Phương trình hàm đa ẩn hàm cơ bản

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC TOÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA ẨN HÀM CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Các phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Các phương pháp để giải phương trình hàm 1.2 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp ( xem [6]) 1.3 Phương trình hàm Cauchy phương trình kiểu Cauchy ( xem [6]) 1.3.1 Phương trình hàm Cauchy 1.3.2 Các dạng khác phương trình hàm Cauchy 1.4 Phương trình hàm Jensen mở rộng 1.4.1 Phương trình hàm Jensen toán chuyển đổi đại lượng trung bình 1.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm 1.5 Phương trình hàm D’Alembert mở rộng 1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert 1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm 6 9 14 16 16 19 19 19 19 Lớp phương trình hàm dạng Pexider 22 2.1 Phương trình hàm Pexider 22 2.2 Phương trình hàm Pexider với toán hệ thức lượng tam giác ( xem [4]) 26 2.3 Mở rộng phương trình Pexider ( xem [9]) 30 Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh đẳng thức phi đẳng thức đại số 32 3.1 Phương trình hàm sinh đẳng thức 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1.1 trò 32 37 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 3.2 Phương trình hàm sinh việc thay đổi vai x f (x) 3.1.2 Phương trình hàm sinh đẳng thức Phương trình hàm sinh phi đẳng thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình hàm toán thiếu nghiên cứu hàm số Phương trình hàm toán hay gặp khó kì thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực quốc tế Đã có nhiều tài liệu viết phương trình hàm chưa đủ so với nhu cầu người yêu phương trình hàm Để góp thêm cách nhìn lớp phương trình hàm đa ẩn hàm, chọn đề tài "Phương trình hàm đa ẩn hàm bản" MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phương trình hàm Cauchy thông qua ví dụ cụ thể nhằm củng cố phương pháp kĩ biến đổi toán giải phương trình hàm Góp thêm cách nhìn nhận phương pháp giải lớp phương trình hàm đa ẩn hàm mà trọng tâm phương trình Pexider phương trình hàm sinh đẳng thức-phi đẳng thức đại số Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm việc giải số toán cấp trung học phổ thông bồi dưỡng học sinh giỏi toán ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm sinh đẳng thức phi đẳng thức đại số PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán kỷ yếu hội thảo khoa học chuyên toán từ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn học kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp bạn học viên lớp Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Luận văn hoàn thành định hướng hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong trình học tập làm luận văn, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Khoa Toán Tin, Phòng đào tạo Sau đại học trường ĐHKH-ĐHTN Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn đồng nghiệp lớp Toán K4A trường ĐHKH, Thầy Cô giáo tổ toán Ban giám hiệu trường THPT Tiên Du số Bắc Ninh giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Các phương pháp để giải phương trình hàm Có nhiều phương pháp để giải phương trình hàm Dưới số phương pháp hay sử dụng trình giải phương trình hàm từ đề thi Olympic * Thay giá trị cho biến: Cách thử thay số (chẳng hạn 1), sau số biểu thức mà làm cho phần phương trình trở thành số Ví dụ, f (x + y) xuất phương trình xác định f (0) ta có kết luận tương ứng với y = −x * Quy nạp toán học: Phương pháp sử dụng f (1) để tìm tất f (n) với n ∈ Z, sau tìm f ( ) f (r) với r ∈ Q m * Xem xét tính chất đơn ánh, toàn ánh song ánh hàm số phương trình: Trong nhiều toán tính chất không khó để chứng minh, mấu chốt lời giải toán * Tìm kiếm điểm bất động không điểm hàm: Phương pháp thường hay gặp toán khó Số lượng toán sử dụng phương pháp số lượng toán sử dụng ba phương pháp Ngoài ta cần nắm vững đặc trưng hàm sử dụng phương pháp * Sử dụng phương trình hàm Cauchy phương trình hàm kiểu này: Thường ta cần sử dụng biến đổi số phương pháp giải khác để đưa phương trình hàm ban đầu phương trình hàm Cauchy * Xem xét tính liên tục đơn điệu hàm số: Tính chất liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thường điều kiện thêm tính đơn điệu, thường dùng để đưa toán phương trình hàm Cauchy Nếu vậy, toán giải theo cách khó khăn * Thiết lập mối quan hệ truy hồi (lặp lại): Phương pháp sử dụng phương trình mà miền giá trị bị chặn trường hợp tìm mối liên hệ f (f (n)), f (n) n * Thay hàm số: Phương pháp dùng để đưa phương trình hàm cho trở nên đơn giản Ta ẩn để tạo phương trình hàm hệ phương trình hàm có lời giải đơn giản * Biểu diễn hàm số thành tổng hàm chẵn hàm lẻ Điều hữu ích việc tuyến tính hóa phương trình hàm nhiều hàm số * Xử lý số hệ số 10 Truy nhiên, phương pháp sử dụng miền xác định tập N * Phương pháp hệ số bất định, phương pháp chuyển qua giới hạn, phương pháp sai phân Cuối cùng, ta nhấn mạnh điều quan trọng đoán nhận lời giải Điều giúp ích nhiều việc tìm phép hợp lý Tuy nhiên, cuối lời giải cần kiểm tra lại xem lời giải thỏa mãn điều kiện cho chưa 1.2 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp ( xem [6]) Để định hướng, gợi ý dự đoán công thức nghiệm toán liên quan, xét vài tính chất tiêu biểu số dạng hàm số quen biết ( xem [1]) Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b (a = 0, b = 0) có tính chất f x+y = [f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ R 2 Hàm tuyến tính: f (x) = ax (a = 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm mũ: f (x) = ax (a > 0, a = 1) có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Hàm logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a = 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0} Hàm lượng giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R b) Hàm f (x) = cos x có tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R c) Hàm f (x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R d) Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) − f (x)f (y) (2k + 1)π π π , x = + kπ, y = + kπ (k ∈ Z) 2 e) Hàm f (x) = cot x có tính chất với x, y ∈ R, x + y = f (x + y) = f (x)f (y) − f (x) + f y) với x, y ∈ R, x + y = kπ, x = kπ, y = kπ (k ∈ Z) Hàm lượng giác ngược a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất f (x) + f (y) = f (x − y + y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên − x2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1] http://www.lrc-tnu.edu.vn b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất − x2 g(x) + g(y) = g(xy − − y ), ∀x, y ∈ [−1; 1] c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất h(x) + h(y) = h x+y − xy , ∀x, y : xy = d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất p(x) + p(y) = p xy − , ∀x, y : x + y = x+y Các hàm hyperbolic a) Hàm f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R b) Hàm g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R ex − e−x c) Hàm h(x) = x := x có tính chất e + e−x h(x + y) = d) Hàm q(x) = coth x := q(x + y) = 1.3 1.3.1 h(x) + h(y) , ∀x, y ∈ R + h(x)h(y) ex + e−x có tính chất ex − e−x + q(x)q(y) , ∀x, y : x, y, x + y = q(x) + q(y) Phương trình hàm Cauchy phương trình kiểu Cauchy ( xem [6]) Phương trình hàm Cauchy Phương trình f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) 10 lớp hàm liên tục R gọi phương trình hàm Cauchy Nếu không đòi hỏi hàm f thoả mãn điều kiện (1.1) gọi điều kiện cộng tính f Nếu tập xác định (1.1) Q dễ f (x) = x.f (1) Chứng minh có nhờ quy nạp toán học Tiếp theo, mở rộng miền xác định từ Q đến R Không khó để lời giải phương trình hàm Cauchy trường hợp f (x) = xf (1) Tuy nhiên, ta cần có thêm vào số giả thiết để bắt buộc lời giải mô tả Nghĩa là, hàm số f thỏa mãn điều kiện sau: +) đơn điệu khoảng R; +) liên tục; +) bị chặn khoảng; +) dương với x ≥ +) khả vi (cách làm đơn giản nhiều) lời giải phương trình hàm Cauchy f : R → S f (x) = xf (1) Cụ thể: Bài toán 1.1 Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.2) Giải Từ (1.2) suy f (0) = 0, f (−x) = −f (x), với x = y f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R (1.3) Giả sử k nguyên dương, f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R Khi f ((k + 1)x) = = = = f (kx + x) f (kx) + f (x) kf (x) + f (x) (k + 1)f (x), ∀x ∈ R, ∀k ∈ N Theo nguyên lý quy nạp, ta có f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.4) data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... nhu cầu người yêu phương trình hàm Để góp thêm cách nhìn lớp phương trình hàm đa ẩn hàm, chọn đề tài "Phương trình hàm đa ẩn hàm bản" MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phương trình hàm Cauchy thông... rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm 1.5 Phương trình hàm D’Alembert mở rộng 1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert 1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm. .. nhằm củng cố phương pháp kĩ biến đổi toán giải phương trình hàm Góp thêm cách nhìn nhận phương pháp giải lớp phương trình hàm đa ẩn hàm mà trọng tâm phương trình Pexider phương trình hàm sinh đẳng