CII-Giải tích 11

- Với bài toán đếm số chúng ta chỉ cần gọi số cần đếm dang a1, a2..an sau đó phân tích xem có bao nhiêu cách chọn các số a1, a2..an rồi tổng hợp lại.Chú ý rằng nên dùng các quy tắc hoán

Chuyên đề: Tổ hợp - Xác xuất-Nhị thức Niu-tơn

A Lý thuyết

1.C ác quy tắc đếm

1.1 Quy tắc công:

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo 1 trong k phơng án A1,A2 Ak.Có :

n1 cách thực hiện phơng án A1

n2 cách thực hiện phơng án A2

Khi đó số cách để thực hiện công việc là : T=n1+n2+ +nk

1.2 Quy tắc nhân :

Giả sử một công việc gồm k công đoạn A1,A2 Ak.Có :

n1 cách thực hiện phơng án A1

n2 cách thực hiện phơng án A2

nk cách thực hiện phơng án Ak

Khi đó số cách để thực hiện công việc là:N=n1.n2 nk

2 Chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị

2.1Hoán vị

Cho tập A gồm n phần tử.Số các hoán vị (đổi vị trí) của A ký hiệu là Pn và Pn=n!=n(n-1)(n-2) 1

2.2 Chỉnh hợp

Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k ( 1k n).Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ

tự ta đựoc chỉnh hợp chập k của n phần tử của A Số các chỉnh hợp chập k của A ký hiệu là A n k

)!

(

!

k

n

n

A k

n



 với qui ớc 0!=1và A =1 (0 n0 k n)

2.3 Tổ hợp

Cho tập A gồm n phần tử và ssó nguyên k ( 1k n).Mỗi tập con gồm k phần của A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.Số các tổ hợp

của A ký hiệu là : C và n k

!

k

n

C

n k n k



2.4 Các công thức tính chất của: C n k

Các tính chất dới đây ta ngầm hiểu là các biểu thức tồn tại và có nghĩa

1

1

C  C C 

1

1 1

n

k











H

ớng dẫn chung :Phần lớn các bài tập thuộc phần toán đếm này đều có hai dạng là đếm số và đếm số

phơng án

- Với bài toán đếm số chúng ta chỉ cần gọi số cần đếm dang a1, a2 an sau đó phân tích xem có bao nhiêu cách chọn các số a1, a2 an rồi tổng hợp lại.Chú ý rằng nên dùng các quy tắc hoán vị chỉnh hợp để chọn gộp các số a1,

a2 an để khỏi phải đếm theo qui tắc cộng hay nhân

- Với bài toán đếm số phơng án thì ta phân ra làm các phơng án A1,A2 An theo yêu cầu của đề (để phân không thiếu trờng hợp nên sử dụng biểu đồ cây-mình sẽ nói rõ ở bài học)sau đó đếm số cách thực hiện các

ph-ơng án A1,A2 An.Rồi tổng hợp lại là OK ngay!

- Sự khác biệt giữa số chỉnh hợp và tổ hợp là:tuy cùng là số cách lấy k phần tử tử từ tập A ra nh ng chỉnh hợp thì sắp thứu tự còn tổ hợp thì không.Còn hoán vị thực ra là trờng hợp riêng của chỉnh hợp khi ta đem cả n phần

tử của A ra sắp xếp lại theo thứ tự

- Một số bài tập làm theo phần thuận sẽ khó khăn ta nên làm ngợc lại theo phần bù.Ví nh trong một thùng da hấu và táo có 100 quả ngời ta bắt đếm số quả táo.Do táo nhỏ khó đếm nên ta đếm số da hấu rồi lấy tổng số quả trừ đi là the end ngay thôi

3 Nhị thức niu- tơn

Vụựi hai soỏ thửùc a,b vaứ nN ta coự coõng thửực:

Caực soỏ k

n

c laứ caực heọ soỏ cuỷa nhũ thửực -Soỏ haùng toồng quaựt cuỷa khai trieồn , kớ hieọu coự daùng,Tk 1 Cn n k a bn k k

-Caực heọ soỏ cuỷa nhũ thửực caựch ủeàu hai ủaàu cuỷa sửù khai trieồn thỡ baống nhau: n k k



1

ĐạI Số Tổ hợp 11

-Toồng caực heọ soỏ heọ soỏ cuỷa nhũ tửực naốm ụỷ caực vũ trớ chaỳn,baỳng toồng caực heọ soỏ nhũ thửực ụỷ caực vũ trớ lẻ

và baống 2n1

C  C  C   C  C  C  = 1

2n

C  C x C x    C x   C x

b Bài tập về đại số tổ hợp - Xác xuất-Nhị thức Niu-tơn:

Quy tác cộng, Quy tắc nhân:

1 Một trờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán Thành lập một đoàn gồm hai ngời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn nh trên?

2 Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8

a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?

b Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?

3 Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9?

4 Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau?

5 Từ các sô 0,1,2,3,4,5

a Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5

b có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9?

Hoán vị

1 Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5

a Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?

b Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3?

c Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1

d Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ?

2 Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho:

a Bạn C ngồi chính giữa

b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế?

3 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi

có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau?

4 Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Ngời ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a Các học sinh ngồi tuỳ ý?

b Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn?

5 Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5 Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu

a Năm chữ số 1 xếp kề nhau

b Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý?

Chỉnh hợp

1 Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau?

2 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau??

3 Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau

a Chia hết cho 5

b Không chia hết cho 5?

4 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó

a Số tạo thành là số chẳn?

b Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1?

c nhất thiết phải có mặt chữ số 5??

d Phải có mặt hai số 0 và 1?

5 Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276??

6 Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:

ã

2

x x x

b A x3 5A x2 21x





c A10x A x9  9A8x

Tổ hợp

1 Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu

a Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý?

b Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?

c Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau??

2 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi

có mấy cách chọn?

2

3 Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th và 3 bì th và dán 3 tem th lên 3 bì th đã chọn Mỗi bì th chỉ dán 1 tem Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế?

4 Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ng ời đi dự Hội nghị sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp?

5 Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

6 Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ:

a Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau?

b Có bao nhiêu cách chọn 5 ngời trong đó không quá một nam?

7 Có hai đờng thẳng song song d1 và d2 Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy?

8 Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a Sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu?

b Không có đủ ba màu?

9 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ??

10 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ

Từ 30 câu hỏi đó lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2??

11 Đội TNXK của một trờng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy??

12 Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em, gồm 7học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Cử 8

em đi dự trại hố sao cho mỗi khối cú ớt nhất 1 em được chọn Hỏi cú bao nhiờu cỏch cử như vậy?

13 (ĐH Y-2000)

Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 ngời cần có cả nam

và nữ ,có cả toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách

14 Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy

15 Bill Gate có 5 ngời bạn thân Ông muốn mòi 5 trong số họ đi chơi xa Trong 11 ngời này có 2 ngời không muốn gặp mặt nhau Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời

16 ĐH-CĐ khối B/2004

Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có có thể lập

đợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không

ít hơn 2?

17 ĐH-CĐ khối B/2005

Một đội thanh nien tình nguyện có 15 ngời,gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ

18 Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ các đỉnh của H

19 ***ĐH-CĐ khối B/2002 Cho đa giác đều A1,A2, A2n(nN và n 2) nội tiếp đờng tròn (O).Biết rằng

số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1,A2, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n

đỉnh A1,A2, A2n Tìm n

RúT GọN CáC BIểU THứC

1 Rút gọn các biểu thức sau:



b B=

4 n

A +A

A c C =

2

5

A



d D= 4n+1

n n-k

P

7 17

C



e E=

3

3 5

P A



f F=

2

A - A

5 2

P P

2 Chứng minh :

a

n

n

P = n-1

1

P + n-2

1

P b

A A k A

c P A A Ak 2n+1 2n+3 2n+5 n.k!A5n+5 d Ckn Cn-kn

3

ĐạI Số Tổ hợp 11

PHơng trình liên quan đến công thức tổ hợp:

Giải các PT và BPT sau:

1 C x1  6C x2  6C x2  9x1  14x 2 P2x2-P3 .x=8 3 2A +50=A , x N2x 22x 



C +C +C = x

2 6

2

3

=

x x x x

P A 72 6(A 2P ) 11

x x x

5 6 7

1 2 14

n 1 n 2 n 3 n 4

C 2C 2C C 149 13 C1x 6C2x 6C3x 9x2 14x

14 C23n  20C n2 15  

x x x

4 5 6

C ;C ;C  theo thứ tự lập

thành một cấp số cộng 17 Giải phơng trình

6

1 )!

1 (

)!

1 (

!









x

x x

với x là số tự nhiên khác 0

2

x A

1 2





n n

n

n

P P

P

P

21









x 3

x 1 4

x 1 3

22

5

2 2 3

2 x x x

25 Giải hệ: 









80 2

5

90 5

2

y y

y y

C A

C A

26

1











27











C : C : C 5 : 5 : 3 29 4n 1 3n 1 5 2n 2

4





Các bài toán tổng hợp:

1 Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1,2, ,6 Trong đó 1 và 6 có mặt 2 lần, các số còn lại 1 lần

2 Có bao nhiêu số chẳn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đàu tiên là số lẻ

3 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẳn và 3 chữ số lẻ

4 Có baonhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt số 0 nhng không có mặt số 1

5 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ sô biết rằng sô 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại không quá một lần?

6.Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trờn đường thẳng d1 lấy 10 điểm phõn biệt, trờn đường thẳng d2 cú

n điểm phõn biệt (n>1) Biết rằng cú 2800 tam giỏc cú đỉnh là cỏc điểm đó cho Tỡm n

7.Từ cỏc chữ số 0,1,2,3,4,5,6, cú thể lõp bao nhiờu số chẳn, mỗi số cú 5 chữ số khỏc nhau trong đo cú đỳng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đú đứng cạnh nhau?

8 Từ cỏc số 0,1,2,3,4 cú thể lập baonhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau? Tớnh tổng tất cả cỏc số tự nhiờn đú

9.Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 5 chữ số sao cho: Chữ số 0 cú mặt hai lần, số 1 cú mặt 1 lần, 2 số cũn lại phõn biệt

10 Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú bốn chữ số sao cho khụng cú chữ số nào lặp lại 3 lần

11 Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 7 chữ số sao cho: Số 2 cú mặt 2lần, số 3 cú mặt 3 lần, cỏc số cũn lại khụng quỏ một lần

12 Cho đa giỏc đều A1, A2, A2n nội tiếp đường trũn tõm O, biết rằng số tam giỏc cú cỏc đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, A2n gấp 20 lần số hỡnh chữ nhật cú đỉnh là 4 trong 2n điểm.Tỡm n

13 Từ cỏc số 1,2, ,6 Lập bao nhiờu số cú 3 chữ số khỏc nhau và chia hết cho 3

14 Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẳn gồm 5 chữ số khỏc nhau và khụng bắt đầu bằng 123

Nhị thức Newton

I áp dụng công thức khai triển

1 Tìm hệ số của số hạng thứ t trong khai triển

10

1















x x

4

2 Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển

40 2

1















x x

3 Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển:  7

3 x2 x

4 Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau: a

12

3

3 











x

4















x x

5 Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (2x-3y)25

6 Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển

10 3 5

1













x

7 trong khai triển

21 3 3



















a

b b

a

tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau?

x 2 a a x a x  a x a/ Tính hệ số a97

b/ S a 0a1a2 a100

c/ Tính tổng S a 12a2  100a 100

1 x x  a a x a x  a x

b/ Chứng minh rằng a0 2a14a2 2 4008a4008 chia hết cho 2401

1 2x a a x a x  a x Tìm max a ;a ; ;a 1 2 12

11 Tìm hệ số khai triển của x8trong khai triển của nhị thức 1 x (1 x) 2  8

12 Tìm hệ số khai triển của x7trong khai triển của nhị thức 2 3x 2n Trong đó n là số nguyên dơng thoả mãn: C12n 1 C32n 1 C52n 1 C2n 12n 1 1024

13 Cho khai triển nhị thức x2 1nx 2 n và a3n 3 là hệ số của x3n 3  Tìm n để a3n 3 26n

1 x a a x a x  a x Biết rằng tồn tại số k nguyên

1 k n 1    sao cho ak 1 ak ak 1

15 Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển

10 3 5

1

x x



II Khai triển với giả thiết có điều kiện

1/ Biết khai triển

n

x











 1

2 Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, 2, 3 là 46 Tìm số hạng không chứa x?













n

x

chứa x4.

n n n n

n n

n

n

C x

C x

C x

3

1 ) 1 (

3

1 3





















triểnlà 5 Tìm số hạng chính giữa??

x C x

C x

x 2 ) ( ) ( 2 )

2 3







5/ Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển

n

x

x 









3

1



n

n

6/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2-3x)n trong đó n thoả mãn hệ thức sau

1024 2 1

1 2

3 1 2

1

1

C

5

ĐạI Số Tổ hợp 11

2

4 2

2

C

8/ Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển

n

x

x 









 7

4

1 2 2 1 20

1 2

3 1 2

2 1 2

1

1

9/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 khi khai triển (2+x)n biết

2048 )

1 (

3 3











n

C C  C  

Trong khai trieồn nhũ thửực

28

n

x x x





haừy tỡm soỏ haùng khoõng phuù thuoọc vaứo x

11/Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x26trong khai trieồn nhũ thửực Niutụn cuỷa 7

4

x x



2n1 2n1  2n n12 1

12/.Tỡm heọ soỏ cuỷa x4trong khai trieồn bieồu thửực A 1 x 3x2nthaứnh ủa thửực Trong ủoự n laứ soỏ nguyeõn

2 C C C  C n 3A n

13/ Tỡm heọ soỏ cuỷa soỏ haùng chửựa x10 trong khai trieồn nhũ Niu tụn cuỷa (2+x)n bieỏt:

 

14 Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newton của

n 5 3

1 x x



, biết rằng Cn 1n 4 Cnn 3 7(n 3)

15 Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức

3n 2

1 2nx 2nx



bằng 64 Tìm hạng tử không chứa x

16 Tìm các giá trị của x   sao cho trong khai triển của

m x

x 1

1 2

2 



tổng các hạng tử thứ 3 và thứ 5 là

135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22

17 Cho khai triển :

m

3

2

4.2 2





gọi T ,T3 5 là các hạng tử thứ 3 và thứ 5 của khai triển và C ;C3m 1m là các hệ số của hạng tử thứ t và thứ hai







III Chứng minh hoặc tính tổng biểu thức tổ hợp:

1/ Khai triển (3x-1)16 Từ đó chứng minh

16 16 16

1 16 15 0

16

2/ Chứng minh:

a C n0 C n1 C n2  C n n  2n b C n C n C n n C n C n C2n n

2

2 2

0 2 1 2 2

3 2

1

2        

(C ) + (C ) + + (C ) = C d n(n - 1)2n-2 = n(n -1)C + (n -1)(n - 2)C + + 2C0n 1n n-2n 3/ Chứng minh rằng:

n n n n n

n n

3

1

3

1 3

1

3 1 0



















4/ Tính tổng

a A = C + 2C + 2 C + + 2 C b 0n 1n 2 2n n nn B = 3 C - 4 3 C + 4 3 C - 4 3 C + - 4 C17 170 1 16 117 2 15 172 3 14 317 17 1717

6

e 0 1 n-1

E = nC + (n -1)C + + C f S= C n C n C2n n

2

2 2

0

2    g S = C12n C23n  C22n n1

H = 1- 2C + 2 C - 2 C + + (-1) 2 C k n 0 n-2 2 n-4 4 n

K = 2 C + 2 C + 2 C + + C

5/ Chứng minh rằng:

a C20040 C20042  C20042004  21002

b

2

1 3 2

2

2004 2004 4

2004 4 2 2004 2 0

2004









C

C  2C  3C  2006C   2 2007

           

1 2 2 3 3 4 n 2 n 1

2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1

7/Chửựng minh raống: 2n 2n  2n 2, 0,

C  C   C  k n

n





C  C    nC 

4



IV Khai triển nhiều hạng tử:

1/ Tìm hệ số của x6 trong khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức

2/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1+2x+3x2)10

3/ Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển

P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+ +15(1+x)15

4/ Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5 + x2(1+3x)10

5/.Tỡm số hạng khụng chứa x khi khai triển P(x) =

9 2

1 2















x x

6/.Tỡm hệ số của số hạng chứa 31

x khi khai triển P(x) =

7

1 2















x x

V Sử dụng đạo hàm hoặc tích phân

1/ Chúng minh hệ thức sau









C

b

1

1 2 1

1

3

1 2

2 1

0



















n

C n C

C

n n

n n

2/ Tính tổng

a S =C141  2C142 3C143   14C1414

b S = C20080  2C20081  3C20082   2009C20082008

3/ Chứng minh rằng

1 2

1 2 2

1

6

1 4

1 2

1 2 2

5 2

3 2

1 2













n

C n C

C C

n n

n n

n n

4/ Tìm n nguyên dơng sao cho:

2007

2 ).

1 2 (

2 4 2

3 2

.

1 2 2 4

1 2 3 3

1 2 2 2

1 2

1

1

C

n

n n

n

n C

C C

1

1 2

3

1 2 2

1

2 3 1 2 0



















n n



8/ Xaực ủũnh soỏ lụựn nhaỏt trong caực soỏ: 0, 1, 2, , k, , n

7

§¹I Sè Tæ hîp 11

10 CMR: n.4 Cn 1 0n n 1 4 C 1 n 2 1n  n 1 Cn 1n C1n 4C n.2 C2n n 1 nn

2 n

0

12

1

2 0

a I x x dx b/ CMR : 1C -0n 1C + C + + (-1)1n 1 2n n 1 C =nn 1

8