Các bài toán về đa thức bất khả quy trong các kì thi học sinh giỏi

1 Tên sáng kiến: CÁC BÀI TOÁNVỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Chương trình Tốn lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ - 2016đến - 2017 Tác giả: Đơn vị áp dụng sáng kiến Mã sáng kiến: SK36 1 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KI ẾN Đa thức nội dung quan trọng ch ương trình tốn h ọc ph ổ thơng bắt đầu giảng dạy chương trình đại số cấp THCS Các toán đa thức xuất nhiều kì thi học sinh giỏi Quốc gia Qu ốc tế Kiến thức liên quan để giải tập đa th ức r ất đa d ạng phong phú Các toán đa thức thường xuyên xuất kỳ thi h ọc sinh giỏi tốn ln đánh giá tốn khó Các tốn thường yêu cầu nghiên cứu tính chất hệ số đa th ức, tính ch ất nghiệm tốn đa th ức nguyên, tính kh ả quy hỏi theo nhiều hình thức khác Bài tốn đa thức với hệ số nguyên đa th ức bất kh ả quy có vai trò quan trọng xuất nhiều kì thi TST IMO hàng năm Th ật khó để khẳng định đa thức bất khả quyhay không Chuyên đ ề muốn khám phá vấn đề kết đa th ức bất kh ả quy, đ ưa số tiêu chuẩn ví dụ điển hình để áp dụng giải lớp toán tương tự Có thể coi tốn đa thức bất khả quy nh nh ững tập lý thuyết, đòi hỏi người học phải nắm vững bước ch ứng minh nh việc chứng minh định lý toán học Đây lý mà tốn đa thức bất khả quy ln gây khó khăn với học sinh Trong q trình giảng dạy, đặc biệt sau thời gian nghiên cứu giảng dạy cho đội tuyển học sinh giỏi, nhận th h ọc sinh đ ược 2 cung cấp kiến thức đa thức tính chất nghiệm; đ ồng th ời biết số ứng dụng vận dụng để giải quy ết tập lớn Báo cáo sáng kiến ngồi việc trình bày lại m ột số kiến th ức c b ản mặt đại số giải tích đa thức nghiệm đa th ức; báo cáo đ ưa số ứng dụng tính chất nghiệm toán thi học sinh gi ỏi cấp II MƠ TẢ GIẢI PHÁP: Mơ tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Các toán đa thức thường xuyên xuất kỳ thi h ọc sinh giỏi tốn ln đánh giá tốn khó Các tốn thường yêu cầu nghiên cứu tính chất hệ số đa th ức, tính ch ất nghiệm tốn đa th ức nguyên, tính kh ả quy hỏi theo nhiều hình thức khác Bài tốn đa thức với hệ số nguyên đa th ức bất kh ả quy có vai trò quan trọng xuất nhiều kì thi TST IMO hàng năm Th ật khó để khẳng định đa thức bất khả quyhay không Trước áp dụng sáng kiến này, nhiều học sinh th ường dùng m ột s ố kĩ thuật để chứng minh đa th ức bất khả quy hay kh ả quy Nhi ều h ọc sinh chưa biết định lý, tiêu chuẩn hay ví dụ có th ể áp dụng cho lớp tốn dạng Chính vậy, học sinh ch ưa bi ết cách khai thác sáng tạo toán tương t ự, nh ững toán m ới Chuyên đề muốn khám phá vấn đề kết đa th ức bất khả quy, đưa số tiêu chuẩn ví dụ điển hình đ ể áp d ụng gi ải lớp toán tương tự Có thể coi nh ững tốn v ề đa th ức b ất khả quy tập lý thuyết, đòi h ỏi người h ọc ph ải n ắm v ững bước chứng minh việc chứng minh định lý toán h ọc v ậy Đây 3 lý mà toán đa th ức bất kh ả quy ln gây khó khăn v ới học sinh Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: A Các kiến thức chuẩn bị: I MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC Định nghĩa: Cho hàm số f : ¡ → ¡ Ta gọi f đa thức f số tồn n∈¥* số thực a0 , a1 , , an với a0 ≠ cho f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + + an−1 x + an +) a0 , a1 , , an gọi hệ số đa thức; a0 ≠ gọi hệ số cao nhất; an gọi hệ số tự +) Đ ặ c bi ệ t a0 = f đ ượ c g ọ i đa th ứ c chu ẩ n t ắ c ho ặc đa th ứ c monic Bậc đa thức: n n −1 Cho đa thức f ( x ) = a0 x + a1 x + + an−1 x + an +) Nếu f ( x ) = 0, ∀x ∈ ¡ đa thức f khơng có bậc +) Nếu f số khác bậc f 0; kí hiệu deg f = +) Nếu a0 ≠ bậc f n ; kí hiệu deg f = n Nghiệm đa thức: 3.1 Định nghĩa:Cho đa thức f ∈ ¡ [ x ] số α ∈ ¡ Ta gọi α nghiệm đa thức f f ( α ) = 3.2 Định lý Bezout: Cho đa thức f ∈ ¡ [ x ] Số thực α nghiệm đa thức f f ( x ) chia hết cho ( x − α ) *) Một số hệ quả: 4 +) Hệ 1: Phần dư phép chia đa thức f ( x ) cho đa thức ( x − α ) f ( a) +) Hệ 2: Nếu x1 , x2 , , xm nghiệm phên biệt đa thức f ( x ) f ( x ) chia hết cho ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − xm ) * 3.3 Nghiệm bội:Cho đa thức f ∈ ¡ [ x ] , α ∈ ¡ k ∈ ¥ Ta gọi α nghiệm bội đa thức f f ( x ) chia hết cho ( x − α ) f ( x) không chia hết cho ( x − α) k +1 , nghĩa k f ( x ) = ( x − a ) g ( x ) , ∀x ∈ ¡ g ( α ) ≠ k Quan hệ số nghiệm bậc đa thức: Cho đa thức f ∈ ¡ [ x ] , deg f = n , xi nghiệm bội ki , i = 1; m Khi ta có k1 + k2 + + km ≤ deg f = n Đặc biệt, k1 + k2 + + km = n , ta có phân tích đầy đủ theo nghiệm x1 , x2 , , xn (có thể trùng nhau) f ( x ) bậc n f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − xn ) n n−1 *) Định lý: Cho đa thức f ∈ ¡ [ x ] , f ( x ) = a0 x + a1 x + + an−1 x + an , a0 ≠ Nếu f ( x ) có nhiều n nghiệm = 0, ∀i = 0, n , tức f = 0, ∀x ∈ ¡ Định lý Viet: 5.1 Định lý Viet thuận: f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + + an−1 x + an a0 ≠ f ∈ ¡ x [ ] Cho đa thức , , Nếu f có n nghiệm x1 , x2 , , xn (phân biệt hay trùng nhau) thì: 5 n S1 = ∑ xi = x1 + x2 + + xn = − i =1 S2 = ∑ 1≤i < j ≤ n a1 a0 xi x j = x1 x2 + x1 x3 + + xn−1 xn = a2 a0 Sk = ∑ 1≤i1