Phương trình hàm đa thức Hoàng Bá Minh PHƢƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC I Các khái niệm Đa thức có dạng: (Trong Số tự nhiên Đa thức gọi bậc ) kí hiệu không Mỗi đa thức khác cách biểu diễn Hai đa thức khác không mà chúng bậc hạng tử Tất hệ số thực có kí hiệu tương tự II Phép chia đa thức Với hai đa thức tồn hai đa thức cho Nếu chia hết cho kí hiệu Số nghiệm Ta nói nghiệm bội đa thức tồn đa thức cho III Phƣơng trình hàm đa thức Gỉa sử nghiệm đa thức với bội tương ứng tồn đa thức cho: (Với Mọi đa thức có không nghiệm Đa thức bậc lẻ có nghiệm Nếu đa thức có bậc mà tồn nghiệm phân biệt cho Đa thức có dạng đa thức Bài 1: Tìm tất đa thức thỏa: Giải: Page of 10 ) Phương trình hàm đa thức Chọn Chọn trở thành Chọn trở thành trở thành Hoàng Bá Minh suy suy nghiệm nghiệm suy nghiệm Khi ta có: Thay vào ta có: Khi đó: Thử lại ta thấy thỏa Bài 2: Tìm tất đa thức Giải: Chọn trở thành suy nghiệm Chọn trở thành suy nghiệm Chọn trở thành suy nghiệm Chọn trở thành suy nghiệm Chọn trở thành suy nghiện Khi ấy: Thay vào ta có: Suy ra: Thử lại ta thấy thỏa Page of 10 Phương trình hàm đa thức Hoàng Bá Minh Bài 3: Tìm tất đa thức Giải: Ta có: Đặt: Thay vào ta có: Khi ấy: Thử lại ta thây thỏa Bài 4: Tỉm tất đa thức thỏa Giải: Chọn trở thành suy nghiện Chọn trở thành suy nghiệm Khi Thay vào ta có: Khi ấy: Thử lại ta thấy thỏa Bài 5: Tìm tất đa thức thỏa: Page of 10 Phương trình hàm đa thức Hoàng Bá Minh Giải: Thay ta có nên nghiệm Thay ta có nên nghiệm Thay ta có nên nghiệm Khi Thay vào ta có: Vậy: Bài tổng quát sau: Tìm tất đa thức thỏa: Bài 6: Tìm tất đa thức thoả: Giải: Xét toán sau: tìm tất đa thức thoả: Chọn ta có Chọn ta có suy suy nghiệm nghiệm Nên Thay vào ta có: Chứng minh tương tự ta có nghiệm Áp dụng ta có: Page of 10 Phương trình hàm đa thức Thay vào Chọn Hoàng Bá Minh thì: suy Suy Thay vào ta được: ậ Bài 7: Tìm tất đa thức thỏa: Giải: Ta có: nên nên Thay vào Thay ta có: ta được: Page of 10 nghiệm Phương trình hàm đa thức Hoàng Bá Minh ặ Vậy: PHƢƠNG TRÌNH CÓ DẠNG P(f)P(g)=P(h) Gỉa sử đa thức cho thỏa mãn điều kiện: Tìm tất thỏa: Định lý 1: Nếu nghiệm nghiệm Suy hệ quả: Nếu nghiệm nghiệm Định lý 2: Nếu đa thức với hệ số thực thỏa điều kiện thỏa mạn điểu kiện sau: o o tổng hai hệ số cao đa thức khác không Khi với số nguyên dương thỏa tồn nhiều đa thức Áp dụng định lý ta thấy đa thức bậc thỏa đa thức thỏa định lý tất nghiệm với Bài 1: Tìm tất đa thức thỏa có bậc với (Khá quan trọng) Giải: Ta có: thỏa mãn định lý có trình nên ta có đa thức thỏa là: Bài (Bulgaria 1976): Tìm tất đa thức thỏa Giải: Page of 10 thỏa phương Phương trình hàm đa thức Hoàng Bá Minh thỏa định lý có Ta có: thỏa phương trình nên ta có tất đa thức là: Bài (Việt Nam 2006): Tìm tất đa thức thỏa: Giải: Thay ta có Lấy ta có: trở thành Do ố ị đa thức nên: o Từ ta có Đặt thay vào ta có: Suy ọi ị ta có: Theo Thử lại ta nhận được: o Giải tương tự từ ta tìm nghiệm Vậy đa thức cần tìm là: Page of 10 Phương trình hàm đa thức Hoàng Bá Minh SỬ DỤNG BẬC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM: Ta có công thức sau: Bài 1: Tìm tất đa thức thỏa: Giải: Đặt: ta có: Suy ra: Trong hệ số cao vế trái nên Tiến hành đồng ta được: Suy ra: Bài 2: Tìm tất đa thức thỏa: Giải: Đặt ta có: Page of 10 Ta thay vào thu gọn vế: Phương trình hàm đa thức o Khi Hoàng Bá Minh ta có thay vào thì: o Khi ta có Thay vào thu gọn vế ta được: Tiến hành đồng hệ số ta được: Suy Vậy ta có: Bài 3: Tìm tất đa thức thỏa: (Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM năm 2006-2007) Giải: Ta có: Đặt: trở thành: Đặt: o Khi ta có: thay vào Page of 10 thì: Phương trình hàm đa thức o Khi Hoàng Bá Minh thay vào phương trình thu gọn vế: Đồng hệ số ta được: Nên Vậy: Bài 4: Tìm tất đa thức thỏa: (Đề thi đề nghị Olympic 30/4/2010) Giải: Đặt: ta có: o Khi thay vào ta có: o Khi Trước hết ta đồng hệ số cao vế Suy Ta chứng minh thỏa Phần dành cho người với Vậy đa thức cần tìm là: Các nguồn tài liệu tham khảo: - Chuyên đề phương trình hàm đa thức-Trần Nam Dũng Chủ đề đa thức-Đỗ Thanh Hân Polynomial Equations-Dusan Djukic Polynomials in One Variable- Dusan Djukic 100 Nice Polynomial Problems With Solutions -Amir Hossein Parvardi Diễn đàn mathlinks.ro Diễn đàn mathscope.org Page 10 of 10