Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)

Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)Bài toán vận tải dạng chi phí nút thắt với nhiều mục tiêu (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THU HUỆ BÀI TỐN VẬN TẢI DẠNG CHI PHÍ NÚT THẮT VỚI NHIỀU MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Danh sách ký hiệu iii Danh sách bảng iv Mở đầu 1 Bài tốn vận tải theo mục tiêu cước phí 1.1 Nội dung tốn tính chất 1.2 Phương án cực biên ban đầu 1.2.1 Phương pháp cước 1.2.2 Phương pháp góc tây bắc 1.3 Điều kiện tối ưu 1.4 Thuật toán vị 1.5 Ví dụ minh họa 11 Bài toán vận tải với hai mục tiêu 14 2.1 Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian 14 2.1.1 Phát biểu toán 14 2.1.2 Thuật toán chắn (Blocking Method) 16 Bài toán vận tải với hai mục tiêu 19 2.2.1 Mô tả toán 19 2.2.2 Tìm nghiệm sở hữu hiệu (MP) 20 2.2 ii Bài toán vận tải với ba mục tiêu 25 3.1 Nội dung toán 25 3.2 Tìm tập nghiệm sở hữu hiệu 29 3.3 Ví dụ minh họa 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Danh sách ký hiệu Trong luận văn ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: x∈D x thuộc tập D x∈D x không thuộc tập D |G(X)| số phần tử tập G ∪ phép hợp tập hợp +∞ dương vô hàm tổng ∆ij gọi ước lượng biến xij τ thời hạn thời gian L danh sách ghi nghiệm hữu hiệu tìm iv Danh sách bảng Bảng 1.1 Bảng vận tải T Bảng 2.1 Dữ liệu tốn ví dụ 2.2 Bảng 2.2 Bảng vận tải theo mục tiêu thời gian Bảng 2.3 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí Bảng 2.4 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 73 Bảng 2.5 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 68 Bảng 2.6 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 66 Bảng 2.7 Các nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải hai mục tiêu Bảng 3.1 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 63 Bảng 3.2 Nghiệm sở hữu hiệu S2 kề S1 Bảng 3.3 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 66 Bảng 3.4 Tập nghiệm sở hữu hiệu tốn Ví dụ 3.1 Mở đầu Bài tốn vận tải theo mục tiêu cước phí (Cost Transportation Problem) toán cổ điển, quen thuộc lý thuyết tối ưu ứng dụng Đó tốn tìm phương án vận chuyển hàng từ nơi cung cấp (gọi điểm phát) đến nơi tiêu thụ (gọi điểm thu) cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ Bài tốn nghiên cứu chi tiết đầy đủ, lý thuyết lẫn phương pháp giải Bài tốn vận tải theo mục tiêu thời gian hay cịn gọi toán vận tải dạng nút thắt (Bottleneck Transportation Problem) dạng khác toán vận tải, có tính đến thời gian tuyến đường có vận chuyển hàng Thay tìm cực tiểu tổng chi phí, mục tiêu hồn thành vận chuyển hàng thời gian sớm Trong toán hàm mục tiêu phi tuyến Nhiều dạng khác toán vận tải theo mục tiêu thời gian đặt nhiều thuật toán giải đề xuất Trong ứng dụng thực tiễn, để đánh giá hiệu hoạt động kinh tế vận tải đề định quản lý có khoa học, người ta cịn gặp mơ hình tốn vận tải với hai hay nhiều hàm mục tiêu Chẳng hạn, toán vận tải cực tiểu chi phí lẫn thời gian vận chuyển, gọi toán vận tải dạng chi phí - nút thắt (Bottleneck - Cost Transportation Problem) toán vận tải dạng nút thắt với nhiều mục tiêu, có hàm mục tiêu phân thức Đã có số phương pháp sử dụng cấu trúc đặc thù tốn tìm nghiệm hữu hiệu toán vận tải hai hay nhiều mục tiêu Sau học Giải tích lồi kiến thức tốn học có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn "Bài tốn vận tải dạng chi phí - nút thắt với nhiều mục tiêu" Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày số mơ hình toán vận tải nhiều hàm mục tiêu thuật tốn tìm nghiệm hữu hiệu tốn Luận văn viết thành ba chương Chương "Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí" trình bày kiến thức toán vận tải theo mục tiêu cước phí: nội dung tính chất nghiệm toán, điều kiện tối ưu thuật toán vị giải toán Chương "Bài toán vận tải với hai mục tiêu" đề cập tới toán vận tải theo mục tiêu thời gian toán vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu cước phí lẫn thời gian vận chuyển trình bày thuật toán giải, nhờ đưa toán vận tải theo mục tiêu cước phí Ý tưởng thuật toán sử dụng phương pháp chắn: cấm vận chuyển hàng tuyến có thời gian vượt mức sau mở rộng dần mức thời gian Chương "Bài toán vận tải với ba mục tiêu" trình bày mơ hình toán vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt, hai mục tiêu đầu tỉ số cước phí vận chuyển thiệt hại vận chuyển với thời gian vận chuyển Bài toán đưa dạng toán ba mục tiêu đơn giản giải thuật tốn tìm nghiệm sở hữu hiệu số toán vận tải hai mục tiêu Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Trần Vũ Thiệu, người tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn giảng viên Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả Vũ Thu Huệ Chương Bài toán vận tải theo mục tiêu cước phí Chương trình bày vắn tắt tốn vận tải theo mục tiêu cước phí, điều kiện tối ưu thuật toán vị giải tốn Cuối chương, nêu ví dụ số minh họa thuật toán giải Nội dung chương cần cho chương sau tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Nội dung tốn tính chất Bài tốn vận tải theo mục tiêu cước phí có nội dung sau: Giả sử có m kho chứa loại hàng (xi măng chẳng hạn) K1 , , Km (gọi điểm phát), kho i = 1, , m có > đơn vị hàng (lượng cung) Cần vận chuyển số hàng tới n hộ tiêu thụ H1 , , Hn (gọi điểm thu), hộ j = 1, , n cần bj > đơn vị hàng (lượng cầu) Cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát Ki tới điểm thu Hj cij ≥ Vấn đề đặt cần vận chuyển từ điểm phát tới điểm thu đơn vị hàng cho thỏa mãn nhu cầu điểm thu tổng chi phí vận chuyển tồn số hàng nhỏ nhất? Ký hiệu xij lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j Khi đó, mơ hình tốn học tốn vận tải theo mục tiêu cước phí có dạng: m n cij xij → (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) f (x) = i=1 j=1 (1.1) với điều kiện n xij = , i = 1, , m (mọi điểm phát giao hết hàng), (1.2) xij = bj , j = 1, , n (mọi điểm thu nhận đủ hàng), (1.3) j=1 m i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (lượng hàng vận chuyển không âm) (1.4) Điều kiện cần đủ để tốn (1.1) - (1.4) giải phải có điều kiện cân cung cầu (nghĩa tổng cung tổng cầu): a1 + a2 + · · · + am = b1 + b2 + · · · + bn (1.5) Ký hiệu A ma trận hệ số vế trái ràng buộc (1.2), (1.3), Aij véctơ cột A tương ứng với biến xij Dễ thấy véctơ có hai thành phần + (ở hàng thứ i hàng thứ m + j ), thành phần khác Định nghĩa 1.1 Ma trận X = {xij }m×n gọi phương án toán vận tải Phương án đạt cực tiểu (1.1) gọi phương án tối ưu hay lời giải toán Phương án X phương án cực biên véctơ cột Aij A tương ứng với biến xij > độc lập tuyến tính (hay tập hợp ô {(i, j) : xij > 0} không chứa chu trình) Một phương án cực biên X = {xij }m×n tốn gọi khơng suy biến số phần tử tập hợp G(X) = {(i, j) : xij > 0} m + n − 1, gọi suy biến |G(X)| < m + n − Với điều kiện (1.5) toán (1.1) - (1.4) có tính chất sau: Tập hợp phương án toán khác rỗng bị chặn (giới nội) Hạng hệ ràng buộc (1.2) - (1.3) m + n − Nếu lượng cung lượng cầu bj số ngun tốn có lời giải ngun (mọi biến xij có giá trị nguyên) 24 Giải toán theo thuật toán vị (xem Mục 1.4), ta nhận phương án tối ưu X ∗ với cước phí vận chuyển nhỏ f ∗ = 381 (Lượng hàng vận chuyển ghi dòng thứ Bảng 2.6) Tóm lại, chương đề cập tới toán vận tải theo mục tiêu thời gian trình bày thuật tốn chắn giải toán, nhờ đưa giải dãy toán vận tải theo mục tiêu cước phí (dùng thuật tốn vị để giải) Sau đó, xét tốn vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu chi phí lẫn thời gian vận chuyển Cuối chương trình bày cách tìm nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải hai mục tiêu với ví dụ tính tốn cụ thể 25 Chương Bài toán vận tải với ba mục tiêu Chương đề cập tới mô hình tốn vận tải dạng nút thắt với ba tiêu chuẩn mục tiêu trình bày thuật tốn tìm tập nghiệm sở hữu hiệu toán Nội dung chương dựa chủ yếu vào tài liệu [6] 3.1 Nội dung tốn Xét mơ hình tốn vận tải ba tiêu chuẩn mục tiêu dạng nút thắt với hai hàm mục tiêu phân thức sau đây: {z1 , z2 , z3 }, (3.1) m n m n cij xij z1 = i=1 j=1 max {tij : xij > 0} dij xij , z2 = i,j với điều kiện i=1 j=1 max {tij : xij > 0} , z3 = max {tij : xij > 0}, i,j i,j n xij = , i = 1, , m, (3.2) xij = bj , j = 1, , n, (3.3) j=1 m i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n m n = i=1 (3.4) bj j=1 (3.5) 26 cij cước vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j , dij thiệt hại (hao hụt chẳng hạn) vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j , tij thời gian từ điểm phát i tới điểm thu j , lượng cung điểm phát i, bj lượng cầu điểm thu j xij biểu thị lượng hàng chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j Ở (3.5) điều kiện cân cung cầu z1 biểu thị chi phí vận chuyển trung bình (tính đơn vị thời gian vận chuyển), z2 thiệt hại trung bình q trình vận chuyển (tính đơn vị thời gian vận chuyển) z3 thời gian vận chuyển phương án X = (xij )m×n Điều kiện (3.2) yêu cầu điểm phát giao hết hàng, điều kiện (3.3) đảm bảo điểm thu nhận đủ hàng điều kiện (3.4) đòi hỏi lượng hàng vận chuyển không âm Các khái niệm nghiệm hữu hiệu (hữu hiệu yếu), nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải với nhiều hàm mục tiêu hiểu theo nghĩa thông thường (tương tự Định nghĩa 2.2 - 2.4) Để giải tốn (3.1) - (3.5) nhằm tìm tập nghiệm sở hữu hiệu, ta đưa toán mơ hình sau m n m {z1 = n dij xij , z3 = max {tij : xij > 0}} cij xij , z2 = i=1 j=1 i,j i=1 j=1 (3.6) với điều kiện n xij = , i = 1, , m, (3.7) xij = bj , j = 1, , n, (3.8) j=1 m i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n m n = i=1 (3.9) bj j=1 Định lý sau nêu quan hệ hai toán (3.1) - (3.5) (3.6) - (3.10) (3.10) 27 Định lý 3.1 Tập nghiệm sở hữu hiệu toán (3.1) - (3.5) (3.6) - (3.10) hoàn toàn trùng Chứng minh Giả sử X = (x1ij )m×n nghiệm sở hữu hiệu toán (3.1) - (3.5) t1 = max {tij : x1ij > 0} Từ định nghĩa nghiệm hữu hiệu i,j cho thấy với nghiệm chấp nhận X = (x2ij )m×n (3.1) - (3.5) t2 = max {tij : x2ij > 0}} bất đẳng thức i,j z1 (X ) < z1 (X ) z2 (X ) ≤ z2 (X ) (3.11) z1 (X ) ≤ z1 (X ) z2 (X ) < z2 (X ) ≤ t2 ≤ t1 , Giả sử X nghiệm hữu hiệu mơ hình (3.6) - (3.10) Lập luận tương tự trước, từ định nghĩa nghiệm hữu hiệu suy tồn nghiệm chấp nhận X (3.6) - (3.10) t2 tương ứng cho bất đẳng thức z1 (X ) t2 < z1 (X ) t1 z2 (X ) t2 ≤ z2 (X ) t1 (3.12) z1 (X ) t2 ≤ z1 (X ) t1 z2 (X ) t2 < z2 (X )t1 ≤ t2 ≤ t1 , Nhân bất đẳng thức (3.12) với t1 đặt k = t1 /t2 ta thấy bất đẳng thức sau kz1 (X ) < z1 (X ) kz2 (X ) ≤ z2 (X ) (3.13) kz1 (X ) ≤ z1 (X ) kz2 (X ) < z2 (X ) ≤ t2 ≤ t1 Rõ ràng k ≥ 1, từ (3.13) suy nghiệm X bất đẳng 28 thức sau z1 (X ) < z1 (X ) z2 (X ) ≤ z2 (X ) (3.14) z1 (X ) ≤ z1 (X ) z2 (X ) < z2 (X ) ≤ t2 ≤ t1 Điều trái với (3.11) Bằng cách tương tự, chứng minh nghiệm sở hữu hiệu (3.6) - (3.10) nghiệm sở hữu hiệu (3.1) - (3.5) Ý tưởng mở rộng cho mơ hình tốn vận tải dạng nút thắt với p (p ≥ 2) hàm mục tiêu phân thức Khi đó, ta có kết luận tìm tập nghiệm sở hữu hiệu toán ban đầu cách tìm tập nghiệm sở hữu hiệu mơ hình đơn giản hơn: m n m c1ij xij , , {z1 = n cpij xij , zp+1 = max {tij : xij > 0}} zp = i=1 j=1 i=1 j=1 i,j (3.15) với điều kiện (3.7) - (3.10) Ở đây, giá trị ckij (k = 1, , p, i = 1, , m, j = 1, , n) giải thích phù hợp với tiêu chuẩn mục tiêu tương ứng Tính đắn kết luận giống Định lý 3.1 mơ hình (3.15), (3.7) - (3.10) chứng minh tương tự Rõ ràng mơ hình (3.6) - (3.10) trường hợp riêng mơ hình (3.15), (3.7) - (3.10) Vì thế, dùng thuật tốn giải mơ hình (3.15), (3.7) - (3.10) để giải mơ hình (3.6) - (3.10) Mục trình bày phương pháp tìm tập nghiệm sở hữu hiệu mơ hình (3.6) - (3.10) 29 3.2 Tìm tập nghiệm sở hữu hiệu Theo Bổ đề 2.1, thời gian vận chuyển tối thiểu phương án toán (3.6) - (3.10) tmin , tmin xác định theo (2.6) Ký hiệu tmax = max {tij : i = 1, , m, j = 1, , n} Có thể thấy tmin ≤ z3 ≤ tmax Ký hiệu t1 , , tq giá trị khác nhau, xếp theo thứ tự tăng dần tij ∈ [tmin , tmax ] với t1 = tmin tq = tmax Thuật toán tìm tập nghiệm sở (tức tập phương án cực biên theo Định nghĩa 2.2) hữu hiệu mơ hình (3.6) - (3.10) thuật toán lặp, gồm số hữu hạn vịng lặp Mỗi vịng tìm tập nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải thu hẹp hai mục tiêu: m n {z1 = m n dij xij } cij xij , z2 = i=1 j=1 (3.16) i=1 j=1 với điều kiện (3.7) - (3.10) điều kiện thu hẹp dạng: xij = với (i, j) mà tij > τ, (3.17) τ giá trị τ ∈ {t1 , t2 , , tq } Do số vịng lặp tối đa q Giả sử tk số nhỏ dãy t1 , t2 , , tq cho hệ điều kiện (3.7) (3.10) (3.17) với τ = tk có nghiệm Như biết (theo Định nghĩa 1.1 Định lý 1.1), nghiệm sở X = (xij )m×n hệ ràng buộc (3.7) - (3.10) tương ứng với tập gồm (m + n − 1) ô bảng vận tải (Bảng 1.1) khơng chứa chu trình Ký hiệu tập ô GX Mỗi nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải thu hẹp (3.16), (3.17) với τ = tk , tk+1 , , tq nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải dạng nút thắt (3.6) - (3.10), với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , τ ) 30 Sau thuật toán thực ý tưởng phương pháp giải vừa mơ tả THUẬT TỐN Bước (Khởi sự): Tính tmin theo (2.6), tmax = max {tij : i = 1, , m, j = 1, , n} Sắp xếp giá trị khác tij ∈ [tmin , tmax ] theo thứ tự tăng dần t1 = tmin < t2 < < tq = tmax Đặt k = Bước Tìm nghiệm sở hữu hiệu ban đầu: Gán τ = tk Lập giải tốn vận tải theo mục tiêu cước phí với ma trận cước phí (các (i, j) với cij = +∞ xem bị cấm) C= c1ij tij ≤ τ (3.18) +∞ tij > τ a Nếu trị tối ưu +∞ quay lai thực Bước với k ← k + b Trái lại, tìm tất lời giải tốn vận tải theo mục tiêu cước phí (nếu tốn có nhiều lời giải) Lời giải có tổng cước phí tính theo C nhỏ nghiệm sở hữu hiệu ban đầu (3.6) - (3.10), ký hiệu S1 Lưu giữ (ghi) S1 vào danh sách L Chuyển sang thực Bước Bước (Tìm nghiệm sở hữu hiệu kề S1 ): Các nghiệm sở hữu hiệu kề S1 tìm cách dùng khơng bị cấm (cij < +∞) phân hàng vào ô (i, j) có ∆ij = tính theo C C Ghi nghiệm hữu hiệu tìm vào danh sách L, trước chưa có L Bước Nếu k = q dừng thuật toán Trái lại, đặt k ← k + Sửa lại C theo (3.18) với τ = tk chuyển sang thực Bước Bước (Khảo sát nghiệm sở hữu hiệu ghi L): Mỗi nghiệm sở hữu hiệu L xem xét để tìm nghiệm sở hữu hiệu ứng 31 với z3 = τ Bằng cách đưa có cij = τ vào sở xét giá trị mục tiêu tương ứng Nếu giá trị không bị vượt trội giá trị mục tiêu nghiệm hữu hiệu ghi L, ta nhận nghiệm sở hữu hiệu Lưu giữ (ghi) nghiệm hữu hiệu vào danh sách L Quay lại thực Bước Tập nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải đa mục tiêu chọn từ tập nghiệm sở ràng buộc vận tải (3.7) - (3.10) Định lý 3.2 Thuật toán nêu cho tập tất nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải đa mục tiêu dạng nút thắt (3.6) - (3.10) Chứng minh Ký hiệu L danh sách nghiệm sở hữu hiệu mơ hình (3.6) - (3.10) tìm cách áp dụng thuật toán nêu Giả thiết tồn nghiệm sở hữu hiệu S khơng tìm thuật tốn S ∈ L Giả sử S tương ứng với thời gian vận chuyển τ = tk với tk thuộc tập {t1 , , tq } Một khảo sát rộng khắp nhánh cố định dẫn tới ghi lại tất nghiệm sở nhánh t Như vậy, tất nghiệm sở tương ứng với thời gian t chứa tập Ta tách từ tập nghiệm sở hữu hiệu tương ứng với thời gian t , ký hiệu Lt Rõ ràng Lt ⊂ L Kết S ∈ Lt S nghiệm sở hữu hiệu tìm thấy theo thuật tốn nêu, cịn S ∈ Lt S khơng phải nghiệm sở khơng nghiệm sở hữu hiệu Vì vậy, S nghiệm sở, S nằm danh sách L định lý chứng minh Sau ví dụ cụ thể minh họa cho thuật tốn trình bày 3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 3.1 Tìm tập nghiệm sở hữu hiệu mơ hình tốn vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt (3.6) - (3.10) với m = điểm phát, n = điểm thu, véctơ cung 32 a, véctơ cầu b, ma trận thời gian T hai ma trận chi phí C C cho sau đây: a = (8 19 17), b = (11    10 95 73 52 1     1 T = , C = 68 66 30 21     37 63 19 23 14 16),    7 4 4        , C = 4 5 10    6 Bước Tính tmin theo (2.6) ta tmin = max {10, 21, 19, 10, 63, 19, 21} = 63 Sắp xếp giá trị khác tij ≥ tmin theo thứ tự tăng dần: t1 = 63, t2 = 66, t3 = 68, t4 = 73, t5 = 95 (q = 5) Đặt k = Bước (Tìm nghiệm sở hữu hiệu ban đầu): Gán τ = tk Bài tốn vận tải theo mục tiêu cước phí với ma trận cước phí C tính theo (3.18), cho Bảng 3.1: Cước phí ghi góc phải dịng thứ hai ô bảng (Đặt cij = +∞ với (i, j) có tij > τ trừ tơ bóng mờ) Giải tốn theo thuật toán vị (xem Mục 1.4), ta nhận nghiệm sở tối ưu S1 với cước phí z1 (S1 ) = 176 (tính theo C ) z2 (S1 ) = 298 (tính theo C ) Lượng hàng vận chuyển ghi dịng thứ Bảng 3.1 Do S1 nghiệm tối ưu nhất, nên S1 nghiệm sở hữu hiệu (3.6) - (3.10) với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , z3 ) = (176, 298, 63) Gán cho S1 mức = lưu giữ (ghi) S1 vào danh sách L (Bảng 3.4) 33 Bước (Tìm nghiệm sở hữu hiệu kề S1 ): Nghiệm sở kề S1 tính cách đưa x14 x34 vào sở Tuy nhiên, có nghiệm kề thứ hai ký hiệu S2 (ghi Bảng 3.2) hữu hiệu, với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , z3 ) = (187, 243, 63) Gán cho S2 mức = lưu giữ (ghi) S2 vào danh sách L Bước Do k = < q = nên ta đặt k ← k + = ← + = Tính lại ma trận C theo (3.18) ta toán vận tải thu hẹp (Bảng 3.3) với ô không bị cấm (2.2) Chuyển sang thực Bước Bước (Khảo sát nghiệm sở hữu hiệu ghi trongL): Để tìm nghiệm sở kề S1 ta đưa x22 vào sở nhận nghiệm sở với giá trị mục 34 tiêu (z1 , z2 , z3 ) = (179, 304, 66), giá trị bị vượt trội giá trị mục tiêu S1 (xem Bảng 3.4), nghiệm khơng hữu hiệu Tiếp theo, đưa x22 vào sở S2 ta nhận nghiệm sở S3 (cho Bảng 3.3), với giá trị mục tiêu (z1 , z2 , z3 ) = (193, 234, 66), giá trị không bị vượt trội giá trị mục tiêu có, S3 nghiệm sở hữu hiệu (3.6) - (3.10) Gán cho S3 mức = lưu giữ S3 vào danh sách L Quay lại thực Bước Tiếp tục thực bước thuật tốn, ta tìm tất 14 nghiệm sở hữu hiệu (3.6) - (3.10) ghi danh sách L (xem Bảng 3.4) 35 Hai nghiệm sở gọi kề tập biến sở chúng khác biến Chẳng hạn, S1 , S2 kề x33 biến sở S1 , x34 biến sở S2 (S1 S2 có chung biến sở lại: x11 , x23 , x24 , x31 x32 ) Tóm lại, chương đề cập tới mơ hình tốn vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt, hai mục tiêu đầu hàm phân tuyến tính Bài tốn đưa dạng toán ba mục tiêu đơn giản giải thuật tốn tìm tập nghiệm hữu hiệu số toán vận tải hai mục tiêu 36 Kết luận Luận văn đề cập tới số mơ hình tốn vận tải nhiều hàm mục tiêu, khái niệm nghiệm hữu hiệu mơ hình theo tối ưu Pareto thuật tốn tìm tập nghiệm sở hữu hiệu tốn Luận văn trình bày số nội dung cụ thể sau: Các kiến thức tốn vận tải theo mục tiêu cước phí: nội dung tính chất nghiệm tốn, điều kiện tối ưu thuật toán vị giải toán Bài toán vận tải theo mục tiêu thời gian toán vận tải với hai mục tiêu: cực tiểu cước phí lẫn thời gian vận chuyển Các thuật toán chắn giải toán, dựa ý tưởng: vận chuyển hàng tuyến có thời gian nhỏ hay mức đó, sau mở rộng dần mức thời gian Bài toán vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt, hai mục tiêu đầu tỉ số cước phí vận chuyển thiệt hại vận chuyển với thời gian vận chuyển Bài toán giải thuật tốn tìm tập nghiệm sở hữu hiệu số tốn vận tải hai mục tiêu Có thể xem luận văn bước đầu tìm hiểu số mơ hình tốn vận tải với nhiều hàm mục tiêu, thuật tốn tiêu biểu xử lý mơ hình khả ứng dụng chúng thức tiễn Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nhiều dạng mơ hình phương pháp giải khác 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2014), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán, NXB Bách Khoa, Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Bazaraa M J., Jarvis J and Sherali H (2010), Linear Programming and Network Flows, fouth edtion Wiley [4] Nikoli´c I (2007), Total time minimizing transportation problem, Yugoslav Journal of Operations Research, 17, pp 125 - 133 [5] Pandian P., Natarajan G (2011), A new method for solving bottleneck - cost transportation problems, International Mathematical Forum, (10), pp 451 460 [6] Tkacenko A I (2006), The generalized algorithm for solving the fractional multiobjective transportation problem, Romai J., (1), pp 197 - 202 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THU HUỆ BÀI TỐN VẬN TẢI DẠNG CHI PHÍ NÚT THẮT VỚI NHIỀU MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu Thái nguyên - 2015 ... giải toán vận tải theo mục tiêu thời gian toán vận tải với hai hay ba mục tiêu 14 Chương Bài toán vận tải với hai mục tiêu Chương đề cập tới toán vận tải theo mục tiêu thời gian toán vận tải với. .. Chương "Bài tốn vận tải với ba mục tiêu" trình bày mơ hình tốn vận tải ba mục tiêu dạng nút thắt, hai mục tiêu đầu tỉ số cước phí vận chuyển thiệt hại vận chuyển với thời gian vận chuyển Bài toán. .. Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 68 Bảng 2.6 Bảng vận tải theo mục tiêu cước phí với τ = 66 Bảng 2.7 Các nghiệm sở hữu hiệu toán vận tải hai mục tiêu Bảng 3.1 Bảng vận tải theo mục tiêu