Phương trình Hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên

Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Hà Tiến Ngoạn Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Huy Hoàng Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Huy Hoàng Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Không gian S(Rn ) 1.1.2 Biến đổi Fourier S(Rn ) 1.1.3 Biến đổi Fourier L2 (Rn ) 11 1.2 Không gian H s (Rn ) 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Định lý nhúng 12 1.3 Toán tử Friedrichs 12 1.4 Nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính 15 1.4.1 Toán tử vi phân 15 1.4.2 Công thức tích phân phần 16 1.4.3 Toán tử liên hợp 16 1.4.4 Khái niệm nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng 17 1.4.5 Điều kiện cần để tồn nghiệm yếu 17 1.4.6 Điều kiện đủ để tồn nghiệm yếu 18 1.5 Toán tử elliptic hypoelliptic với hệ số 19 1.6 So sánh toán tử hypoelliptic với hệ số 21 Chương Lớp toán tử hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên 25 2.1 Khái niệm toán tử hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên 25 2.2 Độ trơn nghiệm yếu phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên 26 2.3 Sự tồn nghiệm yếu địa phương phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Lí chọn đề tài Trong thực tế, nhiều phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có hệ số biến thiên Mặt khác, nghiệm phương trình thường nghiệm yếu, tức hàm tính khả vi Vấn đề đặt lớp phương trình với hệ số biến thiên tồn nghiệm yếu nghiệm yếu trở thành nghiệm cổ điển, chí khả vi vô hạn Người ta phát toán tử tương ứng phương trình có tính chất toán tử hypoelliptic hình thức mà trường hợp riêng toán tử elliptic Vì mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “Phương trình hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên” Tài liệu tham khảo luận văn chương sách chuyên khảo [3] Mục đích nghiên cứu Mô tả lý thuyết tồn lý thuyết độ trơn nghiệm yếu lớp phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Nhiệm vụ nghiên cứu - Khái niệm nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng với hệ số biến thiên - Lớp toán tử đạo hàm riêng hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên - Độ trơn nghiệm yếu phương trình hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên - Sự tồn nghiệm yếu phương trình hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên Đối tượng phạm vi nghiên cứu Sự tồn độ trơn nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Luận văn gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị như: không gian S(Rn ), biến đổi Fourier S(Rn ), biến đổi Fourier L2 (Rn ), toán tử Friedrichs, khái niệm nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng, toán tử hypoelliptic với hệ số hằng, so sánh toán tử hypoelliptic với hệ số Chương nội dung luận văn, trình bày khái niệm toán tử hypoelliptic hình thức tuyến tính với hệ số biến thiên, độ trơn nghiệm yếu phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên, tồn nghiệm yếu địa phương phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nghiên cứu tổng quan tồn độ trơn nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Những đóng góp đề tài Tổng quan lý thuyết độ trơn tồn nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Không gian S(Rn ) Ký hiệu S tập hợp tất hàm u(x) ∈ C ∞ (Rn ) cho với k α ta có + |x|2 k |Dα u(x)| ≤ Ck,α (1.1) Ck,α phụ thuộc vào k α, với α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn , x = (x1 , x2 , , xn ), D = (D1 , D2 , , Dn ) , Dα = D1α1 D2α2 Dnαn , Dj = ∂ −i ∂xj Sự hội tụ S định nghĩa sau: dãy {um (x)}∞ m=1 ⊂ S gọi hội tụ đến hàm u(x) dãy (1 + |x|2 )k Dα um (x) ∞ hội m=1 tụ Rn đến (1 + |x|2 )k Dα u(x) m → ∞ Khi S gọi không gian Schwarz 1.1.2 Biến đổi Fourier S(Rn ) Nếu u(x) ∈ S, e−ixξ u(x)dx, F u(ξ) = uˆ(ξ) = Rn (1.2) gọi phép biến đổi Fourier hàm u(x), ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ), xξ = n xj ξj Người ta dùng ký hiệu Fx→ξ u để rõ phép biến đổi Fourier j=1 chuyển biến x thành biến ξ Các tính chất: Nếu u(x) ∈ S uˆ(x) ∈ S Dα u = ξ α uˆ(ξ), với ξ α = ξ1α1 ξ2α2 ξnαn Dξα uˆ(ξ) = xα u(x)(ξ) Với hàm u(x) ∈ S có công thức nghịch đảo u(x) = (2π)−n uˆ(ξ)eixξ dξ (1.3) Rn Đẳng thức Parseval: với u, v ∈ S ta có công thức u(x)v(x)dx = (2π)−n uˆ(ξ)ˆ v (ξ)dξ, (1.4) |ˆ u(ξ)|2 dξ (1.5) Rn Rn |u(x)|2 dx = (2π)−n Rn Rn Ta chứng minh tính chất • Chứng minh Tính chất Đối với α ta có Dξα uˆ(ξ) = (−ix)α u(x)e−ixξ dx Bởi vì: |ξ|2k Dξα uˆ(ξ) = (−ix)α u(x)(−∆x )k e−ixξ dx Mặt khác: (−ix)α u(x)(−∆x )k e−ixξ dx = (−∆x )k [(−ix)α u(x)]e−ixξ dx, ∂ /∂x2j , nên |x|2k |Dxα u| ≤ Ck,α ∆x = Suy uˆ(ξ) ∈ S Tính chất chứng minh • Chứng minh Tính chất Trước tiên ta chứng minh cho n = Ta có   +∞ +∞ +∞ uˆ(ξ)eixξ dξ = −∞ u(t)e−itξ dt eixξ dξ  −∞ −∞ +∞ +N = ei(x−t)ξ u(t)dtdξ lim −∞ N →∞ −N +∞ iN (x−t) − e−iN (x−t) u(t)dt i(x − t) e = lim N →∞ −∞ +∞ = lim N →∞ −∞ sin N (x − t) u(t)dt (x − t) (1.6) Đặt t = x + τ /N Khi +∞ +∞ uˆ(ξ)eixξ dξ = lim N →∞ −∞ −∞ sin τ τ u(x + )dτ τ N (1.7) Ta cần chứng minh điều khẳng định sau: +∞ sin τ τ u x+ N →∞ τ N lim − u(x) dτ = (1.8) −∞ với x Ký hiệu +∞ sin τ τ u x+ dτ τ N J(R, N ) = −∞ (1.9) theo phương trình (2.19) ta có N P (x, D) − P (D) = Pj (D)bj (x) (2.21) j=1 Để chứng minh Định lý 2.2 ta cần điều sau: Bổ đề 2.2 Nếu ψ ∈ C0∞ (Rn ) v ∈ H s ψv ∈ H s tồn số C phụ thuộc vào ψ s cho |ψv|s ≤ max |ψ(x)| |v|s + C |v|s−1 , v ∈ H s n (2.22) |Jε (ψv) − ψJε v| ≤ C |v|s−1 , v ∈ H s−1 (2.23) R Chứng minh Giả sử s số thực bất kỳ, theo định lý trung bình ts1 − ts2 = sts−1 (t1 − t2 ) (2.24) t3 giá trị nằm t1 t2 Khi + |ξ| ≤ (1 + |ξ − η|) (1 + |η|) (2.25) + |ξ − η| ≤ (1 + ξ) (1 + |η|) (2.26) Với σ > 0, theo bất đẳng thức (2.25) ta có (1 + |ξ|)σ ≤ (1 + |ξ − η|)σ (1 + |η|)σ Với σ < 0, theo bất đẳng thức (2.26) ta suy (1 + |ξ|)σ ≤ (1 + |ξ − η|)σ (1 + |η|)−σ Do ta có tổng quát (1 + |ξ|)σ ≤ (1 + |ξ − η|)σ (1 + |η|)|σ| 31 (2.27) Đặt t1 = (1 + |ξ|) , t2 = (1 + |ξ − η|) , |(1 + |ξ|)s − (1 + |ξ − η|)s | ≤ |s| |ξ| − |ξ − η| · max (1 + |ξ|)s−1 , (1 + |ξ − η|)s−1 ≤ |s| |η| (1 + |η|)|s−1| (1 + |ξ − η|)s−1 (2.28) Ta chứng minh (2.22) Với v ∈ S theo Định lý 2.10 (xem [3], tr.44) ta có (2π)n F (ψv) = F ψ(η)F v(ξ − η)dη Do vậy, từ bất đẳng thức (2.28) suy (2π)n (1 + |ξ|)s |F (ψv)| = (1 + |ξ|)s ≤ + |s| F ψ(η)F v(ξ − η)dη (1 + |ξ − η|)s F ψ(η)F v(ξ − η)dη |η| (1 + |η|)|s−1| (1 + |ξ − η|)s−1 |F ψ(η)F v(ξ − η)| dη (2.29) Đặt w(x) = G [(1 + |ξ|)s F v(ξ)] G biến đổi Fourier Do (1 + |ξ − η|)s F ψ(η)F v(ξ − η)dη = (2π)n F (ψw) Nếu ta ký hiệu (2.30) chuẩn L2 (Rn ) ứng với biến ξ (2π)n/2 w = F w = |v|s (2.31) Do vậy: F (ψw) = (2π)n/2 ψw ≤ max |ψ(x)| (2π)n/2 w = max |ψ(x)| |v|s x x 32 (2.32) Kết hợp bất đẳng thức (2.29) phương trình (2.30) ta (2π)n (1 + |ξ|s ) F (ψw) ≤ (2π)n F (ψw) + |s| |η| (1 + |η|)|s−1| |F ψ(η)| × (1 + |ξ − η|)s−1 F v(ξ − η) dη Do theo (2.29) (2.32) suy |ψv|s ≤ max |ψ(x)| |v|s + (2π)−n |s| |v|s x |η| (1 + |η|)|s−1| |F ψ(η)| dη (2.33) Suy bất đẳng thức (2.22) chứng minh Ta chứng minh (2.23) Thật từ phương trình F (Jε v) = F j(εξ) · F v Định lý 2.10 (xem [3], tr.44) ta có F [Jε (ψv) − ψJε v] = F ψ(η)F v(ξ − η) [F j(εξ) − F j(εξ − εη)] dη Ta chứng minh tồn số C cho |(1 + |ξ|) [F j(εξ) − F j(εη − εξ)]| ≤ C (1 + |η|) (2.34) Thật vậy, với ξ, dễ thấy |F (ξ)| ≤ nên suy εξk [F j(εξ) − F j(εξ − εη)] = − = Dk e−iε(ξ,x) − eiε(η,x) j(x)dx e−iε(ξ,x) −εηk j(x) + − eiε(η,x) Dk j(x) dx Vì − eiε(η,x) ≤ ε |η| |x| , |ξk [F j(εξ) − F j(εη − εξ)]| ≤ C |η| Hơn |ξ| ≤ |ξk | Vậy bất đẳng thức (2.34) chứng minh Theo bất đẳng thức (2.27) ta có 33 + |ξ|s F [Jε (ψv) − ψJε v] ≤C (1 + |η|)|s−1|+1 |F ψ(η)| (1 + |ξ − η|)s−1 F v(ξ − η) dη ≤ C |v|s−1 + |η||s−1|+1 |F ψ(η)| dη Do suy (2.23) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3 Giả sử P (D) toán tử hypoelliptic cấp m thỏa mãn bất đẳng thức P (j) (ξ) C1 ≤ a , |ξ| > C2 , ≤ j ≤ n P (ξ) |ξ| a với số a > Đặt b = , giả sử Q(ξ) đa thức yếu đa thức m P (ξ) Khi với ∀s ∈ R miền Ω bị chặn ta có Q|µ| (D)ϕ |µ|>0 s+b ≤ c (|P (D)ϕ|s + |ϕ|s ) , ϕ ∈ C0∞ (Ω) (2.35) Trước chứng minh Bổ đề 2.3 ta chứng minh số định lý bổ đề sau: Bổ đề 2.4 Giả sử r = r(m, n) số đa số phân biệt µ chuẩn |µ| ≤ m (tức số đạo hàm phân biệt có cấp ≤ m) Giả sử θ1 , , θr r véctơ thuộc Rn cho det(θjµ ) = Khi với đa số µ chuẩn |µ| ≤ m, tồn số thực λ1 , , λr cho r |µ| (µ) t Q (ξ) = λj Q(ξ + tθj ) (2.36) j=1 với đa thức Q(ξ) có bậc ≤ m, ∀ξ ∈ Rn , t ∈ R Định lý 2.3 Nếu Q(ξ) yếu P (ξ) tồn số C thỏa mãn t|µ| Q(µ) (ξ) ≤ C µ t|µ| P (µ) (ξ) , ∀ξ ∈ Rn , t ≥ µ 34 (2.37) Chứng minh Giả sử P (ξ) có bậc m θ1 , , θr r(m, n) véctơ thuộc Rn thỏa mãn giả thiết Bổ đề 2.4 Nếu µ số chuẩn |µ| ≤ m, ta tìm λ1 , , λr cho phương trình (2.36) Do đó: t|µ| Q(µ) (ξ) |λj | |Q(ξ + tθj )| P (v) (ξ + tθj ) ≤C (2.38) v,j Theo công thức Taylor ta có: P (v) P (v+ρ) (ξ)t|ρ| θjρ ρ! (ξ + tθj ) = ρ Do vậy, với t ≤ ta có: t|ρ| P (v+ρ) (ξ) P (v) (ξ + tθj ) ≤ ρ t|σ| P (σ) (ξ) ≤ (2.39) σ Kết hợp bất đẳng thức (2.38) bất đẳng thức (2.39) ta đẳng thức (2.37) Định lý chứng minh Định lý 2.4 Nếu Q(ξ) yếu P (ξ) tồn số C thỏa mãn Q(µ) (D)v s+c|µ| µ P (µ) (D)v ≤C , ∀s, c > 0, v ∈ S (2.40) s+c|µ| µ Chứng minh Theo Định lý 2.3, tồn số C1 thỏa mãn 2 t2|µ| Q(µ) (ξ) ≤ C1 µ t2|µ| P (µ) (ξ) , ∀ξ ∈ Rn , t ≥ µ 35 (2.41) Lấy t = (1 + |ξ|)c , nhân hai vế bất đẳng thức (2.41) với (1 + |ξ|)2s |F v|2 lấy tích phân Rn theo ξ ta bất đẳng thức tương đương (2.40) Định lý chứng minh Chứng minh Bổ đề 2.3 Chứng minh Dễ thấy bµ < a với |µ| ≤ m Từ bất đẳng thức (xem [3], tr.49) |||v|||s+a ≤ C (|P (D)v|s + |v|s ) , v ∈ C0∞ (Ω) ta suy P (µ) (D)ϕ s+b|µ| |µ|>0 ≤ |||ϕ|||s+a ≤ C (|P (D)ϕ|s + |ϕ|s ) , ϕ ∈ C0∞ (Ω) Do theo bất đẳng thức (2.37) ta có Q(µ) (D)ϕ ≤ C1 (|P (D)ϕ|s + |ϕ|s ) s+b|µ| µ (2.42) Rõ ràng bất đẳng thức (2.42) tương đương với bất đẳng thức (2.35) Bổ đề chứng minh Chứng minh Bổ đề 2.4 Chứng minh Theo công thức Taylor ta có Q(µ) (ξ)t|µ| θjµ µ! Q(ξ + tθj ) = Do với λ1 , , λr suy r r λj θjµ λj Q(ξ + tθj ) = j=1 µ j=1 36 t|µ| Q(µ) (ξ) µ! (2.43) Vì ma trận (θjµ ) không suy biến với đa số v, với |v| ≤ m Ta giải hệ r λj θjµ = δµv v!, |µ| ≤ m, (2.44) j=1 δµv = với µ = δµv = Ta lưu ý nghiệm tìm không phụ thuộc Q, t, ξ Thay nghiệm phương trình (2.44) vào (2.43) ta thu phương trình (2.36) Bổ đề chứng minh Tiếp tục chứng minh Định lý 2.2 Vì Pj (ξ) yếu P (ξ) nên tồn số C0 cho: |Pj (D)w|s ≤ C0 |P (D)w|s , w ∈ Hps (Ω) (2.45) Theo phương trình (2.20), tồn hình cầu Ω1 tâm y thỏa mãn: N |bj (x)| ≤ j=1 , x ∈ Ω1 2C0 (2.46) Giả sử Ny hình cầu tâm y có bán kính nhỏ hình cầu Ω1 tồn ψ ∈ C0∞ (Ω), cho ≤ ψ(x) ≤ 1, x ∈ Ω1 , (2.47) ψ(x) = 1, x ∈ Ny (2.48) 37 Dễ thấy ψϕ = ϕ với ϕ ∈ C0∞ (Ny ) Do với ϕ ∈ C0∞ (Ny ), v ∈ S ta có u, ϕ¯P¯ (D)Jε v = u, P¯ (D)(ϕψJ ¯ ε v) u, Dµ ϕ¯P¯ (µ) (D)(ψJε v) − µ! |µ|>0 N u, P¯j (D)(¯bj ψJε v) = (f, ϕJ ¯ ε v) − j=1 (µ) uDµ ϕ, P¯j (D)(¯bj ψJε v) N − µ! j=0 |µ|>0 A(uv) = |µ|≤m (µ) u v µ P (D) D (uv) = µ! |µ|≤m (µ) P (D)uDµ v µ! Ta đặt P0 (ξ) = P (ξ), b0 (ξ) ≡ 1, ψj = ψbj Theo giả thiết u ∈ HPs−b , Pj (D)(ϕu) ∈ H s−b nên ta có (P (D)Jε (ϕu), v) = (Jε (ϕf ), v) N − (Jε [ψj Pj (D)(ϕu)] , v) j=1 (µ) Jε ψj Pj (D)(uDµ ϕ) , v N − j=0 |µ|>0 µ! |(v, w)|0 , ∀v ∈ S ta w∈S |w|−s với ∀v ∈ S Theo phương trình |v|s = sup 38 suy |P (D)Jε (ϕf )|s ≤ |Jε (ϕf )| N |Jε [ψj Pj (D)(ϕu)]|s + j=1 (µ) Jε ψj Pj (D)(uDµ ϕ) N + µ! j=0 |µ|>0 s Kết hợp bất đẳng thức (2.22),(2.23) (2.45) với ≤ j ≤ n, a ≤ ta |Jε [ψj Pj (D)(ϕu)]|s ≤ |ψj Jε [Pj (D)(ϕu)]|s + C |Pj (D)(ϕu)|s−1 ≤ max |ψj | |Pj (D)Jε (ϕu)|s + C1 |Pj (D)(ϕu)|s−a Ω1 ≤ C0 max |ψj | |P (D)Jε (ϕu)|s + C2 |P (D)(ϕu)|s−a Ω1 Áp dụng Bổ đề 2.3 Bổ đề 2.2 với |µ| > ≤ j ≤ N ta suy (µ) Jε ψj Pj (D)(uDµ ϕ) (µ) s (µ) ≤ ψj Jε Pj (D)(uDµ ϕ) + C3 Pj (D)(uDµ ϕ) s ≤ C4 |P (D)(uDµ ϕ)|s−b Theo bất đẳng thức (2.46) bất đẳng thức (2.47) có bất đẳng thức sau N |ψj (x)| ≤ j=1 , x ∈ Rn 2C0 Do vậy, ta có |P (D)Jε (ϕu)|s ≤ |Jε (ϕf )|s + |P (D)Jε (ϕu)|s + (N + 1)(C2 + C4 ) |µ|≤m 39 |P (D)(uDµ ϕ)|s−b s−1 Trừ hai vế bất đẳng thức cho |P (D)Jε (ϕu)|s ta |Jε (ϕu)|Ps ≤ |Jε (ϕf )|s + C5 |uDµ ϕ|Ps−b (2.49) |µ|≤m Từ suy bất đẳng thức (2.14), tức bất đẳng thức cần chứng minh Để kết thúc chứng minh ta cần hàm cj (x) bất đẳng thức (2.18) thuộc C ∞ (Ω) Bổ đề 2.5 Giả sử P1 (ξ), , PN (ξ) đa thức độc lập tuyến tính Khi tồn dãy véctơ thực ξ (1) , , ξ (N ) cho định thức Pj (ξ (k) ) , ≤ j, k ≤ N (2.50) không bị triệt tiêu Giả sử Bổ đề 2.5 chứng minh Theo phương trình (2.17) ta có: N P x, ξ (k) cj (x)Pj (ξ (k) ), ≤ k ≤ N = (2.51) j=1 Giải N phương trình theo quy tắc Kramer ta N βjk P (x, ξ (k) ), ≤ j ≤ N cj (x) = (2.52) k=1 βjk phần phụ đại số Pj (ξ (k) ) (2.50) chia cho định thức (2.50) Điều chứng tỏ hàm cj (x) trơn hệ số P (x, ξ) Bây ta chứng minh Bổ đề 2.5 Giả sử ta không chọn ξ (k) cho định thức (2.50) không bị triệt tiêu Giả sử l ≤ N số nguyên nhỏ cho định thức: Pj (ξ (k) ) , ≤ j, k ≤ l 40 (2.53) triệt tiêu với cách chọn ξ (1) , , ξ (l) , tồn hệ véctơ ξ (1) , , ξ (l−1) , cho định thức Pj (ξ (k) ) = 0, ≤ j, k ≤ l (2.54) P1 (ξ (1) ) · · · P1 (ξ (l−1) ) P1 (ξ) (2.55) Pl (ξ (1) ) · · · Pl (ξ (l−1) ) Pl (ξ) đồng triệt tiêu với ξ Mở rộng (2.55) ta có: l γj Pj (ξ) ≡ j=1 Theo (2.55) ta có điều γj = Chứng tỏ Pj (ξ) phụ thuộc tuyến tính Trái với giả thiết Do Bổ đề 2.5 chứng minh Định lý 2.2 chứng minh 2.3 Sự tồn nghiệm yếu địa phương phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Ta thấy nghiệm yếu phương trình hypoelliptic hình thức thuộc C ∞ (Ω) vế phải thuộc C ∞ (Ω) Nhưng ta chưa chứng tỏ phương trình có nghiệm yếu miền Ω hay không? Để giải vấn đề ta chứng minh định lý sau: Định lý 2.5 Giả sử P (x, D) toán tử hypoelliptic hình thức miền Ω Khi với y ∈ Ω có lân cận Ny ⊂ Ω cho phương trình P (x, D)u = f 41 (2.56) có nghiệm yếu Ny với f ∈ L2 (Ny ) Chứng minh Theo Định lý điều kiện cần đủ cho tính giải phương trình, ta cần tìm lân cận Ny y cho ϕ ≤ C P (x, D) , ϕ ∈ C0∞ (Ny ) (2.57) Ta giả sử Ω bị chặn Theo phương trình (2.21) ta có N P¯j (D)(¯bj ϕ) P (x, D)ϕ = P¯ (D)ϕ + (2.58) j=1 Hơn nữa, Pj (ξ) yếu P (ξ) nên tồn số C0 thỏa mãn Pj (D)ϕ ≤ C0 P (D)ϕ , ϕ ∈ C0∞ (Ω), ≤ j ≤ N (2.59) Theo phương trình (2.20) tồn lân cận Ny y có dạng |xk − yk | < δ, ≤ k ≤ n, cho N |bj (x)| < j=1 , x ∈ Ny 3C0 (2.60) Từ phương trình (2.58) bất đẳng thức (2.59), ta có N P¯j (D) ¯bj ϕ P (x, D)ϕ ≥ P¯ (D)ϕ − j=1 N P (D) ¯bj ϕ ≥ P (D)ϕ − C0 j=1 42 Ta suy N Dµ¯bj P (µ) (D)ϕ P (x, D)ϕ ≥ P (D)ϕ − C0 j=1 |µ|≤m N sup Dµ¯bj ≥ P (D)ϕ − C0 P (µ) (D)ϕ j=1 |µ|≤m Ny N ≥ P (D)ϕ − C0 sup |bj | P (D)ϕ Ny j=1 N sup Dµ¯bj − C0 P (µ) (D)ϕ j=1 |µ|>0 Ω Nếu ϕ ∈ C0∞ (Ny ) P (µ) (D)ϕ ≤ C1 P (D)ϕ Do đó, theo bất đẳng thức (2.60) P (x, D)ϕ ≥ P (D)ϕ − Kδ P (D)ϕ Lấy δ = K ta P (D)ϕ ≤ P (x, D)ϕ , ϕ ∈ C0∞ (Ny ) (2.61) Vì P (D) toán tử hệ số nên tồn số C thỏa mãn ϕ ≤ C P (D)ϕ , ϕ ∈ C0∞ (Ω) (2.62) Kết hợp bất đẳng thức (2.61) bất đẳng thức (2.62) ta suy bất đẳng thức (2.57) Định lý chứng minh 43 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau Khái niệm nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số biến thiên, mô tả điều kiện cần, điều kiện đủ để tồn nghiệm yếu Trình bày khái niệm toán tử elliptic hypoelliptic với hệ số hằng, khái niệm toán tử hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Nghiên cứu độ trơn nghiệm yếu phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên Đã chứng minh hệ số vế phải phương trình khả vi vô hạn nghiệm yếu khả vi vô hạn Chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương phương trình hypoelliptic hình thức với hệ số biến thiên 44 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp (2004), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] L H¨ormander (1963), Linear Partial Differential Operators, Springer [3] M Schechter (1977), Modern Methods in Partial Differential Equations, An Introduction , McGraw-Hill Inc 45