ĐỀ ĐỀ XUẤT HSG TOÁN 6,7 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 2017

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HƯNG HÀ Năm học: 2016 – 2017 Môn kiểm tra: Toán Nội dung kiến thức Chữ số, dãy số tập hợp số tự nhiên Cộng, trừ số nguyên Số câu: Số điểm: Tỉ lệ: Dạng toán tập hợp, ƯC, ƯCLN, BC, BCNN Số câu: Số điểm: Tỉ lệ: Kiến thức lũy thừa Số câu: Số điểm: Tỉ lệ: Phép chia hết, phép chia có dư Số câu: Số điểm: Tỉ lệ Số nguyên tố, số phương Số câu Số điểm Tỉ lệ Đoạn thẳng Số câu Số điểm Tỉ lệ Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ Mức độ câu hỏi Thông hiểu Vận dụng thấp Thực tốt phép Vận dụng kiến thức toán cộng trừ chữ số để làm toán tập số nguyên 1 2 10% 10% Thông hiểu cách viết Vận dụng kiến thức , ƯC tập hợp ƯCLN, BC, BCNN để tìm số chưa biết 1 2 10% 10% Thông hiểu kiến thức lũy thừa để làm toán liên quan 2 10% Vận dụng kiến thức chia hết để chứng tỏ tổng hay hiệu chia hết số 1 5% Tổng Vận dụng cao Vận dụng dãy số quy luật để tính nhanh 10% 30% 20% 2 10% Vận dụng kiến thức phép chia có dư để tìm số chưa biết 2 5% 10% Chứng tỏ số số nguyên tố, hay hợp số 2 10% 10% Thông hiểu cách tính Vận dụng kiến thức điểm đoạn thẳng nằm để tính đoạn thẳng 1 2 10% 10% 40% 35% 25% 20% 12 20 100% KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 2016 - 2017 Môn kiểm tra: Toán Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề (Đề gồm trang) Bài 1: (6 điểm) a) Chứng minh số có chữ số mà chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị giống có tổng chữ số chia hết cho số chia hết cho b) Tính S, biết S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + 4.96+ … + 98.2 + 99.1 c) Tìm số nguyên a, b, c biết: a + b = 11; b + c = 3; c + a = Bài 2: (4 điểm) a) Cho dãy số 0, 1, 4, 9, 16, …, 2500 Viết tập hợp D gồm số hạng dãy số cách tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Tập hợp D có phần tử ? b) Tìm hai số nguyên dương a b biết a + b = 128 (a, b) = 16 Bài 3: (2 điểm) a) Cho A = + + + 3 + … + 30 ;B = 331 : Tính B - A b) Cho A = + 2 + + … + 29 + 30 Chứng minh A chia hết cho Bài 4: (2 điểm) a) Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số k Chứng minh a M b) Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 3, cho 4, cho có số dư theo thứ tự 1, 3, Bài 5: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để n + 12n số nguyên tố Bài 6: (4 điểm) Gọi A, B hai điểm tia Ox, cho OA = cm, OB = cm a) Trên tia BA lấy điểm C cho BC = cm Tính độ dài CA? b) Nếu lấy điểm C không thuộc đoạn thẳng AB thuộc tia Ox có CA= a (cm) (2 < a ) Gọi I trung điểm AB Tính độ dài IC? Hết -Họ tên: ………… ……… …………………………… Số báo danh: ……………… … … Chữ kí giám thị số 1: ………………………… Chữ kí giám thị số 2: ………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 2016 - 2017 Môn kiểm tra: Toán Bài ý a Đáp án Gọi số abb , tổng chữ số số là: a + b + b = a + 2b Có abb = 100a + 10b + b = 98a + 7b +2 (a + 2b) Mà 98a M 7, 7b M a + 2b M nên abb M S = (1 + + + … + 99) + (1 + + … + 98) + (1 + +…+97) + … + (1 + + 3) + (1 +2) + S = (1 + 99).99: + (1 + 98).98: + … + (1 + 2).2: + 2:2 S= b 1 (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99 + 99.100) Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99 + 99.100 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 98.99.3 + 99.100.3 3A = 1.2.3 + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 2) + … + 99.100(101 - 98) Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 99.100.98 3A = 99.100.101 S= c a A = 166 650 Có a + b = 11; b + c = 3; c + a = a + b + b + c + c + a = 11 + + 2 (a + b + c) = 16 a+b+c=8 (a + b + c) - (a + b) = - 11 c = -3 (a + b + c) - (b + c) = - a=5 (a + b + c) - (a + c) = - b=6 = 0; = 1; = 2; = 2500 = 50 50 Vậy D = { x ∈ N/ x = a a với a = 0; 1; 2; 3; …; 50 } Vậy tập hợp D có 51 phần tử b, Giả sử a ≤ b ta có a = 16m; b = 16n với m ∈ N * , n ∈ N * (m, n) = 1; m ≤ n Vậy a + b = 128 hay 16(m + n) = 128 suy m + n = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 b Ta có bảng giá trị sau: m n a b 16 112 0,5 48 80 Vậy Nếu a = 16 b = 112 Nếu a = 48 b = 80 A = + + + 3 + … + 30 3A = 3+ + 3 + … + 30 + 31 3A - A = 3+ + 3 + … + 30 + 31 - - - - … - 30 2A = 31 - A= −1 0,25 0,25 31 Vậy B - A = a 0,25 3 −1 = 2 31 31 A = + 2 + + … + 29 + 30 A = 2(1 + 2) + (1 + 2) + … + + 29 (1 + 2) A = 2.3 + 3 + … + + 29 A = 3.(2 + + … + 29 ) M nên 3.(2 + + … + 29 ) M Hay A M Ta biết số tổng chữ số có số dư chia cho 9, hiệu chúng chia hết cho Như 2a - k M9 a - k M9 nên[ 2a - k - (a - k)] M Nên a M Gọi a số phải tìm, a - chia hết 3, a - chia hết chia hết 4, a - chia hết 2a - chia hết 3; 2a - chia hết nên 2a - + chia hết hay 2a - chia hết 2a - chia hết Vậy 2a - BCNN(3, 4, 5) BCNN(3, 4, 5) = 60 2a - = 60 2a = 60 + a = 31 Đặt A = n + 12n = n (n + 12) Nếu n = A = (loại) Nếu n = A = 13 (chọn) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Nếu n ≥ A = n (n + 12) tích hai thừa số lớn nên A hợp số Vậy n = C O a x B Trên tia OB có OA = 4cm, OB = 6cm mà < nên OA < OB, nên điểm A nằm điểm O điểm B Suy OA + AB = OB từ tính AB = 2cm Trên tia BO có BA = 2cm, BC = 3cm mà < nên BA < BC suy điểm A nằm điểm B điểm C nên BA + AC = BC, từ tính AC = 1cm C O A A B I b 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 x Trường hợp 1: Điểm C thuộc tia đối tia AB IC = CA + AI = a + 0,5 0,75 AB =a+1 Trường hợp 2: O A I B C x Điểm C thuộc tia đối tia BA Ta tính AI = 1cm IC = AC - AI = a – Vậy IC = a -1 0,25 0,5 0,25 KÌ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 2016 - 2017 Môn kiểm tra: Toán Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề (Đề kiểm tra gồm 01 trang) Câu (4,0 điểm) Thực phép tính: 1 1 + + + + + 99 100 a) A = 992 98 97 + + + + + 98 99 b) So sánh: + + 12 + 20 + 30 + 42 24 Câu (6,0 điểm) Tìm x, y, z biết: a ) x + x + + x 2016 = − x b)4(2016 − x) + y − = 42 c) ( x, y ∈ Z ) y − z 5z − 3x x − y = = x + y − z = 15 Nhà trường dự định chia viết cho ba lớp 6A, 6B, 6C tỉ lệ với số 7; 6; sau có học sinh thuyên chuyển ba lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ 6; 5; Như so với dự định có lớp nhận dự định 12 quển Tính tổng số mà nhà trường dùng để chia cho ba lớp Câu (3,0 điểm) a) Vẽ đồ thị hàm số y = −2 x b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = 3x + đồ thị hàm số y = x Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M giao điểm CD BE Chứng minh rằng: a) BE = CD b) · = BMC 1200 c) ·AMB = 1200 Câu (1,0 điểm) Chứng minh không tồn số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a − b + b − c + c − d + d − a = 2017 Hết Họ tên: ………………………………………………………….… Số báo danh: ….…… Chữ kí giám thị số 1: ……………… …………… Chữ kí giám thị số 2: ………………………… Kiến thức phần Tính toán tập hợp số thực Số câu Số điểm Tỉ lệ Lũy thừa, tỉ lệ thức-dãy tỉ số nhau, giá trị tuyệt đối, bậc hai Số 1 Số câu Số điểm Tỉ lệ Hàm số đồ thị Số câu Số điểm Tỉ lệ Hình học tổng hợp Số câu Số điểm Tỉ lệ Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; Số câu Số điểm Tỉ lệ CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Hình thức: 100% tự luận Mức độ câu hỏi Số Thông hiểu (TH), vận dụng thấp (VD thấp), vận dụng cao (VD điểm cao) TH VD thấp VD cao Biết tính áp dụng Vận dụng kiến 4,0 tính chất phép thức bậc hai tính tập số thực 1 2,5 1,5 25% 15% Hiểu lũy thừa Vận dụng tính chất Vận dụng tính chất bậc chẵnvà giá trị lũy thừa giá trị dãy tỉ số tuyệt đối tuyệt đối để đánh 6,0 biểu thức không giá giá trị biểu âm, vận dụng tính thức chất chia hết 1,5 2,5 2,0 15% 25% 20% Hiểu vẽ đồ Vận dụng quan hệ thị hàm số y = ax (a điểm thuộc đồ thị 3,0 ≠ 0) ứng với khoảng hàm số để tìm tọa độ giá trị biến giao điểm đồ thị 1 1,5 1,5 15% 15% Vẽ hình xác, Vận dụng kiến thức Vận dụng tính chất biết chứng minh hai định lí góc tám giác cân, tam 6,0 tam giác tam giác giác đều, chứng suy hai cạnh minh tam giác tương ứng nhau 1 2,5 1,5 2,0 25% 15% 20% Biết vận dụng kiến 2,0 thức, phương pháp để cm đẳng thức 1,0 10% Ghi Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ 20,0 8,0 7,0 40% 5,0 35% 25% HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 2016 - 2017 Môn kiểm tra: Toán Câu Ý a 2,5 điểm Nội dung Điểm Biến đổi mẫu số ta được: 99 98 97 + + + + + 98 99 100 − 100 − 100 − 100 − 98 100 − 99 = + + + + + 98 99 100 100 100 100 = 100 − + −1+ − + + −1+ −1 98 99 1 1 = 100 − (1 + + + + 1) + 100( + + + + ) 98 99 1 1 1 1 = 100 − 99 + 100( + + + + ) = + 100( + + + + ) 98 99 98 99 1 1 100 1 1 = 100( + + + + ) + = 100( + + + + + ) 98 99 100 98 99 100 Do A = = 0, 01 100 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 b 1,5 điểm Ta có: 0,5 < < 2, 25 ⇒ < 2, 25 ⇒ < 1,5 < < 6, 25 ⇒ < 6, 25 ⇒ < 2,5 0,5 Chứng minh tương tự ta được: 0,25 0,25 12 < 3,5; 20 < 4,5; 30 < 5, 5; 42 < 6,5 ⇒ + + 12 + 20 + 30 + 42 < 1,5 + 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5 ⇒ + + 12 + 20 + 30 + 42 < 24 a 1,0 điểm x + x + + x 2016 = − x (1) 0,5 0,25 Vì x ≥ 0; x 2016 ≥ 0∀x x ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ x + ≥ 6∀x ⇒ x + x + + x 2016 ≥ 6∀x 0,25 Vì x ≥ ⇒ − x ≤ 6∀x 2 Dấu “=” xảy ⇔x=0 y Do (1) xảy ra⇔x=0 b 4(2016 − x) + y − = 42(*) ∀x, y ∈ Z 1,5 điểm E Ta có D A3 0,5 -1 4(2016 − x) + y − =F 42 ⇒ 4(2016 − x) = 42 − y − x O -3 -2 0,25 Vì 42 M 3; y − M3 => 42 − y − M3 ∀y ∈ Z M 4 => 4(2016 − x) M3 => (2016 − x) M3 => -12016 − xM34ƯCLC (3; 4) = (1) y0 = Vậy 4≥ x 4  5là 12 = 4vở  5y số  lớp 6C 1nhận Ta thấy nên ítxdự dự định định -2 − ÷quyển a − a ⇒ a = 12 ⇒ Mà số lớp 6C nhận 4= 12 a = 1080 B C x Do ta có:   ÷ B A x < > − x) ≤ 42 ⇒ (2016 − x) ≤ 10,5 ⇒ 2016 − x ∈ { 0;1} (2) Vậy y − ≥ ⇒ 4(2016  18 15  90-3  18 15  0,25 0,25 0,25 ...KỲ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯNG HÀ Năm học 20 16 - 2017 Môn kiểm tra: Toán Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề (Đề gồm trang) Bài 1: (6 điểm) a) Chứng minh số có chữ số... x + + x 20 16 = − x (1) 0,5 0,25 Vì x ≥ 0; x 20 16 ≥ 0∀x x ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ x + ≥ 6 x ⇒ x + x + + x 20 16 ≥ 6 x 0,25 Vì x ≥ ⇒ − x ≤ 6 x 2 Dấu “=” xảy ⇔x=0 y Do (1) xảy ra⇔x=0 b 4(20 16 − x) + y... Câu (6, 0 điểm) Tìm x, y, z biết: a ) x + x + + x 20 16 = − x b)4(20 16 − x) + y − = 42 c) ( x, y ∈ Z ) y − z 5z − 3x x − y = = x + y − z = 15 Nhà trường dự định chia viết cho ba lớp 6A, 6B, 6C tỉ