BT đại số 10 CHƯƠNG VI LƯỢNG GIÁC

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1... Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng.

CHƯƠNG VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

§2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin50 cos( 300 )0  0 b) B = sin215 tan0 21

7



c) C = cot3 .sin 2

   



 

  d) D = c 4os sin tan4 cot9

Cho 00   900 Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin(90 )0 b) B = cos(45 )0

c) C = cos(2700) d) D = cos(290 )0

Cho 0

2





  Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(  ) b) B = tan(  )

c) C = sin 2

5







3 cos

8





 



 

 

Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinAsinBsinC b) B = sin sin sinA B C

c) C = cos cos cosA B C

tan tan tan

2  2  2

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

2 5



    

c) sina 5 , a

13 2

 

3

    

e) tana 3, a 3

2





2



     

g) cot150  2 3 h) cot 3, 3

2



    

Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

cot tan sin 3, 0





7

2

8tan 3cot 1 sin 1, 90 180

3

sin 2sin cos 2 cos cot 3 2sin 3sin cos 4 cos

47



d) D a a khi a

sin 5cos tan 2 sin 2 cos



6

3

8cos 2sin cos tan 2 2cos sin

2



g) G a a khi a

cot 3tan cos 2



13 h) H a a khi a

sin cos tan 5 cos sin



2



Cho sina cosa 5

4

  Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Asin cosa a b) Bsinacosa c) Csin3acos3a

ĐS: a) 9

32 b)

7 4

128

 Cho tanacota3 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Atan2acot2ab) Btanacota c) Ctan4acot4a

ĐS: a) 11 b)  13 c) 33 13

a) Cho 3sin4x cos4x 3

4

  Tính Asin4x3cos4x ĐS: A 7

4



b) Cho 3sin4x cos4x 1

2

  Tính Bsin4x3cos4x ĐS: B = 1

c) Cho 4sin4x 3cos4x 7

4

  Tính C3sin4x4cos4x ĐS: C 7 C 57

a) Cho sinx cosx 1

5

  Tính sin , cos , tan , cotx x x x b) Cho tanxcotx4 Tính sin , cos , tan , cotx x x x

ĐS: a) 4; 3; 4; 3

5 5 3 4

2



 



hoặc 2 3; 2 3; 2 3; 1



 



VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

Tính các GTLG của các góc sau:

a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 25500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

b) 9 ; 11 ; 7 ; 13 ; 5 ;10 ; 5 ; 11 ; 16 ; 13 ; 29 ; 31

Rút gọn các biểu thức sau:

a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)

2

 

      

 

b) B 2cosx 3cos( x) 5sin 7 x cot 3 x

         

c) C 2sin x sin(5 x) sin 3 x cos x

           

d) D cos(5 x) sin 3 x tan 3 x cot(3 x)

         

Rút gọn các biểu thức sau:

a) A sin( 328 ).sin9580 0 0 cos( 508 ).cos( 1022 )0 0 0

cot 572 tan( 212 )

b) B sin( 234 ) cos216 tan3600 00 0

sin144 cos126



c) Ccos200cos400cos600  cos1600cos1800 ĐS: C  1

d) Dcos 102 0cos 202 0cos 302 0  cos 1802 0 ĐS: D 9

e) Esin 200sin 400sin 600  sin3400sin3600 ĐS: E 0

f) 2sin(7900 x) cos(12600 x) tan(6300x).tan(12600x) ĐS: F 1 cosx

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4xcos4x  1 2cos2x

b) sin4xcos4x  1 2cos sin2x 2x

c) sin6xcos6x  1 3sin cos2x 2x

d) sin8xcos8x  1 4sin cos2x 2x2sin cos4x 4x

e) cot2xcos2x  cos cot2x 2x

f) tan2xsin2x tan sin2x 2x

g) 1 sin xcosxtanx  (1 cos )(1 tan )x  x

h) sin tan2x xcos cot2x x2sin cosx x  tanxcotx

sin cos 1 2 cos

1 cos sin cos 1

x

2

2 2

1 sin 1 tan

1 sin



 



Chứng minh các đẳng thức sau:

tan tan tan tan

cot cot





2 2

sin cos cos sin 1 cot



sin cos

1 cot 1 tan

2

2

sin sin cos sin cos sin cos tan 1



2 2

1 cos 1 (1 cos ) 2cot

tan .1 cot 1 tan

1 tan cot tan cot



2

2

1 sin 1 sin 4 tan

1 sin 1 sin

tan tan sin sin tan tan sin sin

6

sin tan tan

cos cot





sin cos

sin cos  1 , ,  0

( )

 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 sin )cot 2x 2x 1 cot2x b) (tanxcot )x 2(tanxcot )x 2

cos cos cot

sin sin tan



 d) ( sinx a y cos )a 2( cosx a y sin )a 2

sin tan

cos cot



sin cos cos cos sin sin

g) sin (1 cot ) cos (1 tan )2x  x  2x  x h) x x x

 

 

   

2 2

 

 

 

Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin4xcos ) 2(sin4x  6xcos )6x ĐS: 1

b) 3(sin8xcos ) 4(cos8x  6x2sin ) 6sin6x  4x ĐS: 1

c) (sin4xcos4x1)(tan2xcot2x2) ĐS: –2

d) cos cot2x 2x3cos2xcot2x2sin2x ĐS: 2

sin 3cos 1 sin cos 3cos 1

3

tan cos cot sin

sin cos 1

sin cos 1

2 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinBsin(A C ) b) cos(A B ) cosC c) sinA B cosC

d) cos(B C ) cos(A2 )C e) cos(A B C  ) cos2C

f) cos 3A B C sin 2A

2

  g) sinA B 3C cosC

2

 

 h) tanA B 2C cot3C

 



§3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 1: Công thức cộng

Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

a) 15 ; 75 ; 1050 0 0 b) ; 5 ; 7

12 12 12

  

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) tan khi sin 3,

 

 

11



b) cos khi sin 12 3, 2

     

 

 

26



c) cos(a b).cos(a b khi) cosa 1, cosb 1

144



d) sin(a b ), cos(a b ), tan(a b ) khi sina 8 , tanb 5

  và a, b là các góc nhọn

221 221 220 e) tanatan , tan , tanb a b khi 0 a b, ,a b

    và tan tana b  3 2 2

Từ đó suy ra a, b ĐS: 2 2 2 ; tana tanb 2 1,a b

8



Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a) A = sin 202 osin 1002 osin 1402 o ĐS: 3

2 b) B = cos 102 ocos110ocos 1302 o ĐS: 3

2 c) C = tan 20 tan80o otan80 tan140o otan140 tan 20o o ĐS: –3

d) D = tan10 tan70o otan70 tan130o otan130 tan190o o ĐS: –3

e) E =

cot 225 cot 79 cot 71 cot 259 cot 251



f) F = cos 752 osin 752 o ĐS: 3

2

 g) G =

o

0

1 tan15

1 tan15



3

HD: 400 60020 ; 800 0 600200; 50060 10 ; 700 0 0 600100

Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin(x y ).sin(x y ) sin 2xsin2y

2sin( ) tan tan

cos( ) cos( )



c) tan tanx x tan x tan x 2 tan x 2 tanx 3

d) cos x cos x cos x cos x 3 2(1 3)

e) (cos70ocos50 )(cos230o ocos290 )o (cos40ocos160 )(cos320o ocos380 ) 0o 

tan 2 tan tan tan3

1 tan 2 tan





 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2 tanatan(a b khi ) sinbsin a cos a b(  )

b) 2 tanatan(a b khi ) 3sinbsin(2a b )

c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2 cos(a b)

3

d) a b b k khi a b k a

k

1 tan( ).tan cos( 2 ) cos

1





HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinCsin cosA Bsin cosB A

0 sin tan tan ( , 90 )

c) tanAtanBtanCtan tan tan ( , ,A B C A B C90 )0

d) cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

2 2  2 2  2 2  f) cot A cotB cotC cot cot cotA B C

2  2  2  2 2 2

sin cos sin cos

h) cos cos cosA B C sin sin cosA B C sin cos sinA B C cos sin sinA B C

i) sin2 A sin2 B sin2C 1 2sin sin sinA B C

2  2  2   2 2 2

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng A B C 900

 

  

 

 

2 2 2

 

i) Khai triển sin A B C

2 2 2

 

 

 

 

 

   cos cosB C sinA sin sinB C

2 2  2  2 2

 sin cos cosA B C sin2 A sin sin sinA B C

Cho tam giác A, B, C Chứng minh:

a) tanAtanBtanC 3 3,ABC nhọn

b) tan2Atan2Btan2C  9,ABC nhọn

c) tan6Atan6Btan6C81,ABC nhọn.

d) tan2 A tan2 B tan2C 1

2  2  2  e) tanA tanB tanC 3

2  2  2 

HD: a, b, c) Sử dụng tanAtanBtanCtan tan tanA B C và BĐT Cơ–si

d) Sử dụng a2b2c2 ab bc ca  và tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1

2 2  2 2  2 2 

e) Khai triển tan A tanB tanC 2

VẤN ĐỀ 2: Cơng thức nhân

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) cos2 , sin2 , tan 2 khi cos 5 , 3



         b) cos2 , sin 2 , tan 2   khi tan 2

c) sin , cos khi sin 2 4, 3

      

d) cos2 , sin 2 , tan 2 khi tan 7

8

Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A cos20 cos40 cos60 cos80 o o o o ĐS: 1

16 b) B sin10 sin50 sin70 o o o ĐS: 1

8 c) C cos cos4 cos5

8 d) Dcos10 cos50 cos700 0 0 ĐS: 3

8 e) E sin6 sin42 sin66 sin78 o o o o ĐS: 1

16 f) G cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

32 h) H sin5 sin15 sin25 sin75 sin85 o o o o o ĐS: 2

512 i) I cos10 cos20 cos30 cos70 cos800 0 0 0 0 ĐS: 3

256 k) K 96 3 sin cos cos cos cos

48 48 24 12 6

l) L cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7

128 m) M sin cos cos

16 16 8

8

Chứng minh rằng:

n n

P

a

sin cos cos cos cos

2

cos cos cos

cos cos cos

Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin4 cos4x 3 1cos4x

4 4

8 8

c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x

4

  d) sin6 x cos6 x 1cos (sinx 2x 4)

e) 1 sinx 2sin2 x

4 2



 

    

x

2 2





g)

x x

x

1 cos

2

2







 

   

 



 

 

x

1 sin2 tan



  

 

 

 

x



 

   

tan 2 tan tan tan3

1 tan tan 2





 l) tanx  cotx2 cotx m) x x

x

2 cot tan

sin 2

n) 1 1 1 1 1 1 cosx cos ,x với 0 x



VẤN ĐỀ 3: Cơng thức biến đổi

Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a b ).cos(a b ) b) 2 cos(a b ).cos(a b )

c) 4sin3 sin 2 cosx x x d) 4sin13x.cos cosx x

e) sin(x30 ).cos(o x30 )o f) sin sin2

 

g) 2sin sin 2 sin3 x x x h) 8cos sin 2 sin3x x x

i) sin x sin x cos2x

   

   

    k) 4 cos(a b ).cos(b c ).cos(c a )

Chứng minh:

a) 4cos cosx x cos x cos3x

   

   

   

   

   

Áp dụng tính: A sin10 sin50 sin70 o o o B cos10 cos50 cos70 o o o

Csin20 sin40 sin800 0 0 Dcos20 cos40 cos800 0 0

Biến đổi thành tích:

a) 2sin4x 2 b) 3 4cos 2x

c) 1 3tan 2x d) sin 2xsin 4xsin 6x

e) 3 4 cos4 xcos8x f) sin 5xsin 6xsin 7xsin8x

g) 1 sin 2 – cos2 – tan 2 x x x h) sin (2 x90 ) 3cos (o  2 x90 )o

i) cos5xcos8xcos9xcos12x k) cosxsinx1

Rút gọn các biểu thức sau:

cos7 cos8 cos9 cos10 sin 7 sin8 sin 9 sin10



B

sin 2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5



1 cos cos2 cos3 cos 2 cos 1



D

sin 4 sin 5 sin 6 cos4 cos5 cos6



Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A cos cos2

24 24

c) C sin 70 sin 50 sin 102 o 2 o 2 o d) Dsin 172 osin 432 osin17 sin43o o

e) E 1 o 2sin 70o

2sin10

sin10 cos10

g)

cot 25 cot 75 tan 25 tan 75

ĐS: A 1

2

64

4



E = 1 F = 4 G = 1 H = 4

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

30 30 30 30 30

ĐS: 1

32 b) 16.sin10 sin30 sin50 sin70 sin90o o o o o ĐS: 1

c) cos24ocos48ocos84ocos12o ĐS: 1

2 d) cos2 cos4 cos6

    

2



e) cos cos2 cos3

    

2 f) cos cos5 cos7

    

g) cos2 cos4 cos6 cos8

h) cos cos3 cos5 cos7 cos9

2 Chứng minh rằng:

a) tan9otan27otan63otan81o 4

b) tan20otan40otan80o 3 3

c) tan10otan50otan60otan70o  2 3

d) tan30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3.cos20o

3

e) tan20otan40otan80otan60o  8sin40o

f) tan 206 o33tan 204 o27tan 202 o 3 0

Tính các tổng sau:

a) S1 coscos3 cos5  cos(2 n1) ( k)

2  sin sin2 sin3  sin ( 1) .

3 cos cos3 cos5 cos(2 1) .

cos cos2 cos2 cos3 cos4 cos5 5



         

ĐS: S n

1 sin 2 2sin





n

2 cot

2



n

3  cos ;

a

4 tan 5 tan 1 5

sin



n x S

x

1

5 tan 2 tan 2





a) Chứng minh rằng: sin3x 1(3sinx sin3 ) (1)x

4

b) Thay x a n vào tính S n 3a 3 a n 1 3 a n

2

(1), sin 3sin 3 sin

3



a) Chứng minh rằng: a a

a

sin 2 cos

2sin

b) Tính P n x x x n

2

cos cos cos

n n

x P

x

2 sin 2



a) Chứng minh rằng: x x

x

1 cot cot sin  2 b) Tính S 1 1 1n 1 (2n 1 k )

sin sin2 sin2   





2

  

a) Chứng minh rằng: tan tan22x x  tan2x2tanx

S 2 a 2 1 2

2

Tính sin 2 ,2 x biết:

tan cot sin cos  ĐS: 8

9 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cotxtanx2 tan 2x 4 cot 4x b) x x

2

1 2sin 2 1 tan2

1 sin 4 1 tan2

c) x x

2 6

1 tan 3tan 1

x

1 sin 2 cos2 tan 4

cos4 sin 2 cos2



 e) tan 6xtan 4xtan 2x  tan 2 tan 4 tan 6x x x

x

sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2 cos6

g) cos5 cos3x xsin 7 sinx xcos2 cos4x x

a) Cho sin(2a b ) 5sin b Chứng minh: a b

a

2 tan( ) 3 tan

b) Cho tan(a b ) 3tan a Chứng minh: sin(2a2 ) sin 2b  a  2sin 2b

Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinA sinB sinC 4 cos cos cosA B C

b) cosA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C

c) sin 2Asin 2Bsin 2C  4sin sin sinA B C

d) cos2Acos2Bcos2C   1 4 cos cos cosA B C

e) cos2Acos2Bcos2C  1 2cos cos cosA B C

f) sin2Asin2Bsin2C  2 2cos cos cosA B C

Tìm các gĩc của tam giác ABC, biết:

a) B C vàsin sinB C 1



b) B C 2 và sin cosB C 1 3

Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuơng:

a) cos2Acos2Bcos2C  1 b) tan 2Atan 2Btan 2C0

cos cos sin sin d)

B a c b

cot 2



 Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:

a) atanA btanB (a b)tanA B

2



sin sin 1 (tan tan )

cos cos 2



C

2sin sin cot

2  sin Chứng minh bất đẳng thức, từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:

a) sinA sinB sinC 3 3

2

3



vào VT

b) cosA cosB cosC 3

2

3



vào VT

c) tanAtanBtanC3 3 (với A, B, C nhọn)

d) cos cos cosA B C 1

8

 HD: Biến đổi cos cos cosA B C 1

8

 về dạng hằng đẳng thức

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng