x2 , , xn ) gọi đa thức đẳng cấp k hay dạng bậc k Đặc biệt dạng bậc gọi dạng tuyến tính, dạng bậc hai gọi một dạng toàn phương, dạng bậc ba gọi dạng lập phương 71 Trong tính toán người ta cần phải thống cách xếp hạng tử đa thức nhằm tạo nên cách viết thống cho đa thức Để làm điều người ta cần trang bị cho vị nhóm cộng Nn quan hệ thứ tự toàn phần, làm cho trở thành vị nhóm cộng thứ tự Một quan hệ lựa chọn cách xếp theo thứ tự từ điển Cách xếp xếp sau (a1 , a2 , , an ) > (b1 , b2 , , bn ), có số i cho a1 = b1 , , ai−1 = bi−1 , > bi Dễ thấy quan hệ từ điển Nn có tính chất: Nếu (a1 , a2 , , an ) > (b1 , b2 , , bn ), (a1 + c1 , a2 + c2 , , an + cn ) > (b1 + c1 , b2 + c2 , , bn + cn ), với (c1 , c2 , , cn ) ∈ Nn (c1 , c2 , , cn ) > (d1 , d2 , , dn ) (a1 + c1 , a2 + c2 , , an + cn ) > (b1 + d1 , b2 + d2 , , bn + dn ) Như vậy, Nn thứ tự toàn phần làm cho trở thành vị nhóm cộng thứ tự Khi đa thức = f (x1 , x2 , , xn ) ∈ A [x1 , x2 , , xn ] viết cách dạng f (x1 , x2 , , xn ) = c1 xa111 xan1n + c2 xa121 xan2n + + cm xa1m1 xanmn , 72 với ci = 0, i = 1, 2, , m (ai1 , , ain ) > (aj1 , , ajn ) với i < j Và c1 xa111 xan1n gọi hạng tử cao f (x1 , x2 , , xn ) Mệnh đề 5.4 Giả sử f (x1 , x2 , , xn ) g(x1 , x2 , , xn ) hai đa thức khác hạng tử cao tương ứng cxa11 xann dxb11 xbnn Khi ta có khẳng định sau: (i) Nếu (a1 , a2 , , an ) > (b1 , b2 , , bn ) hạng tử cao đa thức tổng f (x1 , x2 , , xn ) + g(x1 , x2 , , xn ) cxa11 xann (ii) Nếu cd = hạng tử cao đa thức tích f (x1 , x2 , , xn )g(x1 , x2 , , xn ) cd1 xa11 +b1 xann +bn 5.2 Định lý Hilbert Cho f (t, x) ∈ Q [t, x] đa thức hai biến Đa thức f gọi khả quy f = gh, g, h ∈ Q [t, x] đa thức bậc dương Và ngược lại f gọi đa thức bất khả quy hai biến f không phân tích thành tích hai đa thức hai biến có bậc bé bậc đa thức Định lý 5.5 (Định lý Hilbert) Nếu f (t, x) đa thức bất khả quy Q, tồn vô hạn số hữu tỷ t0 cho đa thức biến f (t0 , x) bất khả quy Q 73 Chứng minh Ta bắt đầu xây dựng mối quan hệ đa thức khả quy f (t0 , x) tồn điểm hữu tỉ (t0 , y0 ) đường cong đại số xác định Cho f (t, x) ∈ Q [t, x] đa thức bất khả quy, giả sử có dạng f (t, x) = an (t)xn + · · · + a0 (t) ∈ Q[t][x] (t) ∈ Q [t] ta định nghĩa đa thức F (x) = f (t, x) biến x với hệ số trường k = Q(t) Lấy k bao đóng đại số k F (x) = an (t)(x − α1 ) (x − αn ), α1 , , αn ∈ k nghiệm F (x) Nếu an (t0 ) = tương ứng với nghiệm α1 , , αn ∈ Q f (t0 , x) Giả sử f (t0 , x) khả quy Q, giả sử f (t0 , x) = an (t0 )g0 (x)h0 (x), g0 (x) = (x − α1 ) (x − αs ) ∈ Q [x] h0 (x) = (x − αs+1 ) (x − αn ) ∈ Q [x] Đặt g(x) = (x − α1 ) (x − αs ) h(x) = (x − αs+1 ) (x − αn ) F (x) = an (t)g(x)h(x) g(x), h(x) ∈ k [x] Theo giả thiết F (x) bất khả quy k [x] nên g(x) có hệ số thuộc k\k Mà k = Q [t] hệ số y g(x) đại số Q(t) nghĩa bm (t)y m + bm−1 (t)y m−1 + · · · + b0 (t) = bi (t) ∈ Q(t) Ta thu đường cong đại số C với hệ số hữu tỉ mặt phẳng (t, y) Hệ số y g tương ứng với hệ số y0 ∈ Q đa thức g0 hệ số có mối quan hệ bm (t0 )y0m + bm−1 (t0 )y0m−1 + · · · + b0 (t0 ) = 0, 74 nghĩa C có điểm hũu tỉ (t0 , y0 ) Do đó, xét tất đa thức (x − αi1 ) (x − αik ), ≤ k ≤ n − đa thức chọn hệ số không thuộc Q [t] Với đa thức ta thu đường cong đại số phẳng C1 , , CM với hệ số hữu tỉ Nếu t0 ∈ Q cho đường cong C1 , , CM có điểm hữu tỉ (t0 , y0 ) đa thức f (t0 , x) bất khả quy Vì ta chứng minh tồn vô hạn t0 ∈ Q cho đường cong C1 , , CM điểm hữu tỉ Bây ta nghiên cứu điểm hữu tỉ đường cong đại số phẳng C cho phương trình bm (t)y m + bm−1 (t)y m−1 + · · · + b0 (t) = bi (t) ∈ Q(t) Đầu tiên ta đổi biến y = bm (t)y Ta y m + bm−1 (t)y m−1 + bm−2 (t)bm (t)y m−2 + · · · + b0 (t)(bm (t))m−1 = Nếu (t0 , y0 ) điểm hữu tỉ đường cong t0 ∈ Z y ∈ Z Dưới ta giới hạn để nghiên cứu điểm nguyên đường cong Do đó, ta giả sử bm (t) = 1, tức đường cong cho phương trình y m + bm−1 (t)y m−1 + · · · + b0 (t) = bi (t) ∈ Z(t) Trong lân cận điểm t = ∞ hàm đại số y(t) khai triển sau √ √ k k y(t) = a( t)n + · · · + b + c( t)−1 + · · · , √ k t bậc k t (được định nghĩa ta chọn √ nghiệm mà k t > với t > 0) Ánh xạ (y, t) −→ t xác định phân nhánh M −→ CP M mặt phẳng Riemann hàm số đại số 75 y(t) Ta xét bao quanh nhánh ∞ Lấy nhánh ý chúng cắt với nghịch ảnh lân cận ∞ Các nhánh cắt tập có dạng z −→ z k , nghĩa y(z) đơn trị z k = t Rõ ràng z = ∞ không điểm kì dị y(z) Ta xét trường hợp tồn dãy tăng vô hạn số nguyên dương ti mà y(ti ) số thực Ta chứng minh trường hợp tất hệ số khai triển y(t) số thực Giả sử hệ số không số thực Đặt ξts/k giới hạn bậc cao s/k với ξ không số thực Thì giá trị thực t, giới hạn bậc cao không ảnh hưởng đến phần ảo tổng chuỗi t −→ +∞ giới hạn bậc bé nhỏ so với ξts/k không bỏ phần ảo Ta thực bước cuối chứng minh số ti ∈ N mà y(ti ) ∈ Z tạo thành tập mật độ không Dễ dàng ta có phát biểu sau Định lý 5.6 Cho √ √ k k ϕ(t) = a( t)n + · · · + b + c( t)−1 + · · · , t số thực chuỗi thực hội tụ với t ≥ R Giả sử ϕ(t) đa thức tồn số C > ε ∈ (0, 1) cho số nguyên dương t ≤ N mà ϕ(t) ∈ Z không vượt CN ε Chứng minh Đầu tiên ta thấy khai triển đạo hàm thứ m ϕ(t) n giới hạn có dạng tν với ν > − m Do ta chọn k (m) số nguyên m ≥ cho ϕ (t) ∼ ct−µ t −→ +∞, µ > c = Bổ đề 5.7 Tồn số dương c1 α cho T đủ lớn đoạn [T, T + c1 T α ] chứa không m số nguyên dương t mà ϕ(t) ∈ Z 76 Chứng minh Đặt t1 < < tm+1 Xét đa thức nội suy Lagrange m+1 f (t) = ϕ(ti ) i=1 (t − t1 ) · · · (t − ti−1 )(t − ti+1 ) · · · (t − tm+1 ) (ti − t1 ) · · · (ti − ti−1 )(ti − ti+1 ) · · · (ti − tm+1 ) Hàm số ϕ − f triệt tiêu t1 , , tm+1 theo định lí Rolle tồn điểm ξ ∈ [t1 , tm+1 ] cho ϕ(m) (ξ) = f (m) (ξ) = m! ϕ(ti ) (t − t ) · · · (t − t )(t − t ) · · · (t − t ) i i i−1 i i+1 i m+1 1≤i≤m+1 Từ đó, ϕ(m) (ξ) số hữu tỉ mà mẫu số không vượt (tj − ti ) < (tm+1 − t1 )m(m+1)/2 1≤i c1 T α α = m(m + 1) 1+α ε ε < ε < Ta chia đoạn [1, N ] thành đoạn [1, N ] [N , N ] Theo Ta trở lại chứng minh định lý, chọn ε cho 1−αε = ε tức ε = bổ đề 5.7 độ dài đoạn thẳng c1 (N ε )α nằm [N ε , N ] chứa không m số nguyên dương t mà ϕ(t) ∈ Z Do đó, tổng số nguyên dương [1, N ] không vượt N − Nε m 1−αε m ε ε ε < N + N = N + N c1 N αε c1 c1 m Do ta đặt C = + c1 Nε + n Đặt B(N ) tổng số nguyên dương t ≤ N mà ϕ(t) ∈ Z CN ε C lim = lim 1−ε = Điều có nghĩa tồn vô hạn số N →∞ N N →∞ N nguyên dương t mà ϕ(t) ∈ Z 77 Kết luận Đặt vấn đề tìm hiểu tiêu chuẩn bất khả quy đa thức, luận văn đạt kết sau: • Trình bày số kiến thức sở đa thức, đa thức bất khả quy • Trình bày số tiêu chuẩn bất khả quy chẳng hạn tiêu chuẩn Eisenstein, tiêu chuẩn bất khả quy thu gọn, tiêu chuẩn liên quan đến nghiệm đa thức • Trình bày khái niệm đa thức bất khả quy nhiều biến, định lí bất khả quy Hilbert 78 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Dương Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ, Cơ sở lý thuyết số đa thức, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2014 [2] Dương Quốc Việt, Lê Văn Chua, Cơ sở lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2014 [3] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [4] Dương Quốc Việt, Nguyễn Đạt Đăng, Lê Văn Đính, Lê Thị Hà, Đặng Đình Hanh, Đào Ngọc Minh, Trương Thị Hồng Thanh, Phan Thị Thủy, Bài tập Cơ sở lý thuyết số đa thức, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2014 [5] Dương Quốc Việt, Lê Thị Hà, Trương Thị Hồng Thanh, Nguyễn Đạt Đăng, Nguyễn Quang Lộc, Bài tập Lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2014 [B] Tài liệu tiếng Anh [6] Victor V Prasolov, Polynomials, Algorithms and Computation in Mathematics 11, 2010 79 ... đầu 1 Một số khái niệm đa thức Đa thức bất khả quy R C 1.1 Khái niệm đa thức bất khả quy 1.2 Đa thức bất khả quy trường số phức 12 1.3 Đa thức bất khả quy trường số thực... liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương Một số khái niệm đa thức Đa thức bất khả quy trường C R Trình bày số kiến thức đa thức, đa thức bất khả quy đa thức bất khả quy trường số C R thông... tài "Một số tiêu chuẩn đa thức bất khả quy" nhằm mục đích trình bày, hệ thống số kết tiêu chuẩn bất khả quy đa thức trường số số tập điển hình liên quan đến việc xét tính bất khả quy đa thức