11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 3 11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN Bài 1. Tính tích phân 4 2 0 1I x dx . Lời giải sai: Đặt sin cosx t dx tdt . 4 4 4 22 0 0 0 1 cos2 1 1 sin .cos cos 2 8 4 t I t tdx tdt . Lý do sai: Đổi biến số nhưng không đổi cận. Lời giải đúng: sin cosx t dx tdt . Khi arcsin 44 00 xt xt . arcsin arcsin arcsin 4 4 4 22 0 0 0 1 cos2 1 sin .cos cos 2 t I t tdx tdt 11 arcsin sin 2arcsin 2 4 4 4 . Bài 2. Tính tích phân 1 5 0 21 dx I x . Lời giải sai: Đặt 21tx . Khi 13 01 xt xt . 3 3 4 54 1 1 1 1 20 1 4 4 81 3 dt t I t . Lý do sai: Đổi biến không tính vi phân. Lời giải đúng: Đặt 2 1 2t x dt dx . 13 01 xt xt . 3 3 4 54 1 1 1 1 10 1 8 8 81 23 dt t I t . Bài 3. Tính tích phân 2 0 x I xe dx . 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 4 Lời giải sai: Đặt '1 ' xx u x u v e v e . 2 2 2 0 0 1 xx I xe e dx e . Lý do sai: Hiểu sai bản chất công thức từng phần. Lời giải đúng: Đặt xx u x du dx dv e dx v e . 2 2 2 0 0 1 xx I xe e dx e . Bài 4. Cho nN ; chứng minh 2 0 sin sin 0I x nx dx . Lời giải sai: Xét hàm số sin sinf x x x nx trên 0; 2 . Ta có fx là hàm liên tục trên 0; 2 và sin sinf x x nx f x . Vậy fx là hàm lẻ, suy ra 0I . Lý do sai: Học sinh hiểu sai về định lý “Nếu hàm số fx là hàm lẻ, liên tục trên ;aa thì 0 a a f x dx ”. Lời giải đúng: Đặt x y dx dy . 2 0 sin sin sin sinI x nx dx y ny n dy 1 sin sin n ny y dy . Mặt khác ta có: sin sing y ny y xác định trên ; là hàm liên tục và sin sin sin sing y ny y ny y g y . Suy ra gy là hàm lẻ. Vậy 0I . Bài 5. Cho hàm số f liên tục trên 0; ; hãy so sánh 0 sinI xf x dx và 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 5 0 sinJ f x dx . Lời giải sai: Đặt sin cos u x du dx dv f x dx v f x . 0 0 cos cosI xf x f x dx . Do f liên tục trên 0; , suy ra 0 cos 0 0 cosf f I f x dx (1). Mà 0 sin 2 J f x dx (2). Từ (1) và (2) ta có IJ . Lý do sai: Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân. Lời giải đúng: Đặt x t dx dt . 0 00 sin sin sinI t f t dt f x dx xf x dx 00 2 sin sin 2 I f x dx I f x dx . Vậy ta có IJ . Bài 6. Cho hàm số f liên tục trên ;ab ; chứng minh tồn tại ít nhất một điểm ;C a b sao cho cb ac f x f c dx f c f x dx . Lời giải sai: Do f liên tục trên ;ab , suy ra f x f c trên ,ac bằng f x f c trên ,bc , vậy ta có cb c b ac f x f c dx f x f c dx f c f x dx . Lý do sai: Không hiểu về hàm liên tục nên tính tích phân sai. Lời giải đúng: Áp dụng định lý về giá trị trung bình của tích phân, suy ra tồn tại ít nhất một điểm ;C a b sao cho bb aa f x dx f c b a f c dx Suy ra 0 b c b a a c f x f c dx f x f c dx f x f c dx . 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 6 Hay ta có cb ac f x f c dx f c f x dx (đpcm). Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 0; 1; 4 9 y x x yx . Lời giải sai: Diện tích hình phẳng là: 4 4 22 1 1 1 9 9 7 3 S x dx x x . Lý do sai: Áp dụng sai công thức, không ghi “đvdt – đơn vị diện tích”. Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là: 3 3 4 2 2 2 1 1 3 9 9 9S x dx x dx x dx 34 33 13 1 1 65 38 9 9 9 3 3 2 3 x x x x (đvdt). Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 0; 1 1; 0 yy y x x . Lời giải sai: 2 11y x y x 01yx ; 12yx . Diện tích hình phẳng là: 2 2 3 2 1 1 22 11 33 S x dx x (đvdt). Lý do sai: Xác định sai hình cần tính diện tích. Lời giải đúng: Diện tích hình giới hạn là: 12 S S S Ta có 2 1 11S (đvdt). 2 2 3 2 2 1 1 21 1 1 1 33 S x dx x x 14 1 33 S (đvdt). 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 7 Bài 9. Tính diện tích hình giới hạn bởi 2 1 2 2 21 69 35 ; 22 y x x C y x x C xx . Lời giải sai: 12 2;1CC . Vậy diện tích của hình giới hạn là: 5 2 2 22 3 2 2 13S x dx x dx 5 2 2 33 3 2 2 11 13 33 xx 1 1 1 1 7 3 24 24 3 12 (đvdt). Lý do sai: Xác định sai hình cần tính giới hạn. Lời giải đúng: 12 2;1CC . Diện tích hình giới hạn là: 12 S S S . 2 22 1 3 2 31S x x dx 2 2 2 3 2 3 2 1 4 8 2 8 2 x dx x x 5 2 22 2 2 13S x x dx 5 5 2 2 2 2 2 1 4 8 2 8 2 x dx x x 12 11 1 22 S S S (đvdt). Bài 10. Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn 2 22 x y b a ;( 0 ab ) quay quanh trục Ox . Lời giải sai: Phương trình đường tròn 2 22 :C x y b a hay 2 22 y b a x 22 1 22 2 y b a x C y b a x C ( xa ). 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 8 Vậy thể tích của hình xuyến là: 22 2 2 2 2 2 2 a a V b a x b a x dx a b (đvtt). Lý do sai: Sai công thức tính thể tích: 22 12 b a V y y dx mà là 22 2 b a a V y y dx . Lời giải đúng: 22 2 2 2 2 2 2 a a V b a x b a x dx a b . Bài 11. Tính thể tích hình giới hạn bởi 2 1 2 yx x x . Lời giải sai: 2 2 5 4 1 1 31 55 x V x dx (đvtt). Lý do sai: Đã sử dụng công thức 2 b a V y dx . Lời giải đúng: 2 2 1 15 2. 2 V x x dx (đvtt). . 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 3 11 SAI LẦM KHI TÍNH TÍCH PHÂN Bài 1. Tính tích phân 4 2 0 1I x dx . Lời giải sai: Đặt sin cosx t dx tdt . 4 4 4 22 0. Bài 3. Tính tích phân 2 0 x I xe dx . 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 4 Lời giải sai: Đặt '1 ' xx u x u v e v e . 2 2 2 0 0 1 xx I xe e dx e . Lý do sai: Hiểu sai bản chất. a x C ( xa ). 11 Sai Lầm Khi Tính Tích Phân 8 Vậy thể tích của hình xuyến là: 22 2 2 2 2 2 2 a a V b a x b a x dx a b (đvtt). Lý do sai: Sai công thức tính thể tích: 22 12 b a V y