Phương trình hàm đa thức

Header Page of 133 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng xu hội nhập giới, đưa kinh tế Việt Nam lên tầm cao mới, giáo dục Việt Nam phải có biến chuyển mạnh mẽ nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để đào tạo lớp người lao động: “tự chủ, động, sáng tạo, có lực giải vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo liệu việc làm, lập nghiệp thăng tiến sống, qua góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” Trong số nhiều nội dung phải thay đổi không nói đến nội dung đổi phương pháp dạy học Để thực nhiệm vụ này, giáo viên phải trang bị cho nhìn tổng thể, toàn diện sâu sắc nội dung chương trình Vì vậy, việc nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa với giáo viên việc cần thiết Trong luận văn này, xin phép trình bày nghiên cứu thân mảng tri thức liên quan đến parabol chương trình toán phổ thông tài liệu để phục vụ cho công tác giảng dạy sau Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn Trần Mạnh Sâm Footer Page of 133 Header Page of 133 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Parabol trở thành mảng kiến thức trọng tâm chương trình lớp 10, học sinh gặp parabol Đại số Hình học Vấn đề liệu học sinh gặp toán parabol áp dụng kiến thức học nào? Để rèn luyện kỹ toán học, nâng cao khả sáng tạo linh hoạt tư cho học sinh đòi hỏi giáo viên phải giảng dạy đảm bảo tính logic, hợp lý tính sư phạm cao để học sinh lĩnh hội tri thức dễ dàng Do đó, chọn đề tài “Một số tính chất parabol ứng dụng” với mục đích tìm hiểu lịch sử hình thành số kiến thức liên quan đến parabol để áp dụng vào việc giảng dạy nội dung parabol chương trình phổ thông Từ đó, giúp học sinh thấy mối quan hệ Đại số Hình học qua mảng kiến thức parabol Mục đích nghiên cứu: Parabol phần kiến thức hình học nói chung hình sơ cấp nói riêng Trong luận văn đề cập đến số vấn đề mối quan hệ Đại số Hình học qua mảng kiến thức parabol; phương trình parabol; tiếp tuyến ứng dụng parabol nhằm phục vụ cho việc học tập giảng dạy hình học theo chương trình giáo dục phổ thông hành Bộ Giáo dục Đào tạo Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các vấn đề liên quan đến parabol phương trình parabol; tiếp tuyến ứng dụng parabol Phương pháp tổ chức nghiên cứu: Nghiên cứu lịch sử parabol mối quan hệ với lịch sử đời đường conic Quan điểm Đại số đường conic Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 Chương TỔNG QUAN 1.1 Lịch sử đời parabol Các đường conic chủ đề toán học nghiên cứu cách có hệ thống triệt để Những đường conic phát Menaechmus (người Hy Lạp, 375 – 325 năm trước Công nguyên), giám hộ cho Alexander the Great Những đường conic phôi thai nỗ lực giải toán tiếng: chia góc cho trước thành ba góc nhau, gấp đôi khối lập phương phép cầu phương vòng tròn Những đường conic định nghĩa lần giao hình nón tròn xoay hai tầng có góc đỉnh với mặt phẳng vuông góc với đường sinh hình nón, tùy thuộc vào góc nhỏ, bằng, hay lớn 900 mà có đường elip, parabol, hay hypebol tương ứng Appollonius (262 – 190 năm trước Công nguyên) – biết đến nhà hình học vĩ đại – củng cố mở rộng kết trước đường conic chuyên khảo "Conic Sections" (Thiết diện conic), gồm tập sách với 487 định đề Morris Kline nhận xét: “Conic Sections Appollonius thành tựu vĩ đại, đề tài khép kín nhà tư tưởng sau này, từ quan điểm túy hình học” Tập thứ VIII “Conic Sections” bị thất lạc “Conic Sections” Appollonius “Elements” Euclid xem tinh hoa toán học Hy Lạp Appollonius người đặt tên elip, hypebol parabol Một giải thích tóm tắt việc đặt tên tìm thấy “Howard Eves” – tác phẩm giới thiệu lịch sử toán học Trong Renaissance, quy luật chuyển động hành tinh Kepler, tọa độ hình học Descarte Fermat công trình hình học xạ ảnh ban đầu Desargues, La Hire, Pascal mở rộng đường conic lên cấp độ cao Nhiều nhà toán học Footer Page of 133 Header Page of 133 sau đóng góp vào phát triển đường conic, đặt biệt phát triển hình học xạ ảnh lĩnh vực mà đường conic đối tượng hình tròn hình học Hy Lạp Trong số người đóng góp phải kể đến Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, Steiner Thiết diện conic đề tài kinh điển thúc đẩy nhiều phát triển lịch sử toán học 1.2 Quan điểm đại số đường conic Trong tọa độ Đềcac, đường conic thỏa mãn phương trình bậc hai có dạng: ax  bxy  cy2  dx  ey  f  a, b, c, d, e f số; a, b, b số khác Khi thay đổi vài số hình dạng tương ứng đường conic thay đổi theo Vì vậy, tập trung ý vào thay đổi phương trình đại số nghiên cứu đường conic điều quan trọng Việc biết khác biệt phương trình giúp xác định cách nhanh chóng loại đường conic biểu diễn phương trình cho Có lẽ làm việc nhiều với phương trình vậy, không nhận góc độ liên quan đến đường conic Nếu b2 - 4ac < phương trình biểu diễn elip (trừ trường hợp a = b c = 0) Nếu b2 - 4ac = phương trình biểu diễn parabol Nếu a2 - 4ac > phương trình biểu diễn hypebol Nếu có thêm điều kiện a + c = 0, phương trình biểu diễn hypebol Thay đổi hệ trục tọa độ, ta đưa phương trình đường conic dạng tắc x2 y2 x2 y2 Elip:   ;   ; Parabol: y  px ; Hypebol: b a a b x2 y2 y2 x2   hay a2 b2 a2 b2 Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 1.3 Nói Parabol Thuật ngữ “parabol” xuất phát từ từ “parabole” tiếng Hy Lạp Parabol xem elip với tiêu điểm vô cực Điều có nghĩa tia sáng song song chiếu vào gương hình parabol gặp điểm Người ta kể rằng: Archimedes sử dụng gương hình parabol chiến tranh Suốt thời kỳ bao vây thành phố Syracuse (214 - 212 năm trước Công nguyên) người La Mã, Archimedes xây dựng gương phản chiếu làm từ kim loại ghép theo hình dạng parabol Những kim loại dùng để hội tụ tia nắng mặt trời vào tàu người La Mã, làm chúng bốc cháy Menaechmus tìm thấy parabol thử tìm hình vuông có diện tích hai lần diện tích hình vuông cho Euclid viết parabol Apollonius (200 năm trước Công nguyên) đưa đường cong với tên Pascal xem đường cong hình chiếu hình tròn Luca Valerio (người Ý) xác định diện tích parabol vào năm 1606; gọi phép cầu phương parabol Nhưng Archimedes người tìm giá trị diện tích tác phẩm "Quadrature of a Parabola" ông Cuối thời Trung cổ, súng đại bác dùng chiến trường Bởi vậy, việc dự đoán vị trí xác đích viên đạn bắn quan trọng Nhiều nhà khoa học cố tìm câu trả lời cho câu hỏi Galileo Galilei người tìm mối quan hệ Đó quỹ đạo đạn bắn bỏ qua hiệu ứng ma sát có dạng parabol Một parabol vẽ hệ trục tọa độ Oxy dựa vào phương trình Parabol đường cong conic tạo nên việc giao hình nón tròn xoay mặt phẳng Parabol tạo nên mặt Footer Page of 133 Header Page of 133 phẳng song song với đường thẳng vẽ bề mặt xiên hình nón từ đỉnh hình nón tới đáy Một parabol tập hợp tất điểm mà khoảng cách tới mọt đường thẳng cố định (được gọi đường chuẩn) điểm cố định – không nằm đường chuẩn – (được gọi tiêu điểm) Còn vài thuật ngữ khác tồn mối quan hệ với parabol Điểm thuộc parabol, nằm tiêu điểm đường chuẩn parabol gọi đỉnh đường thẳng qua tiêu điểm đỉnh gọi trục parabol Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 Chương PHƯƠNG TRÌNH PARABOL 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Định nghĩa parabol Trong toán học, parabol đường conic tạo giao hình nón mặt phẳng song song với đường sinh hình Một parabol định nghĩa tập hợp điểm mặt phẳng cách điểm cho trước (tiêu điểm) đường thẳng cho trước (đường chuẩn) Hình 2.1 Khái niệm parabol Trường hợp đặc biệt xảy mặt phẳng cắt tiếp xúc với mặt conic Trong trường hợp này, giao tuyến suy biến thành đường thẳng Parabol khái niệm quan trọng toán học trừu tượng Tuy nhiên, bắt gặp với tần suất cao giới vật lý có nhiều ứng dụng kỹ thuật, vật lý, lĩnh vực khác Một parabol định nghĩa đường conic với tâm sai Là kết định nghĩa này, parabol đồng dạng Một Footer Page of 133 Header Page of 133 parabol dựng cách tìm giới hạn chuỗi elip tiêu điểm, giữ cố định, tiêu điểm di chuyển xa Với nghĩa này, parabol coi elip với tiêu điểm vô hạn Parabol ảnh nghịch đảo cardioid (đường hình tim) Một parabol có trục đối xứng nhất, qua tiêu điểm vuông góc với đường chuẩn Giao điểm trục parabol gọi đỉnh parabol Một parabol quanh xung quanh trục không gian ba chiều tạo hình tròn xoay, gọi paraboloid Bảng 2.1 Các khái niệm Parabol Đường chuẩn đường thẳng cố định mà điểm thuộc parabol cách đường thẳng điểm cố định điểm cố định mà điểm thuộc parabol Tiêu điểm cách điểm đường thẳng cố định Dây cung Đoạn thẳng nối hai điểm parabol Tiếp tuyến Đường thẳng nằm tiếp xúc với parabol điểm Cát tuyến Đường thẳng ngang qua parabol cắt parabol hai điểm phân biệt Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 2.1.2 Quan hệ với đường cônic Các đường cônic (bao gồm đường tròn, elip, parabol, hypebol) biết từ 200 năm trước Công nguyên Apollonius người nghiên cứu có hệ thống tính chất chúng Trong tự nhiên, đường cônic có vai trò quan trọng, chúng mô hình cho nhiều trình vật lý xảy tự nhiên Có thể vật thể tác động lực hấp dẫn phải có qũy đạo đường cônic Các thiên thể hút lẫn với lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch vơi bình phương khoảng cách chúng Vì qũy đạo thiên thể đường cônic Quĩ đạo hạt điện tích đường cônic Như vậy, từ giới vĩ mô đến giới vi mô, đường cônic xuất tự nhiên Elip Parabol Hypebol Hình 2.2 Thiết diện cônic Đường cônic định nghĩa theo nhiều cách khác a) Định nghĩa hình học Các đường tròn, elip, parabol hay hypebol có tên gọi chung thiết diện cônic hay đường cônic Đường côníc giao tuyến mặt nón tròn xoay hai tầng với mặt phẳng, theo góc nghiêng khác (xem Hình 2.2) + Khi giao mặt nón mặt phẳng đường cong khép kín, tức mặt phẳng cắt tất đường sinh không song song với đường sinh nào, Footer Page of 133 Header Page 10 of 133 ta có thiết diện elip, trường hợp riêng đường tròn mặt phẳng nằm ngang cắt mặt nón, không qua đỉnh nón + Khi mặt phẳng song song với đường sinh mặt nón, đường côníc nhận parabol + Cuối cùng, mặt phẳng cắt hai mặt nón có chung đỉnh tạo nên hai đường cong tách biệt, gọi hypebol b) Định nghĩa dựa tiêu điểm đường chuẩn Trong mặt phẳng cho điểm cố định F đường thẳng cố định L không qua F Ký hiệu Q chân đường vuông góc hạ từ P tới L Tập hợp điểm P cho tỉ số PF/PQ số dương e cho trước gọi đường cônic Điểm F gọi tiêu điểm, L gọi đường chuẩn e gọi tâm sai hay độ lệch tâm đường cônic Từ định nghĩa thấy: o Elip đường cônic tâm sai e < (Hình 2.3 a) o Para bôn đqường cônic tâm sai e = (Hình 2.3 b) o Hypebôn đường cônic tâm sai e > (Hình 2.3 c) a) b) c) Hình 2.3 Tiêu điểm đường chuẩn đường cônic Đối với elip hypebol, có hai cặp "tiêu điểm - đường chuẩn" Các cặp tạo nên elip hypebol hoàn chỉnh, đồng thời chúng tạo tâm đối xứng (trung điểm đoạn thẳng nối hai tiêu điểm) Theo đó, elip hypebol định nghĩa theo cách khác mà parabol định nghĩa theo cách Đó Footer Page 10 of 133 10 Thang Long University Library Header Page 45 of 133 Ví dụ 4.1 Khi bóng đá lên, đến độ cao rơi xuống đất Biết quỹ đạo bóng parabol mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, t thời gian (s) kể từ bóng đá lên; h độ cao (m) qủa bóng Giả thiết bóng cầu thủ đá từ độ cao 1,2m Sau 1s đạt độ cao 8,5m 2s sau đá lên độ cao m Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h qua thời gian t có phần đồ thị trùng với quỹ đạo bóng tình Lời giải h 8,5 h 1,2 t Hình 4.13 Quỹ đạo bóng đá lên Giả sử hàm số bậc hai có đồ thị biểu thị cung Parabol có dạng: h  at  bt  c Theo giả thiết quỹ đạo bóng qua điểm (0; 1,2); (1; 8,5); c  1, a  4,9   8,5  a  b  c   b  12, nên ta có hệ phương trình 2  4a  2b  c c  1,   Vậy quỹ đạo bóng có phương trình là: h  4,9t  12, 2t  1, Footer Page 45 of 133 45 (2; 6) Header Page 46 of 133 Ví dụ 4.2 Cầu Campo Volantin Bilbao, Tây Ban Nha có hình parabol, kết cấu treo bêtông cốt thép dây căng Cầu dài 75m, độ cao cung 15m, nối hai bờ sông Bilbao Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói Hình 4.14a Cầu Campo Volantin Lời giải y 15 h 75 x O Hình 4.14b Đồ thị cầu Campo Volantin Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Giả sử hàm số bậc hai có đồ thị biểu thị cung Parabol có dạng: y  ax  bx  c Footer Page 46 of 133 46 Thang Long University Library Header Page 47 of 133 Khi đồ thị qua điểm (0; 0); (75; 0) có đỉnh ( 75 ; 15) dẫn đến  c    a  375 5625a  75b  c    b 75     b    ta có hệ phương trình :  2a  75  5625 c   a  b  c  15    a  Vậy phương trình parabol cần tìm: y   4 x  x 375 4.2 Tính phản xạ parabol Parabol có tính chất bật đặt nguồn sáng tiêu điểm S nó, toàn tia sáng từ S, sau phản xạ parabol, truyền song song với trục Tính chất gọi tính phản xạ parabol Hình 4.15: Tính phản xạ parabol Hình 4.16: Paraboloid Ví dụ 4.3 Chứng minh tính phản xạ Parabol Lời giải Giả sử gương Angten parabol có phương trình y  ax   Tia sáng SA song song với trục Oy đến gặp gương A x0 ; ax , sau phản xạ cắt Oy E Ta chứng minh E  F , với F tiêu điểm parabol Footer Page 47 of 133 47 Header Page 48 of 133 y S N   y0 F E  T O A x0 x Hình 4.17: Tính phản xạ parabol Thật vậy:   Giả sử tiếp tuyến A cắt Ox T góc   TA; Ox , ta có: tan   2ax - Tiếp tuyến TA có phương trình: y  2ax x  ax o - Pháp tuyến AN có hệ số góc k1   2ax - Gọi k hệ số góc đường thẳng AE thì:  k  k1  1  k k1  tan  k  k1  tan     k k1  k  k1   1  k k1  tan  +) k  k1  1  k k1  tan   k 1  k1 tan    k1  tan   2ax  1  k    2ax  k    ax    2ax 2ax 4ax  0  +) k  k1   1  k k1  tan   k 1  k1 tan    k1  tan   k   hệ số góc đường thẳng x  x Từ dẫn đến đường thẳng AE có phương trình Footer Page 48 of 133 48 Thang Long University Library Header Page 49 of 133     y   ax  x  x  ax  y  ax       x  0 4ax  4ax  4a   Do x E   y E   y F  E  F nên tia phản xạ qua tiêu điểm 4a Chính tính chất mà gương lắp phía sau đèn trước xe chế tạo có hình paraboloid, tức hình dạng tạo cách quay parabol xung quanh trục Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa phía trước Hình 4.18 Gương parabol Ví dụ 4.4 Công thức gương parabol lõm y A B H F B' A' C x O Hình 4.19: Minh họa gương, angten parabol lõm Footer Page 49 of 133 49 Header Page 50 of 133 Đặt OF  f gọi tiêu cự gương Xét AB đủ nhỏ để chùm sáng sát trục Oy Gọi tọa độ điểm A  0; y  A '  0; y '  Ta có OAB đồng dạng với OA'B' nên có: OA ' A ' B' A ' B' FA '    OA AB HC FH  FA ' (vì FO HO) y' y' f y' y' 1    1    y f y f y y' f Đối với Angten parabol, trục angten hướng phía vệ tinh phát sóng, tín hiệu sóng vô tuyến sóng ánh sáng coi song song với trục gương Tín hiệu phản xạ tiêu điểm, người ta đặt ống thu sóng 4.3 Tính chất âm học parabol Các tia sáng từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục parabol Ngược lại, tia sáng tới song song với trục parabol sau bị phản xạ qua tiêu điểm Hình 4.20 Tính phản xạ parabol Vì sóng âm truyền không khí theo kiểu giống vậy, nên tính chất âm bị hội tụ tiêu điểm gọi tính chất âm học parabol Đây nguyên số phòng trưng bày nghệ thuật, tiếng thầm lại nghe rõ bạn đứng chỗ tiêu điểm F, chỗ khác không nghe Footer Page 50 of 133 50 Thang Long University Library Header Page 51 of 133 Tính chất âm học Parabol chứng minh tương tự tính chất phản xạ Parabol 4.4 Parabol xây dựng, kiến trúc Hình 4.21 Cổng Ác sơ Hình 4.22 Nhà hát Opera Sydney Ví dụ 4.5 (Bài toán Cổng Ac-sơ) Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i Mỹ ta thấy hình ảnh cổng lớn có hình parabol có bề lõm hướng xuống dưới, cổng Ac-sơ Một người khách du lịch đứng cách chân cổng 2m đặt sào dài Footer Page 51 of 133 51 172 m thẳng 19 Header Page 52 of 133 đứng, đầu sào chạm đất đầu sào chạm cổng Khoảng cách chân cổng 162 m a) Tìm đồ thị hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung Parabol nói b) Tính chiều cao cổng Lời giải y h 172 19 O M 162 160 x Hình 4.23a Đồ thị cổng Ác sơ Hình 4.23b Cổng Ác sơ a) Giả sử ta lập hệ tọa độ Oxy cho có chân cổng trùng với gốc tọa độ O, trục Ox qua chân cổng có người khách du lịch đứng, trục Oy hướng thẳng đứng lên (như hình vẽ) - Giả sử hàm số bậc hai có đồ thị biểu thị cung Parabol có dạng: y  ax  bx  c - Theo giả thiết Parabol qua điểm (0; 0); (162; 0); (160; 172 ) nên ta có hệ 19 43  a     1520 c    3483   1622 a  162b  c  b   phương trình: 760 172   c   160 a  160b  c  19   Vậy parbol cần tìm y   Footer Page 52 of 133 43 3483 x  x 1520 760 52 Thang Long University Library Header Page 53 of 133 b) Chiều cao cổng Ac-sơ tung độ đỉnh parabol y     186 4a Vậy chiều cao cổng Ac-sơ h  186 m 4.5 Parabol thiết kế Hình 4.24 Cầu Gaudi parabol Hình 4.25 Cổng trường Đại học Hình 4.26 Logo hình parabol Bách Khoa Hà Nội Footer Page 53 of 133 53 Header Page 54 of 133 4.6 Parabol giới vật lý a) Lò lượng mặt trời Tia sáng song song từ mặt trời chiếu vào bề mặt parabol, sau chúng phản xạ tập trung tiêu điểm F Khi lượng ánh sáng mặt trời chuyển hóa thành lượng nhiệt có lò lượng mặt trời nhiệt độ 6.000 ° C Hình 4.27 Mô hình lò lượng mặt trời b) Các hình tròn xoay dạng parabol quan sát thấy mặt chất lỏng đặt vật chứa xoay xung quanh trục trung tâm Trong trường hợp này, lực li tâm làm cho nước chờm lên thành vật chứa, tạo thành mặt parabol Đây nguyên tắc gương chất lỏng Khi chất lỏng luân chuyển, lực lượng trọng lực đáp ứng lực ly tâm, mà kết chất lỏng tạo thành hình parabol Ví dụ phổ biến khuấy động nước cam ly cách quay quanh trục Mức nước dâng tròn cạnh giảm nhẹ trung tâm kính (trục) Footer Page 54 of 133 54 Thang Long University Library Header Page 55 of 133 Hình 4.28 Parabol tạo thành khuấy chất lỏng c) Quỹ đạo ném xiên tạo chất điểm vật thể: Khi ném xiên vật không khí, bỏ qua lực cản không khí vật chịu lực tác dụng trọng lực trái đất quỹ đạo chuyển động vật parabol Trong trường hợp, đường bay vật bị ném vào không trung hình parabol Sự có mặt lực cản không khí, làm biến dạng quỹ đạo chuyển động vật, tốc độ chậm, dạng quỹ đạo hình gần giống hình parabol Ở tốc độ cao hơn, ví dụ quỹ đạo chuyển động viên đạn, dạng quỹ đạo bị biến đổi mạnh không giống hình parabol Hình ảnh bóng nảy mặt đất chụp lại đèn flash với tốc độ 25 hình giây Chú ý bóng không mang dạng hình cầu sau lần nảy đặc biệt lần Cùng với chuyển động quay lực cản không khí, quỹ đạo mà bóng vạch không xác parabol Footer Page 55 of 133 55 Header Page 56 of 133 Hình 2.29 Quỹ đạo vật bị ném xiên d) Quỹ đạo hai thiên thể: tiểu hành tinh hay vật thể khác tác dụng trọng trường mặt trời tạo Quỹ đạo vật mang hình dạng parabol trường hợp đặc biệt gặp tự nhiên Quỹ đạo mang hình dạng hyperbol hay elíp phổ biến Trong thực tế, quỹ đạo hình parabol dạng chuyển tiếp hai dạng quỹ đạo Vật thể di chuyển theo quỹ đạo parabol chuyển động tốc độ tới hạn để thoát khỏi vật thể mà quay quanh, tốc độ tới hạn parabol nhanh so với hình elíp chậm so với hyperbol Ví dụ Khi tàu vũ trụ phóng lên Mặt Trăng, trước hết bay vòng quanh Trái Đất Sau đến thời điểm thích hợp động bắt đầu hoạt động đưa tàu theo quỹ đạo parabol lên Mặt Trăng (x, y tính nghìn kilomet) Biết động bắt đầu hoạt động, tức x = 0; y = -7 Sau y = - x = 10 y = x = 20 Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói Footer Page 56 of 133 56 Thang Long University Library Header Page 57 of 133 Lời giải y Quỹ đạo 162 O x -7 Hình 2.30 Quỹ đạo tàu vũ trụ Giả sử hàm số bậc hai có đồ thị biểu thị cung Parabol có dạng: y  ax  bx  c - Theo giả thiết Parabol qua điểm (0; -7); (10; -4); (20; 5) nên ta có hệ c  7  a  0, 03   phương trình: 4  10 a  10b  c  b  5  202 a  20b  c  c  7   Vậy quỹ đạo là: y  0, 03x  e) Các cầu treo có sợi cáp mang hình dạng giống hình parabol Các cáp đỡ vốn không mang hình parabol, mà chúng có hình vòng cung Dưới tác dụng lực không đổi (ví dụ trọng lực thân cầu) sợi cáp bị biến dạng dần mang hình parabol Footer Page 57 of 133 57 Header Page 58 of 133 KẾT LUẬN Parabol đường cong quen thuộc toán học, đời sống nhiều ngành khoa học khác Parabol có tính chất đáng ý, khai thác sử dụng rộng rãi sống, thiên văn, địa lý Luận văn đề cập tới nội dung sau Lịch sử hình thành đường Parabol Các khái niệm, định nghĩa thông số parabol Cách vẽ parabol Các dạng phương trình parabol hệ tọa độ khác Phương trình tiếp tuyến parabol Các tính chất hình học tính chất phản xạ Parabol Quan hệ parbol với đường cônic khác (elip, hypebol) Một số ứng dụng tính chất parabol khoa học đời sống Luận văn phác họa, chưa thật đầy đủ toàn diện, tính chất đường parabol, tìm hiểu trình bày số ứng dụng tính chất parbol, hay gặp khoa học đời sống Hy vọng tương lai, tác giả luận văn tìm hiểu sâu sắc nhiều tính chất khác đường parabol Footer Page 58 of 133 58 Thang Long University Library Header Page 59 of 133 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (2008), “Hình học nâng cao 10“, Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Vũ Quốc Anh (2005), "Đường tròn, ba đường côníc“, Nxb Đại học Sư phạm [3] Phạm Quốc Phong (2006), “Bồi dưỡng Hình học 10“, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Hiếu (2014), “ Kỹ thuật giải nhanh toán hay khó Hình học 10“, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2011), “ Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình học 10“, Nxb Giáo dục Việt Nam [6] https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section (nguồn internet) [7] Review of Conic Sections (nguồn internet) Footer Page 59 of 133 59 ... là:  x    y  x  2  Bình phương vế đẳng thức rút gọn, ta y2 = 2px (p > 0) (*) Phương trình (*) gọi phương trình tắc parabol Bây giờ, ta thay đổi phương trình tắc parabol ta thu thêm loại... có phương trình tắc (P) : y  px Do (P) qua A(8; -14) nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình (P), ta có phương trình: (P) :  14   p.8  p  Footer Page 17 of 133 49 49 x  Phương trình. .. Phương trình tắc (P) : y  20 x b) Điểm M(54; -7) thuộc (P) Giả sử parabol (P) có phương trình tắc (P) : y  px Do (P) qua M(54; -7) nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình (P), ta có phương