Luận văn thạc sĩ toán phương trình hàm đa thức

L I NÓI U Nh m đáp ng xu th h i nh p th gi i, đ a kinh t Vi t Nam lên m t t m cao m i, giáo d c Vi t Nam c ng ph i có nh ng bi n chuy n m nh m nh m nâng cao ch t l ng giáo d c đ có th đào t o m t l p ng i lao đ ng: “t ch , n ng đ ng, sáng t o, có n ng l c gi i quy t v n đ th c ti n đ t ra, t lo li u vi c làm, l p nghi p th ng ti n cu c s ng, qua góp ph n xây d ng đ t n c giàu m nh, xã h i công b ng, dân ch , v n minh” Trong s r t nhi u n i dung ph i thay đ i không th không nói đ n n i dung đ i m i ph ng pháp d y h c th c hi n đ c nhi m v này, m i giáo viên ph i trang b cho m t nhìn t ng th , toàn di n sâu s c v n i dung ch ng trình Vì v y, vi c nghiên c u n i dung ch ng trình sách giáo khoa v i m i giáo viên m t nh ng vi c r t c n thi t Trong lu n v n này, xin đ c phép trình bày nh ng nghiên c u c a b n thân v m ng tri th c liên quan đ n parabol ch ng trình toán ph thông nh m t tài li u đ ph c v cho công tác gi ng d y sau Cu i cùng, xin chân thành c m n GS.TS Tr n V Thi u t n tình h ng d n hoàn thành lu n v n Hà N i, tháng 06 n m 2016 Tác gi lu n v n Tr n M nh Sơm M U Lý ch n đ tài: Parabol tr thành m t m ng ki n th c tr ng tâm c a ch ng trình l p 10, h c sinh s g p parabol c i s Hình h c V n đ li u h c sinh g p m t toán v parabol s áp d ng ki n th c đ c h c nh th nào? rèn luy n k n ng toán h c, nâng cao kh n ng sáng t o linh ho t t cho h c sinh đòi h i giáo viên ph i gi ng d y đ m b o tính logic, h p lý tính s ph m cao đ h c sinh có th l nh h i tri th c d dàng Do đó, ch n đ tài “M t s tính ch t c a parabol ng d ng” v i m c đích tìm hi u l ch s hình thành m t s ki n th c liên quan đ n parabol đ áp d ng vào vi c gi ng d y n i dung parabol ch thông T đó, giúp h c sinh th y đ c m i quan h gi a ng trình ph i s Hình h c qua m ng ki n th c parabol M c đích nghiên c u: Parabol m t ph n ki n th c c b n c a hình h c nói chung c a hình s c p nói riêng Trong lu n v n đ c p đ n m t s v n đ nh m i quan h gi a parabol; ph i s Hình h c qua m ng ki n th c ng trình c a parabol; ti p n ng d ng c a parabol nh m ph c v cho vi c h c t p gi ng d y hình h c theo ch ng trình giáo d c ph thông hi n hành c a B Giáo d c t o nh ph it ng ph m vi nghiên c u: Các v n đ liên quan đ n parabol ng trình c a parabol; ti p n ng d ng c a parabol Ph ng pháp t ch c nghiên c u: Nghiên c u l ch s c a parabol m i quan h v i l ch s đ i c a đ đ ng conic Quan m is v ng conic Thang Long University Libraty Ch ng T NG QUAN 1.1 L ch s đ i c a parabol Các đ ng conic m t ch đ toán h c đ th ng tri t đ Nh ng đ Hy L p, 375 – 325 n m tr Great Nh ng đ c phát hi n b i Menaechmus (ng c phôi thai n l c gi i toán n i ti ng: c thành ba góc b ng nhau, g p đôi kh i l p ph ng vòng tròn Nh ng đ ng conic đ đ nh v i m t ng sinh c a hình nón, tùy thu c vào góc nh , b ng, hay l n h n 900 mà có đ ng elip, parabol, hay hypebol t Appollonius (262 – 190 n m tr c Công nguyên) – đ ng ng c bi t đ n nh m t nhà hình h c v đ i – c ng c m r ng nh ng k t qu tr đ ng c đ nh ngh a l n đ u tiên nh s giao c a m t hình nón tròn xoay hai t ng có góc m t ph ng vuông góc v i đ i c Công nguyên), t ng giám h cho Alexander the ng conic đ chia m t góc cho tr phép c u ph ng conic đ c nghiên c u m t cách có h c v nh ng ng conic chuyên kh o "Conic Sections" (Thi t di n conic), g m t p sách v i 487 đ nh đ Morris Kline nh n xét: “Conic Sections c a Appollonius m t thành t u v đ i, h u nh m t đ tài khép kín đ i v i nhà t t T p th ng sau này, nh t t quan m thu n túy hình h c” VIII c a “Conic Sections” b th t l c “Conic Sections” c a Appollonius “Elements” c a Euclid có th đ h c Hy L p Appollonius c ng ng c xem tinh hoa c a n n toán i đ t tên elip, hypebol parabol M t b n gi i thích tóm t t v vi c đ t tên có th đ c tìm th y “Howard Eves” – m t tác ph m gi i thi u v l ch s toán h c Trong Renaissance, nh ng quy lu t chuy n đ ng c a hành tinh c a Kepler, t a đ hình h c c a Descarte Fermat nh ng công trình hình h c x Pascal m r ng nh ng đ nh ban đ u c a Desargues, La Hire, ng conic lên m t c p đ cao Nhi u nhà toán h c sau c ng đóng góp vào s phát tri n c a đ ng conic, đ t bi t s phát tri n c a hình h c x ng conic đ i t nh l nh v c mà nh ng đ nh hình tròn hình h c Hy L p Trong s nh ng ng ng c b n i đóng góp ph i k đ n Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, Steiner Thi t di n conic m t đ tài kinh n thúc đ y nhi u s phát tri n l ch s toán h c 1.2 Quan m đ i s v đ Trong t a đ cac, đ ng conic ng conic th a mãn ph ng trình b c hai có d ng: ax  bxy  cy2  dx  ey  f  a, b, c, d, e f h ng s ; a, b, b s khác Khi thay đ i m t vài h ng s hình d ng t ng ng c a đ ng conic s thay đ i theo Vì v y, t p trung ý vào nh ng s thay đ i ph đ ng trình đ i s nghiên c u t ng ng conic m t u quan tr ng Vi c bi t đ c s khác bi t ph ng trình s giúp xác đ nh m t cách nhanh chóng lo i đ conic đ c bi u di n b ng ph v i nh ng ph ng trình cho Có l làm vi c nhi u ng trình nh v y, m c dù có th không nh n quan đ n đ ng góc đ liên ng conic N u b2 - 4ac < ph ng trình bi u di n m t elip (tr tr ng h p a = b c = 0) N u b2 - 4ac = ph ng trình bi u di n m t parabol N u a2 - 4ac > ph ng trình bi u di n m t hypebol N u có thêm u ki n a + c = 0, ph ng trình bi u di n m t hypebol đ u Thay đ i h tr c t a đ , ta có th đ a ph d ng t c ng trình c a đ ng conic v x2 y2 x2 y2 Elip:   ;   ; Parabol: y  px ; Hypebol: b a a b x2 y2 y2 x2   hay a2 b2 a2 b2 Thang Long University Libraty 1.3 Nói v Parabol Thu t ng “parabol” xu t phát t t “parabole” c a ti ng Hy L p Parabol có th đ c xem nh elip v i m t tiêu m tia sáng song song chi u vào m t chi c g t i m t m Ng vô c c i u có ngh a ng hình parabol s g p i ta k r ng: Archimedes s d ng g ng hình parabol chi n tranh Su t th i k bao vây thành ph Syracuse (214 - 212 n m tr Công nguyên) b i nh ng ng i La Mã, Archimedes xây d ng g c ng ph n chi u làm t nh ng t m kim lo i ghép theo hình d ng c a parabol Nh ng t m kim lo i đ c dùng đ h i t nh ng tia n ng m t tr i vào tàu c a ng i La Mã, làm chúng b c cháy Menaechmus tìm th y parabol th tìm m t hình vuông có di n tích b ng hai l n di n tích c a hình vuông cho Euclid vi t v parabol Apollonius (200 n m tr đ a đ ng cong v i tên c a Pascal xem đ Luca Valerio (ng 1606; đ c Công nguyên) ng cong hình chi u c a m t hình tròn i Ý) xác đ nh di n tích c a m t parabol vào n m c g i phép c u ph Nh ng Archimedes ng ng c a parabol i đ u tiên tìm giá tr c a di n tích tác ph m "Quadrature of a Parabola" c a ông Cu i th i Trung c , súng đ i bác đ c dùng chi n tr ng B i v y, vi c d đoán v trí xác đích c a nh ng viên đ n b n r t quan tr ng Nhi u nhà khoa h c c tìm câu tr l i cho câu h i Galileo Galilei ng iđ u tiên tìm m i quan h ó qu đ o c a đ n b n b qua hi u ng c a s ma sát có d ng c a m t parabol M t parabol có th đ c v h tr c t a đ Oxy d a vào ph c a Parabol m t nh ng đ ng cong conic đ c t o nên b i vi c giao c a m t hình nón tròn xoay m t m t ph ng Parabol đ ng trình c t o nên m t ph ng song song v i m t đ ng th ng đ c v b m t xiên c a hình nón t đ nh c a hình nón t i đáy c a M t parabol t p h p c a t t c nh ng m mà kho ng cách t i m t đ ng th ng c đ nh (đ n m đ c g i đ ng chu n – (đ ng chu n) m t m c đ nh – không c g i tiêu m) b ng Còn m t vài thu t ng khác t n t i m i quan h v i parabol thu c parabol, n m gi a tiêu m đ đ ng chu n c a parabol đ ng th ng qua tiêu m đ nh đ i m c g i đ nh c g i tr c c a parabol Thang Long University Libraty Ch PH 2.1 ng NG TRÌNH PARABOL nh ngh a nh ngh a parabol 2.1.1 Trong toán h c, parabol m t đ ng conic đ nón m t m t ph ng song song v i đ có th đ c t o b i giao c a m t hình ng sinh c a hình M t parabol c ng c đ nh ngh a nh m t t p h p m m t ph ng cách đ u m t m cho tr c (tiêu m) m t đ ng th ng cho tr c (đ ng chu n) Hình 2.1 Khái ni m parabol Tr tr ng h p đ c bi t x y m t ph ng c t ti p xúc v i m t conic Trong ng h p này, giao n s suy bi n thành m t đ ng th ng Parabol m t khái ni m quan tr ng toán h c tr u t c ng đ ng Tuy nhiên, c b t g p v i t n su t cao th gi i v t lý có nhi u ng d ng k thu t, v t lý, l nh v c khác M t parabol c ng có th đ c đ nh ngh a m t đ ng conic v i tâm sai b ng Là m t k t qu c a đ nh ngh a này, parabol đ u đ ng d ng M t parabol có th đ c d ng b ng cách tìm gi i h n c a m t chu i elip m t tiêu m, đ c gi c đ nh, tiêu m đ V i ngh a này, m t parabol có th đ c di chuy n xa c coi m t elip v i m t tiêu m h n Parabol m t nh ngh ch đ o c a m t cardioid (đ vô ng hình tim) M t parabol ch có m t tr c đ i x ng nh t, qua tiêu m vuông góc v i đ ng chu n c a Giao m c a tr c parabol đ c g i đ nh c a parabol M t parabol quanh xung quanh tr c c a không gian ba chi u s t o m t hình tròn xoay, g i m t paraboloid B ng 2.1 Các khái ni m c b n v Parabol ng chu n đ ng th ng c đ nh mà nh ng m thu c parabol cách đ u đ ng th ng m t m c đ nh m c đ nh mà nh ng m thu c parabol Tiêu m cách đ u m m t đ ng th ng c đ nh Dây cung o n th ng n i hai m b t k parabol Ti p n ng th ng n m ti p xúc v i parabol t i m t m Cát n ng th ng ngang qua parabol c t parabol t i hai m phân bi t Thang Long University Libraty 2.1.2 Quan h v i đ Các đ t 200 n m tr ng cônic ng cônic (bao g m đ ng tròn, elip, parabol, hypebol) đ c Công nguyên Apollonius ng c bi t i đ u tiên nghiên c u có h th ng tính ch t c a chúng Trong t nhiên, đ ng cônic có m t vai trò r t quan tr ng, chúng mô hình cho nhi u trình v t lý x y t nhiên Có th ch r ng m t v t th b t k d i tác đ ng c a l c h p d n ph i có q y đ o m t đ ng cônic Các thiên th hút l n v i l c h p d n t l ngh ch v i bình ph ng kho ng cách gi a chúng Vì th q y đ o c a thiên th đ Qu đ o c a h t n tích c ng đ mô đ n th gi i vi mô, đ Elip ng cônic ng cônic Nh v y, t th gi i v ng cônic xu t hi n t nhiên Parabol Hypebol Hình 2.2 Thi t di n cônic ng cônic có th đ a) c đ nh ngh a theo nhi u cách khác nh ngh a hình h c Các đ cônic hay đ ng tròn, elip, parabol hay hypebol có tên g i chung thi t di n ng cônic ng côníc giao n gi a m t m t nón tròn xoay hai t ng v i m t m t ph ng, theo góc nghiêng khác (xem Hình 2.2) + Khi giao c a m t nón m t ph ng m t đ m t ph ng c t t t c đ ng cong khép kín, t c ng sinh không song song v i đ ng sinh nào, ta có thi t di n m t elip, tr ng h p riêng m t đ ng tròn m t ph ng n m ngang c t m t nón, nh ng không qua đ nh c a nón + Khi m t ph ng song song v i m t đ nh n đ ng sinh c a m t nón, đ ng côníc c m t parabol + Cu i cùng, m t ph ng c t c hai m t nón có chung đ nh s t o nên hai đ ng cong tách bi t, g i hypebol b) nh ngh a d a tiêu m vƠ đ ng chu n Trong m t ph ng cho m c đ nh F đ qua F Ký hi u Q chân đ ng vuông góc h t P t i L T p h p m P cho t s PF/PQ b ng m t s d ng e cho tr i m F g i tiêu m, L g i đ l ch tâm c a đ ng th ng c đ nh L không cđ c g i đ ng cônic ng chu n e g i tâm sai hay đ ng cônic T đ nh ngh a có th th y: o Elip đ o Para bôn đq o Hypebôn đ a) ng cônic tâm sai e < (Hình 2.3 a) ng cônic tâm sai e = (Hình 2.3 b) ng cônic tâm sai e > (Hình 2.3 c) b) Hình 2.3 Tiêu m vƠ đ c) ng chu n c a đ i v i elip hypebol, có hai c p "tiêu m - đ ng cônic ng chu n" Các c p t o nên m t elip ho c hypebol hoàn ch nh, đ ng th i chúng t o tâm đ i x ng (trung m c a đo n th ng n i hai tiêu m) Theo đó, elip hypebol có th đ nh ngh a theo m t cách khác mà parabol không th đ nh ngh a theo cách đ c ó 10 Thang Long University Libraty Ví d 4.1 Khi m t qu bóng đ c đá lên, s đ n đ cao r i r i xu ng đ t Bi t r ng qu đ o c a qu bóng m t parabol m t ph ng v i h t a đ Oth, t th i gian (s) k t qu bóng đ cao (m) c a q a bóng Gi thi t qu bóng đ c đá lên; h đ c m t c u th đá t đ cao 1,2m Sau 1s đ t đ cao 8,5m 2s sau đá lên đ cao m Hãy tìm hàm s b c hai bi u th đ cao h qua th i gian t có ph n đ th trùng v i qu đ o c a qu bóng tình hu ng L i gi i h 8,5 h 1,2 Hình 4.13 Qu đ o qu bóng đ t c đá lên Gi s hàm s b c hai có đ th bi u th cung Parabol có d ng: h  at  bt  c Theo gi thi t qu đ o c a qu bóng qua m (0; 1,2); (1; 8,5); c  1, a  4,9   8,5 a b c      b  12, nên ta có h ph ng trình 2  4a  2b  c c  1,   V y qu đ o c a qu bóng có ph ng trình là: h  4,9t  12, 2t  1, 45 (2; 6) Ví d 4.2 C u b Campo Volantin Bilbao, Tây Ban Nha có hình parabol, k t c u treo b ng bêtông c t thép dây c ng C u dài 75m, đ cao c a cung 15m, n i hai b sông Bilbao Tìm hàm s b c hai có đ th ch a nhánh parabol nói Hình 4.14a C u b Campo Volantin L i gi i y 15 h 75 x O Hình 4.14b th c u b Campo Volantin Ch n h tr c t a đ Oxy nh hình v Gi s hàm s b c hai có đ th bi u th cung Parabol có d ng: y  ax2  bx  c 46 Thang Long University Libraty Khi đ th qua m (0; 0); (75; 0) có đ nh ( 75 ; 15) d n đ n  c    a  375 5625a  75b  c    b 75      b   ng trình :  2a  75  5625 c   a  b  c  15    a  ta có h ph V y ph ng trình parabol c n tìm: y   4 x  x 375 4.2 Tính ph n x c a parabol Parabol có m t tính ch t n i b t n u đ t m t ngu n sáng t i tiêu m S c a nó, toàn b tia sáng t S, sau ph n x t i parabol, truy n song song v i tr c c a Tính ch t đ c g i tính ph n x c a parabol Hình 4.15: Tính ph n x c a parabol Hình 4.16: Paraboloid Ví d 4.3 Ch ng minh tính ph n x c a Parabol L i gi i Gi s g ng ho c Angten parabol có ph ng trình y  ax Tia sáng SA song song v i tr c Oy đ n g p g   ng t i A x0 ; ax , sau ph n x c t Oy t i E Ta s ch ng minh E  F , v i F tiêu m c a parabol 47 y S N   y0 F E  x0 T O A x Hình 4.17: Tính ph n x c a parabol Th t v y: Gi s   ti p n t i A c t Ox t i T góc   TA; Ox , ta có: tan   2ax - Ti p n TA có ph ng trình: y  2ax x  ax o - Pháp n AN có h s góc k1   - G i k h s góc c a đ 2ax ng th ng AE thì:  k  k1  1  k k1  tan  k  k1  tan     k k1  k  k1   1  k k1  tan  +) k  k1  1  k k1  tan   k 1  k1 tan    k1  tan   2ax  1  k    2ax  k    ax    2ax 2ax 4ax  0  +) k  k1   1  k k1  tan   k 1  k1 tan    k1  tan   k   h s góc c a đ ng th ng x  x T d n đ n đ ng th ng AE có ph ng trình 48 Thang Long University Libraty     ax ax y   ax  x  x   y        x  0 4ax  4ax  4a   Do x E   y E   y F  E  F nên tia ph n x qua tiêu m 4a Chính tính ch t mà g ng l p phía sau đèn tr t o có hình paraboloid, t c hình d ng đ xung quanh tr c c a G phía tr c xe h i đ c t o b ng cách quay parabol ng parabol giúp ng i lái xe nhìn th y xa h n v c Hình 4.18 G Ví d 4.4 Công th c g ng parabol ng parabol lõm y A B H F B' A' C x O Hình 4.19: Minh h a g 49 c ch ng, angten parabol lõm t OF  f g i tiêu c c a g ng Xét AB đ nh đ chùm sáng sát tr c Oy G i t a đ m A  0; y  A '  0; y '  Ta có OAB đ ng d ng v i OA'B' nên có: OA ' A ' B' A ' B' FA '    OA AB HC FH  FA ' (vì FO HO) y' y' f y' y' 1    1    y f y f y y' f i v i Angten parabol, tr c c a angten h ng v phía v tinh phát sóng, tín hi u sóng vô n ho c sóng ánh sáng coi song song v i tr c g Tín hi u ph n x t i tiêu m, t i ng ng i ta đ t ng thu sóng 4.3 Tính ch t ơm h c c a parabol Các tia sáng t tiêu m b ph n x song song v i tr c c a parabol Ng c l i, tia sáng t i song song v i tr c c a parabol sau b ph n x qua tiêu m Hình 4.20 Tính ph n x c a parabol Vì sóng âm truy n không khí theo ki u gi ng nh v y, nên tính ch t âm b h i t t i tiêu m đ ây nguyên th m c a l i đ c g i tính ch t âm h c c a parabol m t s phòng tr ng bày ngh thu t, nh ng ti ng c nghe rõ b n đ ng ch khác không nghe đ ch tiêu m F, nh ng c 50 Thang Long University Libraty Tính ch t âm h c c a Parabol đ c ch ng minh t ng t nh tính ch t ph n x c a Parabol 4.4 Parabol xơy d ng, ki n trúc Hình 4.21 C ng Ác s Hình 4.22 NhƠ hát Opera Sydney Ví d 4.5 (Bài toán v C ng Ac-s ) Khi du l ch đ n thành ph Xanh Lu-i c a M ta s th y hình nh c ng l n có hình parabol có b lõm h ng ng xu ng d i, c ng Ac-s M t i khách du l ch đ ng cách chân c ng 2m đ t sào dài 51 172 m th ng 19 đ ng, m t đ u sào ch m đ t đ u c a sào ch m c ng Kho ng cách gi a chân c ng 162 m a) Tìm đ th hàm s b c hai có đ th ch a cung Parabol nói b) Tính chi u cao c a c ng L i gi i y h 172 19 O Hình 4.23a M 162 160 x th c ng Ác s Hình 4.23b C ng Ác s a) Gi s ta l p m t h t a đ Oxy cho có chân c ng trùng v i g c t a đ O, tr c Ox qua chân c ng có ng i khách du l ch đ ng, tr c Oy h ng th ng đ ng lên (nh hình v ) - Gi s hàm s b c hai có đ th bi u th cung Parabol có d ng: y  ax2  bx  c - Theo gi thi t Parabol qua m (0; 0); (162; 0); (160; ph 172 ) nên ta có h 19 43  a     1520 c    3483   1622 a  162b  c  b   ng trình: 760 172   c   160 a  160b  c  19   V y parbol c n tìm y   43 3483 x  x 1520 760 52 Thang Long University Libraty b) Chi u cao c a c ng Ac-s tung đ c a đ nh parabol y     186 4a V y chi u cao c a c ng Ac-s h  186 m 4.5 Parabol thi t k Hình 4.24 C u Gaudi parabol Hình 4.25 C ng tr ng ih c Hình 4.26 Logo hình parabol Bách Khoa HƠ N i 53 4.6 Parabol th gi i v t lỦ a) Lò n ng l ng m t tr i Tia sáng song song t m t tr i đ c chi u vào b m t m t parabol, sau chúng ph n x t p trung t i tiêu m F Khi n ng l ng ánh sáng m t tr i đ m t lò n ng l c chuy n hóa thành n ng l ng m t tr i nhi t đ 6.000 ° C Hình 4.27 Mô hình lò n ng l b) Các hình tròn xoay d ng parabol đ đ ng nhi t có th có ng m t tr i c quan sát th y t i m t ch t l ng c đ t m t v t ch a xoay xung quanh m t tr c trung tâm Trong tr h p này, l c li tâm làm cho n parabol c ch m lên thành v t ch a, t o thành m t ây nguyên t c c a g chuy n, l c l ng ng ch t l ng Khi ch t l ng đ c luân ng c a tr ng l c đáp ng l c ly tâm, mà k t qu ch t l ng t o thành m t hình parabol Ví d ph bi n nh t khu y đ ng n c cam m t ly b ng cách quay quanh tr c c a M c n c nh gi m nh c dâng tròn trung tâm c a kính (tr c) 54 Thang Long University Libraty Hình 4.28 Parabol t o thƠnh khu y ch t l ng c) Qu đ o ném xiên t o b i m t ch t m ho c m t v t th : Khi ném xiên m t v t không khí, b qua l c c n c a không khí v t ch ch u l c tác d ng c a tr ng l c trái đ t qu đ o chuy n đ ng c a v t m t parabol Trong m i tr ng h p, đ ng bay c a m t v t b ném vào không trung m t hình parabol S có m t c a l c c n không khí, làm bi n d ng qu đ o chuy n đ ng c a v t, g n gi ng hình parabol t c đ ch m, d ng c a qu đ o m t hình t c đ cao h n, ví d nh qu đ o chuy n đ ng c a m t viên đ n, d ng c a qu đ o s b bi n đ i m nh không gi ng m t hình parabol n a Hình nh m t qu bóng n y m t đ t đ c ch p l i b i m t đèn flash v i t c đ 25 hình m i giây Chú ý r ng qu bóng không mang d ng hình c u sau m i l n n y đ c bi t l n đ u tiên Cùng v i chuy n đ ng quay l c c n không khí, qu đ o mà qu bóng v ch s không xác m t parabol 55 Hình 2.29 Qu đ o c a v t b ném xiên d) Qu đ o c a hai thiên th : m t ti u hành tinh hay v t th khác d i tác d ng c a tr ng tr ng m t tr i t o Qu đ o c a v t mang hình d ng parabol m t tr ng h p đ c bi t r t hi m g p t nhiên Qu đ o mang hình d ng hyperbol hay elíp ph bi n h n Trong th c t , qu đ o hình parabol d ng chuy n ti p gi a hai d ng qu đ o V t th di chuy n theo qu đ o parabol s chuy n đ ng t i t c đ t i h n đ thoát kh i v t th mà quay quanh, t c đ t i h n c a parabol nhanh h n so v i hình elíp ch m h n so v i hyperbol Ví d Khi m t tàu v tr đ bay vòng quanh Trái c phóng lên M t Tr ng, tr c h t t Sau đ n m t th i m thích h p đ ng c b t đ u ho t đ ng đ a tàu theo qu đ o parabol lên M t Tr ng (x, y tính b ng nghìn kilomet) Bi t r ng đ ng c b t đ u ho t đ ng, t c x = 0; y = -7 Sau y = - x = 10 y = x = 20 Tìm hàm s b c hai có đ th ch a nhánh parabol nói 56 Thang Long University Libraty L i gi i y Qu đ o 162 O x -7 Hình 2.30 Qu đ o tƠu v tr Gi s hàm s b c hai có đ th bi u th cung Parabol có d ng: y  ax2  bx  c - Theo gi thi t Parabol qua m (0; -7); (10; -4); (20; 5) nên ta có h ph c  7  a  0, 03   ng trình: 4  10 a  10b  c  b  5  202 a  20b  c  c  7   V y qu đ o là: y  0, 03x  e) Các c u treo c ng có s i cáp mang hình d ng gi ng nh hình parabol Các cáp đ v n không mang hình parabol, mà chúng có hình vòng cung D i tác d ng c a l c không đ i (ví d nh tr ng l c c a thân c u) s i cáp b bi n d ng d n mang hình parabol 57 K T LU N Parabol m t đ ng cong quen thu c toán h c, đ i s ng nhi u ngành khoa h c khác Parabol có nh ng tính ch t đáng ý, đ c khai thác s d ng r ng rãi cu c s ng, thiên v n, đ a lý Lu n v n đ c p t i n i dung sau L ch s hình thành đ ng Parabol Các khái ni m, đ nh ngh a thông s c a parabol Cách v parabol Các d ng ph Ph ng trình c a parabol h t a đ khác ng trình ti p n c a parabol Các tính ch t hình h c tính ch t ph n x c a Parabol Quan h c a parbol v i đ M t s ng cônic khác (elip, hypebol) ng d ng tính ch t c a parabol khoa h c đ i s ng Lu n v n phác h a, ch a th t đ y đ toàn di n, tính ch t c b n nh t c a đ ng parabol, tìm hi u trình bày m t s ng d ng tính ch t c a parbol, hay g p khoa h c đ i s ng Hy v ng t ng lai, tác gi lu n v n s đ nhi u tính ch t khác c a đ c tìm hi u sâu s c h n v ng parabol 58 Thang Long University Libraty TÀI LI U THAM KH O [1] oàn Qu nh (2008), “Hình h c nâng cao 10“, Nxb Giáo d c, Hà N i [2] V Qu c Anh (2005), " ng tròn, ba đ ng côníc“, Nxb ih cS ph m [3] Ph m Qu c Phong (2006), “B i d ng Hình h c 10“, Nxb i h c Qu c gia Hà N i [4] Nguy n Duy Hi u (2014), “ K thu t gi i nhanh toán hay khó Hình h c 10“, Nxb i h c Qu c gia Hà N i [5] Nguy n Minh Hà, Nguy n Xuân Bình (2011), “ Bài t p nâng cao m t s chuyên đ Hình h c 10“, Nxb Giáo d c Vi t Nam [6] https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section (ngu n internet) [7] Review of Conic Sections (ngu n internet) 59 [...]... 2 ng trình chính t c c a (P) : y2  20 x b) i m M(54; -7) thu c (P) Gi s parabol (P) có ph ng trình chính t c là (P) : y2  2 px Do (P) đi qua M(54; -7) nên t a đ đi m M ph i th a mãn ph trình: (P) :  7   2 p.54  p  (P) : y2  216 x 49 2 c) Ta có tham s tiêu p   Ph d) 108  Ph 49 ng 1 1 42 3   2 ng trình chính t c c a (P) : y  ng chu n là tr c đ ng ph C  : x 2 1 trình  3 1  ng trình. .. trên là x = -3 c ng là đ tiêu p = 6  Ph ng chu n ng trình chính t c c a (P) : y2  12 x e) Có đ nh O(0; 0), tr c đ i x ng Ox và đi qua đi m A(8; -14) Gi s parabol (P) có ph ng trình chính t c là (P) : y2  2 px Do (P) đi qua A(8; -14) nên t a đ đi m M ph i th a mãn ph trình: (P) :  14   2 p.8  p  2 49  Ph 4 17 ng trình (P), ta có ph 2 ng trình chính t c c a (P) : y  ng 49 x 2 f) Có đ nh O(0;... y = 2x-m  2x-y-m=0 i u ki n bài toán  2.2  m   2 1 1 1  m    2 8 Ví d 3.5 Cho parabol (P): y2 = 2x Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (P) bi t ti p tuy n đi qua đi m M(-2; 0) L i gi i - Do x  2 không là ph ng trình ti p tuy n c a (P) nên gi s đ th ng d đi qua M có h s góc là k, ta có ph ng ng trình c a d y  k  x  2   0  kx  y  2k  0 i u ki n bài toán  2.k.2k  T  đó ta đ 2 1 1... ng d : x  1 m t 3 dây cung AB  16 Gi s parabol (P) có ph ng trình chính t c là (P) : y2  2 px Do tính đ i AB  Ox  AB  2 y A  16  y A  8 , do A  d  x A  1 3 AB  16 x ng c a (P) nên t  i m A thu c (P) nên 1 2 (P)  8  2p  p  96  Ph 3 2.3.2 Các ph t a đ A th a mãn ph ng trình ng trình chính t c c a (P) : y2  192 x ng trình hình gi i tích khác c a parabol a) Trong h t a đ Descartes:... ng quát h n, m t parabol là m t đ đ nh ngh a b i ph ng trình t i gi n có d ng ax2  bxy  cy2  dx  ey  f  0 , 2 trong đó b  4ac Ph bi u di n d ng cong trên m t ph ng Decartes ng trình đ i d ng tích hai ph c g i là t i gi n n u nó không th đ c ng trình tuy n tính (không nh t thi t khác nhau) Ví d 2.4 Xác đ nh t a đ đ nh, tiêu đi m và ph ng trình đ ng chu n c a các parabol sau 2 a) y  x  1 ; b)... t s không đ i y y1 L i gi i A F x B y2 Hình 2.9 T đ ph ng trình c a (P) suy ra 2p=12  p  6  F  3;0  Ph ng trình ng th ng AB đi qua F là: a  x  3  by  0  ax  by  3a  0 Do A và B không thu c Ox nên a  0 , t a đ A và B là nghi m c a h ph 2  y  12x  ay2  12by  36a  0 (*) ng trình   ax  by  3a  0 V i a  0 ph Kho ng ng trình (*) luôn có 2 nghi m phân bi t y1 ,y2 : y1.y 2  36... t A, B đ n tr c hoành là m t s không đ i T ph p  ng trình c a (P) suy ra F  ; 0  Ph 2   p qua F là: a  x    by  0  2ax  2by  ap  0 2  23 ng trình đ ng th ng AB đi Do A và B không thu c Ox nên a  0 , t a đ A và B là nghi m c a h ph y2  2px   ay2  2bpy  ap2  0 (*) ng trình   2ax  2by  ap  0 V i a  0 ph Kho ng ng trình (*) luôn có 2 nghi m phân bi t y1 , y 2 : y1 y 2... đi m c a parabol Xét ph ng trình Parabol các d ng chính t c y2 = 2px (P) (p > 0) M(x0; y0) trên (P), áp d ng "Công th c phân đôi to đ " ta đ c ph i m ng trình ti p tuy n c a (P) t i M là: y0y = p(x + x0) T ng t 2 N u (P) có d ng x  2 py thì ph ng trình ti p tuy n c a (P) t i M(x0; y0) là: x0 x  p  y  y0  N u (P) có d ng Cy2 + 2Ey + 2Dx + F = 0 v i CD  0 thì ph ong trình ti p tuy n c a (P) t i... thì ph (P) t i M(x0; y0) là: ng trình ti p tuy n c a y  y0 b = ax0x  x0  x  c 2 2 Ví d 3.1 Cho parabol (P): y 2  2x , vi t ph ng trình ti p tuy n c a (P) t i đi m a) M (2; 2) b) giao đi m c a (P) v i đ ng th ng x =8 c) giao đi m c a (P) v i đ ng th ng y = - x L i gi i a) Theo công th c phân đôi t a đ ta có ph y.2  x  2  y  b) Thay x = 8 vào ph ng trình (P) đ ng trình ti p tuy n t i M là 1 x... và tiêu đi m F 2.3 Ph 2.3.1 Ph ng trình Parabol ng trình chính t c Cho parabol v i tiêu đi m F và đ P   ng chu n  K FP vuông góc v i , t FP = p (tham s tiêu) Ta ch n h tr c t a đ Oxy sao cho O là trung đi m c a FP và đi m F n m p   p  trên tia Ox Nh v y ta có F   ; 0  ; P    ; 0  và ph 2   2  th ng  là x  ng trình c a đ p  0 2 Hình 2.5 Ph ng trình chính t c c a parabol 13 ng i