CHƯƠNGVILƯỢNGGIÁC Bài Xác định dấu biểu thức a A = sin 50° cos (–300°) b B = sin 215° tan (3π) c C = cos 4π π 4π 9π sin tan cot 3 Bài Cho 0° < α < 90° Xét dấu biểu thức a sin (α + π/2) b cos (α – 45°) c cos (270° – α) d cos (2α + 90°) Bài Cho tam giác ABC Xét dấu biểu thức a A = sin A + sin B + sin C b B = sin A sin B sin C c C = cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2) d D = tan (A/2) + tan (B/2) + tan (C/2) Bài Cho biết giá trị lượng giác, tính giá trị lượnggiác lại a cos a = 4/5; với 270° < a < 360° Tính sin a, tan a, cot a b sin a = 5/13; với π/2 < a < π Tính cos a, tan a, cot a c tan a = 3; với π < a < 3π/2 Tính sin a, cos a, cot a d cot a = 2; với π < a < 3π/2 Tính sin a, cos a, tan a e Cho cos α = –12/13; π/2 < α < π Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α f Cho cot α = < α < π/4 Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α g Cho sin 2α = –5/9 π/2 < α < π Tính sin α, cos α, tan α h Cho cos 2α = 5/13 3π/2 < α < 2π Tính sin α, cos α, tan α Bài Tính giá trị biểu thức cot a + tan a a Tính A = với sin a = 3/5 < a < π/2 cot a − tan a sin a + 2sin a cos a − cos a b Tính B = với cot a = –3 2sin a − 3sin a cos a + cos a sin a + 5cos a c Tính C = với tan a = sin a − cos a cot a + tan a d Tính D = với cos a = –2/3 cot a + tan a Bài Cho sin a + cos a = 5/4 Tính giá trị biểu thức sau: a A = sin a cos a b B = sin³ a + cos³ a Bài Cho tan a + cot a = Tính giá trị biểu thức sau: a A = tan² a + cot ² a b B = tan³ a + cot³ a Bài Cho 3sin4 x + cos4 x = 3/4 Tính A = sin4 x + 3cos4 x Bài Cho 3sin4 x + cos4 x = 1/2 Tính B = sin4 x + 3cos4 x Bài 10 Cho 5(sin x + cos x) = Tính sin x, cos x, tan x Bài 11 Cho tan x + cot x = Tính sin x, cos x, tan x, cot x Bài 12 Rút gọn biểu thức sau: a A = cos (π/2 + x) + cos (3π + x) + sin (x + π/2) b B = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin (7π/2 – x) + tan (π + x) c C = 2sin (π/2 + x) + sin (5π – x) + sin (3π/2 + x) + cos (π/2 + x) d D = cos (5π – x) – sin (3π/2 + x) + tan (3π/2 – x) + cot (3π – x) 2sin 2a − sin 4a e E = sin 2a + sin 4a Bài 13 Tính giá trị biểu thức sin(−328°) sin 958° cos( −508°) cos( −1022°) − a A = cot 572° tan(−212°) b B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + + cos 160° + cos 180° c C = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + + cos² 180° d D = sin 20° + sin 40° + sin 60° + + sin 360° Bài 14 Chứng minh đẳng thức sau: a sin4 x + cos4 x = – 2cos² x sin² x b sin6 x + cos6 x = – 3cos² x sin² x c sin8 x + cos8 x = – 4sin² x cos² x + sin4 x cos4 x d (cot² x – cos² x)(tan² x – sin² x) = cos² x sin² x e sin (α + 270°) e + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x) sin x + cos x − cos x = f − cos x sin x − cos x + 2 tan a + cot a + tan a sin a cos a + cot a g h × = − = + tan a cot a tan a + cot a sin a − cos a cos a − sin a − cot a sin a cos a sin a sin a + cos a i − j − = sin a cos a − = sin a + cos a + cot a + tan a sin a − cos a tan a − sin x cos8 x sin x cos a + = Bài 15 Cho với a, b > Chứng minh + = 3 a b (a + b)3 a b a+b Bài 16 Rút gọn biểu thức sau: cos x + cos x cot x a A = (tan x + cot x)² – (tan x – cot x)² b B = sin x + sin x tan x c C = (x sin a – y cos a)² + (x cos a + y sin a)² Bài 17 Chứng minh biểu thức độc lập x sin x + 3cos x − a A = (sin4 x + cos4 x – 1)(tan² x + cot² x + 2) b B = sin x + cos x + 3cos x − tan x − cos x cot x − sin x c C = + sin x cos x Bài 18 Cho tam giác ABC Chứng minh: a sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin B sin C b sin A + sin B + sin C = 4cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2) Bài 19 a Tính tan (α + π/3) sin α = 3/5 π/2 < α < π b Tính cos (π/3 – α) sin α = –12/13 3π/2 < α < 2π c Tính sin (a – b), cos (a + b), tan (a + b) biết sin a = 8/17, tan b = 5/12, < a, b < π/2 d Tính tan a + tan b, tan a, tan b < a, b < π/2; a + b = π/4 tan a tan b = – 2 Từ suy giá trị a b Bài 20 Tính giá trị biểu thức a A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100° + sin² 140° b B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan 20° cot 225° − cot 79° cot 71° c C = cot 259° + cot 251° d D = tan 15° + cot 15° Bài 21 Chứng minh 2sin(x + y) a tan x + tany = cos(x + y) + cos(x − y) b tan x tan (x + π/3) + tan (x + π/3) tan (x + 2π/3) + tan (x + 2π/3) tan x = –3 π π π 3π c cos(x − ) cos(x + ) + cos(x + ) cos(x + ) = (1 − 3) 4 d (cos 70° + cos 50°)(cos 230° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°)( cos 320° + cos 380°) = tan 2x − tan x e tan x tan 3x = − tan 2x tan x Bài 22 Chứng minh a 2tan a = tan(a + b) sin b = sin a cos (a + b) b tan a tan b = – cos (a + b) = 2cos (a – b) Bài 23 Cho tam giác ABC Chứng minh sin C a = tan A + tan B với A, B ≠ 90° cos A cos B b tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không tam giác vuông c cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = A B B C C A tan + tan tan + tan tan =1 2 2 2 A B C A B C A B C A B C e cos cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 Bài 24 Cho tam giác ABC Chứng minh a tan A + tan B + tan C ≥ 3 với ABC nhọn b tan² A + tan² B + tan² C ≥ với ABC nhọn c tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≥ Bài 25 Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x biết a cos x = –5/13; với π < x < 3π/2 b tan x = Bài 26 Tính giá trị biểu thức a A = cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° b B = sin 10° sin 50° sin 70° π 4π 5π c C = cos cos cos d D = cos 10° cos 50° cos 70° 7 2π 4π 8π 16π 32π cos e E = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78° g F = cos cos cos cos 31 31 31 31 31 h G = sin 5° sin 15° sin 25° sin 75° sin 85° i H = cos 10° cos 20° cos 30° cos 70° cos 80° π 2π 3π 4π 5π 6π 7π π π π k I = cos cos cos cos cos cos cos ℓ J = sin cos cos 15 15 15 15 15 15 15 16 16 Bài 27 Chứng minh a a a a sin a π 2π nπ cos cos cos cos n = cos cos = n a a P = b Q = cos 2 2 n sin n 2n + 2n + 2n + 2 2π 4π 2nπ cos cos =− c R = cos 2n + 2n + 2n + Bài 28 Chứng minh a 4(sin x cos³ x – cos x sin³ x) = sin 4x b 4sin6 (x/2) – 4cos6 (x/2) = cos x (sin² x – 4) π + sin 2x c tan( + x) = d cot x + tan x = cos 2x sin 2x d tan 1 1 1 x + + + cos x = cos với < x < π/2 2 2 2 Bài 29 Chứng minh a 4cos x cos (π/3 – x) cos (π/3 + x) = cos 3x b 4sin x sin (π/3 – x) sin (π/3 + x) = sin 3x Áp dụng tính: A = sin 10° sin 50° sin 70° B = cos 10° cos 50° cos 70° Bài 30 Biến đổi thành tích a – tan² x b sin 2x + sin 4x + sin 6x c + cos 4x + cos 8x d sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x e + sin 2x – cos 2x – tan 2x g cos 2x + sin 2x + Bài 31 Rút gọn biểu thức cos 7x − cos8x − cos 9x + cos10x sin15x + 2sin12x + sin 9x a A = b B = sin 7x − sin 8x − sin 9x + sin10x cos15x + cos12x + cos 9x + cos x + cos 2x + cos 3x c C = cos x + cos x − Bài 32 Tính giá trị biểu thức π 7π a A = tan + tan b B = c C = tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81° − 24 24 sin10° cos10° Bài 33 Tính giá trị biểu thức sau: π 7π 13π 19π 25π sin sin a A = sin sin sin b B = 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90° 30 30 30 30 30 e 2π 4π 6π + cos + cos + 7 2π 4π 6π 8π + cos + cos + cos e E = cos 5 5 Bài 34 Chứng minh a tan 20° – tan 40° + tan 80° = 3 c C = cos b tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° = π 2π 3π − cos + cos ) 7 π 3π 5π 7π 9π + cos g F = cos + cos + cos + cos 11 11 11 11 11 d D = 2( cos cos 20° Bài 35 Tính giá trị biểu thức a A = cos α + cos 3α + + cos (2n – 1)α; với α ≠ kπ b B = sin π 2π 3π (n − 1)π + sin + sin + + sin n n n n π 3π 5π (2n − 1)π + cos + cos + + cos n n n n 1 + + + d D = với a = π/5 cos a cos 2a cos 2a cos 3a cos 4a cos 5a 1 1 )(1 + )(1 + ) (1 + ) e E = (1 + cos x cos 2x cos 3x cos n −1 x x x x Bài 36 Tính Pn = cos cos cos n 2 a a a a n −1 a Bài 37 Tính Sn = tan tan a + tan tan + + tan n tan n −1 2 2 Bài 38 Chứng minh sin 2x − cos 2x − 2sin 2x + tan 2x = a b tan 4x − = cos 4x sin 2x + cos 2x − sin 4x − tan 2x sin 7x c tan 6x – tan 4x – tan 2x = tan 2x tan 4x tan 6x d = + 4cos 4x cos 2x + 2cos 4x sin x e cos 5x cos 3x + sin 7x sin x = cos 2x cos 4x Bài 39 Cho sin (2a + b) = sin b Chứng minh: 2tan(a + b) = 3tan a Bài 40 Cho tan (a + b) = tan a Chứng minh: sin (2a + 2b) + sin 2a = sin 2b Bài 41 Cho tam giác ABC Chứng minh: a sin A + sin B + sin C = cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2) b cos A + cos B + cos C = + sin (A/2) sin (B/2) sin (C/2) c sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C d cos² A + cos² B + cos² C = – cos A cos B cos C e sin² A + sin² B + sin² C = + cos A cos B cos C Bài 42 Tìm góc tam giác ABC biết B – C = π/3 sin B sin C = Bài 43 Chứng minh điều kiện cần đủ để ΔABC vuông b c a + = a cos 2A + cos 2B + cos 2C = –1 b cos B cos C sin B.sin C sin A + sin B = (tan A + tan B) Bài 44 Chứng minh điều kiện cần đủ để ΔABC cân C cos A + cos B Bài 45 Chứng minh bất đẳng thức 3 a sin A + sin B + sin C ≤ HD: cộng thêm sin (π/3) b cos A + cos B + cos C ≤ 3/2 HD: cộng thêm cos (π/3) c 8cos A cos B cos C ≤ HD: Biến đổi cos A cos B cos C – 1/8 dạng đẳng thức c C = cos ... 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81° − 24 24 sin10° cos10° Bài 33 Tính giá trị biểu thức sau: π 7π 13π 19π 25π sin sin a A = sin sin sin b B = 16 sin 10 sin 30° sin 50° sin 70° sin 90° 30 30 30... + x) = cos 3x b 4sin x sin (π/3 – x) sin (π/3 + x) = sin 3x Áp dụng tính: A = sin 10 sin 50° sin 70° B = cos 10 cos 50° cos 70° Bài 30 Biến đổi thành tích a – tan² x b sin 2x + sin 4x + sin... 2x + Bài 31 Rút gọn biểu thức cos 7x − cos8x − cos 9x + cos10x sin15x + 2sin12x + sin 9x a A = b B = sin 7x − sin 8x − sin 9x + sin10x cos15x + cos12x + cos 9x + cos x + cos 2x + cos 3x c C =