SKKN tổng hợp một số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp khi tính tích phân

Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Học sinh địa bàn xã Nam yang đa phần em nông thôn, Cha(Mẹ) điều kiện chăm lo cho học hành Ngoài đến lớp em phải giúp đỡ Cha(Mẹ) công việc gia đình đồng áng, nhiều thời gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập học sinh yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết em sợ học môn Toán Là giáo viên dạy Toán, thông cảm với em trăn trở trước thực tế Bởi trình giảng dạy học hỏi đồng nghiệp tìm tòi phương pháp thích hợp để giúp em học sinh yêu thích học tốt môn Toán Trong đề thi tốt nghiệp THPT năm toán tính Tích Phân thiếu, học sinh toán lại toán tương đối khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: Tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm em SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -1 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Để nâng cao hiệu việc rèn luyện kỹ giải toán tích phân cho học sinh chọn đề tài “Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân” MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2.1 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Tích phân Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi sau đây: - Những tình điển hình thường gặp trình giải vấn đề liên quan đến tích phân? - Trong trình giải vấn đề liên quan đến tính tích phân, học sinh thường gặp khó khăn sai lầm nào? - Những biện pháp sư phạm sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ giải vấn đề liên quan đến tích phân? - Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi hiệu PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -2 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy toán, tài liệu tâm lý học, giáo dục học, công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài số tác giả, sách tham khảo Để điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu số liệu thông qua giáo viên toán trường phổ thông, qua kiểm tra học sinh trung học phổ thông Lê Hồng Phong Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm số tiết trường trung học phổ thông Lê Hồng Phong GIỚI HẠN, PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Đề tài áp dụng rộng rãi cho tất giáo viên dạy toán trường Trung Học Phổ Thông tham khảo - Phạm vi nghiên cứu đề tài : Các dạng toán tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm phổ biến thường gặp tính tích phân SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -3 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân PHẦN II NỘI DUNG Những quan niệm chung Dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: “ sai đến gần đến khái niệm đúng”, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh Biện pháp, giải pháp thay Bài tập minh hoạ: Dạng 1: Tính tích phân I = ∫ ( x + 1) dx −2 * Sai lầm thường gặp: Đặt u = ( x + 1) ⇒ du = ( x + 1) dx Với x = -2 u = ; ⇒ dx = du du = ( x + 1) u x = u = 1 udu = ∫ udu = Do ∫ ( x + 1) dx = ∫ 21 u −2 * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số u = ( x + 1) hàm số đơn điệu [-2; 0] nên đổi biến, đổi cận lời giải Nếu muốn đổi biến phải viết tích phân cần tính thành tổng hai tích phân mà u = ( x + 1) đơn điệu Lời giải sai lầm viết dx = du du = , từ ( x + 1) u u = ( x + 1) suy x + = u , điều viết x ≥ −1 SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -4 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân * Lời giải là: ∫ ( x + 1) I= dx = −2 Xét I1 = −1 ∫ ( x + 1) −2 −1 ∫ ( x + 1) −2 dx + ∫ ( x + 1) dx −1 dx , đặt u = ( x + 1) ⇒ du = ( x + 1) dx , x ∈ [ −2; −1] nên x + ≤ Vậy x + = − u ⇒ dx = du −2 u Với x = -2 u = 1; x= -1 u = 0 udu u u =∫ du = u Do I1 = − ∫ = 0 Xét I = ∫ ( x + 1) dx , đặt u = ( x + 1) −1 Với x ≥ −1 nên dx = du u Đổi cận tích phân: x= -1 ⇒ u = udu u u = ∫ du = u Do I = ∫ x = ⇒ u =1 ; = Suy I = I1 + I = * Bài toán giải đơn giản sau: ∫ ( x + 1) −2 dx = ∫ ( x + 1) −2 d ( x + 1) ( x + 1) = 3 −2 −1 = − = 3 SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -5 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: −1 1/ ∫ ( − 2x ) dx ; −3 2/ ∫ x − 1dx ; 3/ Dạng 2: Tính tích phân Câu a a) dx ∫−1 x2 ∫( x − 2x) ; b) dx ∫ (x + 1) −2 ( x − 1) dx dx ∫−1 x 2 * Sai lầm thường gặp: 2 dx x −1 −1 −3 −2 ∫−1 x = −∫1 x dx = −1 = − = −1 * Nguyên nhân sai lầm: Hàm số y = gián đoạn x = ∈ [ −1;2] nên không sử dụng x2 định lí Newton – Leibnitz để tính tích phân * Lời giải là: Vì hàm số y = không xác định x = ∈ [ −1;2] nên tích phân x2 không tồn Câu b dx ∫ (x + 1) −2 * Sai lầm thường gặp: dx ∫− (x + 1) = 2 d ( x + 1) −1 −4 = − = − = ∫ ( x + 1)2 x + −2 3 −2 * Nguyên nhân sai lầm : SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -6 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1∈ [ −2 ; 2] suy hàm số không liên tục [ −2 ; 2] nên không sử dụng công thức Newtơn – Leibnitz cách giải * Lời giải là: Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ −2 ; 2] suy hàm số không liên tục [ −2 ; 2] tích phân không tồn * Chú ý học sinh: b Khi tính ∫ f ( x)dx cần ý xem hàm số y = f(x) có liên tục [ a; b] a không? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: dx 1/ ∫ ( x − 3)2 ; 2/ ∫ x( x − 1) dx ; −2 π Dạng : Tính tích phân I = π 3/ ∫ 14 dx cos x ; 4/ ∫ dx 4− x − x dx ∫ + sin x * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan ⇒ 2dt x dx = 1+ t2 2dt dx −2 = ∫ ∫ + sin x (1 + t ) = ∫ 2(t + 1) d(t+1) = +c t +1 SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -7 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân π π dx ⇒ I= ∫ = + sin x Vì tan −2 −2 π = + x tan + tan + tan + 2 π không xác định nên tích phân cần tính không xác định * Nguyên nhân sai lầm: Đây sai lầm nhiều học sinh hay dùng công thức lượng giác để x biểu diễn sinx, cosx, tanx, cotx qua tan Việc tan x không xác định suy tích phân cho không tính phương pháp * Lời giải là: x π d π  − ÷ π dx 4 x π dx  =∫ = t an  − ÷ I= ∫ =∫ x π + sin x   2 0 x x   0 cos  − ÷  sin + cos ÷ 2 4 2  π = tan π  −π − tan   π  ÷=  * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [ a; b] *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π dx 1/ ∫ sin x π dx + cos x 2/ ∫ ; 2π Dạng 4: Tính tích phân a ∫ x − 6x + dx ; b ∫ + sin xdx SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -8 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Câu a ∫ x − 6x + dx * Sai lầm thường gặp: ∫ I= x − 6x + dx =∫ ( x − 3) dx = ∫ ( x − 3) d ( x − 3) ( x − 3) = 2 = − = −4 2 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi ( x − 3) = x − với x ∈ [ ; 4] không tương đương * Lời giải là: I= ∫ x − 6x + dx 4 0 = ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3) =- ( x − 3) 2 2π Câu b ∫ ( x − 3) + 2 = + =5 2 + sin xdx * Sai lầm thường gặp: 2π Ta có ∫ 2π + sin xdx = 2π ∫ 2π x x x x    sin + cos ÷ dx = ∫  s in + cos ÷dx 2 2   2π x x  x x x   = ∫  sin + cos ÷d  ÷ =  − cos + sin ÷ = 2(1 + 1) = 2 2 20   SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -9 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân * Nguyên nhân sai lầm : Sai lầm biễn đổi biểu thức x x x x   sin + cos ÷ = sin + cos 2 2  * Lời giải là: 2π ∫ + sin xdx = 2π x x ∫ sin + cos dx 3π =2 ∫ 2π x π  x π  x π x π sin  + ÷ d  + ÷+2 ∫ sin  + ÷ d  + ÷ 2 4 2 4 2 4 2 4 3π 3π 2π x π x π x π x π = 2 ∫ sin  + ÷d  + ÷− 2 ∫ sin  + ÷d  + ÷ 2 4 2 4 2 4 2 4 3π 3π 2π x π x π = − 2 cos  + ÷ + 2 cos  + ÷ 2 0   3π =2 +2−2+2 =4 * Chú ý học sinh: 2n ( f ( x ) ) 2n b I= ( n ≥ 1, n ∈ N ) = f ( x) ∫ ( f ( x) ) 2n 2n a b = ∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f(x) [ a; b] dùng tính a chất tích phân tách I thành tổng tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập tương tự: π 1/ I = ∫ − sin 2x dx π ; 2/ I = ∫ + cos 2x dx SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -10 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân π ∫ 3/ I = x − x + 0,25 dx ; 4/ I = ∫ tan x + cot x − dx π 0 Dạng 5: Tính I = ∫x −1 dx + 2x + * Sai lầm thường gặp: I= d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −1 +1 = arctan ( x + 1) −1 = arctan1 − arctan = π * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctanx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant ⇒ dx = ( + tan t ) dt với x=-1 t = ; x = t = Khi I = π ∫ ( + tan t ) dt = tan t + π π π ∫ dt = t = 0 π * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx, arccosx, arctanx arccotx không trình bày sách giáo khoa thời Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -11 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Còn tích phân với biểu thức dấu tích phân có chứa x − a ( đặt x = a − x ( đặt x = asint) 2 2 k a ) ( a + x ) cos t ( đặt x =atant) *Một số tập tương tự: 1/ I = ∫ 16 − x dx ; 3/ I = ∫ 3 dx ; x x2 − Dạng 6: Tính 2x + 2x + dx 2/ I = ∫ x2 +1 x3 ∫ − x2 4/ I = ∫ −1 dx (1+ x ) dx * Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint dx = costdt Đổi cận: với x = t = ; x= t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm xác t = ? * Lời giải : Đặt t = − x ⇒ dt = −x − x2 dx ⇒ tdt = − xdx SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -12 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa t = Đổi cận: với x = t = 1; x = Vậy ∫ x − x2 dx = − 15 ∫ Giáo viên: Bùi Thanh Ngân 15   ( − t ) dt = −  t − t3 ÷  1 15 = 33 15 − 192 * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x2 đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp không phải nghĩ đến phương pháp khác *Một số tập tương tự: 1/ Tính I = ∫ x3 + x2 dx ; 2/ Tính I = ∫ xdx x2 x2 + SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -13 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Kết nghiên cứu 3.1 Nội dung Thực nghiệm tiến hành trường THPT Lê Hồng Phong Tôi chọn lớp 12A3 lớp thực nghiệm, lớp 12A4 lớp đối chứng Trình độ chung môn toán hai lớp tương đương Giáo viên dạy thực nghiệm giáo viên dạy đối chứng Thực nghiệm tiến hành tiết ( lý thuyết tập tích phân) Sau dạy thực nghiệm từ gợi ý nêu tổng hợp ví dụ mà học sinh thường mắc phải sai lầm, cho học sinh làm kiểm tra Nội dung sau: ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Tính tích phân sau dx 1/ ∫ x −1 π 3/ ∫0 cos4 xdx 2/ ∫ x( x −2 4/ ∫ 2 − 1) dx dx 4− x − x 3.2 Đánh giá kết SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -14 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Qua thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu tốt kiến thức trang bị Học sinh học tập cách tích cực , chủ động hơn, khó khăn sai lầm mắc phải giảm nhiều Qua tiết kiểm tra cho thấy học sinh tích cực suy nghĩ làm độc lập, từ đạt kết cao Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng thể qua bảng thống kê sau: Điểm 10 TN( 12A3) 40 hs 0 0 4 10 ĐC(12A4) 40 hs 6 Lớp * Lớp thực nghiệm 12A3 có: 95% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; có 75% học sinh đạt điểm khá, giỏi * Lớp đối chứng 12A4 có: 57,5% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; có 35% học sinh đạt điểm khá, giỏi SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -15 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân PHẦN III KẾT LUẬN Đề tài thu số kết sau đây: * Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ * Thống kê số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân * Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến tính tích phân * Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến tích phân * Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân trường THPT với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn toàn diện toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung Vấn đề thấy học sinh khá, giỏi hứng thú giáo viên nêu sai lầm mà học sinh chưa nghĩ đến SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -16 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân Trong toán học, nhiều dạng toán mà học sinh hay mắc sai lầm giải Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày vấn đề năm học Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc phải giải toán để em tránh sai lầm làm tập Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết không tránh khỏi sai sót Vì vậy, mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học trường THPT Lê Hồng Phong Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo Gia lai quý Thầy (Cô)./ Người thực Bùi Thanh Ngân SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -17 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 ( bản),NXB Giáo dục 2008 Bài tập Giải tích 12 ( bản), NXB Giáo dục 2008 Sai lầm phổ biến giải toán , NXB Giáo dục 2003 Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, NXB Hà Nội 2004 Toán học suy luận có lý, PôlyaG, NXB Giáo dục 1995 Phương pháp giải toán Tích phân Quy nạp Tổ hợp, Nguyễn Đức Hồng, Lê Hoàn Hóa, Võ Khắc Thường, Lê Quang Tuấn, Nguyễn Văn Vĩnh, NXB Trẻ 1999 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, Nguyễn Văn Mau, NXB giáo dục 2005 SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -18 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân MỤC LỤC ĐỀ MỤC Trang PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giới hạn, Phạm vi nghiên cứu đề tài PHẦN II NỘI DUNG Những quan niệm chung Biện pháp , giải pháp thay Kết nghiên cứu 14 PHẦN III KẾT LUẬN 16 TAI LIỆU THAM KHẢO 18 MỤC LỤC 19 SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -19 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân SKKN:Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -20 - ... cứu đề tài : Các dạng toán tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm phổ biến thường gặp tính tích phân SKKN: Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -3 - Trường THPT Lê Hồng... SKKN: Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân -19 - Trường THPT Lê Hồng Phong - Đakđoa Giáo viên: Bùi Thanh Ngân SKKN: Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính. .. giải toán tích phân cho học sinh chọn đề tài Tổng hợp số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp tính tích phân MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2.1 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc