Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán giải bài toán phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYEN THU HANG
THUAT TOAN GIAI BAI TOAN PHAN THUC TUYEN TINH VOI HE SO
KHOANG O HAM MUC TIEU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
walle
NGUYEN THU HANG
THUAT TOAN GIAI BAI TOAN PHAN THUC TUYEN TINH VOI HE SO
KHOANG O HAM MUC TIEU
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Chuyén nganh: Toan ứng dụng
Mã số : 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS Trần Vũ Thiệu
Trang 3Muc luc
Danh muc cac hinh ve
Mở đầu
1_ Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 1.2 1.3
Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính
Tính chất nghiệm của bàitốn -
Minh họahìnhhhọc
13.1 Nghiệmtốiưuduynhất
13.2 Nhiều nghiệmtốiưu -
13.3 Nghiệm tối ưu hữu hạn vàvơcựcC -
1.3.4 Nghiệm tối ưu tệmcận
1.3.5 Bài tốn vơnghiệm
1.4 Biến đổi về bài tốn tuyến tính tương đương
2 Qui hoach phân tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu 2.1 2.2 2.3 2.4 Kết luận Nội dung bàitốn
Thuật tốn đưa về qui hoạch tuyến tính
Thuật tốn dùng phép tính khoảng
2.3.1 Phéptnhkhoảng
2.3.2 Qui hoạch phân tuyến tính khoảng
Trang 5il
Danh muc cac hinh ve Hình 1.1 Phân bổ cơng suất phát sĩng tối ưu
Hình 1.2 Năm tập mức trong lR7 với y4 > 0 > 2% > 1⁄42 > ? Hình 1.3 Nghiệm tối ưu duy nhất đạt tại x*
Hình 1.4 Nhiều nghiệm tối ưu: x°Pf € [x*,x**| Hình 1.5 Nghiệm tối ưu hữu hạn và vơ cực
Hình 1.6 Nghiệm tối ưu tiệm cận (ƒ* hữu hạn, khơng đạt được) Hình 1.7 Bài tốn vơ nghiệm (ƒ(x) `¿ —%)
Hình 1.8 Tập ràng buộc của bài tốn ở Ví dụ 1.1
Hình 2.1 Tập ràng buộc X của bài tốn 6 Vi du 2.1 Hình 2.2 Tập ràng buộc X của bài tốn ở Ví dụ 2.2
Trang 69
Lời mở đầu
Qui hoạch phân tuyến tính (LEP) là bài tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm phân thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin) với các ràng buộc đẳng thức
hay bất đẳng thức tuyến tính
Qui hoạch phân tuyến tính là một trường hợp riêng của qui hoạch phân thức
phi tuyến, thường dùng để mơ hình hĩa các bài tốn thực tế với một hay nhiều
mục tiêu (chẳng hạn lợi nhuận / chỉ phí, sản phẩm / số lao động, .) và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau của kỹ thuật, kinh tế, tài chính,
Một trong những bài tốn qui hoạch phân thức tuyến tính đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu là bài tốn phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở
hàm mục tiêu (khơng cơ định như trước) Bài tốn này cĩ dạng:
P(x) |ai,Pi|xi+ + |an,Pa| „+ |ao; Đo] PO) = ax) = feysdy] x1 + + [en,dy] n+ [e0,do) với điều kiện Ax < b,x > 0, (A € R™*",b € R”)
Mơ hình bài tốn này linh hoạt va dễ áp dung hơn Cĩ một số tài liệu mới (I4, [5] và [6] năm 2012, 2013) đề cập tới các phương pháp giải bài tốn này Đáng chú ý là hai phương pháp nêu ở [4] và [6]
Vì thế chúng tơi chọn đề tài luận văn:
'"Thuật tốn giải bài tốn phân thức tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu"
nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày các ý tưởng, phương pháp và thuật tốn giải mơ hình bài tốn nêu trong hai tài liệu tham khảo gần đây [4, 6] Cả hai phương pháp tuy khác nhau, nhưng đều mở rộng và phát triển thuật tốn giải
Trang 72
qui hoạch phân tuyến tính và một số tính chất nghiệm tối ưu của bài tốn phân tuyến tính Sau đĩ sẽ tìm hiểu và trình bày từng cách tiếp cận riêng ở [4] và [6] Về đại thể phương pháp [4] nêu cách đưa bài tốn ban đầu về một qui hoạch
tuyến tính, phương pháp [6] dựa trên phép tính khoảng tìm cách đưa bài tốn
được xét về bài tốn với hàm mục tiêu khoảng Đây là đề tài mới về qui hoạch phân tuyến tính, đang được nhiều người quan tâm tìm hiểu, nghiên cứu
Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1] - [6]
Kết quả cần đạt được: hiểu và trình bày về bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, tính chất nghiệm tối ưu của bài tốn, mơ hình bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu và một số thuật tốn xử lý mơ hình
Đĩng gĩp chính của luận văn là tổng hợp và giới thiệu cĩ chọn lọc hai thuật
tốn giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu Luận văn được viết trong hai chương
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" đề cập tới bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính và với các ràng buộc tuyến tính Nêu một số ví dụ thực tế cĩ mơ hình tốn học là qui hoạch phân tuyến tính (bài tốn sản xuất) và qui hoạch phân tuyến tính suy rộng (bài tốn tăng trưởng kinh té Von Neumann va bài tốn phân bổ tối ưu cơng suất phát sĩng) Tiếp đĩ nêu các tính chất nghiệm
của bài tốn thơng qua các minh họa hình học nghiệm tối ưu của bài tốn qui
hoạch phân tuyến tính Cuối chương trình bày phép biến đối Charnes - Cooper đưa bài tốn qui hoạch phân tuyến tính về bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương, mà khơng cần giả thiết tập ràng buộc của bài tốn phân tuyến tính bị
chặn
Chương 2 "Qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu" giới thiệu cách tiếp cận đưa ra trong [4, 6] tìm nghiệm tối ưu cho bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với các hệ số mục tiêu thay đổi trong một khoảng Thuật
tốn giải [4] dùng phép biến đổi Charnes - Cooper và thuật tốn giải [6] dựa
trên phép tính khoảng Cuối chương nêu một số ví dụ minh hoạ cho các thuật
tốn giải đã trình bày
Trang 83
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn cac GS, PGS, TS cua Khoa Toan-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016 Học viên
Trang 9Chuong 1
Một số kiên thức chuẩn bị
Chương này đề cập tới bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính afin) và với các ràng buộc tuyến tính Các bài tốn như thế gọi là qui hoạch phân tuyến tính Phần đầu trình bày nội dung và ý nghĩa bài tốn, tiếp đĩ nêu tính chất và minh họa hình học nghiệm tối ưu của bài tốn Cuối chương giới thiệu cách đưa bài tốn về qui hoạch tuyến tính tương đương
Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [3]
1.1 Bài tốn qui hoạch phân tuyển tính
Một cách tổng quát cĩ thể phát biểu bài tốn như sau Cho tập lỗi C C R” và
các hàm ƒ,g,h; : IR“ —y IR( = 1, ,mm) Xét bài tốn tối ưu với hàm mục tiêu
phân thức (tỉ số của hai hàm số), ký hiệu bài tốn (#P):
¬
(FP) inf g(x)’
trong đĩ X = x € C: h;(x) <0,i=1, ,m Ta phan biệt các loại bài tốn sau: e Khi ƒ, ø và h; là các ham afin thi (FP) gọi là bài tốn gui hoạch phân
tuyến tính (Linear Fractional Program)
e Khi ƒ và ø là các hàm tồn phương và h; là các hàm afin thì (FP) gọi là bài
Trang 105
e Khi ƒ > 0 1a ham 1éi, g > 0 14 ham 16m va h; 1a cdc ham 16i thi (FP) goi 14 bai to4n qui hoach phan thttc 16i (Convex Fractional Program)
Trong bài tốn (FP) chỉ xét một hàm phân thức Tuy nhiên, trong nhiều ứng
dụng ta cịn cĩ thể xét nhiều hàm phân thức Chẳng hạn,
e Qui hoạch phân thức suy rộng (Generalized Fractional Program):
fi(x)
@;(x) Mie >0Vi)
A* = min max {
xEX 1<i<k
e Qui hoạch tổng các ham phan thtfc (Sum-of-ratios Program):
A* = min
xcX =1
& fi) gi0) }&i >0 Vi)
e Qui hoạch phân thức đa mục tiêu (Multi-Objective Fractional Program): ff (x) f(x)
A* =min _
(2) — @x(%)
xcX (gi > 0vi)
Luận văn này chủ yếu tập trung xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính:
p(x) — p’xt+a
(LFP) min f(x) = ale) = g?x+B :Ax<b,x>0, (1.1) trong đĩ p, gq € R", a, B € R, A € R”*", b € R" Ky hiéu
X = {x € R":Ax<0,x> 0}
Tương tự, cĩ thể xét bài tốn tim cuc dai: max{ f(x) : x € X}
Khi cần ta cĩ thể dùng qui ước ø/0 = +00 néua > 0 vaa/0 = —~ néua <0 Qui hoạch tuyến tính là một trường hợp riêng của qui hoạch phân tuyến tính
Trang 116
e Để tiện giải thích ý nghĩa thực tiễn của mơ hình qui hoạch phân tuyến tính
và qui hoạch phân tuyến tính suy rộng ta xét bài tốn tìm cực đại
a) Bài tốn sản xuất Giả sử một xí nghiệp cĩ thể dùng m loại vật tư hiện cĩ
để sản xuất ra n loại sản phẩm Gọi 5; là lượng vật tư ¡ (¡ = 1, ,m) mà xí
nghiệp cĩ và a;; là định mức tiêu hao vật tư ¡ để sản xuất một đơn vị sản
phẩm ÿ (ÿj = 1, ,n) Mỗi đơn vị sản phẩm ÿ sản xuất ra sẽ cho lợi nhuận là p; và tốn chỉ phí sản xuất là g;, œ là lợi nhuận cỗ định thu được và ÿ là chi phí cố định cần bỏ ra (œ, 8 khơng phụ thuộc số lượng sản phẩm sản xuất) Hỏi với số vật tư đã cĩ xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại sao cho hiệu quả sản xuất của xí nghiệp (đo bằng tỉ số giữa tổng lợi nhuận thu được trên tổng chi phi sản xuất) là lớn nhất? Bài tốn này dẫn đến mơ hình qui hoạch phân tuyến tính
b) Bài tốn tăng trưởng kinh tế Von Neumamn Xét mơ hình tăng trưởng
kinh tế đơn giản với n ngành, sản xuất và tiêu dùng m loại hàng Ký hiệu: e x;() là cường độ hoạt động của ngành ¿ ở năm ứ (biến cần tìm);
e a x(t) la ludng hàng ¿ tiêu dùng ở năm / cho mọi ngành; e b x() là lượng hàng ¡ do mọi ngành sản xuất ra ở năm /
Tốc độ tăng trưởng của ngành ¿ đo bằng tỉ s6 x;(t)/x;(t —1), i=1, ,n
Tỉ số thấp nhất được dùng làm thước đo tốc độ tăng trưởng năm / của nền kinh tế Bài tốn đặt ra là các ngành hoạt động sao cho cả nền kinh tế đạt tốc độ tăng trưởng lớn nhất? Bài tốn này dẫn đến mơ hình qui hoạch phân tuyến tính suy rộng:
max{ f(x) = iin 5Ơ : Äx(?) < Bx(fT— 1),x(£) > 1},
trong d6 x(t) = (x;(t), ,%n(t))?
Trang 12tram phat k
may thu (1,J) HN âđ trạm phát! ,
©
Hình 1.1 Phân bổ cơng suất phát sĩng tối ưu
Gia su
e cĩ m trạm phát 4m (k = 1, ,m) vam x n máy thu, tât cả cùng một tan sé
trạm phát ¡ muốn truyền tin hiéu téi n may thu, đánh số (¡,ÿj), j =
l, ,m
a;;„ là lợi thê về đường đi từ trạm phát k tới máy thu (, j) e z;; là mức độ ơn nội tại (tạp âm) của máy thu (, j)
e các biến số: cơng suất phát sĩng pạ, k = l, ,m
Ở máy thu (¡, j) cĩ các thơng số:
e cường độ tín hiệu thu: s;; = đ;¡;;D¡
e cường độ nhiễu và Ơn: ƒ;; = } +; 4¡jÐk + Hịj
e tỉ số cường độ tín hiệu thu trên cường độ nhiễu và Ơn: s;; / ƒ;,
Các trạm phát k # ¡ gây nhiễu đối với các máy thu (¡, j) Cần xác định các cơng suất phát sĩng p; (i= 1, ,m) sao cho lam cuc dai tỉ số s;; /ƒ;; nhỏ nhất đơi với mọi máy thu (¡, j)? Mơ hình tốn học cho bài tốn này như
Sau
a; oe
max{min iP : 0 < pi < Pmax,i=1, ,n}
bj È xz1 G¡jkDk + Nij
Trang 138 1.2 Tính chất nghiệm của bài tốn
Bây giờ ta trở lại xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (1.1) Để bài tốn cĩ
nghĩa ta giả thiết mẫu số g(z) = qÏx+b #0 Vx€ X = {x: Ax < b,x < 0}
Nếu a(z) cĩ dấu khác nhau trên X, tức là cĩ x!, xÝ € X sao cho gŸx! + > 0
và q'x* +B <0 thi do g(x) lién tục nên tổn tại x € |x!,x”|, tức x € X, sao
cho q(x) = 0, trái với giả thiết Vì thế, khơng mất tổng quát, ta cĩ thể giả thiết
4(x) > 0 với mọi x € X (Nếu cĩ q(x) < 0 thì nhân cả tử số p(x) và mẫu số q(x)
của hàm mục tiêu ƒ(x) với (— 1), ta sẽ cĩ q(x) > 0) Hơn nữa, ta giả thiết m < n
va rankA = m
Sau đây là một số khái niệm va dinh nghia can thiét d6i véi bai todn (LFP), tương tự như trong lý thuyết qui hoạch tuyến tính
Trong bai toan (LFP), f(x) goi la ham muc tiéu (objective function) Tap X
gọi là tập ràng buộc hay mién chdp nhan duoc (feasible set) Vécto x € X goi la
một phương án hay nghiệm chấp nhận duoc (feasible solution), mét phương án
mà đồng thời là đỉnh của tập ràng buộc X gọi là một phương án cực biên hay
nghiệm cơ sở (basic feasible solution) Phương án đạt giá trị nhỏ nhất của hàm
mục tiêu ƒ(x) gọi là một phương án tối u hay nghiệm tối uu (optimal solution) Ta nĩi bài tốn (1.1) là bát khả thi hay khơng chấp nhận được (infeasible) nếu tập X = Ø, bài tốn gọi là gi được (solvable) nêu tập X # @ va ham f(x) cĩ cận dưới (đối với bài tốn min) hữu hạn trên X Nếu hàm mục tiéu f(x)
khơng bị chặn dưới trên X thì bài tốn được gọi là khơng bị chặn (unbounded):
FO) =
Ta biét rang ham phan tuyén tinh f(x) = p(x)/q(x) cĩ tính chất đáng chú ý
là ƒ(x) đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm trong tập {x : g(x) > 0}, do đĩ cực
tiểu (hay cực đại) của ƒ(x) trên mỗi đoạn thẳng sẽ đạt tại một đầu mút của đoạn
thẳng đĩ Từ đĩ, nếu hàm ƒ(+) cĩ cực tiểu (hay cực đại) trên một tập lồi đa diện
Trang 149
a Tap rang buộc X = Ø (bài tốn bất khả thị) b Nghiệm tối ưu duy nhất (đạt tại một đỉnh của X')
c Vơ số nghiệm tối ưu hữu hạn (đạt tại một diện bị chặn của X')
d Cĩ nghiệm tối ưu hữu hạn và vơ cực (đạt tại một diện vơ hạn của X)
e Nghiệm tối ưu tiệm cận (ƒ* =inf,cx ƒ(x) > —œ và #x* €X : ƒ(@#*) = f*)
f Khơng cĩ nghiệm tối ưu (inf¿cx ƒ(x) = —œ - bài tốn khơng bị chặn) 1.3 Minh họa hình học
Ta nhac lai bai to4n (LFP): Tim x € R", f* € R sao cho
* - P\x Pp
fi =min{ f(x) =? =
Ky hiéu X = {x € R": Ax < b,x > 0} Gia thiét @ AX C {x: q'x+B > O} Nhu đã nhận xét: cực tiểu (nếu cĩ) của hàm phân tuyến tính ƒ(z) = p(z) /q(x) trên tập lồi đa diện X đạt được tại một trong các đỉnh của X
Để tiện cho việc giải thích các nghiệm tối ưu của bài tốn, ta thêm biến mới ycR và viết lại (LFP) dưới dạng tương đương sau (các biến y € R, x € R"):
min{y: p'x+B < y(q'x+B),Ax < b,x> 0}
Trong bài tốn này, hàm mục tiêu là tuyến tính, nhưng các ràng buộc khơng cịn là tuyến tính nữa Tuy nhiên, dạng bài tốn này tiện cho việc minh họa
Các tập mức của hàm mục tiêu của bài tốn (LEP) cĩ dạng:
Cy = {x ER": g' x+B >0,(p'x+a)/(q'x+B) =Y}
= {x € R": (p—yq)'x = (7B — @)}, mic YER
Trong R?, mdi tap mifc Cy là một đường thắng đi qua giao điểm Ƒ của hai
Trang 1510
Hình 1.2 Năm tập mức trong IRỶ với 74 > Ư > % > #4 > #4
Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với X # 2 cĩ thể cĩ các tình huống sau
1.3.1 Nghiệm tơi ưu duy nhất
Trang 1611
a) Mién rang buộc X bị chặn
\W g?x+B =0
Ề
ầ- Hà
b) Miễn ràng buộc X khơng bị chặn
Hình 1.3 Nghiệm tối ưu duy nhất đạt tại x*
1.3.2 Nhiều nghiệm tơi ưu
Trang 17\\ pÏx+œ=
VF x Cp
Hình 1.4 Nhiều nghiệm t6i wu: x9?! € [x*,x**]
1.3.3 Nghiệm tơi ưu hữu hạn và vơ cực
Nếu tập ràng buộc X khơng bị chặn và một cạnh vơ hạn của X nằm trên đường
mức mục tiêu (Hình 1.5) thì bài tốn cĩ vơ số nghiệm tối ưu, một trong số đĩ
là đỉnh x* và các nghiệm tối ưu khác là các điểm cịn lại trên cạnh vơ hạn đi từ
x* Điều đáng chú ý ở đây là trong các nghiệm tối ưu khác x*, cĩ một nghiệm
ở vơ cực Vì thế, trong trường hợp này ta nĩi bài tốn cĩ "nghiệm tối ưu hỗn
hợp" (mixed solutions): nghiệm tối ưu hữu hạn và nghiệm tối ưu vơ cực Trong
trường hợp này các nghiệm tối ưu đạt được tại một diện vơ hạn của X
p'xta=0
Trang 18
13
1.3.4 Nghiệm tơi ưu tiệm cận
Trường hợp này xảy ra khi ƒ* — inf,ex ƒ(x) > —œ và Äx* €X : ƒ(*') = ƒ*
Hình 1.6 Nghiệm tối ưu tiệm cận (ƒ* hữu hạn, khơng đạt được)
1.3.5 Bài tốn vơ nghiệm
Xảy ra khi f* = inf;ey ƒ(x) = —% (hàm mục tiêu khơng bị chặn dưới)
Trang 19
14
1.4 Biến đổi về bài tốn tuyến tính tương đương e Xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (LF'P):
Giả thiết tập X = {x : Ax < b,x > 0} # Ø và ạÏx+ B > 0 với mọi x € X
Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (LFP) cĩ thể đưa được về bài tốn qui
hoạch tuyến tính, nhờ dùng phép đổi biến số Charnes - Cooper:
1
f=
q'x+B >0,y=fx€R",xe€X
Nhân ràng buộc Ax < b với £ > 0, ta đưa (LFP) về bài tốn tuyến tính:
(LP) min{g(y,t) = p’y+a.t:Ay—bt <0,q' y+B.t=1, y>0, t > 0}
So véi (LFP), bài tốn (LP) cĩ thêm một biến và một ràng buộc mới Các
nghiệm (tối ưu) của hai bài tốn (1P) và (LFP) cĩ những mối liên hệ như sau Định lý 1.1 Với các ký hiệu trên, ta cĩ các kết luận sau đây:
a) Néu (y°,t°) là nghiệm chấp nhận được của (LP) và t° > 0 thi x® = y°/t°
là nghiệm chấp nhận được của (LF P) va
fŒ )=f(Tx°+ø) = phy°+ ø” = g(y°,£)
b) Nếu x° là một nghiệm chấp nhận được của (LFP) thì (y°,t) là một nghiệm
chấp nhận được của (LP) với
Trang 2015
a) Néu (y*,t*) la nghiém toi uu cua (LP) va t* > 0 thì x* = y* /t* là nghiệm toi uu cua (LFP)
b) Giả sử (LFP) chấp nhận được Khi đĩ, (LP) khơng bị chặn dưới khi và chỉ
khi (LFP) khơng bị chặn dưới
Định lý 1.3 G¡ả sử (LFP) cĩ nghiệm chấp nhận được Khi đĩ, (LP) cĩ nghiệm
tối tu và mọi nghiệm tơi ưu đều cĩ t = 0 thì giá trị mục tiêu của (LFP) cĩ cận
dưĩi đúng hữu hạn, nhưng cận dưới đĩ khơng đạt tới được Đĩ là trường hợp
(LFP) cĩ nghiệm tơi ưu tiệm cận
Trong trường hợp này, cĩ thể tạo ra các nghiệm e - tối ưu với bất kỳ £ > 0,
nghĩa là trong X tổn tại một cạnh vơ hạn mà dọc theo cạnh đĩ giá trị mục tiêu của (LFP) tiễn dần về cận dưới đúng nĩi trên
Định lý 1.4 Nếu X # Ø và qTx-+ B =0 với mọi x € X thì (LP) khơng cĩ nghiệm chấp nhận được (bài tốn (LP) là bắt khả thì)
Các định lý trên cũng áp dụng được vào cặp ràng buộc {x : Áx = b,x > 0} va {(y,t) : Ay —bt =0,y > 0,t > 0}
e Dựa vào phép biến đổi Charnes - Cooper, ta cĩ thể giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (1P) bằng cách lập và giải bài tốn qui hoạch tuyến tính (7P)
tương ứng Kết quả giải (LP) cho ra một trong các khả năng sau:
a) (LP) bat kha thi > X = @ hoặc (LFP) khơng xác định (Định lý 1.1 và
1.4)
b) (LP) cĩ nghiệm tối ưu (y*,£*) với £* > 0 > (LFP) cĩ nghiệm tối ưu x* =
y* /t* (Phan a) Định lý 1.2)
c) Moi nghiém téi wu (y*,t*) cla (LP) déu cé t* = 0 > (LFP) cé nghiém téi uu tiém can (Dinh ly 1.3)
d) (LP) khơng bị chặn dưới => (LF.P) khơng bị chặn dưới hoặc X = Ø (Phần b) Định lý 1.2)
e Để minh họa thuật tốn giải (LFP) dựa trên phép biến đổi Charnes -
Trang 2116
Ví dụ 1.1 Giải qui hoạch phân tuyến tính
p(x) — x1 +4x2—-5
— min
q(x) Xj —X2+5
f(x) =
với các điều kiện
— x, +x2 <4,
— 3x, +x2 <2,
— x1 + 4x2 > 3,
xj +x2 > 2,
x1 > 0,x2 > 0
C6 thé thay rang mau sé g(x) = x; +2x2+1 > 0 trén toan mién chap nhan
được của bài tốn (do cĩ xị > 0, x¿ > 0) Ta giải bài tốn này theo phương pháp
Charnes và Cooper Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương cĩ dạng
—Õyo + y\ + 4y2 > min, với các điều kiện
— 4yo —yị +2 <0, — 2yo— 3y +ya <0, 3yo + — 4y < 0, 2yo—yI —a S0, 5yo y1 —}2 = 1, yo > 0,y¡ 2 0, y2 = 0
Cĩ thé kiém tra lai rang yo = 0,2; y; = 0,2; y2 = 0,2 14 nghiém téi wu cua bài tốn qui hoạch tuyến tính trên Do đĩ nghiệm tối ưu của bài tốn qui hoạch phân tuyến tính cần giải là xị = y1 /yo = 1, xa = y2/yọ = 1 và giá trị nhỏ nhất
Trang 2217
Hình 1.8 Tập ràng buộc của bài tốn ở Ví dụ 1.1
Nhận xét 1.1 Phép biến đổi Charnes - Cooper tuy đưa được bài tốn (1⁄FP) về bài tốn (1P), nhưng nĩ cĩ thể làm mắt đi cấu trúc ban đầu của bài tốn cần
giải (cầu trúc vận tải chẳng hạn), vì thế nĩ ít được dùng trong thực tiễn
Kết luận chương này đã đề cập tới bài tốn qui hoạch phân tuyến tính và các loại nghiệm tối ưu của bài tốn (hữu hạn, vơ cực, tiệm cận) Cuối chương trình
bày phép biến đổi Charnes-Cooper và thuật tốn giải bài tốn qui hoạch phân
tuyến tính dựa trên phép biến đối này, mà khơng cần giả thiết tập ràng buộc của
Trang 2318
Chương 2
Qui hoạch phân tuyến tính với hệ số
khoảng ở hàm mục tiêu
Chương này đề cập tới bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng ở
hàm mục tiêu và trình bày phương pháp nêu ở [4] giải bài tốn Tiếp theo trình
bày phương pháp giải nêu ở [6], dựa trên phép tính khoảng Cuối chương nêu các ví dụ số minh hoạ cho các phương pháp giải đã trình bày Nội dung của
chương được tham khảo từ các tài liệu [4] và [6]
2.1 Nội dung bài tốn
Xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với hệ số mục tiêu thay đối cĩ dạng
*,p.4 đo + đ1X1 + + qnXn
với các điều kiện
Aizq + + Azx„ < b,xị >0, ,x„ > 0 (2.2)
Trang 2419
trong d6 az, by, cy, dy € R, Ay € R” (k = 1, ,n) va b € R” cho trudc Gia
thiét
X ={x€R”:Aixi-+- + Anx„ < b,x > 0} # Ø, compac và
đo + -++qn„x„ >0, Vx = (xi, ,x„)” €X, Vay € [c,d¿], k=0,1, ,n
(cĩ điều kiện sau nếu cọ + c¡xị -+- -Ecgx„ > 0 Vx€ X, bởi vì x > 0 và œ < đị) Khi az = by, cx = dy VGi moi k = 0,1, ,n (tite moi pz, gz cho trước), bài
tốn (2.1) - (2.3) trở thành bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (LFP) thơng
thường Khi xem mọi p¿, g¿ như các biến số thì (2.1) - (2.3) là một bài tốn qui
hoạch phân thức tồn phương Để tiện dùng về sau, ta ký hiệu A = (AI, ,Á„)
Dùng phép đổi biến số Charnes - Cooper ta sẽ đưa bài tốn (2.1) - (2.3) về
bài tốn tối ưu tương đương: Thêm vào một biến mới
1
yo = ’
đo + đ1X1 + - qnXn
ta nhận được bài tốn
⁄
P0Y0 + P1Y0X1 + F p„yoX„ —> mịn,
đ0}o -T đ1YoX1 + T đuYoXu — Ì,
Ayyox1 + +Anyorn < byo, x1 2 0, ,%n 2 Ư, yo = 0
Trang 2520
Bằng cách thay các biến x¿ bởi y¿ = yox„ với mợi k = 1, ,, ta đưa bài tốn
trên về dạng tương đương
(
PoYo + PIY1 + + p„y„ —> min, (2.4)
goyo+qiyit -+4nyn = 1, (2.5)
—byp +Aiyi + tAnyn <0, yo = 0,y1 = 0, ,¥n = O (2.6)
|4 Š Dk Š de, Ch <q < dk, kK=0,1, ,n (2.7) Định lý sau cho thấy cĩ thể giải (2.4) - (2.7) thay cho bài tốn (2.1) - (2.3)
Định lý 2.1 Với các giả thiết đã nêu, nếu y* = (yậ,yỊ, ,y‡)” là một nghiệm
tối uu cua bai tốn (2.4) - (2.7) thì yg > 0 va x* = (x, ,x;)” với xý = V lYậ
sẽ là một nghiệm tối wu của bài tốn (2.1) - (2.3) ban đâu
Chứng minh Trước tiên ta chứng minh y¿ > 0 Thật vậy, nếu yð = 0 thì do
4Ty* = 1 nên đặt z = (y†, ,y#) ta cĩ z # 0 và z thỏa mãn Az < 0, z > 0 Khi đĩ z là một hướng lùi xa của X, bởi vì với bất kỳ x € X (tức Ax < b, x > 0) ta cĩ
A(x+ 6z) = Ax+ 8Az < b và x+ 8z > 0 với mọi Ø > 0 Chứng tỏ x-+ 0z € X
với mọi Ø > 0, điều này trái với giả thiết X compac Vậy phải c6 yf # 0
Bây giờ ta chứng minh +* là nghiệm tối ưu của (2.1) - (2.3) Thật vậy, do y* thoả mãn (2.6) và yš > 0 nên x* nghiệm đúng Ax* < b, x* > 0, tlic x* € X Lay bat ky x € X, tức Ax < b, x > 0 Do giả thiết go -++ gixị + + g„x„ > 0 nên y —
(yo,y1, ,ya) với yọ = 1/(đo + gix1 + + đnxa) > Ơ, yy = yoxk, k = 1, ,, sẽ thoả mãn (2.5) - (2.7) Mặt khác, y* là nghiệm tối ưu của (2.4) - (2.7) nên ta cĩ
P0Yư + pƯI + + DnY, € PpoYo + pIyL + T PnYn
Bằng cách thay yz = yä.xý, yy = x¿/(đo + gixi + + đạxø), k = T, ,n và
yo = 1/(đo + ii + + đnx„) ta thấy
Yo(Po + piXI + + PnXp_) € (Po + piXi + + pxXa) “(đo + đ1X1 + TT đaXn)
Trang 2621
dudc
Po + PIXƒ + † PnXi _ P0T PIXI T - PnXn
q0 + đ1XỊ + ÐđnX?— đo G11 + + GnXn
Đĩ là điều cần chứng minh L]
2.2 Thuật tốn đưa về qui hoạch tuyến tính
Các biến p¿, ạ¿ thoả mãn (2.7) cĩ thể biểu diễn dưới dạng
Pk = đự + (bg — ay) AgvGi O< Ay << 1,k=0,1, ,m, (2.8)
Gk = Ce + (dk — Cy) Hyvới 0 < dự < 1,k = 0,1, ,n (2.9)
Thay pẹ, đ¿ theo (2.8) - (2.9) vào (2.4) - (2.7) ta nhận được bài tốn:
(đo + (bo — ao)Äo)yo + (đi + (bị — đ1)Ä1)y1 + + (đa + (bạ — an)Ân)Yyn —> mỉn,
(2.10)
(co + (do — c0)Ho)Yo + (Cn + (dn — Cn)Un)Yn =, (2.11)
—byo +Aiyi + +Anyn <0, v0 = 0,y1 = 0,.-.,¥n = 0, (2.12)
0< „¿<1,0< <1,k=0,1, ,n (2.13)
Ràng buộc đẳng thức (2.11) cĩ thể viết lại thành
(do — Co) Moyo + (đi — C1)M1Y1 + T+ (dn — Cn)Hnyn
+ coyo +€iyI + -+€xy» = 1, (2.14) Do y¿ > 0, 0 < tự < 1, cy — đy < 0Ư với mọi & = 0,1, ,n, nén ta cĩ
1 > 1+ (co — đọ)Hoyo + (c1 — a1) Miyi + + (Cn — đa) Han
Trang 2722
Thay số 1 ở biểu thức giữa của (2.15) bằng biểu thức (2.14) ta nhận được
l > coyo+c1yI + + CnYn
> 1+ (co — đọ)yo + (c1 — đị)y1 + + (cn — đn)Yạ, (2.16)
Từ bất đẳng thức đầu và bất đẳng thức cuối của (2.16) cho thấy
CoYo +€1y+ + +cny„ <€ Ì, (2.17) đọyo + địy) + + đ„yạ >3 1 (2.18) Ngược lại, nếu cĩ y = (yo,y1, ,y„)” thoả mãn (2.17) - (2.18) thì bằng cách đặt ủy = t, k = 1, ,n, với u = 0 khi cTy = 1, w = 1 khi đ7y = 1, trái lại
I— Les
u= (co-+ciy1 + + nn) | (2.19)
(đo — co) + (đi — c1)y1 + (đu — Cn) Yn
ta nhận được q = c-L (đ— e) và 4“ y = 1, tức y, q sẽ thoả mãn (2.11)
Do vậy bằng cách sử dụng (2.17) - (2.18) thay cho (2.11), bài tốn (2.10) - (2.13) biến đổi thành bài tốn qui hoạch phi tuyến:
(ao + (bo — a0) Ao) yo + (a1 + (b1 — 1) An) yi + + (Gn + (bn — Gn)An)yn — min,
(2.20)
Í sgyg-+ cyi + +€eny„ạ €S T1; (2.21)
đọyo + địy1 + + đ„yạ > 1, (2.22)
—byo +Á1yI + Ányz S0, yo >0, yị >0, ,y„>0 (2.23)
(0<¿ <1, k=0,1, ,n (2.24)
Hàm mục tiêu của bài tốn này cĩ dạng đặc biệt Ta sẽ tìm cách thay nĩ bằng
một hàm mục tiêu tuyến tính Thật vậy, giả sử y = (y„,y¡, , y„) là một lời giải
Trang 2823
k=0,1, ,m Khi đĩ giá trị hàm mục tiêu (2.20) tại y cĩ đánh giá
(đo + (bọ — 40)Ao)¥o + (a1 + (1 — 41) An) y+ + (Gn + (bn — An) An)Yn
= đọÿg + đ1y1 + FAnYy
+ (bo — ao)Äoyo + (bị — đ1)À1y + + (On — Gn) AnYn > đoyo +đ1y¡ + + any„ (do yy, ¿, Đy — ay > 0 Vk=0,1, ,n)
o7* ,A®
Chính vì thế cĩ thể thay thế bài tốn phi tuyến (2.20) - (2.24) bằng qui hoạch
tuyến tính
(
agyo + a1y1 + +4nyn — min, (2.25)
coyotciyi t+ +enyn <1, (2.26)
4 doyot diyi t+ +dnyn > 1, (2.27)
—byp +Aiyi t+ tAnyn < 0, (2.28)
yo 29; y1 2 0, -,Yn 2 Ư (2.29)
Như vậy, bài tốn qui hoạch phân tuyến tính (2.1) - (2.3) qui được về bai
tốn qui hoạch tuyến tính (2.25) - (2.29) Từ nghiệm tối ưu của bài tốn tuyến tính này cùng với p; — z¿ (tương ting vai Ay = 0), gx = c+ (dk — Ck) Us Lk = U tinh theo (2.19), ta thu được nghiệm tối ưu của bài tốn (2.4) - (2.7) Từ đĩ, theo Dinh lý 2.1 ta tính ra nghiệm tối ưu của bài tốn ban đầu (2.1) - (2.3)
e Để đưa ra thuật tốn giải, ta nhắc lại tĩm tắt những lập luận trên như sau
Xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính với các hệ số mục tiêu thay đối:
Do -T D111 + TT PnXn
đo -F đ1XI + T đnXn
A1xI + +A„x„ <b, xịi>Ơ0, ,x„>0,
Ak < pe < de, Ck SK < dy, K=0,1, ,n
Trang 2924
trong d6 az, by, cy, dy € R, Ay € R™ (k = 1, ,n), b € R™ cho truéc Gia thiét:
X = {x € R" :Ayxy + +Anr%n <b, x > 0} #4, compac va co -E€ixi-+ -Ecgxz, > OVx = (xI, ,x„)” 1 Thực hiện phép biến đổi Charnes - Cooper
1
o= » Vk = Yoxr, K=1, ,n
» đo + đ1X1 + -T qnXn —
đưa bài tốn ban đầu về dạng (các biến yụ, px, gx, k = 0,1, ,7)
/
Poyo+ P1y1+.-+.+ Pnyn — min,
goyo + qiyi ++.» +4nyn = 1,
—byop +Ayyy + +Anyn < 0, yo = 0, Y1 >0, ,y„ạ > 0
| Š Pk Š Đụ; €¿ Š đy Š đụ, k= Ú,T, mu
XS
2 Thực hiện phép đối biến số
Pk = đ¿ + (Dp — aK) Ak, k=0,1, ,n, Dk = Ck + (de — Ck) Uk, k=0,1, ,n
dua bai todn vé dang (cac bién yx, Ax, Ug, kK = 0,1, ,7)
(đo + (bo — đo)Âo)yo + (đi + (bị — a1)Ã1)y1 + + (4 + (Bn — Gn) An)¥n —> min,
(co + (đo — co) Ho)yo + (c1 + (đi — c1)M1)y1 + + (cø + (đa — en)Hạ)Yn = 1, —byo+Aiyit +Anyn <0, yo > 0, y1 > 0, -, yn > O
Trang 3025
3 Thay ràng buộc đẳng thức bởi hai bất đẳng thức tương đương ta được
(ay + (bo — ao)Ão)yo + (a1 + (bi —a1)A1)y1 + + (Gn + (Onn) An)Ơn > min,
coyo + ciyi+ +Ânyn <1, doyot+diyit+ +dnyn = 1 —byo +Aiyit +Anyn <0, yo 29, y1 = 0,. ,¥n = O
OSA <1, k=0,1, ,n
4 Cuối cùng, cho mọi ¿ = 0 ta đi đến bài tốn qui hoạch tuyến tính (các
biến y¿, k = 0,1, ,7)
⁄
agyo + 41y1 + +4nyn — min,
coyotciyit+ +c¢nyn <1, 4 doyotdyyyt +dnyn > 1,
—byp +Aiyi+ +Anyn < 9, Yo 29; y1 2 0,. , Yn 2 0
e Tĩm lại, thuật tốn là lập và giải qui hoạch tuyến tính này Giả sử nhận
“9° , Ke
y' =0.v1I -›yn)” › Yỗ > 0
ope , Ae
tối ưu của bài tốn qui hoạch phân tuyến tính ban đầu là x* = (xf, ,x*)/ với x¿ = y./và Vk = l, ,n
2.3 Thuật tốn dùng phép tính khoảng
2.3.1 Phép tính khoảng
Ký hiệu 7 là tập hợp tất cả các khoảng đĩng và bị chặn trong IR Giả sử A, B € I
Ta viết A = |a”,aU], B = |b”,bU] Ta cĩ các phép tốn sau đây trên 7:
Trang 3126
(ii) —A = {—ala € A} = [—-a", —a"] ET,
(iii) KA = {kala € A} = |ka,ka"| nếu k < 0, trong đĩ k € R va vi thé ta cé
A-B=A+(-B)= fa’ — BY a — ph]Ì
Định nghĩa 2.1 Nếu A = |a”,a” | và B = |b",bU] là các khoảng số thực đĩng
và bi chặn, ta định nghĩa phép nhân A với B như sau: AB = [min(S),max(S)],
trong đĩ S = {atb’, aU bY aÙbÈ,aFbU} Chẳng han néu A và B là các khoảng dương (tức là 0 < a” < aU và 0 < “ < DY) thi
AB— [a“b“,a”bp”]
và nếu 0 < a# < aÙ và bh < 0 < bY thi
AB = la’ bY, ab" |
Cĩ một số cách khác nhau để định nghĩa phép chia khoảng D Ratz (1996)
đưa ra định nghĩa tỉ số của hai khoảng như sau
Định nghĩa 2.2 Cho A = |a“,aU| và B = |b“,bỨ ] là các khoảng thực Ta định nghĩa
A/B= {z cRỊ da € A, b€ B sao cho b0, z= a/b}
Ta nhận thấy rằng tỉ số của hai khoảng là một tập hợp cĩ thể khơng là một
khoảng Chẳng hạn,
Trang 3227
Dinh lý 2.2 Giả sử A = |a*,a”] và B = |b“,b”] là bai khoảng sơ thực khác rỗng và bị chặn Khi đĩ, nếu 0 # |b”,b” | thì
A/B = [a',aU) ogy |
Cĩ thể kiểm tra lại các tính chất sau đây của các phép tính khoảng
Định ly 2.3 Néu A va B là các khoảng thực bị chặn và khác rỗng thì A + B, A—B và AB cũng là các khoảng thực bị chặn và khác rỗng Hơn nữa, nếu 0 # B
thì A/B cũng là một khoảng sơ thực bị chặn và khác rỗng
Định nghĩa 2.3 Hàm ƒ: l&” —› 7 được gọi là hàm giá trị khoảng (interval valued
function) hay gọi tắt là hàm khoảng (vì mỗi x c IR", ƒ(z) là một khoảng đĩng
trong IR) Giống như khoảng, ta ký hiệu hàm khoảng ƒ bởi ƒ(z) = | f*(x), FY (x)], trong đĩ với mỗi x € IR“, ƒ“(x), ƒŸ (x) là các hàm khoảng và ƒ“(x) < ƒ7 (#)
Dinh ly 2.4 Gid sử ƒ là một hàm khoảng xác định trên Đ" Khi đĩ ƒ liên tục tại c C IR" khi và chỉ khi ƒ” và ƒ” liên tục tại c
Sau đây là khái niệm vi phân yếu
Định nghĩa 2.4 Cho X là một tập mở trong R Hàm khoảng ƒ : X — I véi
ƒ(Œœ) = |ƒ“() fU(œ)| được gọi là khả vi yếu tại x° nếu các hàm giá trị thực ƒ”
và ƒU khả vi theo nghĩa thơng thường tại z°
Định nghĩa 2.5 Ta nhắc lại hàm phân tuyến tính cĩ dạng
cx + a
F(x) = d?x+ B’
trong d6 x = (x1, ,%)? € R", c= (c1, ,¢n)? € R", d = (d, ,dn)’ € R", a
và 8 c R (Cũng cĩ thé xem @ va B € IR như các khoảng [œ, œ] và [B, BỊ Định nghĩa 2.6 Để giải thích ý nghĩa tối ưu hĩa các hàm khoảng ta cần khái
Trang 3328
a’ <b! va a’ < bY Ta cing viét A < B khi va chi khi A < B va A S$ B Nĩi
cach khac, A ~ B khi va chi khi
a’ <b jak<bb la'<
hoặc hoặc
qŨ < pŨ aŨ < bY a’ < bY
2.3.2 Qui hoach phan tuyén tính khoảng
Ta xét bài tốn qui hoạch phân tuyến tính sau đây:
mi n{é ly Lơ angi :Ax=B,x> 0Ì x>0) (2.30) 2
Ta giả thiết c — (C1, €n)" va d = (đi, ,d„)” véi cj,dj €1,j=1, ,n Ký hiệu c," và đ/ là các cận dưới của khoảng c ¡ và d; tương ứng (tức la c’ =
(c1", ,c„") và cũng vậy đ” = (đ\”, ,,d„”), trong đĩ cj” và đ;" là các số thực
với mọi j = l, ,m) Ta cĩ thể định nghĩa cỦ và đŸ theo cách tương tự Cũng
vậy, œ = |œ°, œŸ] và = |B”, B” | Khi đĩ bài tốn (2.30) cĩ thể viết lại thành:
min {7œ) = :Ax=b,x >0}, (2.31)
trong đĩ p(z) và a(z) là các hàm tuyến tính khoảng:
P(x) = [p*(x), pv (x)] = |c”() + œ”,c” (x)+ œ7] và a(x) = |a“(x).4” @)]
= |df(x) + B“,d¥ (x) + BY] Chang han, p“(x) = c’x+ a va q¥ (x) = dỨx+
BP Cuối cùng, từ (2.31) ta cĩ
LU U
|clx+œ!,c7x+œ I} 02.32)
min (f@ ~ [dix + BL,dUx+ BU]
Để thiết lập bài tốn qui hoạch phân tuyến tính khoảng, ta cần xét một loại
bài tốn qui hoạch phân tuyến tính khác như sau:
Trang 3429
trong đĩ ƒ“ và ƒÈ là các hàm phân thức tuyến tính (như ở Định nghĩa 2.5)
Cũng vậy, ta cĩ thể cĩ bài tốn qui hoạch phân tuyến tính khoảng dưới dạng
(2.32):
|c”x + ah, cUx+ ơ” ]
= 2.34
mn (fe) [dx + B4,d¥x+ BY] } <9 Định lý 2.5 Với một số giả thiết nhất định, cĩ thể đưa bất kỳ bài tốn qui hoạch phân tuyến tính khoảng dạng (2.34) về bài tốn qui hoạch phân tuyến tính khoảng dạng (2.33)
Chứng mỉnh Hàm mục tiêu của (2.34) là tỉ số của hai hàm khoảng p(z) và q(x) Dé dua (2.34) vé dang (2.33) ta gia sử rằng 0 ¢ g(z) với mọi điểm x chấp
nhận được, do đĩ ta cĩ 0 < q”{(x) < qŸ(z) hoặc a”(x) < qU(z) < 0 với mỗi điểm chấp nhận được x Theo Định lý 2.1, do mẫu số khác 0 nên ta cĩ thể viết
lại hàm mục tiêu của (2.34) ở dạng
] ]
_ [k LU U
ƒ() = [fCx+œ”,c x+ d”] n+ BU" dln + Bel”
Xét hai trường hợp:
e Trường hợp 1 :0 < 4F(z) < q7(ø) Cĩ hai khả năng: (i) 0 < p*(x) < p” (x) St dung Dinh nghia 2.1 ta cĩ
chx+œP cỦx+ œU
f=] or d’x+ BY’ d’x+B au ar ar: (2.35)
(ii) p“(x) <0 < pỨ(z) Sử dụng Định nghĩa 2.1 ta cĩ
cx+œÈ cUỦx+ d1
ƒŒ)= | 7 d'x+ BY’ d'x+ L? gL B L|: (2.36)
Trang 3530
(i) 0 < p*(x) < p” (x) St dung Dinh nghia 2.1 ta cd
chx+œE cLx-+ œF
f™) =| on d'x+ BY’ d'x+B pr ge acl: (2.37)
(ii) p’(x) <0 < pY (x) Sit dung Dinh nghia 2.1 ta cĩ
cằx+œE chx+al
ƒŒ) = đFx+ ủy BL` đUx+B an sp aul: (2.38)
(Lưu ý rằng trường hợp p(x) < pŸ(z) < 0 cĩ thể dễ dàng suy ra từ các trường hợp đã xét trên đây, bởi vì trường hợp này kéo theo — p”(x) < —pŸ(x) >
0)
Bây giờ theo Định lý 2.2 và các trường hợp đã xét ở trên, hàm mục tiêu ở
(2.32) cĩ thể viết lại như sau
min{ƒf(z) = |ƒ“(z).ƒ”()|:Ax=b,x > 0}, (2.39) trong đĩ hàm mục tiêu là hàm khoảng, và ƒ#“(x), ƒ”(x) là các hàm phân tuyến
tính (tương ứng với các trường hợp (2.35) — (2.38)) Định lý được chứng minh
L]
Cĩ thể giải thích bài tốn cực tiểu (2.39) như sau
Định nghĩa 2.7 Giả sử x* là một nghiệm chấp nhận được của bài tốn (2.39)
Ta nĩi răng x* là một nghiệm khơng bị vượt trội (nondominated solution) của
bài tốn (2.39) nếu khơng tổn tại nghiệm chấp nhận được x sao cho f(x) <
ƒ(x*) Trong trường hợp này ta nĩi rằng ƒ(x*) là giá trị mục tiêu khơng bị vượt
trội (nondominated objective value) của ƒ
Bây giờ ta xét bài tốn tối ưu sau đây tương ứng với bài tốn (2.39)
min{ g(x) = f"(x) + fY (x) : Ax = b,x > 0}, (2.40)
Trang 3631
Định lý 2.6 Nếu x* là một nghiệm tơi ưu của bài tốn (40) thì x* là một nghiệm
khơng bị trội của bài tốn (2.39)
Ví dụ minh họa cách tiếp cận nêu trên được trình bày ở mục sau (Ví dụ 2.2 - Ví dụ 2.4) Ví dụ 2.4 giới thiệu nội dung ứng dụng của bài tốn qui hoạch phân
tuyến tính với hệ số khoảng ở hàm mục tiêu
2.4 Ví dụ minh họa
Để minh họa các thuật tốn đã trình bày ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 2.1 Giải qui hoạch phân tuyến tính với hệ số khoảng ở mục tiêu:
-F P1X1 + pox
min Pot DIX1 T D2X2
*,P,4 q0 + đ1XI + đ2X2
với các điều kiện
(
—2xI +xa € 2,xị +3x¿ < 13,xị +xạ <9,
x1 > 0,x2 > 0,
—3< po <3,-1l<pi <2,1<p2 <4,
|6 <đo 8,1 <Sại <3,—1 <4 <2
Tập ràng buộc X của bài tốn được vẽ ở Hình 2.1
Trước hết ta biến đổi bài tốn này về bài tốn qui hoạch tuyến tính:
,
—3yo — yị + y¿ — min,
, 6yo + y1 — y2 S 1,8yo + 3y + 2y2 > 1,
—2yo — 2y +ya < 0,— lI3yo + yị + 3ya < 0,—9yọ + yị + y2 < 0,
| YO > 0,1 = 0, y2 = 0
Lời giải tơi ưu của bài tốn này là yf = 2/30; yj = 3/5;y5 = 0 với giá trị mục
Trang 3732
pp peepee
Pee ee MB YK QO KO KY {KO Ne eee - | À LQL
Hình 2.1 Tập ràng buộc X của bài tốn ở Ví du 2.1
Từ đĩ suy ra lời giải tối ưu của bài tốn ban đầu là
*% *
1 2
x*=” —=9x*—”
yo* yo* = 0
với cùng gid tri mục tiêu tối ưu ƒ„„ =(—3 -1 «9 x 4) /(6+1x9) =—-12/15= 0,8
Dé kiém chiing cho 10i giai t6i uu trén, lay bat ky pz, gz trong khoang bién thiên đã cho và giải bài tốn, ta sẽ thấy lời giải tối ưu nhận được sẽ khơng tốt hơn lời giải tối ưu đã nhận được Chẳng hạn, xét bài tốn:
—2+xI +3*~¿
man
xeX 84+2x,+X9
với các điều kiện
—2xị +*x¿ < 2,xị +3xa < 13,xị +x¿ <9,
Trang 3833
Dua bài tốn này về qui hoạch tuyến tính tương đương (Charnes - Cooper):
(
—2yo +y1 +3y2 — min, 8y9 + 2y1 +y2 = 1,
—2yo — 2y +ya <S 0,— 13yo + yị + 3ya < 0,—9yọ - yị + y2 < 0,
[Yo 2 0,y1 > 0, y2 > 0
Giải bài tốn tuyến tính này ta nhân được lời giải tối ưu:
Từ đĩ suy ra lời giải tối ưu của bài tốn phân tuyến tính cần giải là
* *
xy = “ =0,x2” = 2, =0
YO 30
Với giá trị mục tiêu tối ưu = (—2+1x0+3x0)/(8+2x0+1x0)=
—0,25 > —0,8
Ví dụ 2.2 Giải bài tốn tối ưu sau đây
min { F(a _ [7x1 +x2, 7x1 +.x2 +3] \
[3x1 + 4x + 12, 3x1 + 4x2 + 36]
X] X2
với điêu kiện
⁄
x1 +x2 <7
Trang 3934
x
(0,0) ~
Hình 2.2 Tập ràng buộc X của bài tốn ở Ví dụ 2.2
Ta thấy
_ TLL U —
p(x) = [p’(x), PY (x)] = [7x1 +2, 71 +2 +3],
a(x) = [q’(x),@” (x)] = [Bx1 + 4x2 + 12, 3x1 + 4x + 36]
Do x,x¿ > 0 nên ta cĩ 0 < 4”(z) < qŸ() và 0 < p”(x) < pŸ(z), do đĩ ta
cĩ thể áp dụng Trường hợp 1(7) nêu trong chứng minh Định lý 2.4 Ta đi đến
bài tốn tối ưu sau đây
7x, +x2 7X, +x2+3
= —> 1
P() lạy, + 4x; +12? 3x1 + 4x +36 ¬
với dữ kiện: xị + xạ < 7;4xị — 9xạ < 3;xị +2x¿ > 1,5;xị > 0,x¿ > 0
Để nhận được một nghiệm khơng bị trội của bài tốn trên, ta áp dụng Định
lý 2.5 và giải qui hoạch phân tuyến tính sau đây
7x1 +x2 7x, +x2+3
3x, +4 +12 3x1 +4004+36 7 8n
Trang 4035
với điều kiện
, xị +32 < 7 4x; —9x2 <3 Xi +2x2 > 1,5 [x1 2 0,x2 2 0
Nghiệm tối ưu của bài tốn là xị* = 0,xị* = 0,75 với giá trị mục tiêu tối ưu:
g(x*) = |0,0192;0, 0962]
Ví dụ 2.3 Xét bài tốn tối ưu sau đây:
7 2)e1 + Bs Tea + sabes + [a4
min = { f(x) = (A,r + (3, Uo + [,2bs + [],1
X] XQ ,X3
với điêu kiện
, Xi +X2—x3 <6 —2x1 + 3x2 +%3 <8 XI xa +xa < 13 |#i >3 0,x¿ > 0,32 > Ư
Theo Định lý 2.4, ta cĩ thể đưa bài tốn về bài tốn tối ưu sau đây